Recordamos que el promedio de los números $a_1,\dots, a_n$ está dado por:
$$
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i
$$
Recordando el Ejercicio 5.10 tenemos
$$
\int_a^b f(x)dx=\lim_{n} \frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)
$$
donde el promedio de los valores de la función sobre los puntos de la
partición homogenea de longitud \(n\) aparece a la derecha de la igualdad. Tomando en cuenta esto se define
el promedio de una función $f$ integrable, sobre el subintervalo $[a,b]$, como
$$
V_a^b(f)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx
$$
Ejercicio
Para las siguientes funciones, prueba la fórmula dada para $V_a^b(f)$.
para $f$ una función constante con valor $k$, $V_a^b(f)=k$.
para $f(x)=mx+b$, $x\in \mathbb{R}$, $V_a^b(f)=m \frac{a+b}{2}+b$.
para $f(x)=x^2$, $x\in \mathbb{R}$, $V_a^b(f)=\frac{a^2+ab+b^2}{3}$.
Calculando de manera directa tenemos
Inciso 1:
\begin{eqnarray*}
V_a^b(f)=\frac{1}{b-a}\int_a^b k dx= \frac{1}{b-a}k(b-a)=k
\end{eqnarray*}
Inciso 2:
\begin{eqnarray*}
V_a^b(f)= \frac{1}{b-a}\int_a^b mx+ c &=& \frac{1}{b-a}\left(m \frac{b^2-a^2}{2}+ c (b-a) \right) \\
&=& \frac{1}{b-a}\left( m\frac{(b-a)(b+a)}{2}+ c (b-a) \right) \\
&=& m\frac{b+a}{2}+c
\end{eqnarray*}
donde en la segudna igualdad usamos diferencia de cuadrados.
Inciso 3:
\begin{eqnarray*}
V_a^b(f)=\frac{1}{b-a}\int_a^b x^2 dx &=& \frac{1}{b-a}\frac{b^3-a^3}{3} \\
&=& \frac{1}{b-a}\frac{(b-a)(a^2+ab+b^2)}{3} \\
&=& \frac{a^2+ab+b^2}{3}
\end{eqnarray*}
donde en la segunda igualdad usamos diferencia de cubos.
Ejercicio
Usando la identidad
\[
b^n-a^n =(b-a)\sum_{k=0}^{n-1} a^kb^{n-k-1}
\]
encuentra una fórmula general para el promedio de
las funciones potencia, $V_a^b(x^n)$, $n \in \mathbb{N}$.
Ejercicio
Prueba las siguientes propiedades del valor promedio. Las funciones, $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ son dos
funciones integrables.
$V_a^b(f+g)=V_a^b(f)+V_a^b(g)$.
$V_a^b(\alpha f)=\alpha V_a^b(f)$ donde $\alpha \in \mathbb{R}$ es un escalar fijo.
Si $f(x)\leq g(x)$, para todo $x\in[a,b]$, entonces $V_a^b(f)\leq V_a^b(g)$.
Ejercicio
Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ una función integrable. Probar que si
$m \leq f(x) \leq M $, para todo $x\in [a,b]$ entonces
$$
m\leq V_a^b(f) \leq M.
$$
Por el Teorema 3.6 tenemos que
\[m(b-a) \leq \int_a^bf(x) dx \leq M(b-a). \]
Por lo tanto dividiendo por \(b-a\) en las respectivas desigualdades tenemos que
\[ m \leq \frac{1}{b-a} \int_a^bf(x) dx \leq M . \]
Pero \( V_a^b (f) = \frac{1}{b-a} \int_a^bf(x) dx\), es decir \[ m \leq V_a^b (f) \leq M.\]
Ejercicio
Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua. Demuestra que para todo subintervalo
$[c,d] \subseteq [a,b]$, existe un
punto $x_0$ (que depende de $c$ y $d$) tal que
de
$$
V_c^d(f)=f(x_0).
$$
Sugerencia: utiliza el Teorema del Valor Intermedio.
Ya que la función \(f\) es continua en el intervalo cerrado y acotado
\([a,b]\) ésta alcanza su máximo \(M=\max_{t\in [a,b]}{f(t)}\) y
mínimo \(m=\min_{t\in [a,b]}\{f(t)\}\). Por lo tanto, para todo punto \(t\in [a,b]\)
\[
m \leq f(t) \leq M.
