Ejercicio

Utilizando las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas, calcula las siguientes integrales indefinidas.

1. $\int \sen(x)dx$.
2. $\int \cos(x)dx$.
3. $\int \sec^2(x)dx$.
4. $\int \csc^2(x)dx$.
5. $\int \sec(x)\tan(x)dx$.
6. $\int \cot(x)\csc(x)dx$.

Ejercicio

Utilizando las identidades $1+\tan^2(x)=\sec^2(x)$ y $1+\cot^2(x)=\csc^2(x)$ calcula

1. $\int \tan^2(x)dx$.
2. $\int \cot^2(x)dx$.

Ejercicio

Usando integración por partes probar:

$$ \int \sen^2(x)dx=-\sen(x)\cos(x)+\int \cos^2(x)dx. $$ Finalmente, usar la identidad $\cos^2(x)+\sen^2(x)=1$ para demostrar: $$ \int \sen^2(x)dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sen(2x), $$ $$ \int \cos^2(x)dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sen(2x). $$

Ejercicio

Tomando la substitución $u=\sen(x)$ demuestra

$$\int \cos^3(x)dx = \sen^2(x)-\frac{\sen^3(x)}{3}+C$$

Ejercicio

Este ejercicio generaliza el Ejercicio 15.5.

1. Usando el binomio de Newton, demuestra que $$ \int (1-u^2)^k du =\sum_{j=0}^k (-1)^{j}\binom{k}{j}\frac{u^{2j+1}}{2j+1}+C. $$
2. Demuestra que, para todo natural $k\geq 1$, $$ \int \cos^{2k+1}(x)dx=\sum_{j=0}^k (-1)^j\binom{k}{j}\frac{\sen^{2j+1}(x)}{2j+1}+C. $$ Sugerencia: toma el cambio de variable $u=\sen(x)$ y usa la identidad $\sen^2(x)+\cos^2(x)=1$ junto con el inciso anterior.
3. Demuestra que, para cualquier natural $k \geq 1$ y cualquie real $a$: $$ \int_{a}^{a+2\pi} \cos^{2k+1}(x)dx=0. $$

Ejercicio

Este ejercicio es el análogo al Ejercicio 15.6, pero para la función seno.

1. Usando el binomio de Newtown, demuestra que $$ \int (1-u^2)^k du =\sum_{j=0}^k (-1)^{j}\binom{k}{j}\frac{u^{2j+1}}{2j+1}+C. $$
2. Demuestra que, para toda $k \geq 1$: $$ \int \sen^{2k+1}(x)dx=\sum_{j=0}^k (-1)^{j+1}\binom{k}{j}\frac{\cos^{2j+1}(x)}{2j+1}+C. $$ Sugerencia: toma el cambio de variable $u=\cos(x)$ y usa la identidad $\sen^2(x)+\cos^2(x)=1$ junto con el inciso anterior.
3. Demuestra que, para cualquier natural $k \geq 1$ y cualquie real $a$: $$ \int_{a}^{a+2\pi} \sen^{2k+1}(x)dx=0. $$

Ejercicio

Usando el método del Ejercicio 15.6 y Ejercicio 15.7 demuestra que, para cualesquiera naturales $k,m \geq 1$:

$$ \int \cos^{2k+1}(x)\sen^m(x)dx=\sum_{j=0}^k (-1)^{j} \binom{k}{j}\frac{\sen^{2j+m+1}(x)}{2j+m+1}+C, $$ $$ \int \sen^{2k+1}(x)\cos^m(x)dx=\sum_{j=0}^k (-1)^{j+1} \binom{k}{j}\frac{\cos^{2j+m+1}(x)}{2j+m+1}+C. $$

Ejercicio

Usando integración por partes, demuestra las fórmula de reducción para seno y coseno:

$$ \int \sen^n(x)dx=-\frac{1}{n}\cos(x)\sen^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n}\int \sen^{n-2} (x) dx $$ $$ \int \cos^n(x)dx=\frac{1}{n}\cos^{n-1}(x)\sen(x)+\frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}(x)dx $$

