Ejercicio

Sea \((A,\|\cdot\|)\) una álgebra normada.

1. Prueba que para todos \(f,g,h,k\in A\) \[ \|fg-hk \|\leq \|f\| \| g-k\| + \|k\| \|f-h\| \]
2. Prueba que la operación multiplicación, \(A\times A \to A\), es continua. Es decir, si \(\lim_{n\to \infty} f_n=f\), \(\lim_{n\to \infty}g_n=g\) en \(A\) entonces \(\lim_{n\to \infty} f_ng_n=fg\).

Ejercicio

Prueba que \(C^{(1)}[a,b]\) es una álgebra de Banach si la consideramos con la norma \[ \|f\|= \|f\|_{_\infty}+ \|f'\|_{_\infty} \]

Ejercicio

Considera el álgebra \(\mathbb{R}^2\) con las operaciones puntuales (ver ejemplos en Definición 3.1).

Prueba que las únicas subálgebras de \(\mathbb{R}^2\) son \(\{(0,0)\}\), \(\{(x,0): x\in \mathbb{R}\}\), \(\{ (0,y): y\in \mathbb{R}\}\) y \(\{(x,x):x\in \mathbb{R}\}\).

Ejercicio

Sea \((X.d)\) un espacio métrico. Recuerda que una función, \(f:X\to \mathbb{R}\), es Lipschitz si existe una constante \(M>0 \) (que depende de \(f\)) tal que \[ |f(x)-f(y)|\leq Md(x,y) \] para todos \(x,y\in X\). Por \(Lip(X)\) denotamos al conjunto de funciones Lipschitz de \(X\) en \(\mathbb{R}\).

Prueba que si \((X,d)\) es compacto entonces \(Lip(X)\) es una subálgebra de \(C(X)\).

Ejercicio

Sea \((A,\|\cdot\|)\) una álgebra normada y \(B\subseteq A\) una subálgebra. Prueba que la cerradura \(\overline{B}\) es también una subálgebra de \(A\).

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico compacto y \(A \subseteq C(X)\) una subálgebra cerrada con uno de \(C(X)\). Si \(f\in A\) prueba que:

1. Si \(f \geq 0\) entonces \(\sqrt{f}\in A\). Hint: usa el teorema de aproximación de Weierstrass.
2. \(|f|\in A\). Hint: \(|x|=\sqrt{x^2}\).
3. En general si \(\varphi: [a,b]\to \mathbb{R}\) es continua y \(f(X)\subseteq [a,b]\), entonces \(\varphi \circ f = \varphi(f) \in A\).

Ejercicio

Sea \((A,\leq)\) un conjunto parcialmente ordenado.

1. Sea \(\{L_i\}_{i\in I}\) es una familia arbitraria de retículas en \(A\) con \(\cap_{i\in I}L_i \ne \emptyset\). Prueba que \(\cap_{i\in I}L_i\) es una retícula.
2. Prueba con un ejemplo que la unión de retículas puede no ser una retícula.
3. Si \(\{L_n\}_{n=1}^\infty\) es una familia de retículas en \(A\) con la propiedad de que \(L_n\subseteq L_{n+1}\) entonces prueba que \(\cup_{n=1}^\infty L_n\) es una retícula..

Ejercicio

En la retícula de funciones acotadas en \([-1,1]\), encuentra la retícula generada por la función idénticamente cero y la función identidad. Es decir, la retícula más chica (con respecto a la contención) que contiene a la función cero y a la identidad.

Ejercicio

Sea \(X\ne \emptyset\) un conjunto y consideramos \((B(X), \|\cdot\|_\infty)\) el espacio vectorial normado de funciones acotadas de \(X\) en \(\mathbb{R}\).

Si \(L\subseteq B(X)\) es una retícula, prueba que \(\overline{L}\) también es una retícula.

