Las funciones tipo logaritmo son una familia de funciones que sriven de
herramienta en varias áreas dentro y fuera de las matemáticas.
Como herramienta puden usarse para estudiar números "muy grandes" o "muy
pequeños". Por ejemplo, la definición de la escala Richter usa logaritmos.
Como objeto matemático tiene dos interpretaciones muy importantes.
Por un lado el logaritmo natural es la única solución de la ecuación diferencial con valores iniciales
\begin{eqnarray*}
\frac{dy}{dx}(x)&=&\frac{1}{x}, \quad x>0, \\
y(1)&=&0 .
\end{eqnarray*}
En esta sección daremos, basado en la integral, una definición formal del logaritmo natural y veremos
gracias al Primer Teorema Fundamental del Cálculo que satisface la ecuación diferencial anterior.
Desde un punto de vista más algebráico las funciones logaritmicas son funciones
que pasan productos de números a sumas, es decir satisfacen la siguiente ecuación
\[
f(ab)= f(a)+f(b).
\]
Este es una de las formas en las que
Napier
estudió los logaritmos y los uso
para encontrar métodos de multiplciar números muy grandes.
Dada una base \(b>0\) el logaritmo de \(x\) base \(b\) es el número \(y\) que satisface
\[
b^y=x
\]
y usualmente se denota por \(\log_b(x)\). Por ejemplo
\(\log_{10}(100)=2, \log_{10}(0.1)=-1\).
En esta sección también veremos que la definición formal que dimos ayuda a definir
estas funciones tipo logaritmo.
Definición
Definimos la función logaritmo natural (o logaritmo base $e$) como:
$$
\ln(x):=\int_1^x\frac{dt}{t}, \quad x> 0
$$
Por el Primer Teorema Fundamental, el logaritmo natural es la única solución
al problema de ecuaciones diferenciales con valor inicial
\begin{eqnarray*}\label{Eqn:SistemaEcuDifLog}
\frac{dy}{dx}(x)&=&\frac{1}{x}, \quad x>0, \\
y(1)&=&0 .
\end{eqnarray*}
Ejercicio
Usando la definición, demuestra las siguientes características del logaritmo natural:
$\ln(1)=0$.
$\ln(x)>0$ para $x>1$, $\ln(x) < 0$ para $0< x < 1$.
$\ln'(x)=\frac{1}{x} > 0$, por lo que $\ln$ es estrictamente creciente.
$\ln''(x)=\frac{-1}{x^2} < 0$, por lo que $\ln$ es concava hacia abajo.
Asi que la función debe verse así:
Directamente de la definición de \(\ln(x)\):
\[
\ln(1)=\int_1^1\frac{1}{t}dt=0
\]
Si \(x>1\), \(\ln(x)>0\) pues representa el área bajo la
gráfica de \(y=1/t\), desde \(t=1\) a \(t=x\). Por otro lado
\(\ln(x)< 0\) si \(0< x < 1\) pues
\[
\int_1^x\frac{1}{t}dt= - \int_{x}^1 \frac{1}{t}dt
\]
y \(\int_{x}^1 \frac{1}{t}dt >0 \) pues se ésta integral se puede interpretar
como una área bajo la gráfica de \(y=1/t\).
Usando el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo tenemos
\[
\frac{d}{dx}\left( \int_1^x \frac{1}{t}dt \right)=\frac{1}{x}
\]
por lo tanto \(\ln'(x)=\frac{1}{x} >0\).
Directamente del párrafo anterior tenemos
\[
\ln''(x)=\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x} \right)=-\frac{1}{x^2}.
\]
Ejercicio
Este ejercicio demuestra que la función exponencial y logaritmo son funciones inversas una de la otra.
Demuestra que:
Para todo $x>0$:
$$
e^{\ln(x)}=x.
$$
Sugerencia: diferencia la función $\frac{e^{\ln(x)}}{x}$.
Para todo $x\in \mathbb{R}$:
$$
\ln(e^x)=x
$$
Sugerencia: diferencia la función $\ln(e^x) -x$.
Demostración inciso 1.
