Sea \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) de variación acotada y \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función continua. Entonces \(f\in R_\alpha[a,b]\).
Sea \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función de variación acotada y definimos \(v:[a,b]\to \mathbb{R}\) como \(v(x)=V_a^x(\alpha)\) (la variación de \(\alpha\)).
Si \(f\in R_\alpha[a,b]\) entonces \(f\in R_v[a,b]\).
Sea \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función de variación acotada y \(f\in R_\alpha[a,b]\). Entonces para todo subintervalo \([c,d]\subseteq [a,b]\), \(f\in R_\alpha[c,d]\).
Sea \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) monótona creciente y supón que \(f,g\in R_\alpha[a,b]\). Define \(F,G:[a,b]\to \mathbb{R}\) por \begin{eqnarray*} F(x):=\int_a^x f(t)d\alpha(t) \\ G(x):=\int_a^x g(t)d\alpha(t) \end{eqnarray*} Entonces \(f\in R_G[a,b], g\in R_F[a,b]\) y \begin{eqnarray*} \int_a^b f(t)g(t)d\alpha(t)&=& \int_a^b f(t)dG(t) \\ &=&\int_a^b g(t)dF(t) \end{eqnarray*}
Sea \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) monótona creciente y \(f\in R_\alpha[a,b]\). Sean \(m=\inf_{x\in [a,b]}\{ f(x)\}\) y \(M=\sup_{x\in [a,b]}\{ f(x)\}\).
Entonces existe un \(c\in [m,M]\) tal que \[ \int_a^b f d\alpha = c(\alpha(b)-\alpha(a)). \] En particular si \(f\) es continua existe un \(x_0\in [a,b]\) tal que \(c=f(x_0)\).
Supón que \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es monótona creciente y \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) es continua. Entonces existe un punto \(x_0\in [a,b]\) tal que \[ \int_a^b f d\alpha = f(a)\int_a^{x_0}d\alpha + f(b)\int_{x_0}^b d\alpha. \]
Sea \((a_n)_{n=0}^\infty \subset \mathbb{R}\) y define \(A:[0,\infty) \to \mathbb{R} \) por \[ A(x)=\sum_{n=0}^{\lfloor x \rfloor} a_n \] Si \(f:[0,b]\to \mathbb{R}\) tiene derivada continua en \([0,b]\) prueba que \[ \sum_{n=0}^{\lfloor b \rfloor }a_nf(n)=-\int_0^b A(x)f'(x)dx + A(b)f(b) \]
Usa la fórmula de sumatoria de Euler para probar:
Supón que \(f:[1,2n]\to \mathbb{R}\) es clase \(C^1\). Usa la fórmula de sumatoria de Euler para probar \[ \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k f(k)=\int_1^{2n} f'(x)( \lfloor x \rfloor - 2 \lfloor x/2 \rfloor ) dx \]
Si \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es clase \(C^1\) prueba que \(f\in R_{\sen(f)}[a,b]\) y \[ \int_a^b f d\sen(f)= f(b)\sen(f(b))-f(a)\sen(f(a))+cos(f(b))-\cos(f(a)). \]
Sea \(\varphi:[a,b]\to \mathbb{R}\) no negativa y monótona creciente. Si \(h:[a,b]\to \mathbb{R}\) es continua, entonces existe \(c\in [a,b]\) tal que \[ \int_a^b \varphi(x)h(x)dx=\varphi(b)\int_c^b h(x)dx. \]
¿Se vale el mismo resultado si \(\varphi\) es monótona decreciente?
Sea \((\alpha_n)_{n=1}^\infty \subset BV[a,b]\). Supón que existe \(\alpha \in BV[a,b]\) tal que \(\lim_{n\to \infty}V_a^b(\alpha-\alpha_n)=0\) y además \(\alpha_n(a)=\alpha(a)=0\), para toda \(n\in \mathbb{N}\).
Si \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es continua prueba que \[ \lim_{n\to \infty} \int_a^b f d\alpha_n = \int_a^b fd\alpha. \]