Ejercicio

1. Considera la familia \[ \mathcal{F}=\{f:[-1,1] \to \mathbb{R}: f(0)=0 \} \] Prueba que \(\mathcal{F}\) separa los puntos de \([-1,1]\) pero se anula en \([-1,1]\).
2. Para \(n=1,2,\dots\) denota \(f_n:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) tal que \(f_n(x)=n\). Prueba que la familia \(\mathcal{F}=\{f_n: n=1,2,\dots\}\) no se anula pero no separa los puntos de \(\mathbb{R}\).

Ejercicio

Prueba que el espacio vectorial normado de las funciones acotadas \((B([0,1]), \|\cdot\|_\infty))\), no es separable.

Ejercicio

Sea \(K\subseteq \mathbb{R}^n\) un subconjunto compacto. Prueba que el conjunto de todos los polinomios en \(n\)-variables es denso en \(C(K)\).

Ejercicio

Sean \(X,Y\) dos espacios métricos compactos. Considera el subconjunto \(S\) de \(C(x)\) formado por las funciones de la forma \(f(x,y)=g(x)h(y)\), donde \(g\in C(X), h\in C(Y)\).

Sea \(A\) es espacio vectorial generado por \(S\). Prueba que \(A\) es denso en \(C(X\times Y)\).

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico compacto y sea \(A \subseteq C(X)\) una subálgebra de funciones que separa los puntos de \(X\).

Entonces o bien \(\overline{A}=C(X)\) ó existe un \(x_0\in X\) tal que \(\overline{A}=\{f\in C(X): f(x_0)=0 \}\).

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico compacto y sea \(A \subseteq C_{\mathbb{C}}(X)\) una subálgebra de funciones que satisface:

1. \(A\) es cerrada,
2. separa los puntos de \(A\),
3. es cerrada bajo conjugación.

Entonces tenemos dos casos:

1. \(A=C_{\mathbb{C}}(X)\) ó
2. existe un \(x_0\in X\) tal que \(A=\{f\in C_{\mathbb{C}}(X): f(x_0)=0 \}\).

Ejercicio

Sea \(L\subset C[a,b]\) el conjunto de funciones lineales a trozos en \([a,b]\). Prueba que \(L\) es una retícula que distingue los puntos de \([a,b]\). Por lo tanto es densa en \((C[a,b], \|\cdot\|_\infty)\).

Ejercicio

Sea \(\emptyset \ne K\subseteq \mathbb{R}\) un subconjunto compacto. Define \(X=K^n\) (el producto cartesiano de \(K\) consigo mismo \(n\)-veces). Por \(p_i: X\to \mathbb{R}\) denotamos la proyección en la \(i\)-ésima coordenada. Prueba que el álgebra generada por las funciones \(\{p_i \}_{i=1}^n\) es densa en \(C(X)\).

Ejercicio

Denotamos \(\mathbb{T}=\{z\in \mathbb{C}: |z|=1 \}\).

Prueba que los polinomios con coeficientes complejos, en las variables \(z\) y \(\overline{z}\) son densos en \(( C_\mathbb{C}(\mathbb{T}),\|\cdot\|_\infty) \).

Ejercicio

Para este ejercicio denotamos \(f(z)=\overline{z}\). Este ejercicio prueba que \(f\) no se puede aproximar uniformemente en \(\mathbb{T}\) mediante polinomios \(p(z)=\sum_{k=0}^n a_kz^k\).

1. Prueba que para todo polinomio \(p(z)=\sum_{k=0}^n a_kz^k\) \[ \int_0^{2\pi} f(e^{it})p(e^{it})dt=0 \]
2. Prueba \[ \int_0^{2\pi} f(e^{it})\overline{f(e^{it})}dt=2\pi. \]
3. Prueba \begin{eqnarray*} \left| \int_0^{2\pi} f(e^{it})\overline{f(e^{it})}dt \right| & \leq & \left| \int_0^{2\pi} (f(e^{it})-p(e^{it}))\overline{f(e^{it})} \right| \\ & \leq & 2\pi \|f-p\|_\infty \end{eqnarray*}
4. Concluye que para todo polinomio \(p\), \(1\leq \|f-p\|_\infty\).