Si \(P=\{a=x_0< \cdots < x_n=b \}\) es una partición del intervalo \([a,b]\) y \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) es una función denotamos \(\Delta_i\alpha=\alpha(x_i)-\alpha(x_{i-1})\), para \(i=1,\dots. n\).
Decimos que una partición \(Q\) de \([a,b]\) refina a \(P\) si \(P\subseteq Q\). La norma de una partición \(P=\{a=x_0< \cdots < x_n=b\}\) se define como \(\|P\|=\max_{i=1,\dots, n}\{x_i-x_{i-1}\}\). Notar que si \(Q\) refina a \(P\) entonces \(\|Q\| \leq \|P\|\).
Si \(P\) es una partición de \([a,b]\) y \(t_i\) son puntos en el intervalo \([x_{i-1},x_i]\), una suma de la forma \[ S(f,P,\alpha)=\sum_{i=1}^n f(t_i)\Delta_i \alpha \] se llama una suma de Riemann-Stieltjes de \(f\) con respecto a \(\alpha\).
Dadas funciones acotadas \(\alpha, f:[a,b]\to \mathbb{R}\), decimos que \(f\) es Riemann integrable con respecto de \(\alpha\), en \([a,b]\), si existe un número \(I\in \mathbb{R}\) que satisface: para toda \(\varepsilon >0 \) existe una partición \(P_\varepsilon\) de \([a,b]\) de tal forma que para toda partición \(P\) con \(P_\varepsilon \subseteq P\) y para toda selección de puntos \(t_i\in [x_{i-1},x_i]\), se cumple \[ |S(f,P,\alpha)-I| < \varepsilon. \] En tal caso denotamos \(f\in R_{\alpha}[a,b]\) o \(f\in R_\alpha\) si el intervalo es claro.
Si tal número existe se le denota \(\int_a^bf(x)d\alpha(x)\) o simplemente \(\int_a^b f d\alpha\). A la función \(f\) se le llama el integrando y a la \(\alpha\) el integrador.
En el caso de \(\alpha(x)=x\) se recupera la integral de Riemann.
Si \(f,g\in R_\alpha[a,b]\) y \(c\) es un escalar, entonces \(f+cg\in R_\alpha[a,b]\) y además \[ \int_a^b (f+cg)d\alpha= \int_a^b f d\alpha+ c\int_a^b g d\alpha \]
Si \(f\in R_\alpha[a,b]\) y \(f\in R_\beta[a,b]\) entonces para todo escalar \(c\), \(f\in R_{\alpha+c\beta}[a,b]\) y \[ \int_a^b fd(\alpha+ c \beta)=\int_a^b fd\alpha + c \int_a^b f d\beta \]
Sea \(c\in (a,b)\). Si \(f\in R_\alpha[a,c]\) y \(f\in R_\alpha[c,b]\) entonces \(f\in R_\alpha[a,b]\) y \[ \int_a^b fd\alpha = \int_a^c f d\alpha + \int_c^b f d\alpha \]
Si \(a < b\) se define \(\int_b^a f d\alpha = - \int_a^b f d\alpha\), siempre y cuando \(\int_a^b fd\alpha\) existe.