\]
Integrando las desigualdades anteriores y dividiendo entre \(b-a\) llegamos
\begin{eqnarray*}
& m(b-a)= \int_a^b m dt \leq \int_a^b f(t)dt \leq \int_a^bM dt = M(b-a) \\
& \Rightarrow m \leq V_a^b(f)\leq M.
\end{eqnarray*}
Ahora, ya que la función es continua por el Teorema del Valor intermedio existe al menos un
\(x_0\in [a,b]\) tal que \( f(x_0)= V_a^b(f)\).
Ejercicio
Da un ejemplo de una función $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ integrable tal que
el valor promedio nunca se alcanza. Es decir
$$
V_a^b(f)\not= f(x)
$$
para todo $x\in [a,b]$.
Ejercicio
Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ una función integrable en $[a,b]$. Demuestra que
$$
V_a^b(f)=\frac{c-a }{b-a}V_a^c(f)+ \frac{b-c}{b-a}V_c^b(f).
$$
Sea \(c \in (a,b)\), como \(f\) es integrable entonces por la
linealidad con respecto de intervalos (Teorema 3.18) tenemos que
\[ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx . \]
Dividiendo por \(b-a\) tenemos que
\begin{eqnarray*}
V_a^b (f) = \frac{1}{b-a} \int_a^bf(x) dx & = & \frac{1}{b-a} \int_a^cf(x) dx + \frac{1}{b-a} \int_c^bf(x) dx \\
& = & \frac{1}{b-a}\cdot\frac{c-a}{c-a} \int_a^cf(x) dx + \frac{1}{b-a}\cdot \frac{b-c}{b-c} \int_c^bf(x) dx \\
& = & \frac{c-a}{b-a}\cdot\frac{1}{c-a} \int_a^cf(x) dx + \frac{b-c}{b-a}\cdot \frac{1}{b-c} \int_c^bf(x) dx \\
& = & \frac{c-a}{b-a}V_a^c (f) + \frac{b-c}{b-a}V_c^b (f)
\end{eqnarray*}
Por lo tanto \[ V_a^b (f) = \frac{c-a}{b-a}V_a^c (f) + \frac{b-c}{b-a}V_c^b (f) . \]
Ejercicio
Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función tal que es integrable para cualquier intervalo de la forma
$[-a,a]$, con $a>0$.
Si $f$ es una función par demuestra:
$$
V_{-a}^{a}(f)=V_0^a(f)
$$
Si $f$ es una función impar demuestra:
$$
V_{-a}^a(f)=0
$$
Ejercicio
Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$.
Si $f'$ es monótona creciente en $(a,b)$ demuestra que :
$$
V_a^b(f)\geq f\bigg( \frac{a+b}{2}\bigg).
$$
Si $f'$ es monótona decreciente en $(a,b)$ demuestra que:
$$
V_a^b(f)\leq f\bigg( \frac{a+b}{2}\bigg).
$$
Primero afirmamos que si $f'$ es monótona creciente entonces
para cualquier $x_0 \in (a,b)$ se cunple
\begin{equation}\label{Eqn:Aux1ConcavidadValorPromedio}
f(x) \geq f(x_0)+ f'(x_0)(x-x_0)
\end{equation}
para todo \(x\in (a,b)\)
Por el Teorema del Valor Media para las derivadas tenemos que
para \(x\ne x_0\) existe un número \(c\) entre \(x\) y \(x_0\) tal que
\[
\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(c).
\]
Para probar \eqref{Eqn:Aux1ConcavidadValorPromedio} veamos dos casos.
Caso 1: \(x_0 < x \). En este caso tenemos que \(x_0 \leq c \leq x\)
por lo que al usar \(f'\) monótona creciente obtenemos \(f'(x_0)\leq f'(c)\). Por lo tanto
de la ecuación anterior se sigue
\begin{eqnarray*}
& \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(c) \geq f'(x_0) \\
& \Rightarrow f(x)-f(x_0) \geq f'(x_0)(x-x_0) \\
& \Rightarrow f(x) \geq f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)
\end{eqnarray*}
donde en la segunda implicación usamos que \(x-x_0 >0 \).
