Preliminares

Introducción

Operaciones básicas con conjuntos, los axiomas de campo y orden de los números reales, símbolo de sumatoria. Esta sección es un repaso de estos conceptos, no se ven a fondo si no más bien es un recordatorio para tener un manejo fluido de los mismos.

Nota

Conjuntos

La noción de conjunto no la vamos a definir, simplemente vamos a pensar a los conjuntos como determinados por sus elementos.

Dado un conjunto $X$, para denotar que un elemento $x$ pertece a $X$ escribimos $x\in X$.

En estos términos el conjunto más sencillo es el vacío que se define como el conjunto que no tiene elementos, el cual se denota $\emptyset$.

Usualemente para denotar un conjunto usamos las llaves $\{ \cdot \}$, y entre las llaves se describen o anotan los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto que tiene como elemento al conjunto vacío se denota $\{ \emptyset\}$, el conjunto que tiene como elementos $\{\emptyset\}$ y $\emptyset$ se denota $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$. En general, si tenemos elementos $a_1,\dots, a_n$ el conjuntos cuyos elementos son precisamente estos se denota $\{a_1,\dots, a_n\}$.

A veces no es posible dar explícitamente todos los elementos de un conjunto si no que se describen mediante una propiedad. Por ejemplos, si $X$ es un conjunto dado y $P$ es una propiedad o proposición (por ejemplo "es verde", "es un número par", etc.) podemos crear un nuevo conjunto seleccionando sólo los elementos de $X$ que cumplen $P$, esto se denota como: \[ A=\{x\in X: \textrm{$x$ satisface $P$} \} \] pero hay que hacer una advertencia sobre ésta manera de definir un conjunto. En nuestro caso por lo regular $X=\mathbb{R}$ y la propiedad $P$ está dada en términos de operaciones de los números reales y en este caso este tipo de descripciones sí dan un conjunto. Para casos más generales se pueden tener problemas, por ejemplo ver la paradoja de Russell más adelante.

Definición

Dados dos conjuntos $A$, $B$, decimos que:

$A$ es subconjunto de $B$ si todo elemento de $A$ también es elemento de $B$, es decir para toda $a\in A$ se cumple que $a\in B$. Esto se denota por $A\subseteq B$.
Decimos que dos conjuntos son iguales si $A\subseteq B$ y $B\subseteq A$.

Por ejemplo, el conjunto vacío está contenido en cualquier conjunto. Para ver esto, sea $X$ un conjunto cualquiera y supongamos que no es cierto que $\emptyset$ esté contenido en $X$. Si negamos la definición de la contención $\emptyset \subseteq X$, obtenemos que debe de existir almenos un elemento de $\emptyset$ que no pertenezca a $X$, pero esto es una contradicción pues $\emptyset$ se define como el conjunto que no tiene elementos. Por lo tanto $\emptyset \subseteq X$.

Otro conjunto que se puede obtener a partir de un conjunto dado es el conjunto potencia. Si $X$ es un conjunto el conjunto potencia, denotado $\mathcal{P}(X)$, es el conjunto formado por todos los subconjuntos de $X$. Es decir, $A\in \mathcal{P}(X)$ si y sólo si $A \subseteq X$.

Por ejemplo si $X=\emptyset$ entonces $\mathcal{P}(X)=\{ \emptyset\}$.

Razón: tenemos que ver las dos contenciones $\{\emptyset \} \subseteq \mathcal{P}(\emptyset)$ y $\mathcal{P}(\emptyset)\subseteq \{\emptyset\}$.

Para $\{\emptyset \} \subseteq \mathcal{P}(\emptyset)$ debemos de probar que $\emptyset \in \mathcal{P}(X)$, es decir, $\emptyset \subseteq \emptyset$. Pero ésto último es cierto pues el conjunto vacío siempre es subconjunto de cualquier conjunto.

