Areas
Introducción
En ésta sección revisamos varias aplicaciones de la integral para calcular áreas. Primero
se revisa el área en coordenadas polares, después el área entre curvas y se termina con
la aplicación del índice de Gini y la introducción de una distancia entre funciones continuas.
Nota
Cambios de coordenadas
De polares a cartesianas
$r\geq 0$, $\theta \in \mathbb{R}$
\begin{eqnarray*}
x&=&r\cos(\theta)\\
y&=&r\sen(\theta)
\end{eqnarray*}
Nota: el cero puede tener cualquier $\theta$.
De cartesianas a polares
El ángulo se mide con respecto al eje $x$ en sentido contrario
a las manecillas del reloj.
\begin{eqnarray*}
r&=&\sqrt{x^2+y^2}\\
\theta &=& \left\{
\begin{array}{cc}
\arctan(x/y) & y\not=0 \\
0 & y=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
Definición
Definimos $\pi$ como el cociente de la longitd de una circunferencia de un círculo entre su diámetro.
Más en general, éste método ayuda a introducir la medida de ángulos en en radianes.
Considera un círculo de radio $R$ y un ángulo $\measuredangle AOB$ mide $a$ radianes si
$$
a=\frac{L}{R}
$$
donde $L$ es la longitud del arco que subtiende $\measuredangle AOB$ .
Ejercicio
Este ejercicio relaciona radianes con area.
-
Divide el criculo de radio $R$ en $n$ partes iguales. Demuestra que el área de cada parte es
$$
A=\frac{a}{2}R^2
$$
donde $a$ es la medida del ángulo, en radianes, de cada parte.
-
Considera un segmento circular, con ángulo $a$, medido en radianes y supon que $a=\frac{p}{q}2\pi$,
donde $p$ y $q$ son enteros positivos con $p/q < 1$. Demuestra que el área del segmento es
$$
A=\frac{a}{2}R^2
$$
Sugerencia: denota por $A$ a el area del segmento y por $\tilde{A}$ el area de un segmento
circular con angulo $\frac{2pi}{q}$. Nota que $A=p\tilde{A}$ y usa el inciso anterior.
-
Usando la densidad de los racionales y la continuidad de la función area se puede argumentar
que el area de un segmento circular, con ángulo $a$ (en radianes) y radio $R$ es
$$
\frac{a}{2}R^2
$$
Ejercicio
Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función no negativa, con $b-a< 2\pi$ y supongamos
que $f^2$ es integrable. Sea $D$ la región descrita en coordenadas polares por $r(\theta)\leq f(\theta)$.
Entonces el área de $D$ esta dada por
$$
\frac{1}{2}\int_a^b f^2(\theta)d\theta.
$$
Este ejercicio demuestra el siguiente teorema.
-
Fijemos $\varepsilon >0$. Demuestra que existen funciones escalonadas, $\tilde{s}$ y $\tilde{t}$ tal que:
$$
\tilde{s} \leq f^2 \leq \tilde{t}
$$
y
$$
\int_a^b (\tilde{s}-\tilde{t})< \varepsilon
$$
-
Define $s:=\sqrt{\tilde{s}}$ y $t:=\sqrt{\tilde{t}}$. Demuestra que:
$$
\frac{1}{2}\int_a^b s^2(\theta)d\theta
$$
representa al area de una región formada por segmentos circulares, contenida en $D$ y
$$
\frac{1}{2}\int_a^b t^2(\theta)d\theta
$$
representa el área de una región formada por segmentos circulares, que contiene a $D$.
-
Demuestra que:
$$
\frac{1}{2}\int_a^b s^2 \leq \textrm{Area}(D) \leq \frac{1}{2}\int_a^b t^2
$$
y
$$
\frac{1}{2}\int_a^b\tilde{s}\leq \frac{1}{2} \int_a^b f^2 \leq \frac{1}{2}\int_a^b \tilde{t}
$$
-
De los incisos anteriores concluye que:
$$
\left| \int_a^b f^2 - \textrm{Area}(D) \right| <\frac{\varepsilon}{2}
$$
Como $\varepsilon >0$ es arbitraria, acabamos.
Ejercicio
En cada una de las siguientes funciones, haz un bosquejo (con ayudad de una computadora o celular) y calcula el area dada en coordenadas polares.
- La espiral de Arquímides: $r(\theta)=\theta$, $0\leq \theta \leq 2\pi$.
- Dos circulos tangentes en el eje $y$: $r(\theta)=2|\cos(\theta)|$, $0\leq \theta \leq 2\pi$.
- Rosa de cuatro hojas: $r(\theta)=|\sen(2\theta)|$, $0\leq \theta \leq 2\pi$.
- Cardioide: $r(\theta)=1+\cos(\theta)$, $0\leq \theta \leq 2\pi$.
Definición
Para funciones continuas, $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$, con $g\leq f$, el area entre las curvas se define como:
$$
\int_a^b f(x)-g(x)dx
$$
Ejercicio
Encuentra el area de la región acotada entre las curvas $y=x^2$ y $y=\frac{x}{4}$.
Ejercicio
Encuentra el area de la región entre las gráficas de $f(x)=x$ y $g(x)=\frac{x^3}{4}$ en $[0,2]$
Ejercicio
Encuentra $b$, de tal forma que el área de la región acotada entre las curvas $y=x^2$ y $y=4$,
queda partida a la mitad
por la recta $y=b$.
