En esta sección vamos a terminar algunas propiedades importantes de la integral. Principalmente son dos: la primera es que las funciones integrables son cerradas bajo productos y bajo valor absoluto; la segunada son dos desigualdades importantes, la de Cauchy-Schwartz y la de Jensen.
Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ integrable y sean $m$, $M$ constantes tales que $m\leq f(x) \leq M$, para toda $x\in [a,b]$. Demuestra que, para toda $\varepsilon >0$, existen funciones escalonadas $s.t:[a,b]\to \mathbb{R}$ tales que
Sugerencia: como $f$ es integrable, existen funciones escalonadas $\tilde{s}$ y $\tilde{t}$ con $$ \tilde{s} \leq f \leq \tilde{t} $$ y \begin{equation}\label{Eqn:step1stAprox} \int_a^b \tilde{t}(x)dx-\int_a^b\tilde{s}(x)dx < \varepsilon. \end{equation} Considera $$ s:=\max\{\tilde{s},m\}, t=\min\{\tilde{t},M \} $$
Como \(f\) es integrable, entonces existen funciones escalonadas \(\tilde{s} \) y \(\tilde{t}\) con \(\tilde{s} \leq f \leq \tilde{t}\) y \[ \int_a^b\tilde{t}(x)dx - \int_a^b\tilde{s}(x)dx < \epsilon .\] Definimos \(s, t : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) como \(s := \max\lbrace \tilde{s},m \rbrace\) y \( t:= \min\lbrace \tilde{t}, M\rbrace\). Es claro que \(m \leq s \) y \( t \leq M\), dado que \(m \leq f(x) \leq M\), para toda \(x\in [a,b]\) y \(\tilde{s} \leq f \leq \tilde{t}\) implica que \(s = \max\lbrace \tilde{s},m \rbrace \leq f \leq \min\lbrace \tilde{t}, M\rbrace = t\). Por lo tanto, \(m \leq s \leq f \leq t \leq M\). Y por el \textbf{Ejercicio 2.22.} tenemos que \(s\) y \(t\) son funciones escalonadas, ya que podemos pensar a \(m\) y \(M\) como funciones constantes en \([a,b]\), de manera más precisa definimos \(\tilde{m}, \tilde{M} : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) dadas por \(\tilde{m}(x) = m \) y \(\tilde{M}(x) = M \) para toda \(x \in [a, b]\), es claro que \(s := \max\lbrace \tilde{s},\tilde{m} \rbrace\) y \( t:= \min\lbrace \tilde{t}, \tilde{M}\rbrace\), además \(\tilde{m} \) y \(\tilde{M}\) son funciones escalonadas.
Por otro lado, como \(t \leq \tilde{t}\), entonces por la \textbf{monotonía de la integral} tenemos \(\int_a^bt(x) dx \leq \int_a^b\tilde{t}(x)dx\) y como \(\tilde{s} \leq s\), entonces \(\int_a^b\tilde{s}(x)dx \leq \int_a^bs(x) dx\), es decir \(- \int_a^bs(x) dx \leq -\int_a^b\tilde{s}(x)dx\). Por lo tanto, \[ \int_a^bt(x)dx - \int_a^bs(x)dx \leq \int_a^b\tilde{t}(x)dx - \int_a^b\tilde{s}(x)dx < \epsilon .\] Es decir, \(\int_a^bt(x)dx - \int_a^bs(x)dx < \epsilon\).
Si \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es Riemann integrable en \([a,b]\) entonces \(f^2\) también es Riemann integrable en \([a,b]\).
Caso 1: \(f(x)\geq 0\) para todo \(x\in [a,b]\).
La prueba consiste en probar que \(f^2\) satisface el criterio de Cauchy.
Ya que toda función Riemann integragle es acotada, en esta caso existe una constante $M$ con $0 \leq f(x) \leq M$, para toda $x\in [a,b]$.
