Cálculo DOS

§ 7

Más propiedades de la integral

Ejercicio

Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua. Prueba que $$ \left| \int_a^b f(x)dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|dx $$ Hint: $-|f|\leq f \leq |f|$.

Nota: el mismo resultado se vale si sólo se pide que las funcion sea integrable.

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Ejercicio

Si $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ es una función continua, tal que $$ \int_a^b f(x)dx = \max_{x\in [a,b]} \{ f(x)\} (b-a) $$ entonces $f$ es constante.

Como \(f\) es continua en \([a,b]\), entonces \(\min_{x\in [a,b]}\lbrace f(x)\rbrace \) y \( \max_{x\in [a,b]}\lbrace f(x) \rbrace\) existen, más aún existen \(x_0, x_1 \in [a, b]\) tales que \(f(x_0) = \min_{x\in [a,b]}\lbrace f(x)\rbrace \) y \( f(x_1) = \max_{x\in [a,b]}\lbrace f(x) \rbrace\). Basta demostrar que \(f(x_0) = f(x_1)\) para demostrar que \(f\) es constante, ya que si se demuestra que \(f(x_0) = f(x_1)\), entonces \(f(x_0) \leq f(x) \leq f(x_1) = f(x_0) \) para toda \(x \in [a, b]\), es decir \(f(x) = f(x_0)\) para toda \(x \in [a,b]\) y esto demuestra que \(f\) es constante.

Supongamos que \(f(x_0) \neq f(x_1)\), esto implica que \(f(x_0) < f(x_1)\). Supongamos sin pérdida de generalidad que \(x_0 < x_1\), sea \(\epsilon >0\) tal que \(f(x_0) +\epsilon < f(x_1)\) entonces por la continuidad de \(f\) tenemos que existe \(\delta >0 \) tal que si \(x \in [x_0 -\delta, x_0 +\delta] \cap [a, b]\), entonces \(\vert f(x) - f(x_0)\vert < \epsilon\). Sea \(A := [x_0 -\delta, x_0 +\delta] \cap [a, b]\), entonces \(f(x) -f(x_0) < \epsilon\) si \(x\in A\), esto implica que \(f(x) < f(x_0) + \epsilon\) para toda \(x \in A\).

Caso 1.

Si \(x_0 -\delta \leq a\), en este caso tenemos que \(f(x) < f(x_0) + \epsilon\) para toda \(x \in [a, x_0 + \delta ]\). Como \(f\) es continua en \([a,b]\), se tiene que \(f\) es integrable en \([a, b]\) y por el Teorema 3.18 \(f\) es integrable \([a, x_0 + \delta]\), más aún por el Ejercicio 3.7 tenemos que \[ \int_a^{x_0 +\delta} f(x) dx \leq (f(x_0) + \epsilon)(x_0 + \delta -a) . \]

Y por la \textbf{Linealidad con respecto a intervalos } tenemos: \begin{equation} \begin{split} \int_a^bf(x) dx & = \int_a^{x_0 +\delta} f(x) dx + \int_{x_0 +\delta}^bf(x) dx \\ & \leq (f(x_0) + \epsilon)(x_0 + \delta -a) + f(x_1)(b -(x_0 + \delta)) \\ & < f(x_1)(x_0 + \delta -a) + f(x_1)(b -(x_0 + \delta)) \\ & = f(x_1)(b-a) \end{split} \end{equation} Es decir, \(\int_a^bf(x) dx < f(x_1)(b-a)\). Lo cual es una contradicción, ya que \(\int_a^bf(x) dx = f(x_1)(b-a)\).

Caso 2.

Si \(a < x_0 - \delta\), como \(x_1 \notin A\) y \(x_0 < x_1\) se tiene que \(x + \delta < x_1 \leq b\), es decir \(A = [x_0 -\delta, x_0 + \delta] \subseteq (a, b)\). Dado que \(f\) es integrable en \([a,b]\), entonces por la \textbf{Linealidad con respecto a intervalos } y por el \textbf{Ejercicio 3.7} tenemos : \begin{equation} \begin{split} \int_a^bf(x) dx & = \int_a^{x_0 -\delta}f(x) dx + \int_{x_0 -\delta}^{x_0 +\delta}f(x) dx + \int_{x_0 +\delta}^bf(x) dx \\ & \leq f(x_1)(x_0 -\delta -a) + (f(x_0) + \epsilon)(x_0 +\delta -(x_0 -\delta)) \\ & + f(x_1)(b -(x_0 +\delta)) \\ & < f(x_1)(x_0 -\delta -a) + f(x_1)(x_0 +\delta -(x_0 -\delta)) \\ &+ f(x_1)(b -(x_0 +\delta)) \\ & = f(x_1)(b-a) \end{split} \end{equation} Es decir, \(\int_a^bf(x) dx < f(x_1)(b-a)\). Lo cual es una contradicción en ambos casos. Por lo tanto \(f(x_0) = f(x_1)\) y esto demuestra que \(f\) es constante.