Ejercicio
Encuentra el area máxima debajo de la curva $y=4x-x^3$, desde $x=a$ hasta $x=a+1$,
para toda $0 < a$.
Ejercicio
Encuentra $c$, de tal forma que el área de la región acotada entre las curvas
$y=x^2-c^2$ y $y=c^2-x^2$ es 576.
Ejercicio
A veces, para calcular el area entre curvas, es úitl hace un cambio de perspectiva e integrar con respecto
a $y$, en ves de integrar con respecto a $x$.
- Grafica la recta $y=x-3$ y la parábola $y^2=4x+8$.
- Encuentra los puntos de intersección de $y=x-3$ y $y^2=4x+8$.
- Integra con respecto a $y$ y encuentra el area de la región acotada
entre la recta $y=x-3$ y la parábola $y^2=4x+8$.
Ejercicio
Bosqueja las regiones encerradas por las curvas dadas. Después encuentra el area encerrada por las curvas.
Decide si integrar con respecto a $x$ o $y$.
- $y=x+1, y=16-x^2$ ;
- $y=\sen(x), y=x, x=0, x=\pi/2$;
- $y=(x-a)^2, y=x$, donde $a>0$ es una constante fija;
- $x=2-y^2, x=y^2-2$;
- $x+y^2=12, x=2y$.
Ejercicio
Bosqueja la región del plano delimitada por la desigualdades $x-2y^2 \geq 0$ y $1-x-|y| \geq 0$.
Además encuentra su area.
Nota
El Indice de Gini
El indice de GINI es una medida de la distribución del ingreso total entre los habitantes de un país.
Fue propuesto
por el economista italiano Corrado Gini (en 1912).
Primero, se ranquean los hogares de acuerdo a su ingreso y después se calcula la cantidad de hogares cuyo ingreso es a lo más
un porcentaje del ingreso total del país. Con estos datos se genera la curva de Lorenz, que es una curva definida
en el intervalo $[0,1]$, que es concava hacia arriba y donde un punto $(a/100,b/100)$ esta en la curva si el $a \%$ porciento de los hogares más pobres recibe el $b \%$ del ingreso total. Note que los puntos de la curva de Lorenz estan por abajo de la recta identidad y la curva siempre pasa por $(0,0)$ y $(1,1)$.
De la gráfica se tiene, por ejemplo, que en 1998 y 2004, el 60$\%$ de los hogares más pobres recibieron
poco más del 20$\%$ del ingreso total.
Si por $L(x)$ denotamos la coordenada $y$ de la curva de Lorenz, el índice de GINI se define como
$$
G=2\int_0^1 x-L(x)dx
$$
Nota que, salvo el factor 2, el índice de Gini es una area entre curvas,
concretamente entre la curva de Lorenz y la recta identidad.
El índice de Gini de México:
Ejercicio
- Demuetra que $ 0\leq G \leq 1$.
- ¿ Cómo se ve la curva de Lorenz en una dictadura perfecta? ¿ Cúal es el índice de Gini en este caso?
- ¿ Cómo se ve la cuvra de Lorenz en una sociedad donde el ingreso se distribuye de manera absolutamente homogenea ? ¿ Cuál es el índice de Gini en este caso ?
Definición
Parte de la importancia del índice de Gini es que introduce la idea de medir la distancia entre dos funciones, ya no entre puntos del espacio.
Dadas dos funciones integrables $f,g:[a,b] \to \mathbb{R}$, el número
$$
d_1(f,g)=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx
$$
se puede pensar como una distancia entre las funciones.
Ejercicio
Calcula:
$$
\int_0^{\pi/2}|\cos(x)-\sen(x)|dx
$$
Ejercicio
Demuestra las siguientes propiedades. Se asume que $f,g,h :[a,b] \to \mathbb{R}$ son funciones continuas.
- $d_1(f,g) \leq d_1(f,h)+d_1(h,g)$.
- $d(f,g)=0$ si y sólo si $f(x)=g(x)$ para todo $x\in [a,b]$. Sugerencia: usa el ejercicio \ref{Ejer:IntegralCeroDePositivas}.
Ejercicio
Considera la familia de funciones
$f_\alpha:[0,1] \to \mathbb{R}$ dadas por
$$
f_\alpha(x)=1+\alpha x
$$
donde $\alpha$ es un parámetro en $[0,1]$.
Sea $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=1+x^2$.
Encuentra $\alpha$ tal que
$$d_1(f,f_\alpha)=\int_0^1 |f_\alpha(x) -f(x)|dx $$ sea mínima.
Ejercicio
Las noción de distancia $d_1$, entre funciones, es muy distinta a la distancia ecuclideana.
Por ejemplo, si uno considera la esfera unitaria
(los puntos cuya distancia al cero es igual a uno), ésta tiene la propiedad de que para
cualesquiera dos puntos distintos, el punto medio cae afuera de la esfera unitaria. Este ejercicio
muestra que esto no pasa para la distancia $d_1$.
Define
$$
S=\{ f: [a,b ] \to \mathbb{R}: \textrm{$f$ es conitnua y $d_1(0,f)=1$} \}
$$
Encuentra funciones $f,g \in S$ tal que $\frac{f+g}{2} \in S$.
Sugerencia: considera funciones lineales a trozos.
