En esta sección se define la integral de funciones escalonadas y se desarrollan sus propiedades.
La idea detrás de la definición de la integral es el área de los rectángulos que aproximaban el área bajo la parábola: las sumas de las áreas de los rectángulos. Sólo que la definición se puede aplicar a funciones que no necesariamente representa área. Así por ejemplo las "alturas" pueden ser negativas pero lo importante es que "las cuentas" son las mismas sin importar que pensemos en áreas o no.
Para una función escalonada $s:[a,b]\to \mathbb{R}$, con partición $P=\{x_{i}\}_{i=0}^n$, y supongamos que en el intervalo $(x_{i-1},x_i)$ toma el valor $c_i$. Definimos $$ \int_a^b s=\sum_{i=1}^n \underbrace{c_i}_{\textrm{altura}} \underbrace{(x_i-x_{i-1})}_{\textrm{base}} $$
Notas:
Sea $s:[a,b] \to \mathbb{R}$ una función escalonada.
Inciso 1.
Tomando en cuenta de que \(s\) toma el valor \(k\) en todo \((a,b)\), tenemos que la partición asociada a \(s\) es la más pequeña, \(P=\{a,b\}\), por lo tanto directamente de la Definición 2.2 tenemos \[ \int_a^b s(x)dx=k(b-a). \]
Inciso 2.
Supongamos que \(P\) es la partición asociada a \(s\) y que \(s\) toma el valor \(c_i\) en el intervalo \((x_{i-1},x_i)\). Por la Definición 2.2 tenemos \[ \int_a^b s(x)dx=\sum_{i=1}^n c_i (x_i-x_{i-1}) \] Por otro lado, ya que \(s\) restringida a \((x_{i-1},x_i)\) es constante igual a \(c_i\) por el inciso anterior tenemos \[ \int_{x_{i-1}}^{x_i}s(x)dx=c_i(x_{i-1}-x_i), i=1,\dots, n \] Igualando estas ecuaciones con los sumando de la ecuación anterior concluimos
\[ \int_a^b s(x)dx=\sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i}s(x)dx. \]
Función piso: $$ \lfloor x \rfloor:=n $$ si $n$ es el único entero tal que $n \leq x < n+1$.
Función techo: $$ \lceil x \rceil:=n+1 $$ si $n$ es el único entero tal que $n < x \leq n+1$. Notar que $\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor +1$.
Calcula la integrales:
Empecemos por considerar la función \(f : [-2, 3] \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \(f(x) = \lfloor x/2 \rfloor\). Los primeros pasos para resolver el ejercicio es verificar que la función \(f\) es una función escalonada, y para ello basta exibir una partición \(\textbf{P}\) de \([-2, 3]\), de tal forma que \(f\) sea una función constante en los sub-intervalos abiertos generados por \(\textbf{P}\). Una vez demostrada la existencia de la partición \(\textbf{P}\) ya podemos calcular la integral \(\int_{-2}^3\lfloor x/2 \rfloor dx\) como lo indica la definición 2.2.
Afirmamos que si \( -2 \leq x < 0\), entonces \(f(x) = -1\). En efecto si \( -2 \leq x < 0\) se sigue \( -1 \leq x/2 < 0\) y esto implica por la definición de función piso (Definición 2.2) que \( f(x) = \lfloor x/2 \rfloor = -1\), es decir \(f(x) = -1\).
Ahora veamos que si \( 0 \leq x < 2\), entonces \(f(x) = 0\). Tenemos que si \( 0 \leq x < 2\) implica que \( 0 \leq x/2 < 1\) y por lo tanto \( f(x) = \lfloor x/2 \rfloor = 0\), es decir \(f(x) = 0\).
Por último, tenemos que si \( 2 \leq x < 3\), entonces \( 1 \leq x/2 < 3/2 < 2 \), es decir \( 1 \leq x/2 < 2\) y esto implica que \(f(x) = 1\).