Ejercicio

Desigualdad de Jensen

Una función $\varphi:[a,b]\to \mathbb{R}$ se llama convexa (o cóncava hacia arriba) si $$ \varphi(tx_1+(1-t)x_2)\leq t \varphi(x_1)+(1-t)\varphi(x_2) $$ para $x_1,x_2 \in [a.b]$ y $t\in [0,1]$.

  1. Si $x_1,\dots, x_n \in [a,b]$ y $t_i\geq 0$ para $i=1,\dots, n$ satisfacen $\sum_{i=1}^n t_i=1$, entonces $\sum_{i=1}^n t_ix_i$ pertenece a $[a,b]$.
  2. Prueba que si $\varphi:[a,b]\to \mathbb{R}$ es convexa entonces $$ \varphi\left( \sum_{i=1}^n t_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^n t_i \varphi(x_i) $$ para $x_1,\dots, x_n \in [a,b]$ y $t_i\geq 0$ con $\sum_{i=1}^n t_i=1$.
  3. Prueba que si $\varphi:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función convexa y $s:[0,1]\to \mathbb{R}$ es una función escalonada entonces $$ \varphi\left( \int_0^1 s(x)dx \right) \leq \int_0^1 \varphi \circ s(x)dx $$
  4. Prueba que si $\varphi:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función convexa y continua en todo $\mathbb{R}$ y $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ es una función continua entonces $$ \varphi\left( \int_0^1 f (x)dx \right) \leq \int_0^1 \varphi \circ f(x)dx $$ Sugerencia: usa el inciso anterior y el ejercicio Teorema 5.10.

Ejercicio

Para $0< b < 1,$ encuentre la integral de $$ \int_0^b \frac{1-x^{n+1}}{1-x}dx $$ Sugerencia: usar $$ \sum_{j=1}^n x^j=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} $$ la cual es válida para \(|x|< 1\).

Ejercicio

Este ejercicio muestra que en la teoría de integración en intervalos cerrados y acotados es suficiente estudiar funciones definidas en $[0,1]$. Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ integrable. Entonces $$ \int_a^bf(x)dx=(b-a)\int_0^1 f(a+(b-a)t)dt $$

Ejercicio

Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ integrable y supon que existen constantes $m$ y $M$ tales que $m\leq f(x) \leq M$, para toda $x\in [a,b]$. Demuestra que, para toda $\varepsilon >0$, existen funciones escalonadas $s.t:[a,b]\to \mathbb{R}$ tales que

  1. $m \leq s \leq f \leq t \leq M$
  2. $\int_a^b t(x)dx - \int_a^b s(x)dx < \varepsilon$

Sugerencia: como $f$ es integrable, existen funciones escalonadas $\tilde{s}$ y $\tilde{t}$ con $$ \tilde{s} \leq f \leq \tilde{t} $$ y \begin{equation}\label{Eqn:step1stAprox} \int_a^b \tilde{t}(x)dx-\int_a^b\tilde{s}(x)dx < \varepsilon. \end{equation} Considera $$ s:=\max\{\tilde{s},m\}, t=\min\{\tilde{t},M \} $$

Como \(f\) es integrable, entonces existen funciones escalonadas \(\tilde{s} \) y \(\tilde{t}\) con \(\tilde{s} \leq f \leq \tilde{t}\) y \[ \int_a^b\tilde{t}(x)dx - \int_a^b\tilde{s}(x)dx < \epsilon .\] Definimos \(s, t : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) como \(s := \max\lbrace \tilde{s},m \rbrace\) y \( t:= \min\lbrace \tilde{t}, M\rbrace\). Es claro que \(m \leq s \) y \( t \leq M\), dado que \(m \leq f(x) \leq M\), para toda \(x\in [a,b]\) y \(\tilde{s} \leq f \leq \tilde{t}\) implica que \(s = \max\lbrace \tilde{s},m \rbrace \leq f \leq \min\lbrace \tilde{t}, M\rbrace = t\). Por lo tanto, \(m \leq s \leq f \leq t \leq M\). Y por el \textbf{Ejercicio 2.22.} tenemos que \(s\) y \(t\) son funciones escalonadas, ya que podemos pensar a \(m\) y \(M\) como funciones constantes en \([a,b]\), de manera más precisa definimos \(\tilde{m}, \tilde{M} : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) dadas por \(\tilde{m}(x) = m \) y \(\tilde{M}(x) = M \) para toda \(x \in [a, b]\), es claro que \(s := \max\lbrace \tilde{s},\tilde{m} \rbrace\) y \( t:= \min\lbrace \tilde{t}, \tilde{M}\rbrace\), además \(\tilde{m} \) y \(\tilde{M}\) son funciones escalonadas.

Por otro lado, como \(t \leq \tilde{t}\), entonces por la \textbf{monotonía de la integral} tenemos \(\int_a^bt(x) dx \leq \int_a^b\tilde{t}(x)dx\) y como \(\tilde{s} \leq s\), entonces \(\int_a^b\tilde{s}(x)dx \leq \int_a^bs(x) dx\), es decir \(- \int_a^bs(x) dx \leq -\int_a^b\tilde{s}(x)dx\). Por lo tanto, \[ \int_a^bt(x)dx - \int_a^bs(x)dx \leq \int_a^b\tilde{t}(x)dx - \int_a^b\tilde{s}(x)dx < \epsilon .\] Es decir, \(\int_a^bt(x)dx - \int_a^bs(x)dx < \epsilon\).