Ya que $f$ es integrable y \(f\geq 0\), el Lema 6.3 asegura que existen funciones escalonadas $s$ y $t$ con $$ 0\leq s \leq f \leq t \leq M $$ y \begin{equation}\label{Eqn:step2-1stAprox} \int_a^b t(x)dx-\int_a^b s(x)dx < \varepsilon/2M. \end{equation} Entonces \(s^2\) y \(t^2\) son escalonadas y elevando al cuadrado la cadena de desigualdades \(0\leq s \leq f \leq t \) obtenemos \[ s^2\leq f^2 \leq t^2. \]
El último paso es probar que \[ \int_a^b t(x)^2dx-\int_a^b s(x)^2dx < \varepsilon. \] Para probar la desigualdad anterior, empezamos usando la linealidad de la integral y diferencia de cuadrados para obtener: \begin{eqnarray*} \int_a^b t(x)^2dx-\int_a^b s(x)^2dx &=& \int_a^b (t(x)-s(x))(t(x)+s(x))dx. \end{eqnarray*} Ahora, usando que \(t-s\geq 0\) y que \(t+s\leq 2 f \leq 2M \), podemos acotar la última integral como \[ \int_a^b (t(x)-s(x))(t(x)+s(x))dx \leq 2M \int_a^b (t(x)-s(x))dx \] y concluir \begin{eqnarray*} \int_a^b t(x)^2dx-\int_a^b s(x)^2dx & \leq & 2M \int_a^b (t(x)-s(x))dx \\ & < & 2M \frac{\varepsilon}{2M}=\varepsilon \end{eqnarray*} dónde en la última desigualdad usamos \eqref{Eqn:step2-1stAprox}. Esto termina el criterio de Cauchy para el primer caso.
Caso 2: caso general.
Ya que \(f\) es Riemann integrable sabemos que está acotada. Por lo tanto existen escalares \(m,M\) tal que \(m\leq f \leq M\). Entonces la función \(g=f-m\) es Riemann integrable y \(g\geq 0\). Por el caso 1, \(g^2\) es Riemann integrable, pero \(g^2=f^2-2fm+m^2\) por lo que podemos re-escribir \[ f^2=g^2+2mf-m^2, \] es decir, podemos ecribir \(f^2\) como la suma de tres funciones integrables, por lo tanto \(f^2\) es integrable.
Sean \(f,g:[a,b]\to \mathbb{R}\) dos funciones Riemann integrables. Entonces la función producto, \(fg\), también es Riemann integrable.
En particular, si \(f\) es Riemann integrable en \([a,b]\) entonces, para todo \(n\in \mathbb{N}\), \(f^n\) también es Riemann integrable en \([a,b]\).
Las funciones Riemann integrables son cerradas bajo suma, por lo que \(f+g\) es Riemann integrable. Por el teorema anterior \((f+g)^2\) es Riemann integrable. Pero \((f+g)^2=f^2+2fg+g^2\) por lo que podemos reescribir: \[ fg=\frac{1}{2}((f+g)^2-f^2-g^2 ), \] por lo que \(fg\) se puede escribir como un múltiplo escalar de una suma de tres funciones integrables, por lo tanto \(fg\) también es integrable.
Da un ejemplo de una función $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ tal que $f^2$ es integrable pero $f$ no lo es.
Da un ejemplo de una función integrable $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ tal que $$ \int_a^b f^2(x)dx \ne \left( \int_a^b f(x)dx \right)^2 $$
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función Riemann integrable con \(f(x)\geq 0\) para todo \(x\in [a,b]\). Entonces \(\sqrt{f}\) también es Riemann integrable.
La idea es probar que \(\sqrt{f}\) satisface el criterio de Cauchy.
Sea \(\varepsilon > 0\), fija y arbitraria.
Sea \(M\) una constante tal que \(f(x)\leq M\) para toda \(x\in [a,b]\). Aplicando el Lema 6.2 a \(f\) podemos encontrar dos funciones escalonadas, \(s,t\), tales que \(0\leq s\leq f \leq t \leq M\) y \(\int_a^b t-\int_a^b s < \frac{\varepsilon^2}{4l}\), donde \(l=b-a\).