Para $\mathcal{P}(\emptyset)\subseteq \{\emptyset\}$ debemos de probar que todo $A\in \mathcal{P}(\emptyset)$ pertenece a $\{\emptyset\}$, es decir $A=\emptyset$. Pero, si $A\in \mathcal{P}(\emptyset)$ entonces $A\subseteq \emptyset$ lo cual implica $A=\emptyset$.

Nota

La paradoja de Russell

La idea de definir conjuntos de la forma \[ A=\{x\in X: \textrm{$x$ satisface $P$}\} \] es muy útil pero puede llegar a contradicciones si no se tiene cuidado en el contexto en el que se trabaja. El ejemplo más famoso de esto es la paradoja de Russell.

Imagina que tienes el conjunto $X$, formado por todos los conjuntos. Ahora a Russell se le ocurrió proponer el siguiente conjunto \[ A=\{x\in X: x\notin x\} \] Parece un conjunto totalmente legítimo. La propiedad que lo define está clara, por ejemplo $\emptyset \in A$ pues $\emptyset \notin \emptyset$.

Ahora, al ser $A$ un conjunto, $A\in X$ y por lo tanto nos podemos preguntar si $A$ pertenece o no a $A$. Recuerda que la relación de pertenencia es abosoluta, dado un conjunto y un elemento dicho elemento pertence o no pertenece al conjunto.

Ahora, si $A \in A$ entonces $A$ debe de satisfacer la propiedad que define a $A$, de lo cual se sigue que $A\notin A$. Pero entonces acabamos de ver, $A\in A$ implica $A\notin A$, una contradicción.

Bueno, a lo mejor $A\notin A$. Pero en este caso $A$ no debe de satisfacer la condición que define a $A$ por lo que $A\notin A$ NO debe de ser cierta por lo que $A\in A$. Pero entonces acabamos de probar $A\notin A$ implica $A\in A$.

Esta es la paradoja de Russell. ¿De donde viene la paradoja? Russell se dio cuenta de que la médula del problema es $X$, el conjunto de todos los conjuntos. Resulta que el conjunto de todos los conjuntos NO es un conjunto, el "conjunto" de todos los conjuntos es un objeto que se sale de la teoría de conjuntos.

Afortunadamente en nuestro caso casi todos los conjuntos que veamos son subconjuntos de $\mathbb{R}$ y la teoría de conjuntos sí prueba que los números reales es un conjunto y por lo tanto, en nuestro caso, conjuntos de la forma \[ A=\{x\in \mathbb{R}: \textrm{$x$ satisface $P$}\} \] !sí son conjuntos!

Para ver más sobre la paradoja de Russell puedes ver este video.

Ejercicio

Tomar $A=\{1\}, B=\{1,2\}$. Discute la validez de las siguientes relaciones.

$A \subset B$.
$A\subseteq B$.
$A\in B$.
$1 \subseteq A$.
$1 \subset B$.

Ejercicio

Resuelve el ejercicio anterior tomando $A=\{1\}, B=\{ \{1\}, 1\}$.

Definición

Dados dos conjuntos $A_1$, $A_2$, definimos:

la unión, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a $A_1$ o a $A_2$. Este se denota $A_1\cup A_2$. Esta definición se puede ampliar a cualquier cantidad de conjuntos, ya sea finito, $\cup_{i=1}^n A_i$, o infinito, $\cup_{i\in I} A_i$, donde $I$ es un conjunto infinito arbitrario de índices.
la intersección, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a $A_1$ y a $A_2$. Este se denota $A_1\cap A_2$. Esta definición se puede ampliar a cualquier cantidad de conjuntos: $\cap_{i\in I}^n A_i$.
la diferencia, como el conjunto formado por los elemntos que están en uno pero no en otro. Así, $A_1\setminus A_2$ denota al conjunto formado por los elementos que están en $A_1$ pero que no están en $A_2$.

Ejercicio

Demuestra:

$(A\cup B) \cup C= A\cup (B\cup C)$.
$(A\cap B) \cap C= A\cap (B\cap C)$.
$A\subseteq A\cup B$, $A\cap B \subseteq A$.
$A\cup \emptyset= A$, $A\cap \emptyset=\emptyset$.
Si $A \subseteq B$ y $B \subseteq C$ entonces $A\subseteq C$.
(Leyes de De Morgan) Sea $\mathcal{F}$ una familia de conjuntos. Demuestra \[ B - \cup_{A\in \mathcal{F}} A= \cap_{A\in \mathcal{F}} (B - A), \quad B - \cap_{A \in \mathcal{F}}A=\cup_{A \in \mathcal{F}} (B - A) \] donde $A$ y $B$ son conjuntos cualesquiera.

Nota

Números reales

Por $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$ denotamos a los números naturales, por $\mathbb{Z}$ a lo enteros, por $\mathbb{Q}$ a los racionales y por $\mathbb{R}$ a los números reales. Notamos que tenemos las contenciones \[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]

Nota: a veces también se define $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$, es decir, no se cuenta a $0$ como natural. Ambas convenciones funcionan, sólo dependen de la persona a la que le preguntas.

Uno de los aspectos más importantes de $\mathbb{N}$ es el principio de inducción. En resumen el principio de inducción dice que:

Si $A\subseteq \mathbb{N}$ satisface las siguientes dos propiedades

$0\in A$,
$n\in A$ implica $n+1\in A$,

entonces $A=\{0,1,\dots\}=\mathbb{N}$.

Lo que distingue a $\mathbb{Z}$ de $\mathbb{N}$ es que admite inversos aditivos, es decir, podemos restar números si salirnos de $\mathbb{Z}$. Lo que distingue a $\mathbb{Q}$ de $\mathbb{Z}$ es que éste último admite inversos multiplicativos, puesto en otra palabras podemos dividir en $\mathbb{Q}$ y el resultado sigue estando en $\mathbb{Q}$. La propiedad que distingue a $\mathbb{R}$ de todos los demás la veremos en la siguiente sección.

En lo que sigue nos enfocamos en las operaciones algebráicas de $\mathbb{R}$.

Axiomas de campo

Las operaciones de suma y producto en $\mathbb{R}$ satisfacen los siguientes axiomas, que se conocen como axiomas de campo.

Conmutatividad: para todos $x,y$, $x+y=y+x$, $xy=yx$.
Asociatividad:para todos $x,y,z$, $x+(y+z)=(x+y)+z$, $x(yz)=(xy)z$.
Distributividad: para todos $x,y,z$, $x(y+z)=xy+xz$.
Existencia de neutros: para todo $x$, $x+0=x$, $1x=x$.
Existencia de inversos aditivos: para todo $x$ existe $y$ con $x+y=0$.
Existencia de inversos multiplicativos: para todo $x\ne 0$ existe $y$ con $xy=1$.

Ejercicio

Usando los axiomas de campo, demuestra:

que el inverso aditivo es único. Es decir, fija $x\in\mathbb{R}$ y prueba que si $x+y=0$ y $x+y'=0$ entonces $y=y'$.
al inverso aditivo de $1$ se le denota $-1$. Demuestra que $(-1)x$ es un inverso aditivo de $x$. Por notación definimos $-x:=(-1)x$.

Sea $ x \in \mathbb{R}$. Supongamos que para $y,y' \in \mathbb{R}$ se satisface que $ x+ y=0 $ y $x+ y'=0 $. Veamos que $ y= y' $.
Partimos de la igualdad $x +y = 0 $, sumando $ y' $ a cada lado de la igualdad y de la propiedad del elemento neutro se sigue que: $$y' + (x+y) = y' + 0 = y' $$

Luego de los axiomas: asociatividad y conmutatividad, la hipótesis $ x+ y'=0$ y la propiedad del elemento neutro, se obtiene $$y' = (y' + x ) + y = 0 + y = y$$

Por lo tanto, $y=y'$ como se quería probar.
Consideremos primero el siguiente resultado.
Afirmación: Para cualquier $ x \in \mathbb{R} $, se satisface $0\cdot x = 0$.

En efecto, notemos que de la propiedad del elemento neutro para la suma, la conmutatividad para el producto y la distributividad se tiene que $$ 0 \cdot x = (0 + 0) x = 0\cdot x + 0 \cdot x. $$ Luego, si $ z $ el inverso aditivo de $0 \cdot x $, entonces $$ 0 = 0\cdot x + z = (0\cdot x + 0 \cdot x) + z = 0\cdot x + ( 0 \cdot x + z) = 0\cdot x + 0 = 0\cdot x $$ Por lo tanto, en efecto $ 0 \cdot x = 0.$
De la afirmación previa y los axiomas de campo se tiene la siguiente cadena de igualdades $$0 = 0 \cdot x = (1+ (-1))x= 1\cdot x + (-1)x = x + (-1)x $$ los axiomas que garantizan las igualdades anteriores son la propiedad del elemento neutro, inverso aditivo, distributividad y la propiedad del neutro multiplicativo.
De todo lo anterior se sigue que $ (-1)x $ es un neutro aditivo de $ x $. Sin embargo por la parte 1, se sabe que este es único, por lo tanto $ (-1)x$ es el único elemento en $ \mathbb{R} $ tal que $x+ (-x)=0$.

En conclusión, del inciso (1) tenemos que para todo $ x \in \mathbb{R}$, el inverso aditivo de $ x$ denotado por $-x$ existe y además es el único elemento en $ \mathbb{R} $ tal que $$x + (-x) = -x + x=0 $$ Luego del inciso (2) sabemos que $(-1)x$ satisface la propiedad que define al inverso aditivo de $x$, por lo tanto $ -x:= (-1)x $

Ejercicio

Usando los axiomas de campo, demuestra que el inverso multiplicativo es único. Es decir, fija $x\in \mathbb{R}$, con $x\ne 0$ y prueba que si $xy=1$ y $xy'=1$ entonces $y=y'$. Al inverso multiplicativo de $x$ se le denota $x^{-1}$ o $\frac{1}{x}$.

Ejercicio

Usando los axiomas de campo demuestra las siguientes identidades:

Diferencia de cuadrados: \[ b^2-a^2=(b-a)(b+a). \]
Diferencia de cubos: \[ b^3-a^3=(b-a)(a^2+ab+b^2). \]

Ejercicio

Usando los axiomas de campo encuentras las soluciones a las siguientes ecuaciones (si existen).

$2x+5=1$
$6x-2=7x+4$
$\frac{5x+2}{6x-2}=3$
$\frac{1-x}{x-4}=4$
$\frac{1-x}{1+x}=a$

Ejercicio

Encuentra condiciones sobre $a$ para que la ecuación $\frac{2x+1}{2x-1}=a$ tenga solución.

Ejercicio

Usando los axiomas de campo, demuestra:

$a0=0$.
si $ab=0$ entonces $a=0$ o $b=0$.
$-0=0$.
para $a\neq 0, b\neq 0$, $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$.
$1^{-1}=1$.
$-(-a)=a$.
para $a\not=0$, $(a^{-1})^{-1}=a$.
$(-a)b=-(ab)$ y $(-a)(-b)=ab$.
para $c\not=0$, $a/b=(ac)/(bc)$.

Video

Definición

Si $a_1,a_2, \dots, a_n$ es una lista de números reales el símbolo \[ \sum_{k=1}^n a_k \] denota la suma de todos los elementos de la lista. También se puede denotar \[ a_1+\cdots +a_n. \] Propiedades:

$\sum_{k=1}^1 a_k=a_1$
$\sum_{k=1}^{n+1}a_k=\left( \sum_{k=1}^n a_k \right) + a_{n+1}$

Ejercicio

Usando inducción sobre el número de sumandos prueba las siguientes propiedades.