Definimos \(f(x)=\frac{e^{\ln(x)}}{x}\), para \(x>0\). Derivando directamente obtenemos
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\frac{x (e^{\ln(x)})'-(e^{\ln(x)})(x)' }{x^2} \\
&=&\frac{x(e^{\ln(x)}\ln'(x))-e^{\ln(x)} }{x^2} \\
&=& \frac{x(e^{\ln(x)}\frac{1}{x})-e^{\ln(x)} }{x^2} \\
&=& 0
\end{eqnarray*}
Por lo tanto \(f\) es constante. Si evaluamos \(f(1)\) obtenemos
\[
f(1)=\frac{e^{\ln(1)}}{1}=\frac{e^0}{1}=1
\]
Por lo tanto \(f\) es la función constante igual a \(1\) lo cual implica que
\(e^{\ln(x)}=x\) para todo \(x>0\).
Demostración inciso 2.
Definimos \(g(x)=\ln(e^x )- x\), para \(x\in \mathbb{R}\). Usando la regla de la cadena
derivamos \(g\) para obtener:
\begin{eqnarray*}
g'(x)=\frac{1}{e^x} \frac{d}{dx}(e^x )- 1= \frac{1}{e^x} e^x= 1-1 =0
\end{eqnarray*}
Por lo tanto \(g\) es constante. Valuando en \(x=0\) llegamos a
\[
g(0)=\ln(e^0)-0=\ln(1)=0
\]
Por lo tanto \(g\) es la función constante \(0\) lo cual implica que
\(\ln(e^x)=x\), para todo \(x\in \mathbb{R}\).
Ejercicio
Este ejercicio provee dos demostraciones de lo que puede ser
la principal propiedad del logaritmo, la cual se llama la ecuación
funcional del logaritmo.
Para cualesquiera $a,b>0$:
\begin{equation}\label{Eqn:EcuFuncionalLog}
\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)
\end{equation}
Demostración 1
Fijemos $b>0$ y definamos
$$
F(x)=\ln(xb), G(x)=\ln(x)+\ln(b), \quad x >0
$$
Diferenciando $F$ y $G$ llegamos a
\begin{eqnarray*}
F'(x)&=&\frac{d}{dx} (\ln(xb))=\frac{1}{xb} \frac{d}{dx}(xb)=\frac{1}{xb}b = \frac{1}{x} \\
G'(x)&=& \ln'(x)= \frac{1}{x}
\end{eqnarray*}
Por lo tanto \(F\) y \(G\) difieren por una constante, pero
\[
F(1)=\ln(1b)=\ln(b), \quad G(1)=\ln(1)+\ln(b)=\ln(b)
\]
lo cual implica que \(F\) y \(G\) son iguales, por lo tanto
\[
\ln(xb)=\ln(x)+\ln(b)
\]
para todo \(x> 0\).
Demostración 2
Usando la
linealidad con respecto a intervalos
obtenemos que
$$
\int_1^{ab}\frac{1}{t}dt=\int_1^a \frac{1}{t}dt+\int_{a}^{ab}\frac{1}{t}dt
$$
Para la segunda integral usamos el cambio de variable \(u=at\), \(du=adt\) para
obtener
$$
\int_a^{ab}\frac{1}{t}dt=\int_1^b \frac{1}{u/a}\frac{1}{a}du=\int_1^b \frac{1}{u}du=\ln(b)
$$
Por lo tanto podemos concluir $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.
Ejercicio
Para $a,b > 0$ y $p/q >0$ racional con $p,q\in \mathbb{N}$, demuestra:
$\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$.
Sugerencia: usa la ecuación funcional del logaritmo, \eqref{Eqn:EcuFuncionalLog}.
$\ln(a^{p/q})=\frac{p}{q} \ln(a)$.
Sugerencia: comienza con $p=n \in \mathbb{N}$ y $q=1$; para el caso general
considera $q\ln(a^{p/q})=\ln(a^p)$.
Demostración inciso 1.
La ecuación \(\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)\) es equivalente a
\(\ln(a/b)+\ln(b)=\ln(a)\). Pero usando la ecuación funcional del logaritmo tenemos
\[
\ln(a/b)+\ln(b)=\ln((a/b)b)=\ln(a)
\]
y terminamos.
Demostración inciso 2.
Caso 1: \(q=1\).
