§ 14

Introducción

Junto con integración por substitución, integración por partes es una de las técnicas más útiles y su origen es la fórmula de la derivada de un producto $$ (fg)'=fg'+f'g $$

Teorema

Integración por partes

Sean $f,g:[a,b] \to \mathbb{R}$ funciones continuas en el cerrado y diferenciables en el abierto, con derivadas continuas. Demuestra la fórmula de integración por partes para integrales indefinidas $$ \int_a^b f(x) g'(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^b f'(x)g(x)dx. $$

Nota

Sean $f,g$ funciones diferenciables con derivadas continuas. Usando el teorema anterior (o la fórmula de la derivada de un producto) la fórmula de integración por partes para integrales indefinidas es $$ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x) g(x)dx. $$

Tomando la notación $u=f, v=g$, $u'=f'dx$ y $v'=g'dx$ la fórmula se convierte $$ \int udv=uv-\int vdu $$ la cual es más fácil de recordar (Una Vaca Vestida de Uniforme).

Ejercicio

Calcula las siguientes integrales.

$\int x\cos(x)dx$.
$\int x\sen(x)dx$.
$\int x^2 \cos(x)dx$.
$\int x^2 \sen(x)dx$.
$\int xe^x dx$.
$\int t^2e^t dt$.
Sugerencia: $u=t^2$, $dv=e^tdt$.

Ejercicio

Calcula $\int_0^1 \tan^{-1}(x)dx$.

Sugerencia: $u=\tan^{-1}(x)$, $dv=dx$.

Ejercicio

Calcula $\int e^{\sqrt{x}}dx$.

Sugerencia: primero toma el cambio de variable $u=\sqrt{x}$ y luego una integración por partes.

Ejercicio

Usa integrción por partes para demostrar $$ \int \sqrt{a-x^2}dx=x\sqrt{a-x^2}+\int \frac{x^2}{\sqrt{a-x^2}}dx +C. $$ donde $a$ es una constante positiva.

Escribe $x^2=x^2-a+a$ en el integrando del lado derecho de la fórmula anterior para demostrar $$ \int \sqrt{a-x^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{a-x^2}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{a-x^2}}dx+C. $$

Ejercicio

Considera el conjunto $V$ de funciones continuas $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, diferenciables $(a,b)$ con derivada continua en $(a,b)$ y tal que $f(a)=f(b)=0$.

Demuestra que si $f,g \in V$ entonces $f+g, fg \in V$.
Para $f,g \in V$ demuestra que la fórmula de integración por partes se reduce a $$ \int_a^b f(x)g'(x)dx=-\int_a^b f'(x)g(x)dx $$
Da un ejemplo de funciones $f$ y $g$, que no perrtenezcan a $V$ donde la fórmula del inciso anterior no se cumpla.

Ejercicio

Calcula las siguientes integrales.

$\int x\log(x)dx$.
Para un natural $n>1$ y un real $a>0$, $\int x^n\log(ax)dx$.
$\int x\log^2(x)dx$.

Sugerencia: Usa una integración por partes y el inciso 1.

Ejercicio

Demuestra la fórmula de recursión

$$ \int x^m \log^n(x)dx=\frac{x^{m+1}\log^n(x)}{m+1}-\frac{n}{m+1}\int x^m \log^{n-1}(x)dx. $$

Teorema

Primer Teorema del valor medio para integrales

Si $G,f:[a,b]\to \mathbb{R}$ son continuas en $[a,b]$ y $f$ nunca cambia de signo en $[a,b]$, entonces exsite $c$ tal que $$ \int_a^b f(x)G(x)dx=G(c)\int_a^b f(x)dx. $$

Sugerencia: considera $$ \min_{x\in [a,b]}\{ G(x)\} f(x) \leq f(x)G(x) \leq \max_{x\in [a,b]}\{ G(x)\} f(x) $$ integra y usa el teorema del valor intermedio para funciones continuas.

Teorema

Segundo teorema del valor medio para integrales

Sean $g,\alpha: [a,b]\to \mathbb{R}$ funciones continuas en $[a,b]$.

Supon que $\alpha$ es diferenciable en $(a,b)$, $\alpha'$ es continua y $\alpha '$ nunca cambia de signo en $[a,b]$. Entonces exsite un $c$ en $(a,b)$ tal que $$ \int_a^b g(x)\alpha(x)dx=\alpha(a)\int_a^c g(x)dx+ \alpha(b)\int_c^b g(x)dx $$

Sugerencia: considera la función $F:[a,b]\to \mathbb{R}$ dada por \[ F(c)=\alpha(a)\int_a^c g(t)dt+ \alpha(b)\int_c^b g(t)dt \]