Una de las motivaciones más importantes para el desarrollo
del cálculo integral es el área, en particular calcular áreas
debajo de gráficas de funciones. La noción de área no
la vamos a definir formalmente pues es un proceso
largo (pero interesante). En su lugar vamos pensar
al área simplemente como una función, que por el momento
vamos a denotar $a$, que asigna números no negativos a ciertas regiones
del plano, las cuales llamaremos medibles. Dicha función \(a\)
satisface las siguientes propiedades:
$a(S) \geq 0$ para todo medible $S$;
$a(\emptyset)=0$.
$a(S\cup T) = a(S)+ a(T)$ si $S\cap T =\emptyset$;
si $T \subseteq S$ entonces $a(T) \leq a(S)$ y $a(S\setminus T)= a(S)-a(T)$;
si $S$ es un rectángulo de base $b$ y altura $h$, $a(S)=bh$;
decimos que dos medibles, $S$ y $T$, son congruentes si existen
rotaciones y/o translaciones que manden uno al otro.
Con esta definición se tiene que si $S$ y $T$ son congruentes entonces
$a(S)=a(T)$;
Nota: existe una propiedad más que tiene que ver con límites pero que
no es fundamental entender en este momento. La propiedad se puede escribir como
\[
a\left(\cup_{i=1}^\infty S_i\right)=\sum_{i=1}^\infty a(S_i)
\]
siempre y cuando los medibles \((S_i)_{i=1}^\infty\) sean ajenos dos a dos.
El ejemplo
Entre otras muchas cosas Arquímides estaba interesado en calcular áreas y
volúmenes. Antes de cálcular áreas ya hábia calculado varios volúmenes:
el cóno de base rectangular
tiene volumen \(\frac{1}{3}Bh\), donde \(B\) es el área de la base
y \(h\) la altura; la esfera de radio \(R\) tiene volumen \(\frac{4}{3}\pi R^3\)
(ver por ejemplo
la mejor idea de Arquímides).
La idea más importante de Arquímides es tratar de descomponer la región (ya sea
en el plano o en el espacio) en regiones más sencillas cuya área o volumen sea conocido o
fácil de calcular.
El ejemplo que vamos a ver, siguiendo las ideas de Arquímides pero con una
notación muy diferente al que el usó, es calcular el área bajo la curva de la
parábola \(y=x^2\), desde \(x=0\) hasta \(x=b\), donde \(b>0\) es un número arbitrario.
Cálcular directamente el área bajo la parábola no es sencillo pero podemos
aproximarla si dividimos la región en franjas y consideramos rectángulos que
aproximen el área de dichas franjas. La ventaja de los rectángulos es que su área
es simplemente base por altura.
Intuitivamente si dividimos la región en un número muy grande de franjas la aproximación
del área de los rectángulos será cada vez una mejor estimación del área bajo
la parábola y en el límite obtendremos precisamente el área buscada. En lo que
sigue hacemos las cuentas que formalizan esta idea.
Para empezar dividimos el invervalo \([0,b]\) en un número igual de partes. Para
llevar un control de las partes vamos a usar un entero \(n\). Por ejemplo, para
\(n=2\) lo dividimos en dos partes y para llevar un control vamos a enumerar los
puntos de estas partes iniciando con \(x_0=0\), luego el punto medio
\(x_1=\frac{b}{2}\) y el punto final \(x_2=b\). En general si dividimos
el intervalo \([0,b]\) en \(n\) partes iguales los puntos de la partición,
iniciando con \(x_0=0\) y terminando con \(x_n=b\) son
\[
x_0=0,x_1= \frac{b}{n}, x_2=2\frac{b}{n}, \dots, x_{n-1}=(n-1)\frac{b}{n}, x_n=n\frac{b}{n}=b.
\]
Ahora calculamos el área de cada rectángulo cuya base
está en el intervalo \([x_{i-1},x_i]\) (con \(1 \leq i \leq n \)). En este punto necesitamos
hacer una decisión de cómo tomar la altura de cada rectángulo, pues podemos aproximar el
área con rectángulos por debajo de la gráfica o por arriba. Vamos a usar los rectángulos
por arriba. En esta situación tenemos la siguiente figura
Sumando todos las contribuciones de área de los rectángulos obtenemos
\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{b^3}{n^3}i^2=\frac{b^3}{n^3}\sum_{i=1}^ni^2.
\]
lo cual es una aproximación del área bajo la parábola.
En este punto uno topa con pared pues necesitamos una manera de estimar la
expresión anterior cuando \(n\) tiende a infinito. Afortunadamente Arquímides
pudo reconocer la suma anterior como un volumen.
En particular Arquímides notó que la suma \(\sum_{i=1}^n i^2\) es una estimación
del volúmen de la pirámide rectangular de base \(n\) y altura \(n\). Lo anterior
se puede ver mediante la siguiente figura, que acomoda cubos de lado 1 en forma de
una pirámide.
