En esta sección se recopilan tres temas sobre límites
Límites infinitos. Un ejemplo clásico de este tipo
de límites es
\[
\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}=\infty
\]
Límites hacia el infinito. Ejemplos de estos límites
se presentan en asíntotas, por ejemplo
\[
\lim_{x\to \infty} \frac{x+1}{x+2}=1
\]
Existencia de límites. Hasta ahora no se ha hecho mucho énfasis
en cuato a si la expresión \(\lim_{x\to a}f(x)\) tiene sentido o no.
Se ven algunos ejemplos dónde el límite no existe y algunas
condiciones para ver que un límite dado existe.
Límites infinitos
Estrictamenta hablando los límites infinitos son una extensión de
la definición de límite pues el "infinito" no es un número real.
Un ejemplo de un límite infinito es
\[
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=\infty
\]
y la idea de la expresión anterior es que, si tomamos
\(x\) cercana a cero (sin ser cero) entonces \(\frac{1}{x^2}\)
es muy grande.
Otros ejemplo que aparece naturalmente son
\begin{eqnarray*}
\lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}^-}\tan(\theta) &=& \infty \\
\lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}^+}\tan(\theta) &=& -\infty
\end{eqnarray*}
Es importante notar que en el caso anterior además se usan
límites laterales. El significado de las expresiones anteriores
se hace un poco más claro si uno ve la gráfica de la
función tangente.
La definición siguiente precisa la noción de límite infinito
cuantificando las expresiones "\(x\) cercano " y "muy grande".
Definición
Sea \(f\) una función definida en una vecindad agujereada de \(a\). Decimos que:
\[
\lim_{x\to a}f(x)=+\infty
\]
si, para todo \(M>0\), exsite \(\delta>0\) tal que:
\[0<|x-a|< \delta \Rightarrow f(x)\geq M\]
Nota: si no hay confusió se suele ominir el \(+\)
en \(+\infty\) y escribir: \(\lim_{x\to a}f(x)=\infty\).
Sea \(f\) una función definida en una vecindad agujereada de \(a\). Decimos que:
\[
\lim_{x\to a}f(x)=-\infty
\]
si, para todo \(M>0\), exsite \(\delta>0\) tal que:
\[0<|x-a|< \delta \Rightarrow f(x)\leq -M\]
Puede ocurrir que la función \(f(x)\) sólo este definida para \(x\) sólo del
lado derecho de \(a\) ó sólo del lado izquierdo. Incluso el comportamiento de
\(f(x)\) puede diferir dependiendo si
\(x\) está a la derecha o izquierda de \(a\) (como la en
función tangente). En estos casos se usan también límites laterales.
Sea \(f\) una función definida en un intervalo de la forma \((a,b)\)
donde \(a< b\). Decimos que:
\[
\lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty
\]
si, para todo \(M>0\), exsite \(\delta>0\) tal que:
\[0< x-a < \delta \Rightarrow f(x)\geq M\]
Sea \(f\) una función definida en un intervalo de la forma \((c,a)\). Decimos que:
\[
\lim_{x\to a^-}f(x)=+\infty
\]
si, para todo \(M>0\), exsite \(\delta>0\) tal que:
\[0< a-x < \delta \Rightarrow f(x)\geq M\]
La definiciones para
\[
\lim_{x\to a^+}f(x)=-\infty, \lim_{x\to a^-}f(x)=-\infty
\]
se pueden obtener modificando las definiciones anteriores de la manera
adecuada.
Para \(m\in \mathbb{R}^+\) y \(b\in \mathbb{R}\),
\[
\lim_{x\to 0^+} \frac{m}{x}+b=+\infty
\]
\[
\lim_{x\to 0^+} \frac{-m}{x}+b=-\infty
\]
Ejercicio
Sea \(f \) y \(g\) dos funciones definidas en una vecindad agujereada de \(x_0\).
Asume que \(\lim_{x\to x_0} f(x)=L\) con \(L>0\) y que
\(\lim_{x\to x_0} g(x)=\infty\). Demuestra que
\[
\lim_{x\to x_0} f(x)g(x)=\infty.
\]
Sean \(a_1,a_2 \in \mathbb{R}^+\) con \(a_1\not= a_2\) y \(b_1,b_2 \in \mathbb{R}\).
\[\lim_{x\to 0^+} \sqrt{\frac{a_1}{x}+b_1}-\sqrt{\frac{a_2}{x}+b_2} \]
Nota: considera los casos \(a_1< a_2\) y \( a_1 > a_2\).