En este caso debemos de probar
\[
\ln(a^p)=p\ln(a)
\]
el cual se prueba mediante inducción sobre \(p\).
El caso \(p=1\) es claro. Suponemos \(\ln(a^{p})=p\ln(a)\). Debemos de probar
\(\ln(a^{p+1})=(p+1)\ln(a)\), pero por la ecuación funcional del logaritmo
y usando la hipótesis de inducción:
\[
\ln(a^{p+1})=\ln(a^p a)= \ln(a^p)+\ln(a)= p\ln(a)+\ln(a)=(p+1)\ln(a).
\]
Caso 2: \(q \in \mathbb{N}\) general.
En este caso la identidad
\(\ln(a^{p/q})=\frac{p}{q}\ln(a)\) es equivalente a
\(q\ln(a^{p/q})=p\ln(a)\). Pero por el caso anterior
\begin{eqnarray*}
q\ln(a^{p/q})&=&\ln((a^{p/q})^q)=\ln(a^p) \\
p\ln(a)&=&\ln(a^p)
\end{eqnarray*}
con lo cual terminamos.
Ejercicio
Vamos a ver con más detalle la ecuación \eqref{Eqn:EcuFuncionalLog}, llamada la
ecuación funcional del logaritmo. Es decir
vamos a estudiar funciones \(f\) que satisfacen la ecuación
\begin{eqnarray}\label{Eqn:EcuFuncionalLogGeneral}
f(ab)=f(a)+f(b)
\end{eqnarray}
para todos \(a,b\) en el dominio de la función \(f\).
Nota: para que \eqref{Eqn:EcuFuncionalLogGeneral} tenga sentido el
dominio de \(f\) debe de satisfacer la siguiente propiedad: si \(a\) y \(b\)
están en el dominio de \(f\) entonces \(ab\) también. Este hecho lo vamos a usar.
Si $f$ es solución de \eqref{Eqn:EcuFuncionalLogGeneral}, entonces
para toda constante \(c\), $cf$ también es solución de \eqref{Eqn:EcuFuncionalLogGeneral}.
Si $f$ es solución de \eqref{Eqn:EcuFuncionalLogGeneral} y \(1\) está en el
dominio de \(f\) entonces $f(1)=0$.
Si $f$ es solución de \eqref{Eqn:EcuFuncionalLogGeneral} y $0$ esta en el dominio
de $f$ entonces $f(x)=0$ para toda $x$.
Si $f$ es una solución de \eqref{Eqn:EcuFuncionalLogGeneral} y
$\mathbb{R}\setminus\{0\}$ es el dominio de $f$, entonces $f$ es par.
Nota: como consecuencia nos podemos restringir a soluciones
de \eqref{Eqn:EcuFuncionalLog} con dominio $(0,\infty)$.
Si $f$ es diferenciable en todo $(0,\infty)$, entonces
$$
f'(x)=\frac{f'(1)}{x}
$$
Sugerencia: considera la ecuación funcional $f(xa)=f(x)+f(a)$ y deriva con respecto de $x$.
Si $f$ es solución \eqref{Eqn:EcuFuncionalLog} y es diferenciable en $(0,\infty)$ entonces
$$
f(x)=f'(1)\ln(x)
$$
Demostración inciso 1.
Si \(f\) satisface
\[
f(ab)= f(a)+f(b)
\]
multiplicando la ecuación anterior por \(c\) llegamos a
\[
cf(ab)=cf(a)+cf(b)
\]
por lo tanto \(cf\) también satisface \eqref{Eqn:EcuFuncionalLog}.
Demostración inciso 2.
Si
\[
f(ab)=f(a)+f(b)
\]
para todo \(a,b>0\) evaluando \(a=b=1\) llegamos
\[
f(1)=f(1)+f(1) \Rightarrow f(1)=0.
\]
Demostración inciso 3.
Si \(0\) está en el domino de \(f\) tomando \(a=0\) en \eqref{Eqn:EcuFuncionalLogGeneral}
\[
f(0)=f(0b)=f(0)+f(b)
\]
por lo tanto \(f(b)=0\) para toda \(b\).
Demostración inciso 4.
Suponemos que el dominio de \(f\) es \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\). Debemos de
probar que \(f(-x)=f(x)\), para todo \(x>0\).