Ejercicio

Este ejercicio demuestra la fórmula de Wallis (1655), que da una forma de calcular $\pi$ mediante un producto infinito. $$ \frac{\pi}{2}=\prod_{i=1}^\infty \frac{(2i)(2i)}{(2i-1)(2i+1)}, $$ es decir, $$ \frac{\pi}{2}= \lim_{n\to \infty} \prod_{i=1}^n \frac{(2i)(2i)}{(2i-1)(2i+1)}. $$

1. Usando el Ejercicio 15.9 demuestra que, para todo natural $n\geq 2$: \begin{equation}\label{Eqn:RecursionIntDefSEN} \int_0^{\pi/2}\sen^n(x)dx=\frac{n-1}{n}\int_0^{\pi/2}\sen^{n-2}(x)dx \end{equation}
2. Demuestra por inducción que, para todo natural $n \geq 1$: $$ \int_0^{\pi/2}\sen^{2n+1}(x)dx=\frac{2}{3}\frac{4}{5}\frac{6}{7}\cdots \frac{2n+1}{2n}=\prod_{i=1}^n\frac{2i}{2i+1}, $$ $$ \int_0^{\pi/2}\sen^{2n}(x)dx=\frac{\pi}{2}\frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\cdots \frac{2n-1}{2n}=\frac{\pi}{2}\prod_{i=1}^n\frac{2i-1}{2i}. $$ Sugerencia: usa \eqref{Eqn:RecursionIntDefSEN}.
3. Usa el inciso anterior para demostrar que: \begin{equation}\label{Eqn:PartialProductWallisFormula} \frac{\pi}{2}=\prod_{i=1}^n\frac{(2i)(2i)}{(2i-1)(2i+1)}\frac{\int_0^{\pi/2}\sen^{2n}(x)dx}{\int_0^{\pi/2}\sen^{2n+1}(x)dx} \end{equation}
4. Demuestra que: \begin{equation}\label{Ejer:CotaInferiorFraccionWallis} 1\leq \frac{\int_0^{\pi/2}\sen^{2n}(x)dx}{\int_0^{\pi/2}\sen^{2n+1}(x)dx}. \end{equation} Sugerencia: nota que, para $x\in (0,\pi/2)$ y naturales $p < q$, $\sen^q(x)<\sen^p(x)$.
5. Demuestra que: \begin{equation}\label{Ejer:CotaSuperiorFraccionWallis} \frac{\int_0^{\pi/2}\sen^{2n}(x)dx}{\int_0^{\pi/2}\sen^{2n+1}(x)dx}\leq 1+\frac{1}{2n} \end{equation} Sugerencia: primero usa \eqref{Eqn:RecursionIntDefSEN} para probar $$ \frac{\int_0^{\pi/2}\sen^{2n}(x)dx}{\int_0^{\pi/2}\sen^{2n+1}(x)dx}= \frac{2n+1}{2n} \frac{\int_0^{\pi/2}\sen^{2n}(x)dx}{\int_0^{\pi/2}\sen^{2n-1}(x)dx} $$ y después prueba que $\frac{\int_0^{\pi/2}\sen^{2n}(x)dx}{\int_0^{\pi/2}\sen^{2n-1}(x)dx} \leq 1$.
6. De \eqref{Ejer:CotaInferiorFraccionWallis} y \eqref{Ejer:CotaSuperiorFraccionWallis} obten que $$ \lim_{n\to \infty} \frac{\int_0^{\pi/2}\sen^{2n}(x)dx}{\int_0^{\pi/2}\sen^{2n+1}(x)dx}=1 $$ y usa \eqref{Eqn:PartialProductWallisFormula} para concluir $$ \frac{\pi}{2}= \lim_{n\to \infty} \prod_{i=1}^n \frac{(2i)(2i)}{(2i-1)(2i+1)}. $$

Ejercicio

Demuestra $$ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{2}{1}\frac{4}{3}\cdots \frac{2n}{2n-1}=\sqrt{\pi}. $$

Sugerencia: si elevas ambos lados al cuadrado el límite es equivalente a $$ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \prod_{i=1}^n \frac{(2i)(2i)}{(2i-1)(2i-1)}=\pi $$ Para demostrar ésta última trata de completar la fórmula de Wallis del lado izquierdo y usa el hecho de que $$ \prod_{i=1}^n \frac{2i+1}{2i-1}=2n+1 $$