$\sum_{k=1}^n (a_k+b_k)=\sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k$.
$\sum_{k=1}^n ca_k= c \sum_{k=1}^n a_k$.
Suma telescópica: $\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1})=a_n-a_0$.

Ejercicio

Para $x\ne 1$, demuestra la siguiente identidad: \[ \sum_{k=0}^n x^k =\frac{1-x^{k+1}}{1-x} \] Nota: se define $x^0=1$.

Sugerencia: considera $(1-x)(\sum_{k=1}^n x^k)$.

Ejercicio

Demuestras las siguientes fórmulas

$\sum_{k=1}^n 2k-1=n^2$
Sugerencia: considera una suma telescópica con $a_k=k^2$.
$\sum_{k=1}^n k = \frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}$.
Sugerencia: usa la fórmula anterior y las propiedades de la sumatoria.
$\sum_{k=1}^n 3k^2-3k+1 = n^3$
Sugerencia: considera una seria telescópica.
Con la ayuda de los incisos anteriores encuentra una fórmula para $\sum_{k=1}^n k^2$.

Consideremos la suma telescópica $ \displaystyle \sum_{k=1}^n [k^2 - (k-1)^2] $. Sabemos que $$ \displaystyle \sum_{k=1}^n [k^2 - (k-1)^2] = n^2.$$ Por otro lado, notemos que para cada término de la suma se tiene que $ k^2 - (k-1)^2 = 2k -1$, por lo tanto $\displaystyle\sum_{k=1}^n [2k -1]= n^2$.
Del inciso (1), se tiene que $2\displaystyle\sum_{k=1}^n k - n= n^2$, o bien $2\displaystyle\sum_{k=1}^n k = n^2 + n$. Por lo tanto, despejando $\displaystyle\sum_{k=1}^n k $ se deduce que $ \displaystyle\sum_{k=1}^n k = \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}$

Ejercicio

Este ejercicio generaliza la diferencia de cuadrados y diferencia de cubos.

Demuestra que para cualesquiera $a,b \in \mathbb{R}$ y para $n \geq 2$: \[ a^n-b^n=(a-b)\left( \sum_{k=0}^{n-1} a^kb^{n-1-k} \right) \]

Video

El orden en $\mathbb{R}$

La idea de que $\mathbb{R}$ se puede representar con una recta genera, de manera intuitiva, un orden en $\mathbb{R}$. Denotamos $x < y $ si $x$ es menor a $y$, es decir, si $x$ está a la izquierda de $y$. Denotamos $x\leq y$ si $x=y$ o $x< y $.

Los intervalo son subconjunto de $\mathbb{R}$ determinado por el orden. Hay diferentes tipos. En las siguientes definiciones suponemos $a,b \in \mathbb{R}$ con $a< b$.

Abiertos: \[(a,b)=\{ x\in \mathbb{R}: a< x < b \} . \]
Cerrados: \[[a,b]=\{ x\in \mathbb{R}: a\leq x \leq b\}.\]
Combinaciones de abiertos y cerrados: \[ [a,b)=\{ x\in \mathbb{R} : a\leq x < b\}, \quad (a,b]=\{ x\in \mathbb{R}: a< x \leq b\}. \]

Ejercicio

Sean $a,b,c,d\in \mathbb{R}$, con $a< b$, $c< d$. Usando la noción intuitiva de orden, demuestra:

si $b< c$ o si $d< a$ entonces $[a,b]\cap [c,d]=\emptyset$.
si $b \geq c$ y si $d \geq a$ entonces $[a,b]\cap [c,d]=[ \max\{a,c\}, \min\{b ,d\} ]$

Axiomas de orden

La relación de orden se puede axiomatizar de la siguiente manera.