Si \(f\in R_\alpha[a,b]\) entonces \(\alpha \in R_f[a,b]\) y además \[ \int_a^b f(x)d\alpha(x)+\int_a^b \alpha(x)df(x)=f(b)\alpha(b)-f(a)\alpha(a) \]
Sea \(f\in R_\alpha[a,b]\) y \(u:[c,d]\to \mathbb{R}\) estrictamente creciente (o decreciente) y continua. Supón que \(a=u(c)\) y \(b=u(d)\). Sean \(h\) y \(\beta\) definidas por \[ h(x)=f(u(x)), \, \beta(x)=\alpha(u(x)), \, x\in [c,d] \] Entonces \(h\in R_\beta[c,d]\) y \[ \int_{u(c)}^{u(d)}f(t)d\alpha(t)=\int_c^dh(x)d\beta(x), \] es decir \[ \int_{u(c)}^{u(d)}f(t)d\alpha(t)=\int_c^d f(u(x))d\alpha(u(x)). \]
Supón que \(f\in R_\alpha[a,b]\) y que \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) es diferenciable con derivada continua en \([a,b]\). Entonces la integral usual de Riemann, \(\int_a^b f(x)\alpha'(x)dx\) existe y \[ \int_a^b f(x)d\alpha(x)=\int_a^b f(x)\alpha'(x)dx. \]
Dados \(a< c< b\), define \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) como sigue: \(\alpha(a),\alpha(c), \alpha(b)\) son valores arbitrarios y para el resto \[ \alpha(x)=\left\{ \begin{array}{cc} \alpha(a) & a\leq x < c \\ \alpha(b) & c< x \leq b \end{array} \right. \] Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función tal que:
Calcula las siguientes integrales. Siempre puedes suponer que para las funciones dadas, \(f\in R_\alpha[a,b]\).
Nota: \(\lfloor x \rfloor\) denota el mayor entero menor o igual a \(x\).
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) tal que \(f(a)=0=f(b)\). Supón que \(f'\) existe y es continua en \([a,b]\) y que \(\int_a^b f^2(x)dx=1\). Prueba:
Recuerda que una función \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) se llama escalonada si existe una partición \(P=\{a=x_0 < \cdots < x_n =b \}\) de tal forma que para todo \(i=1,\dots n\), \(\alpha\) es constante en \((x_{i-1}, x_i)\). Nota: los valores de la función \(\alpha(x_i)\) son arbitrarios, es decir no tiene que ser continua por la derecha o izquierda necesariamente.
Sea \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función escalonada y \(f:[a,b]\) una función de tal forma que \(f\) y \(\alpha\) no son ambas discontinuas, por la derecha o izquierda, en los puntos de la partición que define a \(\alpha\). Entonces \(f\in R_\alpha[a,b]\) y \[ \int_a^b fd\alpha = \sum_{i=1}^nf(x_i)(\alpha(x_i^+)-\alpha(x_i^-)). \] donde \(\alpha(x_1^-)=\alpha(x_1)\) y \(\alpha(x_n^+)=\alpha(x_n)\).
Si la función \(f(x)\) tiene una derivada continua en \((a,b)\) entonces \begin{eqnarray*} \sum_{a< n \leq b}f(n)&=& \int_a^b f(x)dx+\int_a^b f'(x)((x))dx\\ &+& f(a)((a))-f(b)((b)) \end{eqnarray*} donde \(((x)):=x-\lfloor x \rfloor \).
Cuando \(a\) y \(b\) son enteros lo anterior se vuelve \[ \sum_{n=a+1}^b f(n)=\int_a^bf(x)dx+ \int_a^b f'(x)(x-\lfloor x \rfloor)dx \]
Sugerencia: usa integración por partes.
Dada una partición de \([a,b]\), \(P=\{x_0 < \cdots < x_n \}\) y una función acotada \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) definiemos \[ m_i(f)=\inf_{x\in [x_{i-1},x_i]}\{ f(x)\}, \, M_i(f)=\sup_{x\in [x_{i-1},x_i]}\{ f(x)\}. \] Dada una función acotada \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\), las sumas \[ \overline{S}(f,P,\alpha)=\sum_{i=1}^n M_i(f)\Delta_i\alpha, \] \[ \underline{S}(f,P,\alpha)=\sum_{i=1}^n m_i(f)\Delta_i\alpha \] se llaman sumas inferiores y superiores de Riemann con respecto a \(\alpha\).