Tomando refinamientos de las particiones de \(s\) y \(t\) podemos escribir \begin{eqnarray*} s=\sum_{i=1}^n s_i \chi_{(x_{i-1},x_i)},\\ t=\sum_{i=1}^n t_i \chi_{(x_{i-1},x_i)}. \end{eqnarray*}
Entonces sacando raíz podemos escribir a \(\sqrt{s}\) y \(\sqrt{t}\) como \begin{eqnarray*} \sqrt{s}=\sum_{i=1}^n \sqrt{s_i} \chi_{(x_{i-1},x_i)},\\ \sqrt{t}=\sum_{i=1}^n \sqrt{t_i} \chi_{(x_{i-1},x_i)}. \end{eqnarray*} por lo que tanto \(\sqrt{s}\) y \(\sqrt{t}\) son funciones escalonadas.
Además, como \(0\leq s \leq f \leq t \), se sigue que \(\sqrt{s}\leq \sqrt{f} \leq \sqrt{t}\).
Por lo tanto, para terminar el criterio de Cauchy resta probar \[ \int_a^b \sqrt{t(x)}dx-\int_a^b \sqrt{s(x)}dx < \varepsilon. \]
Por la definición de la integral tenemos \begin{eqnarray*} \int_a^b \sqrt{t(x)}dx-\int_a^b \sqrt{s(x)}dx &=& \sum_{i=1}^n (\sqrt{t_i}-\sqrt{s_i})(x_i-x_{i-1}) \end{eqnarray*}
Ahora definimos dos conjuntos \begin{eqnarray*} I&=&\{i\in \{1,\dots, n\}: \sqrt{t_i}-\sqrt{s_i} \leq \frac{\varepsilon}{2l} \},\\ J&=&\{i\in \{1,\dots, n\}: \sqrt{t_i}-\sqrt{s_i} > \frac{\varepsilon}{2l} \} \end{eqnarray*} Entonces podemos re=escribir la suma anterior como \begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n (\sqrt{t_i}-\sqrt{s_i})(x_i-x_{i-1})&=& \sum_{i\in I} (\sqrt{t_i}-\sqrt{s_i})(x_i-x_{i-1}) \\ &+& \sum_{i\in J}(\sqrt{t_i}-\sqrt{s_i})(x_i-x_{i-1}) \end{eqnarray*}
Ahora analizamos cada suma por separado.
Para la primera tenemos \begin{eqnarray*} \sum_{i\in I} (\sqrt{t_i}-\sqrt{s_i})(x_i-x_{i-1}) &\leq & \sum_{i\in I} \frac{\varepsilon}{2l} (x_i-x_{i-1}) \\ &\leq & \sum_{i=1}^n \frac{\varepsilon}{2l} (x_i-x_{i-1})\\ &=&\frac{\varepsilon}{2l}(b-a)\\ &=&\frac{\varepsilon}{2}. \end{eqnarray*}
Para la segunda primero notamos que si \(i\in J\) entonces: \(\frac{\varepsilon}{2l} < \sqrt{t_i}-\sqrt{s_i}\leq \sqrt{t_i}+\sqrt{s_i}\) por lo tanto \(\sqrt{t_i}+\sqrt{s_i}\ne 0\) y podemos escribir : \begin{eqnarray*} \sqrt{t_i}-\sqrt{s_i} &=& \sqrt{t_i}-\sqrt{s_i} \frac{\sqrt{t_i}+\sqrt{s_i}}{\sqrt{t_i}+\sqrt{s_i}} \\ &=& \frac{t_i-s_i}{\sqrt{t_i}+\sqrt{s_i}} \\ &\leq & \frac{2l}{\varepsilon}(t_i-s_i) \end{eqnarray*} dónde en la última desigualdad usamos \(\frac{1}{\sqrt{t_i} +\sqrt{s_i}}< \frac{2l}{\varepsilon}\).