Primero probamos que \(f(-1)=0\). Para esto usando \(f(1)=0\) y \eqref{Eqn:EcuFuncionalLogGeneral}
llegamos a
\[
0=f(1)=f((-1)(-1))=f(-1)+f(-1)
\]
por lo tanto \(f(-1)=0\).
Para \(x>0\) usando \eqref{Eqn:EcuFuncionalLogGeneral} tomando \(x=a, b=-1\) llegamos a
\[
f(-x)=f((-1)(x))=f(-1)+f(x)= f(x)
\]
Demostración inciso 5.
Para \(a>0\) fija y arbitraria definimos \(h(x)=f(ax)\). Derivando obtenemos
\[
g'(x)=f'(ax)a
\]
pero usando que \(f\) es solución de \eqref{Eqn:EcuFuncionalLogGeneral} también
tenemos que \(g(x)=f(a)+f(x)\) por lo que
\[
g'(x)=f'(x)
\]
Igualando las dos expresiones para \(g'\) obtenemos
\(f'(ax)a=f'(x)\). Al ser \(x\) arbitraria tomando \(x=1\) llegamos a
\(f'(a)a=f'(1)\) y despejando \(f'(a)\) llegamos a
\[
f'(a)=\frac{f'(1)}{a}
\]
para cualquier \(a>0\).
Demostración inciso 6.
Definos \(F(x)=f'(1)\ln(x)-f(x)\). Derivando directamente y usando el inciso
anterior llegamos a
\(F'(1)=\frac{f'(1)}{x}-\frac{f'(1)}{x}=0\). Por lo tanto \(F(x)\) es constante
pero como \(F(1)=f'(1)\ln(1)-f(1)=0\) debemos tener que \(F\) es la función cero
por lo que \(f(x)=f'(1)\ln(x)\).
Nota
Tomando en cuenta el Ejercicio 13.7 inciso (c),
el dominio más grande que uno puede considerar para extender la ecuación funcional
del logaritmo es $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ y por el inciso (d) dicha extensión
debe de ser par, por lo tanto es natural definir, para $t\ne 0$
$$
\ln(t)=\int_1^{|t|}\frac{dx}{x}
$$
También se sule denotar $\log(t)$.
Ejercicio
Demustra que $\frac{d \log(t)}{dt}=\frac{1}{t}$, para todo $t\neq 0$.
En términos de integrales indefinidas lo anterior se puede resumir como
$$
\int \frac{dt}{t}=\log(t)+C
$$
Ejercicio
Sea $f:(0,\infty) \to \mathbb{R}$ una función continua, con la propiedad de que
$$
b\int_{1}^{xy}f(t)dt=a y\int_1^xf(t)dt+ b x \int_{1}^y f(t)dt
$$
para todas $x,y>0$, donde $a,b>0$ son constantes. Si $f(1)=2$, calcula $f(x)$ para toda $x$.
Sugerencia: deriva y usa el teorema fundamental.
Definición
Funciones typo exponencial
Fijemos una base $b > 0 $. Pra cualquier número real $t$ se define la potencia $b^t$ como
$$
b^t := e^{t \ln(b) }
$$
Ejercicio
Fija una base $b>0$ y considera la función $f(x)=b^x$, $x>0$. Demuestra que si
$0< b < 1 $ entonces $f$ es estrictamente decreciente,
si $b=1$ entonces $f$ es la función constante uno y si
$b>1$ entonces $f$ es estrictamente creciente.
Ejercicio
Este ejercicio se verifica que
la definición de \(b^t\) satisface las leyes de los exponentes y que cuando
\(t\in \mathbb{Q}\) \(b^t\) se interpreta de manera usual.
En lo incisos que siguen, $b>0$ es fija y arbitraria.
Demuestra que si $t=n \in \mathbb{N}$ entonces $e^{n\ln(b)}=b^n$,
donde $b^n$ se interpreta como $b$ multiplicado con sigo mismo $n$-veces.
Demuestra que si $t=p \in \mathbb{Z}$, entonces $e^{p\ln(b)}=b^p$, donde $b^p$ se interpreta
como en el inciso anterior si $p > 0$ y como $(\frac{1}{b})^{|p|}$ si $p < 0$.