Con este arreglo cada capa tiene un volumen de \(i^2\), empezando con la
base en \(i=n\) y terminando con la cúspide en \(i=1\). El volumen
de dicho cono es \(\frac{1}{3}n^2 n\) (un tercio del área de la base
por la altura). Por lo que si \(n\) es muy grande la suma
\(\sum_{n=1}^n i^2 \) es aproximadamente \(\frac{1}{3}n^3\).
Por lo tanto
\[
\frac{b^3}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2 \approx \frac{b^3}{n^3} \left(\frac{1}{3} n^3\right)
=\frac{b^3}{3}.
\]
Por lo tanto Arquímides dedujo que el área bajo la parábola, de \(x=0\)
a \(x=b\), es \(\frac{b^3}{3}\).
Este ejemplo es muy ilustrativo pues todo lo que se hará en adelante es refinar
las ideas y cuentas que se han hecho.
Dado un intervalo $[a,b] \subseteq \mathbb{R}$, su longitud se define como: $b-a.$
Una partición del intervalo $[a,b]$ es un subconjunto finito de puntos
$P \subset [a,b]$ tal que $a, b \in P$.
Dada una partición denotamos
$P=\{ x_0 < x_1 < \cdots < x_n \}$ con $x_0=a$ y $x_n=b$.
A los intervalos de la forma $[x_{i-1}, x_i]$, $i=1,\dots, n$,
se le llaman los subintervalos de la partición. Al número $n$ lo llamamos la
longitud de la partición y cuenta en cuántas partes la partición divide a \([a,b]\).
La partición más sencilla es simplemente $P=\{a,b\}$.
Partición homogenea
Una partición se llama homogenea si todos los subintervalos, $[x_{i-1}, x_i]$,
tienen la misma longitud. Por ejemplo, si \(P\) es una partición homogenea
de \([a,b]\) de longitud \(n\) entonces \([a,b]\) se divide en \(n\) subintervalos
de la misma longitud, por lo que cada subintervalo tiene longitud \(\frac{b-a}{n}\).
Por lo tanto, para viajar entre puntos consecutivos de la partición sólo sumamos
\(\frac{b-a}{n}\), por lo que los puntos de la partición homogenea están dados
por
\begin{eqnarray*}
x_0&=&a, \\
x_1&=&a+\frac{b-a}{n},\\
x_2&=&x_1+\frac{b-a}{n}=a+2\left(\frac{b-a}{n}\right),\\
\vdots \\
x_{j+1}&=&x_{j}+\frac{b-a}{n}=a+j\left(\frac{b-a}{n}\right),\\
\vdots \\
x_n&=&a+n \left(\frac{b-a}{n}\right)=a+b-a=b.
\end{eqnarray*}
Definición
Dada una función acotada $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ y $P$,
una partición de $[a,b]$, definimos las sumas inferiores y superiores de Riemann de $f$,
con respecto a $P$, como:
\begin{eqnarray*}
\overline{S}(f,P)=\sum_{i=1}^n M_i [x_i-x_{i-1}] \\
\underline{S}(f,P)=\sum_{i=1}^n m_i [x_i-x_{i-1}]
\end{eqnarray*}
donde $M_i=\sup \{f(x) : x\in (x_{i-1}, x_i)\}$, $m_i=\inf \{ f(x): x\in (x_{i-1}, x_i) \}$.
Nota que los supremos e ínfimos de la definición anterior existen pues estamos
pidiendo que \(f\) sea acotada.
Si $P$ es la partición homogenea de longitud $n$ podemos abreviar
$\overline{S}(f,P)$ como $\overline{S}_n(f)$ (similarmente con las sumas inferiores).
Ejercicio
Considera la funcíon \(f:[0,b]\to \mathbb{R}\) dada por $f(x)=x^2$. Por \(P_n\)
denotamos la partición homogenea de longitud \(n\).
Demuestra por inducción sobre \(n\) que:
$$
\sum_{i=0}^{n-1}i^2 \leq \frac{n^3}{3} \leq \sum_{i=0}^n i^2
$$
Demuestra que
\[
\overline{S}(f,P_n)- \underline{S}(f,P_n)= \frac{b^3}{n}
\]
Con ayuda de los incisos anteriores prueba que
\[
\lim_{n\to \infty} \overline{S}(f,P_n)=
\lim_{n\to \infty} \underline{S}(f,P_n)=\frac{b^3}{3}
\]
Ejercicio
Este ejercicio da otra prueba de que, para la función
\(f:[0,b]\to \mathbb{R}\), $f(x)=x^2$,
$$\lim_{n\to \infty} \overline{S}(f,P_n)=
\lim_{n\to \infty} \underline{S}(f,P_n)=\frac{b^3}{3}$$
Usar induccion para probar:
$$
\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}
$$
hint: primero prueba que $k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1$
Usando el inciso anterior prueba que
$$
\lim_n \underline{S}_n(f)=\lim_{n}\overline{S}_n(f) =\frac{b^3}{3}
$$
Ejercicio
Este ejercicio es similar al anterior pero para
la función \(f:[0,b]\to \mathbb{R}\) dada por $f(x)=x^3$.