Caso 2: \(x< x_0\). En este caso tenemos \(x \leq c \leq x_0\). Por la monotonía de
\(f'\) se tiene \(f'(c)\leq f'(x_0)\). Por lo tanto
\begin{eqnarray*}
& \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(c) \leq f'(x_0) \\
& \Rightarrow f(x)-f(x_0) \geq f'(x_0)(x-x_0) \\
& \Rightarrow f(x) \geq f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)
\end{eqnarray*}
donde en la segunda implicación la desigualdad se revierte pues \(x-x_0 < 0\).
Una vez probada \eqref{Eqn:Aux1ConcavidadValorPromedio} tomando el punto medio
del intervalo \([a,b]\), \(x_0=\frac{a+b}{2}\) obtenemos
\[
f(x)\geq g(x)
\]
donde \(g\) es la función lineal \(g(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=f'(x_0)x + (f(x_0)-f'(x_0)x_0)\). Por los
propiedades del valor promedio se sigue
\begin{eqnarray*}
V_a^b(f)\geq V_a^b(g)&=& f'(x_0)\frac{a+b}{2}+ (f(x_0)-f'(x_0)x_0)\\
&=& f'(x_0)x_0+ (f(x_0)-f'(x_0)x_0)\\
&=& f(x_0).
\end{eqnarray*}
Ejercicio
Este ejercicio es una nueva mirada el Teorema del Valor Medio.
Sea $F:[a,b] \to \mathbb{R}$ continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$. Demuestra que
$$
\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=V_a^b(F').
$$
Nota que la ventaja de este sobre el Teorema del Valor Medio, es que podemos
calcular numéricamente $V_a^b(F')$.
Por definición del valor promedio
\[
V_a^b(F')=\frac{1}{b-a}\int_a^b F'(x)dx.
\]
Pero por el segundo T.F.C.
\[
\int_a^b F'(x)dx=F(b)-F(a).
\]
Por lo tanto
\[
V_a^b(F')=\frac{1}{b-a}\int_a^b F'(x)dx= \frac{F(b)-F(a)}{b-a}.
\]
Ejercicio
Usando el Teorema del Valor Medio para derivadas se puede probar
\(|\sen(2x)-\sen(x) | \leq x\) para todo \(x\). El siguiente ejercicio mejora
la cota en el intervalo \((0,\pi/4)\).
Demuestra que para todo $x\in (0,\pi/4)$
$$
|\sen(2x) -\sen(x)| \leq x\cos(3x/2)
$$
Imagina una varilla, de longitud $L$, colocada a lo largo del eje $x$. Por
$\rho:[0,L] \to \mathbb{R}$ vamos a modelar la densidad de la varilla,
es decir $\rho(x)$ es la densidad de una rebanada muy pequena de la varilla,
cortada en el punto $x$. Lo que se pide a $\rho$ es que $\rho(x) \geq 0$ para toda $x\in [0,L]$,
que $\rho$ sea integrable y $\int_0^L \rho(x)dx >0$. Con estas suposiciones de de define el
centro de masa de la varilla como
$$
\overline{x}:=\frac{\int_0^L x\rho(x)dx}{\int_0^L\rho(x)dx }.
$$
Demuestra que si $\rho(x)=\rho_0$, para todo $x\in [0,L]$
(densidad constante) entonces $\overline{x}=\frac{L}{2}$.
Supon que la función densidad satisface $\rho(x)=\rho(L-x)$, para $x\in [0,L]$.
Demuestra que $\overline{x}=\frac{L}{2}$. Sugerencia,
usa un cambio de variable lineal para probar primero que
$$ \frac{ \int_0^L x\rho(x)dx}{\int_0^L \rho(x)dx}=
\frac{\int_0^{L}(L-x)\rho(L-x)dx}{\int_0^L \rho(L-x)dx} .
$$
Determina una densidad de masa $\rho$, de tal forma que el centro de densidad de una varilla
de longitud $L$ esté a una distancia $L/4$ de uno de sus extremos.
Definición
Trabajo, fuerza constante
El trabajo (denotado por $W$) realizado al mover un objeto (a lo largo de una linea recta)
una distancia $d$, aplicando una fuerza constante $F$ esta dado por
$$
W=F\times d
$$
Una nota sobre las unidades. Substituyendo directamente tenemos
$$
W=(m/s^2)(kg)(m)=kg (m/s)^2= J
$$
que se denomina Jouls y es la unidad de trabajo en el sistema internacional.