Ejercicio
Para \(a\in \mathbb{R}^+\) y \(p(x)\), \(q(x)\) dos polinomios encontrar:
\[\lim_{x\to 0^+} \sqrt{\frac{2a}{x^2}+p(x)} - \sqrt{\frac{a}{x^2}+q(x)}\]
Ejercicio
Sean \(f,g\) dos funciones definidas en una vecindad de \(x_0\) con \(g(x)>0\)
para \(x\ne x_0\). Demuestra que si \(\lim_{x\to x_0} f(x)= L >0\) y
\(\lim_{x\to x_0} g(x)=0\) entonces
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\infty
\]
Ejercicio
En la teoría de la relatividad, la masa de un objeto está dada por:
\[
m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
\]
donde \(m_0\) es la masa en reposo, \(v\) es su velocidad y \(c\) es la velocidad de la luz.
Probar
\[
\lim_{v\to c^-}m=\infty.
\]
Límites al infinito
Al analizar una función \(f(x)\), un comportamiento que puede ser importante
es analizar los valores de \(f(x)\) cuando \(x\) es muy grande positivo o
muy grande negativamente. Por ejemplo, \(f(x)\) puede representar
la temperatura el tiempo \(x\) y se busca analizar que pasa con la
temperatura cuando pasa una cantidad de tiempo grande.
Para analizar lo anterior se utilizan límites de la forma:
\[
\lim_{x\to +\infty} f(x), \quad \lim_{x\to -\infty}f(x).
\]
Geométricamente un límite de este tipo nos da información sobre
las asíntotas horizontales de la gráfica de \(f(x\).
Definición
Sea \(f:D\to \mathbb{R}\) una función.
Supongamos que su dominio contiene un intervalo de la forma \((a,+\infty)\).
Decimos que la función \(f\) tiende a un número \(L\in \mathbb{R}\)
cuando \(x\) tiende al infinito, denotado
\[
\lim_{x\to + \infty} f(x)=L
\]
si, para toda \(\varepsilon>0\), existe \(r>0\) tal que:
\[ x> r \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \]
Supongamos que su dominio contiene un intervalo de la forma \((-\infty,a)\).
Decimos que la función \(f\) tiende a un número \(L\in \mathbb{R}\)
cuando \(x\) tiende a \(-\infty\), denotado
\[
\lim_{x\to - \infty} f(x)=L
\]
si, para toda \(\varepsilon>0\), existe \(r>0\) tal que:
\[ x< -r \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \]
Ejercicio
Demuestra que, para todo \(a\in \mathbb{R}\), con \(a\ne 0\) y todo \(n\in \mathbb{N}\),
\[\lim_{x\to \infty} \frac{a}{x^n}=0.\]
Ejercicio
Sea \(p(x)\) un polinomio fijo de grado \(n\). Demuestra que
\[
\lim_{x\to +\infty} \frac{p(x)}{x^{n+1}}=0.
\]
Definición
Para terminar el recorrido sobre límites infinitos se
presenta el que mezcla los dos infinitos, tanto cuando
la variable crece al infinito como cuando los valores de la
función también crecen indefinidamente.
Sea \(f:[a,\infty) \to \mathbb{R}\) una función. Decimos que
\[
\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty
\]
si, para todo \(M>0\), existe \(r>0\), tal que \(f(x)>M\),
para todo \(x \geq r\).
Sea \(f:[a,\infty) \to \mathbb{R}\) una función. Decimos que
\[
\lim_{x\to +\infty} f(x)= - \infty
\]
si, para todo \(M>0\), existe \(r>0\), tal que \(f(x)< -M\),
para todo \(x \geq r\).
Nota: las expresiones \(\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty\) y
\(\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty\) se definen modificando
las definiciones de manera adecuada.
Es importante notar que, a pesar de que
la expresión \(\lim_{x\to \infty}f(x)=+\infty\) nos
dice que los valores \(f(x)\) crecen, no nos dice
cómo estos valores están creciendo. Por ejemplo,
las funciones con las gráficas mostradas abajo
satisfacen \(\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\)
sin embargo, la manera en cómo crecen es muy distinta. Para
esutidar el tipo de crecimiento uno utiliza herramientas
como concavidad.
Ejercicio
Para \(n\in \mathbb{N}\) prueba
\[
\lim_{x\to +\infty} x^n=\infty.
\]
Primera prueba.
Primero notamos que, dados \(m, n \in \mathbb{N}\) con \(m\geq 2\):
\[m^n\geq mn \]
En efecto, usando inducción sobre \(n\): el caso \(n=1\) es claro;
si suponemos \(m^n \geq nm\) multiplicando por \(m\) obtenemos
\(m^{n+1} \geq m^2 n\), por lo que es suficiente probar
\(m^2 n \geq m(n+1)\) pero ésto último es equivalente
a \(mn \geq n+1\) lo cual es cierto pues \(mn \geq 2n \geq n+1\).
Sea \(M>0\). Aplicando la propiedad arquimedeana a \(n\) existe
\(m \geq 2\) tal que
\(m n >M\). Por el primer inciso,
\(m^n \geq nm > M\).
Para terminar, tomamos \(r=m\). Ya que las funciones potencias son
estrictamente crecientes, para toda \(x>r\)
se cumple
\[
x^n > r^n= m^n \geq mn > M.
\]
Seguna prueba.
Suponemos que no y llegamos a una contradicción.
Negando la Definición 6.14.
obtenemos que existe \(M>0\) tal que para toda
\(r>0\) existe \(x\) con \(x^n \leq M\). Utilizando
que las funciones potencia son estrictamente crecientes
en \([-0,\infty)\) obtenemos que \(x^n \leq M\),
para toda \(x\geq 0\).
Si \(0 \leq b < a\), usando que \(a^n, b^n \leq M\) concluimos
que \(a^n -b^n \leq M\), por lo tanto
\[
(a-b) \left( \sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n
-1-k} \right) \leq M
\]
para toda \(0 \leq b < a\).
Por otro lado, notamos que
\[
b^{n-1} \leq \left( \sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k} \right)
\]
por lo que concluimos
\[
(a-b)b^{n-1} \leq M
\]
para todos \(0 \leq b < a\).
Ahora, en la desigualdad anterior tomamos \(b=1, a=k+1\),
con \(k\in \mathbb{N}\) para obtener
\[
k \leq M.
\]
Lo anterior dice que \(M\) es cota superior para \(\mathbb{N}\),
lo cual es una contradicción.
Ejercicio
Fija \(n \in \mathbb{Z}^+\).
Considera el polinomio \(p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0\). Demuestra
\[
\lim_{x\to +\infty} p(x)=+\infty.
\]
Hint: Para \(x>0\) escribe:
\[
p(x)=x^n\left( 1+ \frac{a_{n-1}}{x}+ \cdots + \frac{a_1}{x^{n-1}}+\frac{a_0}{x^n} \right)
\]
Usar el ejercicio Ejercicio 6.7,
el Ejercicio 6.17 y el hecho de que
\[
\lim_{x\to +\infty} \frac{a_{n-1}}{x}+ \cdots
+ \frac{a_1}{x^{n-1}}+\frac{a_0}{x^n}=0.
\]
Ejercicio
Sea \(p(x)=a_nx^n+ \cdots +a_1x+a_0\) un polinomio de grado \(n\). Demuestra
\[
\lim_{x\to +\infty} p(x)=\left\{
\begin{array}{cc}
+ \infty & \textrm{si \(a_n>0\)}\\
-\infty & \textrm{si \(a_n < 0\)}
\end{array}
\right.
\]
El límite \(\lim_{x\to 0}\sen(\frac{1}{x})\) no existe.
Ejercicio
Para toda \(n=1,2,\cdots\)
\[
\lim_{x\to 0}x^n \sen(\frac{1}{x})=0
\]
Ejercicio
Da un ejemplo de funciones \(f\) y \(g\), definidas en una vecindad
agujereada del \(0\), tales que \(\lim_{x\to 0}(fg)(x)\) existe pero algunos
de los límites \(\lim_{x\to 0}f(x)\) ó \(\lim_{x\to 0}g(x)\) no existe.
Ejercicio
Da un ejemplo de funciones \(f\) y \(g\), definidas en una vecindad
agujereada del \(0\), tales que
\(\lim_{x\to 0}(f+g)(x)\) existe pero los límites \(\lim_{x\to 0}f(x)\) y
\(\lim_{x\to 0} g(x)\) no existe.
Ejercicio
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones definidas en una vecindad agujereada de \(a\).
Si \(\lim_{x\to a}(f+g)(x)\) existe y \(\lim_{x\to a} f(x)\) existe,
demuestra que \(\lim_{x\to a}g(x)\) también existe.
Si \(\lim_{x\to a} (fg)(x)\) existe , \(\lim_{x\to a} f(x)\) exsite y
es distinto de cero, demuestra que \(\lim_{x\to a}g(x)\) existe.
Ejercicio
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones definidas en una vecindad agujereada de
\(x_0\) y supon que existe \(M>0\) tal que
\(|g(x) | \leq M\), para \(x\) en la vecindad agujereada.
Si \(\lim_{x\to x_0} f(x)=0\) demuestra que:
\[
\lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=0.
\]
Nota: no se asume que el límite \(\lim_{x\to x_0}g(x)\) existe.