Ejercicio

Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ una función integrable tal que existe una constante $M$ con $0 \leq f(x) \leq M$, para toda $x\in [a,b]$. Demuestra que, para toda $\varepsilon >0$, existen funciones escalonadas $s,t:[a,b] \to \mathbb{R}$ tales que

  1. $ s \leq f^2 \leq t $
  2. $\int_a^b t(x)dx- \int_a^b s(x)dx < \varepsilon$.
  3. Concluye que $f^2$ es integrable.

Sugerencia: como $f$ es integrable, el ejercicio Ejercicio 7.6 asegura que existen funciones escalonadas $\tilde{s}$ y $\tilde{t}$ con $$ 0\leq \tilde{s} \leq f \leq \tilde{t} \leq M $$ y \begin{equation}\label{Eqn:step2-1stAprox} \int_a^b \tilde{t}(x)dx-\int_a^b\tilde{s}(x)dx < \varepsilon/M. \end{equation} Considera $$ s:=\tilde{s}^2, t=\tilde{t}^2 $$

Ejercicio

Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) integrable en \([a,b]\). Prueba que \(f^2\) también es integrable en \([a,b]\).

Sugerencia: toma $m$ tal que $m \leq f(x)$ para toda $x\in [a,b]$. Nota que $g:=f-m$ siempre es mayor o igual a cero y aplica el ejercicio Ejercicio 7.7 a $g-m$.

Ejercicio

Da un ejemplo de una función $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ tal que $f^2$ es integrable pero $f$ no lo es.

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Ejercicio

Da un ejemplo de una función integrable $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ tal que $$ \int_a^b f^2(x)dx \ne \left( \int_a^b f(x)dx \right)^2 $$

Consideremos la función \(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \(f(x) = x\), ya se demostró que \(f\) y \(f^2\), donde \(f^2(x) = x^2 \) en \([0,1] \), son funciones integrables y \( \int_0^1 f(x) dx = \frac{1}{2} \) esto implica que \[\left(\int_0^1f(x)dx \right)^2 = \frac{1}{4} . \]

Por otra parte, \(\int_0^1f^2(x)dx = \int_0^1x^2dx = \frac{1}{3}. \) Por lo tanto, \[ \int_0^1f^2(x)dx \neq \left(\int_0^1f(x)dx\right)^2 .\]

Ejercicio

El ejercicio Ejercicio 7.10 muestra que la relación entre $\int_a^b f^2$ y $(\int_a^bf)^2$ no es sencilla. Este ejercicio da una desigualdad que involucra estas integrales.

  1. Demuestra que para toda función continua $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, $$ \left( \int_a^b f(x)dx \right)^2 \leq (b-a)\int_a^b f^2(x)dx. $$
  2. Da un ejemplo donde se muestre que la desigualdad anterior puede ser estricta.

Sugerencia: para la primera parte, primero demuestra el caso $a=0, b=1$ usando la desigualdad de Jensen ; para el caso general usa el cambio de variable y el ejercicio Ejercicio 7.5.

Ejercicio

Sean $f,g:[a,b] \to \mathbb{R}$ dos funciones integrables. Demuestra que la función producto $fg$ es integrable.

Sugerencia: despeja $fg$ en $(f+g)^2=f^2+2fg+g^2$.

Ejercicio

La desigualdad de Cauchy-Schwartz para integrales

Prueba $$ \left| \int_a^b f(x)g(x)dx \right| \leq \left(\int_a^b f(x)^2dx \right)^{1/2}\left(\int_a^b g(x)^2dx \right)^{1/2} $$ Hint: considera la función $$ p(t)=\int_a^b (f(x)+t g(x))^2dx $$ Desarrolla el cuadrado y usa linealidad para ver que $p$ es una parabola en la variable $t$, que siempre está por arriba del eje $x$. Observa su discriminante.

Ejercicio

  1. Prueba que toda suma $\sum_{i=1}^n a_i$, se puede escribir como la integral de una función escalonada.
  2. Usa el inciso anterior y el ejercico 1 para probar la desigualdad de Cauchy-Schwartz $$ \left| \sum_{i=1}^n a_ib_i \right| \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2 \right)^{1/2}\left(\sum_{i=1}^n b_i^2 \right)^{1/2} $$ para cualesquiera números reales, $a_{1},\dots, a_n, b_1,\dots, b_n$.

Ejercicio

Sea $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ una función integrable en $[0,1]$ con $f\geq 0$ en $[0,1]$. Demuestra: $$ \int_0^1\sqrt{f}\leq \bigg(\int_0^1 f \bigg)^{1/2} $$ Sugerencia: usa la desigualdad de Cauchy-Schwartz para integrales.

Nota: en general , si $f$ es integrable con $f\geq 0$ entonces $\sqrt{f}$ también es integrable. Este hecho se puede usar en este ejercicio.