Demuestra que si $t=p/q \in \mathbb{Q}$
($q>0$) entonces $e^{(p/q)\ln(b)}=b^{p/q}$,
donde $b^{p/q}$ se interpreta como raíz $q$-ésima de
$b^p$ y $b^p$ se interpreta como en el inciso anterior.
Usando $e^xe^y=e^{x+y}$ demuestra que $b^xb^y=b^{x+y}$, para cualquier base $b$.
Usando las propiedades del logaritmo y la exponencial,
junto con la definición de $a^t$, prueba que la exponencial y el logaritmo son inversas.
Ejercicio
Este ejercicio define logaritmos con otras bases distintas a $e$.
Define para $b>0$ se define el logaritmo de
\(x>0\), base \(b\), como
$\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}$.
La definición algebráica del logaritmo dice que un número
\(y\) es el logaritmo de \(x\) base \(b\) si \(b^y=x\). Denotamos
\(y=\log_b(x)\). Por ejemplo
$$
\log_{10}(0.1)=-1, \log_{10}(100)=2.
$$
Con la definición de \(\log_b(x)\) Demuestra que $b^{\log_b(x)}=x$. Es decir,
\(\log_b(x)\) es el logaritmo base \(b\) de \(x\), en el sentido algebráico.
Ejercicio
En cada caso, encuentra un $x$ que satisfaga la ecuación.
$\ln(1+x)=\ln(1-x)$
$\ln(1+x)=1+\ln(1-x)$
$2\ln(x)=x\ln(2)$, $x\not=2$.
$\ln(\sqrt{x}+\sqrt{1+x})=1$
Ejercicio
Define $f(x)=\ln(x)/x$, para $x>0$. Describe los intervalos donde $f$ es creciente,
decreciente, concava hacia arriba y concava hacia abajo. Borsqueja la grafica de $f$.
Ejercicio
Define $f(x)=\ln[(1+x)/(1-x)]$, para $x>0$. Si $a,b$ son números dados,
con $ab\not=-1$. Encuentra todas las $x$ tales que $f(x)=f(a)+f(b)$.
Ejercicio
Este ejercicio demuestra el siguiente límite.
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\to \infty}\ln(x)&=&\infty
\end{eqnarray*}
Sea $M>0$, fija y arbitraria. Demuestra que existe $n$ tal que $n\ln(2)>M$.
Usando el inciso anterior y la propiedad de que $L$ es estrictamente creciente,
demuestra que $\ln(x)>M$ para todo $x>2^n$.
Sugerencia: usa el inciso anterior, el cambio de variable $t=\sqrt{s}$
y las propiedades del logaritmo.
Ejercicio
Demuestra:
$$
\lim_{s \to \infty}\frac{\ln(s)}{s^n}=0
$$
para todo $n \in \mathbb{N}$.
Sugerencia: usa el ejercicio anterior.
Ejercicio
Este ejercicio compara la función logaritmo con las funciones potencia cerca del cero.
Demuestra: $\lim_{x\to 0^+} x\ln(x)=0$.
Sugerimos dos posibles demostraciones.
Sugerencia 1: demuestra que en el intervalo $(0, e^{-1})$,
la función $f(x)=x\ln(x)$ es estrictamente decreciente; después prueba
que para valores $x=2^{-n}$, se tiene que $x\ln(x)=\ln(2)\frac{-n}{2^n}$ y concluye
usando el \(\lim_{n\to \infty}\frac{n}{2^n}=0\).
Sugerencia 2: usa el Ejercicio 13.22
y el cambio de variable $x=1/s$.
Demuestra que para todo natural $n \geq 1$,
$$
\lim_{x\to 0^+} x^n\ln(x)=0.
$$
Sugerencia: usa el inciso anterior.
Ejercicio
Demuestra:
$$
\lim_{x\to 0^+}x^x=1.
$$
Sugerencia: recuerda que, por definición, $x^x=e^{x\ln(x)}$, luego usa el
Ejercicio 13.24.
Ejercicio
Si $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ es continua en el cerrado, diferenciable en el abierto con
$f(x)\not=0$, para todo $x$ en $[a,b]$, entonces:
