§ 11

Introducción

Las sucesiones son una herramienta importante cuando tratamos de aproximar una cantidad mediante un precedimiento que involucra pasos bien ordenados.

Por ejemplo, los Babilonios tenían un procedimiento o receta para calcular la raíz cuadrada. Digamos que queremos calcular la raíz de un número $A > 0$ . El primer paso es tratar de adivinar dando una aproximación inicial. Por ejemplo, para $A = 20$ una primera aproximación a la raíz es $8$ (pues $8^{2} = 16$ ). Fijemos dicha primera aproximación a la raíz de $A$ y denotémosla por $a_{0}$ . El siguiente paso es aplicar la fórmula $a_{1} = \frac{1}{2} (a_{0} + \frac{A}{a_{0}})$ En el ejemplo, si $a_{0} = 8$ entonces $a_{1} = \frac{1}{2} (8 + \frac{20}{8}) = \frac{21}{4}$ , que también es una aproximación de $\sqrt{20}$ .

Continuando con la receta, si tenemos dado el paso $a_{n}$ el siguiente paso es $a_{n + 1} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{A}{a_{n}}) .$ Lo que los Babilonios sabían es que si se repetían estos pasos una cantidad grande de veces el número resultante es una mejor aproximación al valor $\sqrt{A}$ que con la que empezaron inicialmente (el $a_{0}$ ).

Con este procedimiento obtenemos una lista o sucesión de números, $a_{1}, a_{2}, \dots,$ y la idea es que si tomamos números más adelante en la lista obtenemos una mejor aproximación a $\sqrt{A}$ , es decir, los números $a_{n}$ tienden a $\sqrt{A}$ cuando $n$ va creciendo. Esto se denota como $lim_{n \to \infty} a_{n} = \sqrt{A}$

Lo importante es que muchas veces, al tratar de encontrar soluciones a ecuaciones, se obtienen recetas o algoritmos que vienen dados por pasos los cuales generan sucesiones de números que tienden a la solución que se busca. Por éste tipo de ejemplos (y muchos otros) las sucesiones son importantes. En este sección se estudian algunas propiedades básicas sobre sucesiones y sus límites.

Definición

Una sucesión de números reales es simplemente una función de $N$ a $R$ , es decir $f : N \to R$ .

Por costumbre, las sucesiones se denotan como $(a_{n})_{n = 1}^{\infty}$ o $(a_{n})_{n \geq 1}$ , donde $a_{n} = f (n)$ , para todo $n \in N$ .

Ejemplos.

$(n)_{n = 1}^{\infty}$ , está dada por la función $f (n) = n$ .
$(\frac{1}{n})_{n = 1}^{\infty}$ , está dada por la función $f (n) = \frac{1}{n}$ .
$(\frac{π}{\sqrt{n}})_{n = 1}^{\infty}$ , está dada por la función $f (n) = \frac{π}{\sqrt{n}}$ .

Otra forma de pensar a las sucesiones es pensarlas como un vector infinito $(a_{1}, a_{2}, \dots)$ . Esta forma de pensar a las sucesiones tiene la ventaja que nos dice como se suman y se multiplican las sucesiones por un escalar (entrada por entrada): $\begin{array}{rcl} (a_{n})_{n = 1}^{\infty} + (b_{n})_{n = 1}^{\infty} & = & (a_{n} + b_{n})_{n = 1}^{\infty} \\ α (a_{n})_{n = 1}^{\infty} & = & (α a_{n})_{n = 1}^{\infty} \end{array}$

Uno de los aspectos más importantes de las sucesiones es "lo que pasa al final". Ya que los naturales nunca se terminan no exsite formalmente "lo que pasa al final", pero tomando la idea del algoritmo que se presentó al principio, la idea es ver el comportamiento de los elementos de la sucesión cuando tomamos el indice cada vez más grande. Esto se formaliza con la definición de límite de una sucesión.

Ejercicio

Sean $(a_{n})_{n = 1}^{\infty}$ , $(b_{n})_{n = 1}^{\infty}$ , dos sucesiones convergentes.

Demuestra

$lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) = lim_{n \to \infty} a_{n} + lim_{n \to \infty} b_{n}$ .
dada $α \in R$ , fija y arbitraria, $lim_{n \to \infty} α a_{n} = α lim_{n \to \infty} a_{n}$ .
Supón que para toda $n$ , $a_{n} \leq b_{n}$ . Prueba que $lim_{n \to \infty} a_{n} \leq lim_{n \to \infty} b_{n}$ .

Da un ejemplo donde $a_{n} < b_{n}$ para toda $n$ y sin embargo $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n}$ .

Teorema

Teorema del Sandwich para sucesiones

Sean $(a_{n})_{n = 1}^{\infty}$ , $(b_{n})_{n = 1}^{\infty}$ y $(c_{n})_{n = 1}^{\infty}$ tres sucesiones que satisfacen:

$a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ , para toda $n$ .
los limites $lim_{n \to \infty} a_{n}$ y $lim_{n \to \infty} c_{n}$ existen y son iguales. Denotamos $L = lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} c_{n}$ .

Demuestra que $lim_{n \to \infty} b_{n} = L$ .

Sugerencia: usa el Ejercicio 3.7 para obtener $| b_{n} - L | \leq | a_{n} - L | + | c_{n} - L |$ y luego usa las propiedades del Ejercicio 10.4 junto con el Ejercicio anterior .

Definición

Una subsucesión de una sucesión dada es componer la sucesión original con una función estrictamente creciete. Más específicamente, si $f : N \to R$ es una sucesión una subsucesión de $f$ es una función de la forma $f \circ g$ donde $g : N \to N$ es estrictamente creciente.

La idea de las subsucesiones es que sólo vamos a seleccionar ciertos elementos de la sucesión original pero queremos hacer dicha selección tomando en consideración que lo importante de las sucesiones es "lo que pasa al final". Por eso se debe de pedir que la función que selecciona (la $g$ en la definición ) sea estrictamente creciente (para que no se quede "atorada").

Con la notación $(a_{n})_{n = 1}^{\infty}$ , $a_{n} = f (n)$ , una subcusesión se denota como $(a_{n_{k}})_{k = 1}^{\infty}$ donde $a_{n_{k}} = f (g (k))$ .

Dada una sucesión $(a_{n})_{n = 1}^{\infty}$ los siguientes son ejemplos de subsucesiones:

$(a_{2 k})_{k = 1}^{\infty}$ , pues está dada mediante la función $g (k) = 2 k$ , la cual es estrictamente creciente.
$(a_{k + 1})_{k = 1}^{\infty}$ , pues está dada mediante la función $g (k) = k + 1$ , la cual es estrictamente creciente.
$(a_{k^{2}})_{k = 1}^{\infty}$ , pues está dada por la función $g (k) = k^{2}$ , la cual es estrictamente creciente.

Casos que no dan subsucesiones son:

$(a_{1}, a_{1}, a_{1}, \dots)$ , es decir, repetir el mismo elemento; no es subsucesión pues se obtiene con la función $g (k) = 1$ , la cual no es estrictamente creciente,
$(a_{2}, a_{1}, a_{4}, a_{3}, . . .)$ , es decir, intercambiar los roles de los pares a impares; no es subsucesión pues la función que origina ésta lista satisface $g (1) = 2$ , $g (2) = 1$ , por lo que $g$ no es estríctamente creciente.

Teorema

De los intervalos cerrados anidados de Cantor

Sea $([a_{n}, b_{n}])_{n = 1}^{\infty}$ una sucesión de intervalos en $R$ que satisface:

Para toda $n$ , $[a_{n + 1}, b_{n + 1}] \subseteq [a_{n}, b_{n}]$ (están anidados).
Las longitudes de los intervalos tienden a cero, es decir $lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0.$

Entonces existe un número real $x_{0}$ tal que $\cap_{n = 1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}] = {x_{0}}$

Teorema

Bolzano-Weirestrass

Sea $(x_{n})_{n = 1}^{\infty}$ una sucesión contenida en $[a, b]$ .

Demuestra que existe $x_{0} \in [a, b]$ y $(x_{n_{k}})_{k = 1}^{\infty}$ una subsucesión de $(x_{n})_{n = 1}^{\infty}$ tal que $lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} = x_{0}$ .

La idea de la prueba es dividir en mitades el intervalo $[a, b]$ de manera consecutiva para ir "cazando" el límite ( $x_{0}$ en la notación del teorema).

Por notación dado un intervalo cerrado $J$ calquiera, denotamos $J_{i}$ su mitad izquierda y $J_{d}$ su mitad derecha. De manera precisa si $J = [c, d]$ entonces $J_{i} = [a, (a + b) / 2], J_{d} = [(a + b) / 2, b]$ Nota que $longitud (J_{i}) = \frac{1}{2} longitud (J)$ y $longitud (J_{d}) = \frac{1}{2} longitud (J)$ .

Denotemos $I = [a, b]$ . Ahora nos fijamos en los puntos de la sucesión que caen en cada uno de los lados izquierdo y derecho. Para esto definimos $N (I_{i}) = {n \in N : x_{n} \in I_{i}}, N (I_{d}) = {n \in N : x_{n} \in I_{n}}$ Ya que $N = N (I_{i}) \cup N (I_{d})$ alguno de los uniendos debe ser infinito. Denotemos por $I^{(1)}$ la mitad para la cual $N (I^{(1)})$ es infinito. Fijamos un $n_{1} \in N (I^{(1)})$ , éste será el primer elemento de nuestra subsucesión.

Ahora dividimos a $I^{(1)}$ en dos partes y aplicamos el mismo procedimiento. $N (I_{i}^{(1)}) = {n \in N : x_{n} \in I_{i}^{(1)}}, N (I_{d}^{(1)}) = {n \in N : x_{n} \in I_{n}^{(1)}}$ Ya que $N = N (I_{i}^{(1)}) \cup N (I_{d}^{(1)})$ alguno de los uniendos debe ser infinito. Denotemos por $I^{(2)}$ la mitad para la cual $N (I^{(2)})$ es infinito. Puesto que $N (I^{(2)})$ es infinito podemos tomar $n_{2} \in N (I^{(2)})$ y $n_{2} > n_{1}$ . Este será el segundo elemento de nuestra subsucesión.

Continuando de esta manera si tenemos elegido el intervalo $I^{(k)}$ lo dividimos en dos y consideramos $N (I_{i}^{(k)}) = {n \in N : x_{n} \in I_{i}^{(k)}}, N (I_{d}^{(k)}) = {n \in N : x_{n} \in I_{n}^{(k)}}$ Ya que $N = N (I_{i}^{(k)}) \cup N (I_{d}^{(k)})$ alguno de los uniendos debe ser infinito. Denotemos por $I^{(k + 1)}$ la mitad para la cual $N (I^{(k + 1)})$ es infinito. Puesto que $N (I^{(k + 1)})$ es infinito podemos tomar $n_{k + 1} \in N (I^{(k + 1)})$ y $n_{k + 1} > n_{k}$ . Este será el $(k + 1)$ -ésimo elemento de nuestra subsucesión.

Por construcción es claro que $(x_{n_{k}})_{k = 1}^{\infty}$ es una subsucesión de $(x_{n})_{n = 1}^{\infty}$ .

Como dividimos en dos cada vez tenemos que $longitud (I^{(k)}) = \frac{1}{2^{k}} longitud (I)$ y por construcción $I^{(k + 1)} \subseteq I^{(k)}$ . Por el Teorema de Intervalos cerrados anidados tenemos que $\cap_{k = 1}^{\infty} I^{(k)} = {x_{0}}$ Resta probar que $lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} = x_{0}$ . Para ésto notamos que para toda $k$ , $x_{n_{k}}, x_{0} \in I^{(k)}$ por lo que $| x_{n_{k}} - x_{0} | \leq longitud (I^{(k)}) = \frac{1}{2^{k}} longitud (I)$ aplicando límite cuando $k \to \infty$ en ambos lados de la desigualdad anterior concluimos $lim_{k \to \infty} | x_{n_{k}} - x_{0} | = 0$ lo que implica $lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} = x_{0} .$

Cálculo UNO

Sucesiones

Introducción

Definición

Definición

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Definición

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Teorema

Teorema del Sandwich para sucesiones

Ejercicio

Ejercicio

Definición

Teorema

De los intervalos cerrados anidados de Cantor

Teorema

Bolzano-Weirestrass

Ejercicio

Ejercicio

Definición

Ejercicio

Teorema

Completez de $R$

Sucesiones

Introducción

Definición

Definición

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Definición

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Teorema

Teorema del Sandwich para sucesiones

Ejercicio

Ejercicio

Definición

Teorema

De los intervalos cerrados anidados de Cantor

Teorema

Bolzano-Weirestrass

Ejercicio

Ejercicio

Definición

Ejercicio

Teorema

Completez de R

Completez de $R$