Con la cuenta anterior en mente se sigue que \begin{eqnarray*} \sum_{i\in J}(\sqrt{t_i}-\sqrt{s_i})(x_i-x_{i-1}) & \leq & \sum_{i\in J} \frac{2l}{\varepsilon} (t_i-s_i)(x_i-x_{i-1}) \\ &\leq & \frac{2l}{\varepsilon} \sum_{i=1}^n (t_i-s_i)(x_i-x_{i-1}) \\ &=& \frac{2l}{\varepsilon}\left(\int_a^b t - \int_a^b s \right) \\ &\leq & \frac{2l}{\varepsilon} \frac{\varepsilon^2}{4l} \\ &=& \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}
Juntando éstas dos acotaciones podemos concluir \begin{eqnarray*} \int_a^b \sqrt{t(x)}dx-\int_a^b \sqrt{s(x)}dx &=& \sum_{i\in I} (\sqrt{t_i}-\sqrt{s_i})(x_i-x_{i-1}) \\ &+& \sum_{i\in J} (\sqrt{t_i}-\sqrt{s_i})(x_i-x_{i-1}) \\ &\leq & \frac{\varepsilon}{2}+ \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon. \end{eqnarray*} Por lo tanto \(\sqrt{f}\) satisface el criterio de Cauchy.
Si \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es Riemann integrable entonces \(|f|\) también es Riemann integrable en \([a,b]\)
Como \(f\) es integrable el Teorema 6.3 implica que \(f^2\) también es Riemann integrable. Pero entonces por el Teorema 6.7 \(\sqrt{f^2}\) es Riemann integrable, pero \(|f|=\sqrt{f^2}\). Por lo tanto \(|f|\) es Riemann integrable.
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función Riemann integrable.
Sugerencia para inciso 1: \(-|f(x)|\leq f(x) \leq |f(x)|\), para toda \(x\in [a,b]\).
Da un ejmplo de una función \(f:[0,1]\to \mathbb{R}]\) tal que \(|f|\) sea Riemann integrable en \([0,1]\) pero \(f\) no lo es.
Prueba $$ \left| \int_a^b f(x)g(x)dx \right| \leq \left(\int_a^b f(x)^2dx \right)^{1/2}\left(\int_a^b g(x)^2dx \right)^{1/2} $$ Hint: considera la función $$ p(t)=\int_a^b (f(x)+t g(x))^2dx $$ Desarrolla el cuadrado y usa linealidad para ver que $p$ es una parabola en la variable $t$, que siempre está por arriba del eje $x$. Observa su discriminante.
El ejercicio Ejercicio 6.6 muestra que la relación entre $\int_a^b f^2$ y $(\int_a^bf)^2$ no es sencilla. Este ejercicio da una desigualdad que involucra estas integrales.
Sugerencia: para la primera parte utiliza la desigualdad de Cauchy.
Sea $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ una función integrable en $[0,1]$ con $f\geq 0$ en $[0,1]$. Demuestra: $$ \int_0^1\sqrt{f}\leq \bigg(\int_0^1 f \bigg)^{1/2} $$ Sugerencia: usa la desigualdad de Cauchy-Schwartz para integrales.
La desigualdad de Jensen dice que si \(\varphi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) es convexa y \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es Riemann integrable entonces \[ \varphi\left( \int_a^b f(x)dx \right)\leq \int_a^b (\varphi \circ f )(x)dx. \]
Los siguientes incisos dan los pasos para dar una prueba agregando la condición de que \(\varphi\) y \(f\) son funciones continuas.
Una función $\varphi:[a,b]\to \mathbb{R}$ se llama convexa (o cóncava hacia arriba) si $$ \varphi(tx_1+(1-t)x_2)\leq t \varphi(x_1)+(1-t)\varphi(x_2) $$ para $x_1,x_2 \in [a.b]$ y $t\in [0,1]$.
Este ejercicio muestra que en la teoría de integración en intervalos cerrados y acotados es suficiente estudiar funciones definidas en $[0,1]$. Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ integrable. Entonces $$ \int_a^bf(x)dx=(b-a)\int_0^1 f(a+(b-a)t)dt $$
Si \(\varphi:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) es continua y \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es continua prueba que \[ \varphi\left( \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx\right) \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b (\varphi \circ f)(u)du. \]
Sugerencia: una el ejercicio anterior y un cambio de variable.