Análisis Matemático DOS

§ 4

Funciones de variación acotada

Definición

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) una función. Dada \(P=\{a=t_0< \cdots < t_n =b\}\) una partición arbitraria de \([a,b]\), definimos la variación de \(f\) con respecto a la partición como \[ V(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(t_i)-f(t_{i-1})| \] La función \(f\) se llama de variación acotada si existe una constante \(M>0\) tal que \[ V(f,P) \leq M \] para toda partición \(P\) de \([a,b]\).

Si \(f\) es de variación acotada definimos su variación total (o simplemente variación) como \[ V_a^b(f)=\sup_{P}\{V(f,P) \} \] donde el supremo se toma sobre todas las particiones del intervalo \([a,b]\).

Ejemplos

  1. Toda función monótona, \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\), es de variación acotada con \(V_a^b(f)=|f(b)-f(a)|\).
  2. Si \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es Lipschitz con constante \(K\) (es decir \(|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|\), para todos \(x,y\in [a,b]\)) entonces \(f\) es de variación acotada con \(V_a^b(f)\leq K(b-a)\).

Denotamos por \(BV[a,b]\) al conjunto de todas las funciones de variación acotada en \([a,b]\).

Lema

Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\).

  1. Si \(f\in BV[a,b]\) y \(c\in (a,b)\) entonces las restricciones de \(f\) a \([a,c]\) y \([c,b]\) son de variación acotada.
  2. Si \(f\in BV[a,c]\) y \(f\in BV[c,b]\) entonces \(f\in BV[a,b]\).

En cualquier caso \[ V_a^b(f)=V_a^c(f)+V_c^b(f) \]

Corolario

  1. Si \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es monótona a trozos entonces \(f\) es de variación acotada.
  2. Si \(f\) es un polinomio entonces es de variación acotada en todo intervalo \([a,b]\).
  3. Si \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es una función escalonada entonces \(f\) es de variación acotada.

Lema

Si \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es de variación acotada entonces \(f\) es acotada y \(\|f\|_{[a,b]}\leq |f(a)|+V_a^b(f)\).

Ejercicio

Define la función \(f(x)=x\sin(1/x)\), para \(0< x < 1\) y \(f(0)=0\). Entonces \(f\) es continua, por lo tanto acotada en \([0,1]\), pero \(f\) NO es de variación acotada.

Proposición

Propiedades

Sean \(f,g\in BV[a,b]\) y \(\alpha \in \mathbb{R}\).

  1. \(V_a^b(f)=0\) si y sólo si \(f\) es constante.
  2. \(f+g\in BV[a,b]\) y \(V_a^b(f+g)\leq V_a^b(f)+V_a^b(g)\).
  3. \(\alpha f \in BV[a,b]\) y \(V_a^b(\alpha f)=|\alpha|V_a^b(f)\).
  4. \(fg\in BV[a,b]\) y \(V_a^b(fg)\leq \|f\|_{[a,b]}V_a^b(g)+\|g\|_{[a,b]}V_a^b(f)\).
  5. \(|f|\in BV[a,b]\) y \(V_a^b(|f|)\leq V_a^b(f)\).

Ejercicio

Si \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) tiene derivada acotada en \([a,b]\) entonces \(V_a^b(f)\leq \|f'\|_{[a,b]}(b-a)\).

Ejercicio

Si \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es una función poligonal o un polinomio prueba que \(V_a^b(f)=\int_a^b|f'(t)|dt\).

Sugerencia: en cualquiera de los dos casos, existen subintervalos donde \(f\) es monótona.

Ejercicio

Sea \((f_n:[a,b]\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones que converge puntualmente a la función \(f\).

  1. Prueba que para toda \(P\), partición de \([a,b]\), \(\lim_{n\to \infty} V(f_n,P)=V(f,P)\).
  2. En particular si existe \(K>0\) tal que \(V_a^b(f_n)\leq K\) para toda \(n\) entonces \(V_a^b(f)\leq K\).

Ejercicio

Sea \(\alpha:[a,b]\to [c,d]\) la única función afín (es decir, su gráfica es una línea recta) tal que \(\alpha(a)=c\) y \(\alpha(b)=d\).

Supón que \(h\in BV[c,d]\). Prueba que \(h \circ \alpha \in BV[a,b]\) y \(V_c^d(h)=V_a^b(h \circ \alpha)\).

Teorema

El espacio \(BV[a,b]\) es completo con la norma \[ \|f\|_{BV}=|f(a)|+V_a^b(f) \]

Ejercicio

Sean \(f,g:[a,b]\to \mathbb{R}\) dos funciones de variación acotada y supón que además \[ \inf_{t \in [a,b]}\{|g(t)| \} >0 \] Prueba que \(f/g\) es de variación acotada y que \[ V_a^b(f/g)\leq \frac{1}{r^2}( \|f\|_{[a,b]}V_a^b(g)+ \|g\|_{[a,b]}V_a^b(f) ) \] donde \(r=\inf_{t \in [a,b]}\{|g(t)| \}\).

Teorema

Dada \(f\in BV[a,b]\) define \(v:[a,b]\to \mathbb{R}\) por \begin{eqnarray*} v(x)=V_a^x(f) \end{eqnarray*} Entonces tanto \(v\) como \(v-f\) son monótonas crecientes.