Ejercicio
Calcular el trabajo realizado por una persona que pesa 60kg para subir una escalera de 4 metros.
Sugerencia: para calcular $F$ usa
$$
F=ma
$$
donde la aceleración es $a=g=9.8m/s^2$.
Definición
Trabajo, fuerza variable
Como estamos tratando cálculo uno-dimensional, siempre vamos a pensar a la fuerza aplicada a lo
largo de una direcci'on fija (una linea recta), como un eje de desplazamiento o el eje de las $x$.
Si la fuerza no es constante, pero esta dada por una función continua, $F(x)$,
durante el desplazamiento de $x_{i-1}$ a $x_i$, el trabajo realizado es aproximadamente
$$
W_i\sim F(x_i)\Delta x_i
$$
donde $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ es la distancia recorrida.
Tomando una partición homogenea de longitud $n$, $P=\{x_i\}_{i=0}^n$, y
suponiendo la continuidad de la función fuerza, el trabajo ejercido para mover una particula,
que se mueve a lo largo del eje $x$, del punto $a$ al $b$, ejerciendo una fuerza $F(x)$ en el
punto $x$, como:
$$
W=\lim_{n\to \infty } \sum_{i=0}^n W_i = \int_a^b F(x)dx.
$$
Ejercicio
La pirámide del faraon Kufh fue construida en un periodo de 20 años, utulizando
piedra caliza, tiene una altura de $h=146 m$ y una base cuadrada de $L=230 m$.
La densidad de la piedra caliza es $\rho=2560 kg/m^3$. Este ejercicio estima el
trabajo necesario para construirla.
Vamos a simplificar el problema. Imagina la piramide con el eje central sobre el eje $x$ y
la base en $x=0$. Ahora, vamos a discretizar el problema; divide el intervalo $[0,h]$ en
$n$-invervalos homogeneos (con la partición $P=\{x_i\}_{i=0}^n$) y aproxima el volumen por
la suma de los volumenes de rectángulos $V_i$, con
$$
V_i= l^2(x_i^*)\Delta x_i
$$
donde $l(x^*)$ denota la longitud del lado del cuadrado que se obtiene al cortar al
pirámide con un plano perpedicular al eje $x$ a la altura $x^*$.
Usando triángulos semejantes encuentra $l(x)$.
Denota por $W_i$ a el trabajo necesario para subir la $i$-ésima rebanada de piedra caliza. Suponiendo que
$F_i$, la fuerza que se necesita para subir la $i$-ésima rebanada a una altura $x_i$, se tiene
que $W_i=F_i x_i$. Usando
$F=ma$ y el inciso anterior encuantra una expresión para $W_i$.
Usando la integrabilidad de las funciones continuas calcula
$$
W=\lim_{n\to \infty} W_i
$$
mediante una integral.
Si cada trabajador laboraba 10 horas diarias, 340 días por 20 años, haciendo $9576 J/h$ de trabajo,
levantando piedra caliza, aproximadamente ¿cuántos trabajadores se necesitarón para
construir la pirámide ? Sólo para tener un punto de comparación, para correr 4 kilómetros se gastan
134,400 J.
Ejercicio
La ley gravedad de Newton establece que, dados dos cuerpos con masas $m_1.m_2$, éstos se atraen
entre ellos con una fuerza
$$
F=G\frac{m_1m_2}{r^2}
$$
donde $r$ es la distancia entre los cuerpos y $G$ es la constante de gravitación. Si uno de
los cuerpos está fijo, encuentra el trabajo necesario para mover el otro desde $r=a$ hasta $r=b$.
Calcula el trabajo requerido para lanzar un satélite de 1000kg, de manera vertical,
a una altura de 1000km. Asume que la masa de la tierra es $5.98(10^{24})kg$ y que dicha masa
está concentrada en el centro. Toma el radio de la tierra como $6.37(10^6)m$ y
$G=6.67(10^{-11})Nm^2/kg^2$.
A partir de la ley de la Gravedad de Newton podemos ver a la fuerza como una función que
depende de la distancia \(r\), es decir \( F(r) = G\frac{m_1m_2}{r^2}\).
Entonces el trabajo que se necesita para mover un objeto desde \(r= a\)
hasta \(r = b\), está dado por :
\[ W= \int_a^bF(r) dr = \int_a^bG\frac{m_1m_2}{r^2} dr
= Gm_1m_2\int_a^b\frac{1}{r^2}dr
= Gm_1m_2\left(-\frac{1}{b} + \frac{1}{a}\right) .