Prueba por inducción:
$$\sum_{i=1}^n i^3= \frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4}$$
Si $P_n$ es la partición homogenea de \([0,b]\) usa el inciso anterior para probar
$$\lim_{n}\underline{S}(f,P_n)=\lim_n\overline{S}(f,P_n)=\frac{b^4}{4}$$
Este ejercicio se interpreta como que el area bajo la curva \(y=x^3\), de \(0\) a \(b\)
es \(\frac{b^4}{4}\).
Una función $s:[a,b]\to \mathbb{R}$ se llama escalonada si
existe una partición $P$, de $[a,b]$, de tal
forma que $s$ es constante en los sub-intervalos abiertos generados por $P$.
Llamamos a $P$
la partición de $s$ o la partición inducida o generada por $s$.
Por ejemplo, toda función constante es escalonada.
Otro ejemplo de función escalonada es la función mayor entero menor o igual a \(x\),
denotada \(\lfloor x \rfloor\).
Definición
Existen cierto tipo de funciones que ayudan a describir algebráicamente
a las funciones escalonadas y que en principio son más sencillas que éstas. Se llaman
funciones características.
Dada un subconjunto no vacío $A\subseteq \mathbb{R}$ la función característica o indicadora de $A$ se define como
$$
\chi_A(x)=
\left\{
\begin{array}{cc}
1 & x\in A \\
0 & x\notin A
\end{array}
\right.
$$
Nota que \(\chi_A\) es una función con dominio \(\mathbb{R}\) y que sólo toma los valores
\(0\) y \(1\), por lo que las gráficas de éstas funciones son sencillas: en los
puntos de \(A\) se lavanta uno y en el resto permanece en el eje de las \(x's\).
Ejercicio
Las funciones características tienen muchas propiedades que reflejan
propiedades de conjuntos. Este ejercicio menciona algunas de ellas.
Sean \(A,B\subseteq \mathbb{R}\).
Prueba que \(\chi_A=\chi_B\) sii \(A=B\).
Si $A\cap B = \emptyset$
entonces la función característica de la unión es
la suma de las funciones características: $\chi_A+\chi_B=\chi_{A\cup B}$.
Prueba que la función característica de la intersección es
el producto de las funciones características: \( \chi_{A\cap B}=\chi_A \chi_B\).
La diferencia simétrica de dos conjuntos se define como
\(A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\). Prueba que
\[
|\chi_A(x)-\chi_B(x)|\leq \chi_{A\triangle B}(x)
\]
para toda \(x\in \mathbb{R}\).
Sea $P=\{ x_0< x_1< \cdots< x_{n-1}< x_n \}$ una partición de $[a,b]$ y sean
$s_1,\dots, s_n \in \mathbb{R}$ fijos y arbitrarios. Demuestra que
$$
s(x):=\sum_{i=1}^n s_i \chi_{[x_{i-1}, x_i)}(x)
$$
es una función escalonada.
Ejercicio
Este ejercicio muestra porqué se llaman funciones escalonadas.
Encuentra las gráficas de las siguientes funciones.
Demuestra que toda función escalonada $s:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
se puede escribir de la forma
$$
s=\sum_{j=1}^m s_j \chi_{A_j}
$$
donde $A_j \subseteq \mathbb{R}$ satisfacen:
$\cup_{j=1}^m A_j=\mathbb{R}$ y si $j_1\ne j_2$, $A_{j_1}\cap A_{j_2}=\emptyset$.
Ejercicio
Una partícula se mueve sobre el eje de las $x$, tomando su velocidad positiva
cuando se mueve hacia la derecha y negativa cuando se mueve hacia la izquierda.
Para fijar ideas, suponemos que el punto de partida de la partícula es el origen al tiempo $t=0$.
Supongamos que $v:[0,T] \to \mathbb{R}$ modela la velocidad de la partícula, $v$ dada por:
$$
v(t)=\left\{
\begin{array}{cc}
2, & \textrm{ si $0\leq t < T/6$,} \\
0, & \textrm{ si $T/6 \leq t < T/2$,} \\
-1, & \textrm{ si $T/2 \leq t \leq 3T/4$.}\\
0 & \textrm{si $3T/4 \leq t < 3T/2$} \\
3 & \textrm{si $3T/2 \leq t \leq T$}
\end{array}
\right.
$$
Encuentra la distancia recorrida por la partícula en el intervalo de tiempo $[0,T]$.
Ahora, toma una variable $v_3$ y considera la velocidad modelada por la función:
$$
v(t)=\left\{
\begin{array}{cc}
2, & \textrm{ si $0\leq t < T/6$,} \\
0, & \textrm{ si $T/6 \leq t < T/2$,} \\
v_3, & \textrm{ si $T/2 \leq t \leq 3T/4$.}\\
0 & \textrm{si $3T/4 \leq t < 3T/2$} \\
3 & \textrm{si $3T/2 \leq t \leq T$}
\end{array}
\right.
$$
Encuentra $v_3$ de tal forma que la distancia recorrida es cero. Es decir, la partícula inicia y termina en el mismo lugar.
Video
En el video se presentan soluciones de los ejercicios 1.8, 1.12 y se explican las
funciones escalonadas.