Por lo tanto, \(f=v-(v-f)\) es una diferencia de funciones monótonas crecientes.

Corolario

Teorema de descomposición de Jordan

Una función \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es de variación acotada si y sólo si puede escribirse como una diferencia de funciones monótonas crecientes.

Ejercicio

\(h \in C[a,b]\cap BV[a,b]\) si y sólo si \(f\) puede escribirse como la diferencia de dos funciones continuas y monótonas crecientes.

Ejercicio

Sea \(g:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función de variación acotada en \([a,b]\) y define \[ v(x)=V_a^x(g) \] Por el teorema anterior \(v\) es de variación acotada. Prueba que \[ V_a^b(v)=V_a^b(g). \]

Ejercicio

Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R} \) una función tal que \(f'\) existe y es Riemann integrable en \([a,b]\)

Prueba que \(f\in BV[a,b]\) y que \[ V_a^b(f)=\int_a^b |f'(t)|dt \]

Ejercicio

Sea \(h\in BV[a,b]\) y \(c\in (a,b)\) fija y arbitraria.

  1. Supón que \(h\) es continua por la derecha en \(c\), es decir \(\lim_{t \to c^+} h(t)=h(c)\). Prueba que para todo \(\varepsilon >0 \) existe \(\delta > 0\) y \(P=\{c=t_0 < t_1 < \cdots < t_n=b\}\) una partición de \([c,b]\) tal que \(t_1-c< \delta \) y tal que \[ V_c^b(h)-\frac{\varepsilon}{2} \leq V(h,P) \leq \frac{\varepsilon}{2}+ V_{t_1}^b(h) \] Deduce que \(V_c^b(h)-V_{t_1}^b(h) \leq \varepsilon\) y que \(\lim_{t\to c^+} V_c^b(h)=V_c^b(h)\).
  2. Prueba que \(h(t)\) es continua en \(t=c\) si y sólo si \(V_t^b(h)\) es continua en \(t=c\).

Teorema

Sea \(f:D\to \mathbb{R}\), \(D\subseteq [a,b]\), una función monótona. Entonces el conjunto de puntos de discontinuidad de \(f\) es a lo más numerable y toda discontinuidad es una discontinuidad de salto.

Corolario

Toda función en \(BV[a,b]\) tiene a lo más una cantidad numerable de puntos de discontinuidad y todas sus discontinuidades son de salto.

Teorema

Principio de selección de Kelly

Sea \(X\ne \emptyset\) un subconjunto y \(D\subseteq X\) numerable. Sea \((f_n:X\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones uniformemente acotadas en \(X\), es decir, existe \(M>0\) tal que, para toda \(n\in \mathbb{N}\) y toda \(x\in X\), \(|f_n(x)|\leq M\).

Entonces existe una subsucesión \((f_{n_k})_{k=1}^\infty\) tal que, para toda \(d\in D\), el límite \(\lim_{k\to \infty}f_{n_k}(d)\) existe.

Lema

Sea \(X\subseteq [a,b]\) tal que \(a,b\in X\). Si \(f:X\to \mathbb{R}\) es monótona creciente entonces \(f\) se extiende a una función monótona creciente en todo \([a,b]\).

Lema

Sea \((f_n:[a,b]\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una sucesión uniformemente acotada.

Si cada \(f_n\) es monótona creciente entonces existe una subsucesión \((f_{n_k})_{k=1}^\infty\) y una función monótona creciente \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\), tal que \(\lim_{k\to \infty}f_{n_k}(x)=f(x)\), para todo \(x\in [a,b]\).

Teorema

Primer Teorema de Helly

Sea \((f_n)_{n=1}^\infty\subseteq BV[a,b]\) con la propiedad de que existe \(K>0\) tal que \(\|f\|_{BV}\leq K\) para toda \(n\).

Entonces existe una subsucesión de \((f_n)_{n=1}^\infty\) y una función \(f\in BV[a,b]\) tal que \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge puntualmente a \(f\) en \([a,b]\).

Ejercicio

Una función \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) se llama de variación acotada en \(\mathbb{R}\) si

  1. para todos \(a< b\), \(g\in BV[a,b]\) y
  2. existe una \(M>0 \) tal que \(V_a^b(g) \leq M\) para todos \(a < b \).

Si éste es el caso denotamos \[ V_{-\infty}^{\infty}(g)=\sup_{a< b}\{V_a^b(g) \} \]

  1. Prueba que \[ V_{-\infty}^{\infty}(g)=\lim_{a \to +\infty} V_{-a}^a(g) \]
  2. Define \(V_x^\infty(g)=\lim_{b\to +\infty} V_x^b(g)\). Prueba que \[ \lim_{x\to \infty}V_{x}^\infty(g)=0. \]
  3. \(g\) está acotada, es más para cada \(a\in \mathbb{R}\): \(|g(x)|\leq |g(a)|+V_{-\infty}^{\infty}(g)\) para toda \(x\).

Quiz

  1. Si \(f\in BV[a,b]\) prueba que \(f^2\in BV[a,b]\). Sugerencia: empieza probando \(|f(x)^2-f(y)^2|\leq 2M |f(x)-f(y)|\), donde \(M\) es una cota para \(f\).
  2. Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función de variación acotada. Prueba que para todo subintervalo \([c,d]\subseteq [a,b]\), \(f\) también es de variación acotada en \([c,d]\)