Nota que \(m_i(f)\leq M_i(f)\). Entonces si \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) es monótona creciente, entonces \(\Delta_i\alpha= \alpha(x_i)-\alpha(x_{i-1}) \geq 0\) para toda \(i\) y por lo tanto \[ m_i(f)\Delta_i\alpha \leq f(t_i)\Delta_i \alpha \leq M_i(f)\Delta_i\alpha \] para toda elección de puntos \(t_i\in [x_{i-1},x_i]\) de lo que se sigue que \[ \underline{S}(f,P,\alpha) \leq S(f,P,\alpha)\leq \overline{S}(f,P,\alpha) \]
Sean \(f,\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) funciones acotadas con \(\alpha\) monótona creciete.
Sean \(f,\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) funciones acotadas con \(\alpha\) monótona creciente. Se definen las integrales inferior y superior de Riemann-Stieltjes como \begin{eqnarray*} \underline{\int_a^b}fd\alpha = \sup_{P}\{ \underline{S}(f,P,\alpha) \},\\ \overline{\int_a^b}fd\alpha = \inf_{P}\{ \overline{S}(f,P,\alpha) \} \end{eqnarray*} donde el ínfimo y supremo se toman sobre todas las particiones del intervalo \([a,b]\)
Sean \(f,\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) funciones acotadas con \(\alpha\) monótona creciente. Entonces: \[ \underline{\int_a^b}fd\alpha \leq \overline{\int_a^b}fd\alpha \]
Sean \(f,\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) funciones acotadas con \(\alpha\) monótona creciente. Las siguientes condiciones son equivalentes.
Para toda \(\varepsilon >0\), existe una partición \(P_\varepsilon\) de \([a,b]\) tal que \[ \overline{S}(f,P,\alpha)-\underline{S}(f,P,\alpha) < \varepsilon \] para toda partición \(P\) de \([a,b]\) que refina a \(P_\varepsilon\).
Sea \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función monótona creciente. Entonces \(C[a,b]\subseteq \mathcal{R}_\alpha[a,b]\).
Sean \(f,g,\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) funciones acotadas con \(\alpha\) monótona creciente. Si \(f\leq g\) y \(f,g \in R_\alpha[a,b]\) entonces \[ \int_a^b f d\alpha \leq \int_a^b g d\alpha \] En particular si \(g\geq 0\) entonces \(0 \leq \int_a^b g d\alpha\).
Da un ejemplo de funciones acotadas \(f,\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) tal que \(f\in R_\alpha[a,b]\), con \(f\geq 0\) pero tal que \[ \int_a^b f d\alpha < 0. \] Sugerencia: propon \(\alpha\) como una función escalonada.
Sean \(f,\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) funciones acotadas con \(\alpha\) monótona creciente. Si \(f\in R_\alpha[a,b]\) entonces \(|f|\in R_\alpha[a,b]\) y \[ \left| \int_a^b f d\alpha \right| \leq \int_a^b |f|d\alpha. \]
Sean \(f,\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) funciones acotadas con \(\alpha\) monótona creciente. Si \(f\in R_\alpha[a,b]\) entonces \(f^2\in R_\alpha[a,b]\).
Sean \(f,g,\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) funciones acotadas con \(\alpha\) monótona creciente. Si \(f,g\in R_\alpha[a,b]\) entonces \(fg\in R_\alpha[a,b]\).
Sea \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) monótona creciente y \((f_n)_{n=1}^\infty\subset \mathcal{R}_\alpha[a,b]\) una sucesión de funciones que converge uniformemente en \([a,b]\) a una función \(f\). Entonces \(f\in \mathcal{R}_\alpha[a,b]\) y \[ \lim_{n\to \infty} \int_a^b f_nd\alpha= \int_a^b fd\alpha. \]
Evalua:
Si \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es continua y no negativa y \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) y es estrictamente creciente y \(\int_a^b fd\alpha =0\) entonces \(f=0\).
Si \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es continua y \(\int_a^b f(x)g(x)dx=0\) para toda función continua \(g:[a,b]\to \mathbb{R}\) con \(g(a)=0=g(b)\) entonces \(f=0\).