\]
Es decir \[ W = Gm_1m_2\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right) . \]
Antes de empezar recordemos que\(1km = 1000m\) por lo que \(1000km = 1,000,000 m\).
Sea \(m_T = \text{masa de la tierra} = 5.98(10^{24})kg\) y sea \( m_S = \text{ masa del satélite }
= 1000kg\). Entonces tomando como punto fijo el centro de la tierra, tenemos que el satélite al principio se encuentra a \(6.37(10^6)m\) con respecto del centro de la Tierra ( que esto es el radio de la tierra), entonces se quiere calcular el trabajo que realiza el satélite partiendo de \(a= 6.37(10^6)m \) hasta \( b= (1,000,000 + a) m= 7.37(10^6) m\). Entonces usando la formula que sacamos del problema anterior tenemos :
\begin{eqnarray*}
W & = & Gm_Tm_S\left(\frac{1}{6.37(10^6)} - \frac{1}{6.37(10^6)}\right) \\
& = & [6.67(10^{-11})][ 5.98(10^{24})][1000] \left(\frac{1}{6.37(10^6)} - \frac{1}{6.37(10^6)}\right) \\
& \approx & 8.50(10^9)
\end{eqnarray*}
Es decir, \(W = 8.50(10^9)\) Joules.
Ejercicio
El tanque que se muestra en la figura está lleno de agua. Calcula el trabajo requerido
para bombear afuera todoa el agua, a través del tubo.
Primero tratemos de encontrar la fuerza que se necesita para subir el agua en función
de la altura que nos encontremos. Tenemos que la altura del tanque es de 3m.
Entonces dividamos al intervalo \([0,3]\) en \(n\)-subintervalos homogeneos
con extremos \(x_0, x_1, . . .,x_n\). A partir de esta partición podemos encontrar los
volumenes de las \(i\)-ésimas secciones que se obtinen de cortar el tanque de manera
perpendicular al eje \(x\), estos volumenes los denotaremos como
\(V_i\). Por lo tanto \[V_i = 10y(x_i^{*})\vartriangle x\]
donde \(y(x)\) es la longitud del rectángulo que se obtiene al cortar al tanque de
manera perpendicular al eje \(x)\). Por triángulos semejantes tenemos que
Entonces \[ \frac{y}{x_i^*} = \frac{\sqrt{7}}{3} \]
Es decir, \(y = \frac{\sqrt{7}}{3}x_i^*\) por lo tanto \(V_i \thickapprox \frac{10\sqrt{7}}{3}x_i^*\vartriangle x\). Por lo tanto su masa es
\begin{eqnarray*}
m_i & = & densidad \times volumen \\
& \thickapprox & 1000\cdot \frac{10\sqrt{7}}{3}x_i^*\vartriangle x = \frac{10,000\sqrt{7}}{3}x_i^*\vartriangle x
\end{eqnarray*}
Suponiendo que la densidad del agua es 1000kg/m. Por lo tanto la fuerza necesaria para subir esta capa debe superar a la fuerza de gravedad, \(g = 9.8m/s^2\), y de este modo
\begin{eqnarray*}
F_i = m_ig \thickapprox \frac{98,000\sqrt{7}}{3}x_i^*\vartriangle x
\end{eqnarray*}
Por lo tanto el trabajo que se realiza al subir esta capa de agua hacia lo más alto es el producto de la fuerza \(F_i\) por la distancia \(x_i^*\), es decir: \[ W_i \thickapprox F_ix_i^* \thickapprox \frac{98,000\sqrt{7}}{3}(x_i^*)^2\vartriangle x \]
Por lo tanto el trabajo requerido para bombear afuera toda el agua es :
\begin{eqnarray*}
W = \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n\frac{98,000\sqrt{7}}{3}(x_i^*)^2\vartriangle x & = & \int_0^3 \frac{98,000\sqrt{7}}{3}x^2dx \\
& = & \frac{98,000\sqrt{7}}{3}\int_0^3x^2 dx \\
& = & \frac{98,000\sqrt{7}}{3}\cdot \frac{3^3}{3} \\
& = & 777,850 \text{Joules}
\end{eqnarray*}