Se póstula la existencia de $\mathbb{R}^+$, el conjunto de números positivos. El conjunto $\mathbb{R}^+$ satisface los siguientes axiomas de orden.

si $x,y \in \mathbb{R}^+$ entonces $x+y, xy \in \mathbb{R}^+$;
para todo $x\in \mathbb{R}$, $x\ne 0$, $x\in \mathbb{R}^+$ o $-x\in \mathbb{R}^+$, pero no ambos;
$0 \notin \mathbb{R}^+$.

Definimos $x>0$ sii $x\in \mathbb{R}^+$ y definimos $x>y$ sii $x-y \in \mathbb{R}^+$.

Video

Ejercicio

Usando los axiomas de orden y campo demuestra:

para todo $a\neq 0$, $a^2>0$.
$1>0$.
$ab >0$ entonces $a$ y $b$ son ambos positivos o ambos negativos.
si $a< c$ y $b< d$ entonces $a+b < c+d$.
no existe un n\'umero real $x$ tal que $x^2+1=0$.
si $a>0$ entonces $1/a>0$; si $a< 0$ entonces $1/a< 0$.
si $0< a< b$ entonces $0< b^{-1}< a^{-1}$.
si $0< a< b$ entonces $0< a^2< b^2$.
si $x$ tiene la propiedad de que $0\leq x < h$ para todo $h>0$ entonces $x=0.$

Video

Ejercicio

Sea $x,y$ reales cualesquiera con $x < y$. Demuestra que existe almenos un número real $z$ tal que $x< z < y$.

Ejercicio

Usando los axiomas, demuestra que si $a> 0$ y $c \leq b$ entonces $c < b+a$.

Consideremos los siguientes casos:

Caso 1: Supongamos que $ c=b$

Sabemos por hipotesis que $ a > 0 $, lo que significa que $ a \in \mathbb{R^{+}} $. Luego de los axiomas de campo se sigue que $$a= a + 0 = a + (c + (-c)) = (a +c) -c$$ De esta manera, se tiene que $ (a + c) -c \in \mathbb{R}^{+} $. Por lo tanto, $ c < a+b$ ya que $ b=c $.
Caso 2: Supongamos que $ c\not= b$

En este caso se tiene que $ c < b $ o equivalentemente $ b-c \in \mathbb{R}^{+} $. Dado que por hipótesis $ a \in \mathbb{R}^{+} $, de los axiomas de orden para el conjunto de los números reales positivos y los axiomas de campo se sigue que $$ (b-c) + a = (b+a) -c \in \mathbb{R}^{+}$$ Por lo tanto $ c < b+a $.

Ejercicio

Demuestra que $n< 2^n $ para todo $n \in \mathbb{N}$, $n\geq 1$.

Usemos inducción matemática sobre $n \in \mathbb{N}$.

Caso base. Es claro que para $ n=1$, se satisface $ 2^1 > 1 $.

Hipótesis inductiva. Supongamos que la propiedad se cumple para $ n=k >1$, i.e. se verifica $$ 2^{k} > k $$

Paso inductivo. Veamos que la propiedad se cumple para $ n=k+1$

En efecto, de la hipótesis inductiva y el caso base se tiene $$2^{k+1}=2^{k} \cdot 2 > 2k = k+k > k+1$$

Ejercicio

Fija $a>0$. Usando los axiomas demuestra que para todo $n\in \mathbb{N}$, $n\geq 1$, $a<(1+a)^n$.

Sugerencia: puedes usar inducción o el binomio de Newton.

Cálculo UNO

Preliminares

Introducción

Nota

Conjuntos

Definición

Nota

La paradoja de Russell

Ejercicio

Ejercicio

Definición

Ejercicio

Nota

Números reales

Axiomas de campo

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Definición

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

El orden en \(\mathbb{R}\)

Ejercicio

Axiomas de orden

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio