La función exponencial

Introducción

La función exponencial es tal vez una de las funciones más importantes en las matemáticas pues tiene montones de aplicaciones: interés compuesto, crecimiento de poblaciones (personas, bacterias, virus etc.), sistemas de ecuaciones diferenciales, gometría diferencial, teoría de números, análisis funcional. Para una lista de algunos temas donde aparece funciones de tipo exponencial (por que hay varias) puede visitarse esta lista en wikipedia.

Para introducir a la función exponencial vamos a considerar el siguiente ejemplo de interés compuesto.

Ejemplo

Interés compuesto

Por \(P_0\) denotamos cierta cantidad de dinero (llamado principal) el cual se invertirá anualmete con una tasa de interés del \(100 r\) porciento, con \(0< r < 1\). Por ejemplo, si el interés es el 5% entonces \(r=0.05\). Al final del año el principal arroja una ganancia de \((0.05)P_0\) y el total de la inversión tendrá un valor de \[ P_0+(0.05)P_0=P_0(1+0.05). \] Para un interés arbitrario \(r\), al final del año el total de la inversión es \[ P_0+rP_0=P_0(1+r) \]

Ahora veamos qué pasa cuando se reinvierte el principal inicial junto con la ganancia a los seis meses. El valor total de la inversión inicial a los seis meses es \begin{equation}\label{Eqn:InteresCompAux1} P_1:=P_0\left(1+\frac{r}{2}\right). \end{equation} Nota: debe ser \(\frac{r}{2}\) pues originalmente \(r\) representa el interés anual y sólo se invierte por seis meses.

Ahora vamos a usar a \(P_1\) como principal y reinvertirlo por los seis meses restantes. Al final del año el valor total de la inversión es \begin{equation}\label{Eqn:InteresCompAux2} P_2:=P_1\left(1+\frac{r}{2}\right)=P_0 \left( 1+ \frac{r}{2}\right)^2 \end{equation}

Comparando \eqref{Eqn:InteresCompAux1} y \eqref{Eqn:InteresCompAux2} vamos que el principal sólo se ve afectado por los factores \((1+r)\) y \((1+r/2)^2\) y tenemos que \[ 1+r < \left(1+\frac{r}{2} \right)^2=1+r+\frac{r^2}{4} \] lo cual tiene sentido pues al reinvertir a los seis meses se espera una ganancia mayor.

Siguiendo con un análisis similar, si el valor total de la inversión se reinvierte cada 4 meses (es decir, 3 veces al año) tenemos que la inversión original va creciendo como \begin{eqnarray*} P_0 & \rightarrow P_1=P_0\left(1+\frac{r}{3} \right)\\ & \rightarrow P_2:=P_1\left( 1+\frac{r}{3}\right) \\ & \rightarrow P_3:=P_2\left(1+\frac{r}{3} \right) \end{eqnarray*} Por lo tanto, al final del año la inversión total vale \[ P_3=P_2\left(1+\frac{r}{3} \right) =P_1\left(1+\frac{r}{3} \right)^2=P_0\left(1+\frac{r}{3} \right)^3. \]

Más en general, si el valor total de la inversión (principal más ganancia) se reinvierte \(n\)-veces al año el valor total al final de año es \[ P_n=P_0\left(1+\frac{r}{n}\right)^n. \]

En teoría, si el valor total de la inversión se reinvirtiera cada instante del año, el capital al final del año tendería a \[ \lim_{n\to \infty} P_0\left(1+\frac{r}{n}\right)^n. \]

Lo sorprendente es que el límite \[ \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{r}{n}\right)^n \] siempre existe para todo \(r\in \mathbb{R}\) y es más, existe un número, denotado \(e\) (llamado la constante de Euler) para el cual \[ \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{r}{n}\right)^n=e^r. \] Nota: a pesar que \(e\) se llama el número de Euler, este ejemplo del interés compuesto se debe a Jacob Bernoulli.

En los ejercicios que siguen se exploran las propiedades de las expresiones \[ \left( 1+\frac{r}{n} \right)^n. \] Advertencia: esta sección es bastante técnica pero al ser la función exponencial tal importante creemos que es importante presentar todos los detalles.

Ejercicio

Sea \(x\in \mathbb{R}\), fija y arbitraria.

Para \(n,m\in \mathbb{R}\) con \(-x< m < n\) se satisface: \[ \left(1+\frac{x}{m}\right)^m \leq \left(1+\frac{x}{n}\right)^n. \] donde la igualdad se da si y sólo si \(x=0\).
Para \(n,m\in \mathbb{R}\) con \(x< m < n\) se satisface: \[ \left(1-\frac{x}{n}\right)^{-n} \leq \left(1-\frac{x}{m}\right)^{-m}. \] donde la igualdad se da si y sólo si \(x=0\).

Sugerencia: usar la desigualdad aritmética geométrica. Para la primera tomar \[ a_1=\cdots=a_m= 1+\frac{x}{m}, \quad a_{m+1}=\cdots =a_n=1 \] Para la segunda tomar \[ a_1=\cdots=a_m=1-\frac{x}{m}, \quad a_{m+1}=\cdots=a_n=1 \]

Ejercicio

Sea \(x\in \mathbb{R}\) fijo y arbitrario con \(x\ne 0\). Para \(k\in \mathbb{N}\) con \(k > |x|\): \[ \left( 1+\frac{x}{k} \right)^k < \left( 1-\frac{x}{k} \right)^{-k}. \]

Ejercicio

Sea \(x\in \mathbb{R}\) fijo y arbitrario. Entonces los siguientes límites existen \[ \lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{x}{n} \right)^n, \quad \lim_{n \to \infty } \left( 1- \frac{x}{n} \right)^{-n}. \] Sugerencia: Considera las sucesiones \[ a_n= \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n, \quad b_n=\left( 1- \frac{x}{n} \right)^{-n}. \] Usa Ejercicio 11.3 para demostrar que \((a_n)_{n=1}^\infty\) es monótona creciente y \((b_n)_{n=1}^\infty\) es monótona decreciente. Después prueba que \((a_n)_{n=1}^\infty\) está acotada superiormente y que \((b_m)_{m=1}^\infty\) está acotada inferiormente. Finalmente concluye usando el Ejercicio 10.9.

Ejercicio

Demuestra que \[ \lim_{n\to \infty} \left( 1+ \frac{x}{n}\right)^{n} \quad =\lim_{n\to \infty}\left( 1- \frac{x}{n}\right)^{-n} \] Sugerencia: con \(n>|x|\), toma \(b=(1-x/n)^{-1}, a=(1+x/n)\); usa el Ejercicio 1.18 para estimar \(b^n-a^n\) y obtener \[ 0\leq b^n-a^n \leq \frac{x^2}{n-x}\left( 1 -\frac{x}{n} \right)b^n. \] Finalmente toma límite \(n\to \infty\).

Definición

Definimos la función exponencial, denotada \(exp(x)\) o simplemente \(e^x\) como la función \(exp:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) dada por \[ e^x:=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{x}{n} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( 1- \frac{x}{n} \right)^{-n} \] Nota: por el Ejercicio 11.6 ambos límites que aparecen en esta definición son iguales.

Ejercicio

Sean \(x,y\in \mathbb{R}\) fijos y arbitrarios y toma \(n\in \mathbb{N}\) tal que \(n>-x,-y,-(x+y)\).

Demuestra que \begin{eqnarray*} & \left| \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n\left(1+\frac{y}{n} \right)^n- \left( 1+\frac{x+y}{n}\right)^n \right| \leq \\ & \frac{|xy|}{n^2} \sum_{k=0}^{n-1} \left(\left( 1+\frac{|x|}{n}\right) \left( 1+\frac{|y|}{n}\right) \right)^k \left( 1+\frac{|x|+|y|}{n}\right)^{n-k-1} \end{eqnarray*}
Demuestra que \[ 1+\frac{|x|+|y|}{n} \leq \left( 1+\frac{|x|}{n} \right) \left(1+\frac{|y|}{n} \right) \]
Usando los dos ejercicios anteriores demuestra que \[ \left| \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n\left(1+\frac{y}{n} \right)^n - \left( 1+\frac{x+y}{n}\right)^n \right| \leq \frac{|xy|}{n}e^{|x|}e^{|y|} \]
Toma límites en el inciso anterior para concluir \[ e^{x}e^y=e^{x+y} \]

Video

Ejercicio

Prueba las siguientes propiedades de la función exponencial.

\(e^0=1\).
Para todo \(x\in \mathbb{R}\), \(e^x >0\).
Si \(x < 0\) entonces \(e^x < 1 \). Si \( x > 0\) entonces \(e^x >1 \).
Para todo \(x\in \mathbb{R}\), \(e^{-x}=\frac{1}{x}\).
Para todos \(x,y\in \mathbb{R}\), \(\frac{e^x}{e^y}=e^{x-y}\).
Si \(x < y\) entonces \(e^x < e^y\). Es decir, la función exponencial es estrictamente creciente. Sugerencia: usare el inciso anterior y el inciso 3.
Para todo \(x\in \mathbb{R}\) y todo \(r \in \mathbb{Q}\), \((e^x)^q=e^{xq}\).

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Ejercicio

Toma \(h\in(-1,1)\) fija y arbitraria.

Demuestra que para todo \(n\in \mathbb{N}\) \[ 1+h \leq \left( 1+\frac{h}{n} \right)^n \leq (1-h)^{-1} \]
Usando el inciso anterior prueba \[ h \leq e^h-1\leq \frac{h}{1-h} \]
Finalmente, demuestra que \[ \lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1 \]

Video

Ejercicio

Demuestra que la función exponencial es diferenciable en todo punto de \(\mathbb{R}\) con \[ \frac{d e^x}{dx}=e^x \]

Ejercicio

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) una función continua en \([a,b]\) y diferenciable en \((a,b)\) que satisface \[ f'(x)=f(x), \quad \forall x\in (a,b). \] Demuestra que existe una constante \(c\) tal que \(f(x)=ce^x\), para todo \(x\in (a,b)\).

Sugerencia: deriva la función \(\frac{f(x)}{e^x}\).

Este ejercicio se puede pensar en términos de ecuaciones diferenciales. El ejercicio dice que, excepto por constantes, la única función \(f\) que satisface \(f'=f\) (una ecuación diferencial) es la exponencial.