Por lo tanto la partición que buscamos es \(\textbf{P} = \lbrace -2 < 0 < 2 < 3 \rbrace\), es decir es aquella que demuestra que $f$ es una función escalonada. Por lo tanto ya podemos calcular la integral \(\int_{-2}^3\lfloor x/2 \rfloor dx\) la cual es, \begin{equation*} \begin{split} \int_{-2}^3\lfloor x/2 \rfloor dx & = -1(0-(-2)) + 0(2 -0) +1(3-2) \\ & = -2 + 0 + 1 \\ & = -1 \end{split} \end{equation*}
Por lo tanto \(\int_{-2}^3\lfloor x/2 \rfloor dx = -1\).
Afirmamos que \(\lfloor \sqrt{t} \rfloor\) es una función escalonada en \([0,9]\). Entonces consideremos la siguiente partición \(\textbf{P} = \lbrace 0 < 1 < 4 < 9 \rbrace \). Si demostarmos que \(\lfloor \sqrt{t} \rfloor\) es una función constante en los sub-intervalos abiertos generados por \(\textbf{P}\), entonces tendriamos que \(\lfloor \sqrt{t} \rfloor\) es una función escalonada.
Si \(t \in (0, 1)\), es decir \(0 < t < 1\), esto implica que \(0 < \sqrt{t} < 1\) y por lo tanto \(\lfloor \sqrt{t} \rfloor = 0\). Lo cual implica que \(\lfloor \sqrt{t} \rfloor \) es constante en el intervalo \((0, 1)\).
Si \(t \in (1, 4)\), es decir \(1 < t < 4\), esto implica que \(1 < \sqrt{t} < 2\) y por lo tanto \(\lfloor \sqrt{t} \rfloor = 1\). Lo cual implica que \(\lfloor \sqrt{t} \rfloor \) es constante en el intervalo \((1, 4)\).
Si \(t \in (4, 9)\), es decir \(4 < t < 9\), esto implica que \(2 < \sqrt{t} < 3\) y por lo tanto \(\lfloor \sqrt{t} \rfloor = 2\). Lo cual implica que \(\lfloor \sqrt{t} \rfloor \) es constante en el intervalo \((4, 9)\).
Por lo tanto \(\lfloor \sqrt{t} \rfloor \) es una función escalonada en \([0,9]\). Por lo tanto, a partir de \(\textbf{P}\) ya podemos calcular la integral \(\int_{0}^9\lfloor \sqrt{t} \rfloor dt\) la cual es, \begin{equation*} \begin{split} \int_{0}^9\lfloor \sqrt{t} \rfloor dt & = 0(1-0) + 1(4 -1) + 2(9-4) \\ & = 0 + 3 + 10 \\ & = 13 \end{split} \end{equation*} Por lo tanto \(\int_{0}^9\lfloor \sqrt{t} \rfloor dt = 13\).
Demuestra que, para todo $n$ natural: $$\int_0^{n^2} \lfloor \sqrt{t} \rfloor dt=n(n-1)(4n+1)/6.$$
Sea $s:[a,b] \to \mathbb{R}$ una función escalonada y $c\in (a,b)$. Demuestra: $$ \int_a^c s dx + \int_c^b s dx= \int_a^b s dx $$
Sea \(P=\{a=x_0< x_1 < \cdots < x_n =b \}\) la partición asociada a \(s\) y supongamos que \(s\) toma el valor de \(d_i\) en \((x_{i-1},x_i)\), \(i=1,\dots, n\).
Notamos que podemos escribir el intervalo \((a,b])\) como \[ (a,b]=\sum_{i=1}^{n}(x_{i-1},x_i] \] donde los intervalos \((x_{i-1},x_i]\) son ajenos dos a dos. Por lo tanto exsite un único \(i_0\) tal que \(c \in (x_{i_0-1},x_{i_0}]\).
Por la Definición 2.2 aplicada en los intervalos \([a,c]\) y \([c,d]\) tenemos \begin{equation}\label{Eqn:Aux1LinealidadIntervaloes} \int_a^c s(x)dx= d_1(x_1-x_0)+\cdots+ d_{i_0-1}(c- x_{i_0-1}) \end{equation} y \begin{equation}\label{Eqn:Aux2LinealidadIntervaloes} \int_c^b s(x)dx= d_{i_0-1}(x_{i_0}-c)+\cdots+ d_n(x_{n}-x_{n-1}) \end{equation}
Notamos que, si sumamos el último término de \eqref{Eqn:Aux1LinealidadIntervaloes} y primer término de \eqref{Eqn:Aux2LinealidadIntervaloes} tenemos \begin{eqnarray*} d_{i_0-1}(c- x_{i_0-1})+ d_{i_0-1}(x_{i_0}-c) = d_{i_0-1}(x_{i_0}-x_{i_0-1}) \end{eqnarray*}
Por lo tanto, sumando \eqref{Eqn:Aux1LinealidadIntervaloes} y \eqref{Eqn:Aux2LinealidadIntervaloes} concluimos: \begin{eqnarray*} \int_a^c s(x)dx+\int_c^b s(x)dx&=&d_1(x_1-x_0)+\cdots+ d_{i_0-1}(x_{i_0}- x_{i_0-1}) + \cdots+ d_n(x_{n}-x_{n-1}) \\ &=& \int_a^b s(x)dx \end{eqnarray*}
Digamos que $s, \tilde{s}:[a,b] \to \mathbb{R}$ son funciones escalonadas y $s=\tilde{s}$, excepto en un número finito de puntos. Demostrar que $\int_a^bs=\int_a^b\tilde{s}$.
Sugerencia: usar el Ejercicio 2.7 e inducción sobre el número de puntos donde son distintos.
Sea $s:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función escalonada. Si $Q=\{y_j \}_{j=0}^m$ es una partición arbitraria de $[a,b]$, demuestra: $$ \int_a^b s(x)dx =\sum_{j=1}^m \int_{y_{j-1}}^{y_j}s(x)dx. $$
Sugerencia: usa inducción sobre la longitud de la partición y el ejercicio Ejercicio 2.7.
La demostración se hara por inducción sobre los elementos de \(Q\).
Para el caso \(m=3\), consideremos una partición arbitraria con tres elementos \(Q = \lbrace a < y_1 < b \rbrace\), entonces por el Ejercicio 2.7 tenemos \[ \int_a^bs(x) dx = \int_a^{y_1}s(x) dx + \int_{y_1}^bs(x) dx . \]
Dibuja la gráfica de la función $f(x)=\lfloor 2x \rfloor + \lfloor 3x \rfloor$, $0\leq x \leq 2$ y escribe a $f$ de la forma $$ f(x)=\sum_{i=1}^n \alpha_i \chi_{[x_{i-1}, x_i)} $$ donde $\{x_i\}_{i=0}^n$ es una partición de $[0,2]$.
Sea $P$ una partición de $[a,b]$. Decimos que $Q$, una partición de $[a,b]$, refina a $P$ si $P \subseteq Q$, es decir, $Q$ tiene más puntos que $P$.
Dadas $P$ y $Q$, dos particiones del intervalo $[a,b]$, por $P\vee Q$ denotamos la partición que se obtiene de unir los puntos de $P$ y los de $Q$. Tal partición se llama la conjunta de $P$ y $Q$. Note que $P\vee Q$ es una partición que refina tanto a $P$ como a $Q$.
Sean $s,t:[a,b]\to \mathbb{R}$ dos funciones escalonadas. Por $P_s$ y $P_t$ denotamos las particiones asociadas a $s$ y $t$, respectivamente. Denota $Q=P_t\vee P_s=\{ z_k\}_{k=0}^p$. Demuestra que, para todo $k=1,\dots, p$, $s$ es constante en $(z_{k-1}, z_k)$ y t es constante en $(z_{k-1}, z_k)$.
Sean $s,t : [a,b]\to \mathbb{R}$ dos funciones escalondas con $s(x)\leq t(x)$ para todo \(x\in [a,b]\), excepto una cantidad finita de puntos. Demuestra que $$\int_a^b s(x)dx\leq \int_a^b t(x)dx.$$
Sean \(P_s\) y \(P_t\)las particiones asociadas a \(s\) y \(t\) respectivamente. Además sean \(\{z_0< \cdots < z_k\}\) los puntos de \([a,b]\) donde falla la desigualdad \(s(x) \leq t(x)\). Agregando los puntos \(a\) y \(b\) a \(\{z_0< \cdots < z_k\}\) podemos suponer que \(P=\{z_0< \cdots < z_k\}\) es una partición de \([a,b]\).
Tomemos \(Q=P_s\vee P_t \vee P=\{y_0< \cdots < y_m\}\). Por el Ejercicio 2.12 \(s\) es constante cuando se restringe a los intervalos \((y_{j-1}, y_j)\), \(j=1,\dots, m\) e igualmente \(t\). Denotemos por \(s_j\) el valor que toma \(s\) en \((y_{j-1},y_j)\) y \(t_j\) el valor de \(t\) en \((y_{j-i},y_j)\). Por el Ejercicio 2.9 tenemos que \begin{eqnarray*} \int_a^b s(x)dx&=&\sum_{j=1}^m s_j(y_j-y_{j-i})\\ \int_a^b t(x)dx&=&\sum_{j=1}^m t_j(y_j-y_{j-i}) \end{eqnarray*}
Ahora, ya que \(s(x) \leq t(x)\) para \(x\ne z_i\), \(i=0,\dots, k\), tenemos que \(s_j \leq t_j\), para todo \(j=1,\dots, n\). Multiplicando por \((y_j-y_{j-i})\) tenemos \(s_j(y_j-y_{j-1}) \leq t_jy(y_j-y_{j-1})\) y sumando desde \(j=1\) a \(j=n\) concluimos \[ \sum_{j=1}^n s_j(y_j-y_{j-1}) \leq \sum_{j=1}^m s_j(y_j-y_{j-1}). \] Por lo tanto \[ \int_a^b s(x)dx \leq \int_a^b t(x)dx. \]
Sean $s,t:[a,b]\to \mathbb{R}$ dos funciones escalonadas. Desmuestra:
Sugerencia: usa el Ejercicio 2.12.
Sean $s,t:[a,b] \to \mathbb{R}$ dos funciones escalonadas y $\alpha \in \mathbb{R}$ una constante. Prueba: $$ \int_a^b (s+\alpha t )dx = \int_a^b sdx+ \alpha \int_a^b t dx $$
Dicha propiedad se conoce como la linealidad de la integral.
Antes que nada por el Ejercicio 2.14
\(s+\alpha t\) es una función escalonada por lo que podemos tomar su integral.Sean \(P_s\) y \(P_t\) las particiones asociadas a \(s\) y \(t\) respectivamente. Tomemos \(Q=P_s\vee P_t=\{y_0<\cdots < y_m\}\).
Por el Ejercicio 2.9 tenemos \[ \int_a^b (s+\alpha t)dx=\sum_{j=1}^m \int_{y_{j-1}}^{y_j} (s+\alpha t)dx \]
Por el Ejercicio 2.12 tanto \(s\) como \(t\) son constantes en \((y_{j-1},y_j)\), \(j=1,\dots, m\). Sean \(s_j\) y \(t_j\) el valor de \(s\) y \(t\) en \((y_{j-1},y_j)\) respectivamente. Por lo tanto \begin{equation}\label{Eqn:AuxLinealidad} \int_{y_{j-1}}^{y_j} (s+\alpha t)dx=(s_j+\alpha t_j)(y_j-y_{j-1})= s_j(y_j-y_{j-1})+ \alpha( t_j(y_j-y_{j-1})) \end{equation}
Por otro lado, \begin{eqnarray*} \int_{y_{j-1}}^{y_j}sdx=s_j(y_j-y_{j-1}) \\ \int_{y_{j-1}}^{y_j} tdx = t_j (y_j-y_{j-1}) \end{eqnarray*}
Substituyendo las ecuaciones anteriores en \eqref{Eqn:AuxLinealidad} obtenemos \[ \int_{y_{j-1}}^{y_j} (s+\alpha t)dx=\int_{y_{j-1}}^{y_j}sdx+\alpha \int_{y_{j-1}}^{y_j}tdx \] de dónde se sigue que \begin{eqnarray*} \int_{a}^b (s+\alpha t)dx &=&\sum_{j=1}^m \int_{y_{j-1}}^{y_j}(s+\alpha t)dx \\ &=& \sum_{j=1}^m \left( \int_{y_{j-1}}^{y_j} sdx + \alpha \int_{y_{j-1}}^{y_j}tdx \right) \\ &=& \sum_{j=1}^m \int_{y_{j-1}}^{y_j} sdx+ \sum_{j=1}^m \alpha \int_{y_{j-1}}^{y_j}tdx\\ &=& \int_a^b sdx+ \alpha \int_a^b tdx \end{eqnarray*} donde en la última igualdad usamos el Ejercicio 2.9.
Calcula $\int_{-1}^3 \lfloor x \rfloor + \lfloor x+\frac{1}{2} \rfloor dx$.
Sean $s_1,\cdots, s_m:[a,b]\to \mathbb{R}$ funciones escalonadas. Demuestra $$ \int_a^b \sum_{k=1}^m s_k(x)dx=\sum_{k=1}^m \int_a^b s_k(x)dx. $$
Sugerencia: usa la linealidad e inducción sobre el número de sumandos.
Fija $k\in \mathbb{N}$ y considera la función $s_k:[0,1] \to \mathbb{R}$ dada por $s_k(x)=\lfloor kx\rfloor$.
Tenemos que la colección de intervalos \(\lbrace [(j-1)/k, j/k) : j = 1, . . . , k \rbrace\) son ajenos por pares, es decir, si \(i, j \in \lbrace 1, . . ., k\rbrace\) con \(i \neq j\) entonces \( [(j-1)/k, j/k) \cap [(i-1)/k, i/k) = \emptyset\). Además \([0, 1) = \cup_{j=1}^k[(j-1)/k, j/k)\). Sea \( x\in [0, 1) \) arbitrario, entonces existe un \emph{único} \(i_0 \in \lbrace 1, . . . , k \rbrace \) tal que \( x \in [(i_0-1)/k, i_0/k) \), y esto implica \(\chi_{[(j-1)/k, j/k)}(x) = 0 \) si \( j \neq i_0 \) y \( \chi_{[(i_0-1)/k, i_0/k)}(x) = 1\). Por lo tanto \[ \sum_{j=1}^k(j-1)\chi_{[(j-1)/k, j/k)}(x) = (i_0 -1)\chi_{[(i_0-1)/k, i_0/k)}(x) = i_0 -1 \]
Por otro lado, como \( x \in [(i_0-1)/k, i_0/k), \) es decir \( (i_0-1)/k \leq x < i_0/k \) y esto implica que \( i_0 - 1 \leq kx < i_0 \) y como \(i_0 -1\) es el único entero que satisface \( i_0 - 1 \leq kx < i_0 \) entonces \(\lfloor kx \rfloor = i_0 - 1\), es decir \(s_k(x) = i_0 - 1\). Por lo tanto \[ s_k(x) = \sum_{j=1}^k(j-1)\chi_{[(j-1)/k, j/k)}(x) \] Y como \( x \in [0, 1) \) fue arbitrario, se sigue que \(s_k(x) = \sum_{j=1}^k(j-1)\chi_{[(j-1)/k, j/k)} \) para toda \( x \in [0, 1). \)
Es decir \( \int_0^1 r_j(x) dx = \frac{j-1}{k}.\) Por lo tanto \[ \int_0^1s_k(x) dx = \sum_{j=1}^k \frac{j-1}{k} = \frac{1}{k}\sum_{j=1}^k (j-1) = \frac{1}{k}\frac{(k-1)k}{2}= \frac{k-1}{2}\] Por lo tanto \(\int_0^1s_k(x) dx =\frac{k-1}{2}\).
Fija $n\in \mathbb{N}$ y considera la función $s(x)=\lfloor 2x \rfloor$, $0 \leq x \leq n$.
Sean $s,t:[a,b]\to \mathbb{R}$ dos funciones escalonadas.
Sean $s,t:[a,b]\to \mathbb{R}$ dos funciones escalonadas. Demuestra:
Sean \(P\) y \(Q\) las particiones asociadas a \(s \) y \( t\) respectivamente. Y consideremos \( P \vee Q = \lbrace z_k \rbrace_{k=0}^{n}\), entonces por el Ejercicio 2.12 tenemos que \(s \) y \(t\) son constantes en \((z_{k-1}, z_k)\) para todo \(k =1, . . ., n\). Veamos que en efecto \(\max\lbrace s, t\rbrace\) y \(\min\lbrace s, t\rbrace\) son constantes en \((z_{k-1}, z_k)\) para todo \(k =1, . . ., n\).
Sea \(k \in \lbrace1, . . ., n \rbrace\) arbitrario, y sean \(x, y \in (z_{k-1}, z_k)\), entonces tenemos que \(s(x) = s(y)\) y \(t(x) = t(y)\) (ya que \(s \) y \(t\) son constantes en \((z_{k-1}, z_k)\)), podemos suponer sin perdida de generalidad que \(s(x) \leq t(x)\) por lo tanto \(\max\lbrace s, t\rbrace (x) = \max\lbrace s(x), t(x)\rbrace = t(x)\) y por otro lado \(\max\lbrace s, t\rbrace (y) = \max\lbrace s(y), t(y)\rbrace = \max\lbrace s(x), t(x)\rbrace = t(x)\). Por lo tanto \(\max\lbrace s, t\rbrace (x) = \max\lbrace s, t\rbrace (y)\), es decir la función \(\max\lbrace s, t\rbrace\) es constante en \((z_{k-1}, z_k)\). Como \(k\) fue arbitrarío se sigue que la función \(\max\lbrace s, t\rbrace\) es constante en \((z_{k-1}, z_k)\) para todo \(k =1, . . ., n\). De manera análoga se tiene que la función \(\min\lbrace s, t\rbrace\) es constante en \((z_{k-1}, z_k)\) para todo \(k =1, . . ., n\).
Esto demuestra que \(\max\lbrace s, t\rbrace\) y \(\min\lbrace s, t\rbrace\) son funciones escalonadas ya que exhibimos una partición en donde esta es constante en los intervalos que genera.
Sea $s:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función escalonada. Sea $f:[c,d] \to \mathbb{R}$ una función fija y arbitraria.
Como \(s\) es una función escalonada, sea \(\textbf{P} = \lbrace y_j \rbrace_{j=0}^m\) la partición asociada a \(s\). Veamos que en efecto \(\textbf{P}\) nos demuestra que \(f \circ s\), es una función escalonada. Basta ver que \(f \circ s\) es constante en los intervalos \( (y_{j-i}, y_j)\) con \(j =1,. . . ,m\). Sea \(j \in \lbrace 1, . . ., m\rbrace\) arbitrario, tenemos que si \( x, y \in (y_{j-i}, y_j)\) basta demostrar que \((f \circ s)(x) =(f \circ s)(y). \) Como \(s\) es una función escalonada y \(\textbf{P}\) es la partición asociada a \(s\), tenemos que \(s\) es constante en \( (y_{j-i}, y_j)\), es decir \(s(x) = s(y)\). Por lo tanto \[(f \circ s)(x) = f(s(x))= f(s(y)) = (f \circ s)(y) \]
Es decir \((f \circ s)(x) =(f \circ s)(y), \) y esto es válido para toda \( x, y \in (y_{j-i}, y_j)\) esto implica que \(f \circ s\) es constante en \( (y_{j-i}, y_j)\) y como \(j\) fue arbitrario, entonces \(f \circ s\) es constante en los intervalos generados por la parición \(\textbf{P}\). Por lo tanto \(f \circ s\) es una función escalonada.
Para cualquier función \(f \) no necesariamente se tiene que \(s \circ f\), es una función escalonada. Consideremos las funciones \(s := \chi_{[1/2, 1]} :[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) y \(f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) dada por; \begin{equation*} f(x) = \left\{ \begin{array}{cccc} \frac{1}{2} & \text{ si } x\in \mathbb{Q}\cap [0,1] \\ 0 & \text{ en otro caso } \end{array} \right. \end{equation*} Tenemos la imagen de \(f\) se queda contenido en el dominio de \(s\). Más aún, \begin{equation*} (s\circ f)(x) = \left\{ \begin{array}{cccc} 1 & \text{ si } x\in \mathbb{Q}\cap [0,1] \\ 0 & \text{ en otro caso } \end{array} \right. \end{equation*} Y es claro que \((s\circ f)\) no es una función escalonada, ya que para cualquier partición \(\textbf{P}= \lbrace y_j \rbrace_{j=0}^m \) se tiene que \((s\circ f)\) no es constante en el intevalo \((y_0,y_1)\) generado por \(\textbf{P}\) y esto es consecuencia de la densidad de los racionales e irracionales.