En esta sección vamos a generalizar muchas de las definiciones y teoremas de la sección 2, ahora en el contexto de continuidad en espacios métricos. Además usando el concepto de espacios métricos vamos a poder dotar de una métrica al conjunto de funciones continuas y en éste marco el objetivo principal es caracterizar los subconjuntos de funciones que son compactos, esto es lo que será el Teorema de Arzelá-Ascoli.
Las siguientes definiciones son una generalización, para espacios métricos, de la Definición 2.2 y la Definición 2.8 . Por lo tanto todos los ejemplos de la Sección 2 pueden verse como ejemplos de este tipo de convergencia más general.
Sea \(X\) un conjunto no vacío, \((Y,d_Y)\) un espacio métrico y \((f_n:X\to Y)_{n=1}^\infty\) una sucesión de funiciones.
Dado \(A\subseteq X\) decimos que la sucesión \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge puntualmente a la función \(f:A\to Y\) si para todo \(a\in A\), \(\lim_{n\to \infty}f_n(a)=f(a)\). Nota que éste último límite es un límite en el espacio \((Y,d_Y)\).
Dado \(A\subseteq X\) decimos que la sucesión \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge uniformemente a la función \(f:A\to Y\) si para todo \(\varepsilon >0\) existe un \(N\in \mathbb{N}\) tal que para todo \(n\geq N\) y para toda \(a\in A\) se cumple \[ d_Y(f_n(a),f(a)) < \varepsilon. \]
Nota: lo más importante es que la misma \(\varepsilon\) sirve para toda \(a\in A\).
Sea \((X,d)\) un espacio métrico compacto.
Sea \((f_n:X\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones continuas en \(X\). Supón que:
Entonces \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge uniformemente a \(f\) en \(X\).
Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) espacios métricos y sea \((f_n:X\to Y)_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones. Supongamos que todas las funciones \(f_n\) son continuas en \(x_0\) y la sucesión \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge unfirmemente en \(X\) a la función \(f:X\to Y\). Entonces \(f\) es continua en \(x_0\).
Vamos a probar que \(f\) es continua en \(x_0\) usando \(\varepsilon\) y \(\delta\).
Sea \(\varepsilon >0\) fija y arbitraria.
Por convergencia uniforme primero encontramos un \(N\in \mathbb{N}\) tal que para todo \(n\geq N\) y todo \(x\in X\): \[ d(f_n(x),f(x)) < \frac{\varepsilon}{3}. \]
A continuación, usando que \(f_{N}\) es continua encontramos un \(\delta> 0\) que satisfaga \[ d(x,x_0)< \delta \Rightarrow d_Y(f_{N}(x)-f_{N}(x_0)) <\frac{\varepsilon}{3}. \] Vamos a ver que ésta \(\delta\) sirve para la continuidad de \(f\) en \(x_0\).
Para empezar, por la desigualdad del triángulo: \begin{eqnarray*} d_Y(f(x),f(x_0)) & \leq & d_Y(f(x),f_{N}(x)) \ \\ &+& d_Y(f_{N}(x),f_{N}(x_0)) \\ &+& d_Y(f_{N}(x_0),f(x_0)) , \end{eqnarray*} pero por la convergencia uniforme podemos acotar dos de los tres sumandos anteriores como \begin{eqnarray*} d_Y(f(x),f_{N}(x))< \frac{\varepsilon}{3},\\ d_Y(f(x_0),f_{N}(x_0))< \frac{\varepsilon}{3}. \end{eqnarray*} Por lo tanto se sigue: \[ d_Y(f(x),f(x_0)) < \frac{2\varepsilon}{3}+d_Y(f_{N}(x),f_{N}(x_0)) \] Finalmente si además pedimos que \(d(x,x_0)< \delta\) de la continuidad de \(f_{N}\) concluimos \[ d_Y(f(x),f(x_0)) < \frac{2\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon }{3}=\varepsilon. \]
Para poder dar estructura de espacio métrico a las funciones continuas se necesita pedir condiciones extra, ya sea al espacio dominio o las funciones. Para el objetivo de esta sección vamos a pedir que el espacio domino sea compacto.
Sean \((X,d_X), (Y,d_Y) \) espacios métricos con \((X,d)\) compacto y sean \(f,g:X\to Y\) dos funciones continuas. Afirmamos que el siguiente supremo es finito: \[ \sup_{x\in X}\{d_Y(f(x),f(y))\} \]
Razón:
Por el Lema 9.7 sabemos que \(f(X)\) y \(g(X)\) son compactos. Por lo tanto acotados es decir, existen \(y_1,y_2\in Y\) y \(R_1, R_2\) números positivos tal que: \begin{eqnarray*} d_Y(f(x),y_1) \leq R_1, \quad \forall x\in X, \\ d_Y(g(x),y_2) \leq R_2, \quad \forall x\in X. \end{eqnarray*} Se sigue que para toda \(x\in X\): \[ d_Y(f(x),g(x))\leq d_Y(f(x),y_1)+d_Y(y_1,y_2)+ d_Y(y_2,g(x))\leq R_1+d_Y(y_1,y_2)+R_2 \] concluyendo que \(\sup_{x\in X}\{d_Y(f(x),f(y))\}\leq R_1+d_Y(y_1,y_2)+R_2\).
Por \(C(X,Y)\) denotamos al conjunto de funciones de \(X\) a \(Y\) continuas en todo \(X\). Dadas \(f,g\in C(X,Y)\) definimos \[ d_\infty(f,g)=\sup_{x\in X}\{d_Y(f(x),g(x))\}, \] la cual se llama la métrica uniforme y se llama así pues captura la convergencia uniforme de funciones, lo cual mostramos acontinuación.
Sea \((f_n:X\to Y)_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones contiuas. Afirmamos que \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge uniformemente en \(X\) a una función \(f:X\to Y\) (que necesariamente es continua por el Teorema 10.3) si y sólo si \(\lim_{n\to \infty}d_\infty(f_n,f)=0\).
Razón:
\(\Rightarrow]\) Supongamos que \(f_n\to f\) uniformemente en \(X\). Entonces dada \(\varepsilon>0\) existe \(N\in \mathbb{N}\) tal que para todo \(n\geq N\) y para todo \(x\in X\), \(d_Y(f_n(x),f(x)) < \varepsilon/2\). Tomando supremos sobre \(x\in X\) se sigue que para todo \(n\geq N\), \(\sup_{x\in X}\{d_Y(f_n(x),f(x))\}\leq \varepsilon/2\), lo cual se puedes reescribir como: para todo \(n\geq N\), \(d_\infty(f_n, f)\leq \varepsilon/2 < \varepsilon\). Concluimos que \(\lim_{n\to \infty}d_\infty(f_n,f)=0\).
\(\Leftarrow]\) Supongamos que \(\lim_{n\to \infty} d_\infty(f_n,f)=0\). Entonces para toda \(\varepsilon >0\) existe una \(N\in \mathbb{N}\) tal que para todo \(n\geq N\), \(d_\infty(f_n,f)< \varepsilon\). Pero por definición de \(d_\infty\) se tiene que para toda \(x\in X\), \(d_Y(f_n(x),f(x)) \leq d_\infty (f_n,f)\). Por lo tanto se sigue que para todo \(n\geq N\) y para todo \(x\in X\), \(d_Y(f_n(x),f(x))< \varepsilon\). Concluimos que \(f_n\to f\) uniformemente en \(X\).
Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) espacios métricos. El conjunto de funciones continuas \(C(X,Y)\) con la función \[ d_\infty(f,g)=\sup_{x\in X}\{d_Y(f(x),g(x))\} \] es un espacio métrico.
Además, si \((Y,d_Y)\) es completo entonces \((C(X,Y),d_\infty)\) también es completo.
Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) espacios métricos. Fija \(x\in X\) y define \(ev_x: C(X,Y)\to Y\) por \(ev_x(f)=f(x)\). Prueba que \(ev_x\) es una función continua.
Para poder encontrar una caracterización de subconjuntos compactos en \((C(X,Y),d_\infty)\) necesitamos entender la definición de continuidad uniforme.
Sean \((X,d_X)\), \((Y,d_Y)\) espacios métricos, \(f:X\to Y\) una función y \(\emptyset\ne A \subseteq X\). La función \(f\) se llama uniformemente continua en \(A\) si:
para toda \(\varepsilon >0 \) existe \(\delta >0\), que sólo depende de \(\varepsilon > 0\), tal que para cualesquiera \(a_1,a_2\in A\) que satisfacen \(d_X(a_1,a_2)< \delta\) se cumple que \(d_Y(f(a_1),f(a_2))<\varepsilon\).
La diferencia fundamental entre una función uniformemente continua en \(A\) y una función continua en \(A\) es que la \(\varepsilon\) de la continuidad uniforme sirve para TODOS los puntos de \(A\), es decir, la \(\varepsilon\) NO depende del punto donde se está analizando la continuidad.
Ejemplos y no-ejemplos.
El ejemplo más común de una función continua pero no uniformemente continua es \(f(x)=\frac{1}{x}\). Si consideramos dominios de la forma \((0,\alpha)\), con \(\alpha>0\), y los puntos de la forma \(a_n=\frac{1}{n}, b_n=\frac{1}{n+1}\), con \(n\in \mathbb{N}\) suficientemente grande para que \(a_n,b_n\in (0,\alpha)\), vemos que la distancia entre ellos tiende a cero pero la distancia entre sus imágenes es constante: \[ |f(a_n)-f(b_n)| = \left| n-(n+1) \right|=1. \]
Ahora, si \(f\) fuese uniformemente continua en \((0,\alpha)\), para \(\varepsilon=1\) existiría \(\delta > 0\) tal que si \(x,y\in (0,a)\) satisfacen \(|x-y|< \delta \) entonces \(|f(x)-f(y)|< 1\). Pero si tomamos \(n\) suficientemente grande, para que \(|a_n-b_n|< \delta \) tenemos sin embargo que \(|f(a_n)-f(b_n)|=1\), contradiciendo la continuidad uniforme.
Nota: Lo que está pasando es que la función \(f(x)=\frac{1}{x}\) es continua en \((0,\alpha)\) pero, para cada \(x\in (0,\alpha)\), la \(\delta\) de la continuidad depende del punto \(x\), pues entre más cerca \(x\) está de \(0\) la \(\delta\) de la continuidad se hace cada vez más pequeña.
Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) espacios métricos, \(f:X\to Y\) y \(A\subseteq X\). Prueba que si existen sucesiones \((a_n)_{n=1}^\infty, (b_n)_{n=1}^\infty\), contendidas en \(A\) y un \(\varepsilon_0 >0\) que satisfacen: \[ \lim_{n\to \infty} d_X(a_n,b_n)=0, \quad d_Y(f(a_n), f(b_n)) \geq \varepsilon_0\quad \forall n, \] entonces \(f\) no es uniformemente continua en \(A\).
Sea \((X,d_X)\), \((Y,d_Y)\) espacios métricos y \(K\subseteq X\) un subconjunto compacto. Entonces toda función continua en \(K\), \(f:K\to Y\), es uniformemente continua.
Sea \(\varepsilon >0\) fija y arbitraria. Para cada \(x\in K\) existe una \(\delta_x > 0\) (la de la continuidad de \(f\) en \(x\)) tal que para \(y\in K \): \[ d(x,y)< \delta_x \Rightarrow d(f(x),f(y))< \varepsilon/2. \]
Ahora consideramos la cubierta abierta de \(K\): \[ \{ B_{\delta_x/2}(x): x\in K \}. \] Al ser \(K\) compacto existe una cantidad finita \(x_1,\dots, x_n \in K\) tal que \begin{equation}\label{Eqn:Aux1CompactoImplicaContiUnif} K\subseteq \cup_{i=1}^n B_{\delta_{x_i}/2}(x_i). \end{equation} Definimos \(\delta = \min\{ \delta_{x_1}/2,\dots, \delta_{x_n}/2\} > 0\). Afirmamos que si \(y,z\in K\) son arbitrarios y cumplen \(d(y,z)< \delta\) entontces \(d(f(y),f(z)) < \varepsilon\). Para probar lo anterior primero usamos \eqref{Eqn:Aux1CompactoImplicaContiUnif} para poder encontrar \(x_{i}\) con \(d(y,x_{i}) < \delta_{x_{i}}/2\). Se sigue que \[ d(z,x_i)\leq d(z,y)+d(y,x_i)< \delta + \delta_{x_i}/2 \leq \delta_{x_i}/2+\delta_{x_i}/2=\delta_{x_i} \] Por lo tanto \(d(f(y),f(x_i))< \varepsilon/2\) y \(d(f(z),f(x_i))<\varepsilon/2\) de donde concluimos que \(d(f(x),f(y))< \varepsilon\).
Sean \((X,d_X)\), \( (Y,d_Y) \) espacios métricos, con \(X\) compacto y \(Y\) completo. Nuestro próximo objtivo es encontrar un criterio para saber si un subconjunto \(\emptyset \ne \mathcal{F} \subset C(X,Y)\) es compacto. Ya que el espacio métrico \( (C(X,Y), d_\infty )\) es completo sabemos que un conjunto es compacto si y sólo si es: (1) cerrado, (2) totalmente acotado ( ver Teorema 9.27).
Ya se han estudiado conjuntos cerrados así que ahora se trata de encontrar condiciones, en el caso especial de funciones continuas, para las cuales los conjuntos sean totalmente acotados. La siguiente definición va en ésta dirección.
Sean \((X,d), (Y,d_Y) \) espacios métricos. Una familia de funciones \(\mathcal{F}\subset C(X,Y)\) se llama uniformemente equicontinuo en \(X\) si:
para toda \(\varepsilon >0\) existe una \(\delta >0 \) que cumple con la propiedad de que si \(x,y\in X\) satisfacen \(d(x,y)< \delta\) entonces \(d_Y(f(x),f(y))< \delta \), para toda \(f\in \mathcal{F}\).
En otras palabras, todas la funciones en la familia \(\mathcal{F}\) son uniformemente continuas y además dada \(\varepsilon >0\) existe una \(\delta >0\) que sirve como la \(\delta\) de la continuidad uniforme para TODAS las funciones en la familia \(\mathcal{F}\).
Nota: en algunos textos se le llama equicontinua, quitando el adjetivo uniformemente.
Ejemplos.
En \(C([a,b],\mathbb{R})\) considera la familia de funciones \(\mathcal{F}=\{f_m\}_{m\in (0,\infty)}\), donde \(f_m(t)=mt\). Prueba que \(\mathcal{F}\) no es uniformemente equicontinua en \([a,b]\).
Sea \((X,d_X), (Y,d_Y)\) espacios métricos, con \(X\) compacto. Si \(\mathcal{F}\subset C(X,Y)\) es totalmente acotado entonces \(\mathcal{F}\) es uniformemente equicontinua.
Sea \(\varepsilon >0\) y tomemos \(f_1,\cdots, f_n \in \mathcal{F}\) una \(\frac{\varepsilon}{3}\)-red de \(\mathcal{F}\). Al ser \((X,d_X)\) compacto cada función \(f_i\) es uniformemente continua en \(X\) y por lo tanto existe \(\delta_i >0\), \(i=1,\dots, n\), con la propiedad de que si \(d(x,y)< \delta_i\) entonces \(|f_i(x)-f_i(y)|< \frac{\varepsilon}{3}\). Tomamos \(\delta=\min\{\delta_1,\cdots, \delta_n\}\).
Finalmente probamos que para toda \(f\in \mathcal{F}\), \(\delta\) sirve como la de la continuidad uniforme. Sea \(x,y\in X\) con \(d(x,y)<\delta\). Ya que \(\{f_1,\dots, f_n\}\) es una \(\varepsilon\)-red de \(\mathcal{F}\), existe \(f_i\) tal que \(d_\infty(f,f_i) < \varepsilon \). Se sigue que: \begin{eqnarray*} d_Y(f(x),f(y)) &\leq & d_Y(f(x),f_i(x))+ d_Y(f_i(x),f_i(y))+ d_Y(f_i(y),f(y)) \\ &\leq & 2d_\infty( f,f_i)+ d_Y(f_i(x),f_i(y)) \\ &< & 2\frac{\varepsilon}{3}+ \frac{\varepsilon}{3} \\ &=& \varepsilon. \end{eqnarray*}
Sea \((X,d_X), (Y,d_Y)\) espacios métricos, con \(X\) compacto. Sea \(\mathcal{F}\subset C(X,Y)\) una familia de funciones. Para \(x\in X\) denotamos \[ \mathcal{F}[x]=\overline{\{f(x): f\in \mathcal{F}\}}. \] Si la familia \(\mathcal{F}\) satisface:
Sea \(\varepsilon >0\). Vamos a descomponer \(\mathcal{F}\) como la unión finita de conjuntos con diámetro menor o igual a \(\varepsilon\) (ver Lema 8.19).
Para \(\frac{\varepsilon}{4}\) sea \(\delta>0 \) la de la equicontinuidad uniforme para \(\mathcal{F}\). Es decir, si \(d_Y(x,y)< \delta\) entonces \(d_Y(f(x),f(y))< \frac{\varepsilon}{4}\), para toda \(f\in \mathcal{F}\).
Al ser \((X,d_X)\) compacto existe \(\{x_1,\dots, x_k\}\) una \(\delta\)-red, es decir \[ X=\cup_{i=1}^k B_{\delta}(x_i). \]
Por hipótesis, para toda \(i=1,\dots, k\), \(\mathcal{F}[x_i]\) es compacto por lo tanto el producto cartesiano \[ K=\mathcal{F}[x_1]\times \cdots \times \mathcal{F}[x_k] \] también es compacto. Por lo tanto existen \(t_1,\dots, t_m\in K \) tal que \[ K\subseteq \cup_{j=1}^m B_{\varepsilon/4}(t_j) \] donde \(t_j\in Y^k\) (el producto de \(Y\) consigo mismo \(k\)-veces) y \(B_{\varepsilon/4}(t_j)\) es una bola en dicho espacio. Si en \(Y^k\) tomamos la métrica \[ d_{Y^k}((y_1,\dots, y_k),(z_1,\dots, z_k))=\max\{d_Y(y_1,z_1),\dots, d_Y(y_k,z_k)\} \] tenemos que \[ B_{\varepsilon/4}(t_j)=B_{\varepsilon/4}(t_j(1))\times \cdots \times B_{\varepsilon/4}(t_j(k)) \] donde \(t_j=(t_j(1),\dots, t_j(k))\in Y^k\) y \(B_{\varepsilon/4}(t_j(1),\dots,B_{\varepsilon/4}(t_j(k)\) son bolas abiertas en \(Y\).
En consecuencia: \[ K\subseteq \cup_{j=1}^m B_{\varepsilon/4}(t_j(1))\times \cdots \times B_{\varepsilon/4}(t_j(k)) \] Para un \(t_j=(t_j(1), \dots, t_j(k))\) definimos \[ A(t_j)=\{f\in \mathcal{F}: f(x_1)\in B_{\varepsilon/4}(t_j(1)),\dots, f(x_k)\in B_{\varepsilon/4}(t_j(k))\} \]
Ya que para toda \(f\in \mathcal{F}\) y toda \(i=1,\dots, k\), \[ (f(x_1), \dots , f(x_k))\in K \subseteq \cup_{j=1}^n B_{\varepsilon/4}(t_j(1))\times \dots \times B_{\varepsilon/4}(t_j(k)) \] existen \((t_{j}(1), \dots, t_j(k))\) tal que \(f(x_i)\in B_{\varepsilon/4}(t_{j}(i))\), \(i=1,\dots,k\), por lo que \[ \mathcal{F}=\cup_{j=1}^m A(t_j). \]
Afirmamos que \( \textrm{diam}(A(t_j)) \leq \varepsilon\).
Sean \(f,g\in A(t_j) \). Para \(x\in X\) y al ser, \(\{x_1,\dots, x_k\}\) una \(\delta\)-red, existe \(x_i\) en la red con \(d(x,x_i)< \delta\).
Por equicontinuidad uniforme: \begin{eqnarray*} d_y(f(x),f(x_i))< \frac{\varepsilon}{4},\\ d_Y(g(x),g(x_i))< \frac{\varepsilon}{4}, \end{eqnarray*} y por lo tanto podemos estimar: \begin{eqnarray*} d_Y(f(x),g(x)) &\leq & d_Y(f(x),f(x_i))+ d_Y(f(x_i),g(x_i))+d_Y(g(x_i),g(x)) \\ & < & \frac{\varepsilon}{2}+ d_Y(f(x_i),g(x_i)). \end{eqnarray*}
Por otro lado ya que \(f,g\in A(t_j)\) tenemos que \(f(x_i),g(x_i)\in B_{\varepsilon/4}(t_j(i))\) por lo que \(d_Y(f(x_i),g(x_i))< \frac{\varepsilon}{2}\), concluyendo que \[ d_Y(f(x),g(x)) < \frac{\varepsilon}{2}+ d_Y(f(x_i),g(x_i))< \varepsilon. \] Al ser \(x\) arbitraria tomando supremo sobre \(x\in X\) concluimos \(d_\infty(f,g)\leq \varepsilon \) y al ser \(f,g\in A(t_{j})\) arbitrarios tenemos \(\textrm{diam}(A(t_{j}))\leq \varepsilon\).
Sea \((X,d_X)\) un espacio métrico compacto y \((Y,d_Y)\) un espacio métrico completo.
Sea \(\mathcal{F}\subseteq C(X,Y)\). Recordamos un poco de notación: para un \(x\in X\) denotamos, \[ \mathcal{F}[x]:=\overline{\{f(x): f\in \mathcal{F}\}}\subseteq Y. \]
En el espacio de funciones continuas \(C(X,Y)\), con la métrica uniforme, \(d_\infty\), tenemos:
\(\mathcal{F} \subseteq C(X,Y)\) es compacto, en si y sólo si:
\(\Rightarrow ]:\)
Si \(\mathcal{F}\) es compacto entonces es \(\mathcal{F}\) es cerrado.
Para continuar vamos a usar el Ejercicio 10.7. Para cada \(x\in X\) sabemos que \(ev_x\) es continua asi que usando que \(\mathcal{F}\subseteq C(X,Y)\) es compacto se sigue que \(ev_x(\mathcal{F}) \subseteq Y\) es compacto. Pero con la notación del Ejercicio 10.7 se tiene que \(\mathcal{F}[x]=\overline{ev_x(\mathcal{F})}\) pero al ser \(ev_x(\mathcal{F})\) compacto es cerrado por lo que \(\overline{ev_x(\mathcal{F})}=ev_x(\mathcal{F})\). Entonces \(\mathcal{F}[x]=ev_x(\mathcal{F})\) por lo que \(\mathcal{F}[x]\) es compacto.
Así que sólo resta probar que \(\mathcal{F}\) es uniformemente equicontinuo.
Ahora, si \(\mathcal{F}\) es compacto entonces \(\mathcal{F}\) es totalmente acotado. Pero Lema 10.23 dice precisamente que totalmente acotado implica equicontinuidad, así que terminamos.
\(\Leftarrow ]: \)
Al ser \(C(X,Y)\) completo es suficiente probar que \(\mathcal{F}\) es cerrado y totalmente acotado (ver Teorema 8.24 ). Cerrado lo tenemos por hipótesis asi que resta probar que \(\mathcal{F}\) es totalmente acotado. Pero por el Lema 10.24 los incisos 2 y 3 de las hipótesis implican que \(\mathcal{F}\) es totalmente acotado, lo que termina la prueba.
Sea \(X\ne \emptyset\) un conjunto cualquiera. Por \(\mathcal{B}(X)\) denotamos al conjunto de funciones con valores reales, acotadas sobre \(X\). Es decir \[ \mathcal{B}(X)=\{ f:X \to \mathbb{R} | \sup_{x\in X}\{|f(x)| \} < \infty \} \] Para \(f\in \mathcal{B}\) define \[ \|f\|_\infty=\sup_{x\in X}\{ |f(x)|\} \] Prueba que \((\mathcal{B}(X), \|\cdot \|_\infty)\) es un espacio vectorial normado.
Sea \((X,d_X)\) un espacio métrico compacto. Entonces para toda \(f\in C(X,\mathbb{R})\), \[ \|f\|_\infty:=\sup_{x\in X}\{|f(x)|\} < +\infty. \] Prueba que \((C(X,Y), \| \cdot\|_\infty)\) es un espacio vectorial normado completo.
Sea \((X,d_X)\) un espacio métrico compacto.
Un subconjunto \(\mathcal{F} \subseteq C(X,\mathbb{R})\) es compacto, en \((C(X,\mathbb{R}),\|\cdot\|_\infty)\), si y sólo si
Sea \((X,d_X)\) un espacio métrico compacto.
Un subconjunto \(\mathcal{F} \subseteq C(X,\mathbb{R})\) es compacto, en \((C(X,\mathbb{R}),\|\cdot\|_\infty)\), si y sólo si
Por \(C^{(1)}([a,b])\) denotamos al conjunto de funciones \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) con las propiedades de que:
Para \(f\in C^{(1)}([a,b])\) definimos \[ \|f\|_{C^{(1)}}=\max_{x\in [a,b]}\{|f(x)|\}+\max_{x\in [a,b]}\{ |f'(x)|\} \] Prueba que el espacio \((C^{(1)}([a,b]),\|\cdot\|_{C^{(1)}})\) es completo.
Sea \(X\ne \emptyset\) un conjunto cualquiera y \((Y,d_Y)\) un espacio métrico completo. Por \(\mathcal{B}(X,Y)\) denotamos al conjunto de funciones acotadas de \(X\) en \(Y\). Es decir \(f\in \mathcal{B}_Y(X)\) si y sólo si existe un \(y_0\in Y\) y \(R>0\) tal que \(d_Y(f(x),y_0) \leq R\) para toda \(x\in X\).
Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) espacios métricos y \(f:X\to Y\) uniformemente continua.
Utilizando la noción de diámetro prueba que para toda \(\varepsilon > 0\) existe \(\delta >0\), tal que \[ \operatorname{diam}(A) < \delta \Rightarrow \operatorname{diam}(f(A)) \leq \varepsilon \] donde \(A\) es cualquier subconjunto de \(X\).
Prueba que la función \(f:[0,\infty)\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\sqrt{x}\), es uniformemente continua en \([0,\infty)\).
Sugerencia: prueba la desigualdad, \(|\sqrt{a}-\sqrt{b}|\leq \sqrt{|a-b|}\), válida para todos \(a,b\in \mathbb{R}\).
Supon que \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) es una función continua en todo \(\mathbb{R}\) y que \(\lim_{x\to \pm \infty} f(x)=0\). Prueba que \(f\) es uniformemente continua en \(\mathbb{R}\).
Sea \(f:(a,b)\to \mathbb{R}\) una función uniformemente continua en \((a,b)\). Prueba que \(f\) es acotada en \((a,b)\).
Una función entre dos espacios métricos \(f:(X,d_X)\to (Y,d_Y)\) se llama Lipschitz de orden \(\alpha \), donde \(\alpha \in (0,\infty) \) es una constante, si existe una constate \(K>0\) que satisface: \[ d_Y(f(x_1), f(x_2)) \leq K (d(x_1,x_2))^\alpha \] para todos \(x_1,x_2\in X\).
Prueba que si \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) es Lipschitz de orden \(\alpha\) y \(\alpha >1\) entonces \(f\) es una función constante. Sugerencia: investiga si la función es diferenciable.
Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) espacios métricos y \(f:X\to Y\).
Prueba que \(f\) es uniformemente continua en \(X\) si y sólo si para cualesquiera par de sucesiones \((a_n)_{n=1}^\infty, (b_n)_{n=1}^\infty\) en \(X\) con la propiedad de que \[ \lim_{n\to \infty} d_X(a_n,b_n)=0 \] se cumple que \[ \lim_{n\to \infty} d_Y(f(a_n),f(b_n))=0. \]
Sugerencia: para el regreso supon que \(f\) no es uniformemente continua y llega a una contradicción.
\(\Rightarrow ] \) Supongamos que \(f\) es uniformemente continua en \(X\) y que las sucesiones \((a_n)_{n=1}^\infty, (b_n)_{n=1}^\infty\) satisfacen \begin{equation}\label{Eqn:AuxEjerCharcContUnfir} \lim_{n\to \infty} d_X(a_n,b_n)=0. \end{equation}
Debemos de probar que \(\lim_{n\to infty} d_Y(f(a_n),f(b_n))=0\). Sea \(\varepsilon >0\). Por continuidad uniforme existe una \(\delta > 0\) tal que si \(a,b \in X\) con \(d_X(a,b)< \delta\) entonces \(d_Y(f(a),f(b))< \varepsilon\). Ahora, por \eqref{Eqn:AuxEjerCharcContUnfir} existe una \(N\in \mathbb{N}\) tal que si \(n \geq N\), \(d_X(a_n,b_n)< \delta \) y en consecuencia \(d_Y(f(a_n),f(b_n))< \varepsilon\), para toda \(n \geq N\).
\(\Leftarrow ]\) Esta parte la hacemos por contrapositiva. Supongamos que \(f\) NO es uniformemente continua en \(X\). Como consecuencia existe un \(\varepsilon_0 >0\) tal que para todo \(\delta > 0\) existen puntos \(a,b\in X\) tal que \(d_X(a,b)< \delta\) pero \(d_Y(f(a_n),f(b_n) \geq \varepsilon_0\). Tomando valores de \(\delta\) de la forma \(\delta=1/n\) se construyen sucesiones \((a_n)_{n=1}^\infty\), \((b_n)_{n=1}^\infty\) con \(\lim_{n\to \infty} d_X(a_n,b_n) \leq 1/n\) pero \(d_Y(f(a_n),f(b_n)) \geq \varepsilon_0\) para toda \(n\), por lo que \[ \lim_{n\to \infty}d_X(a_n,b_n)=0, \quad \lim_{n\to infty} d_Y(f(a_n),f(b_n)) \ne 0. \]
Prueba que una función uniformemente continua, \(f:X\to Y\), manda sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy.
Si \(f:(X,d_X)\to (Y,d_Y)\) es una función uniformemente continua en \(X\) prueba que \(f\) manda subconjuntos totalmente acotados en subconjuntos talmente acotados.
Sea \((f_n:[a,b]\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones diferenciables que satisface:
Además da un ejemplo que muestre que la condición 2 no puede ser eliminada.
Para \(K>0\) y \(\alpha \in (0,1]\) define \[ \mathcal{F}=\{f\in \rm{Lip}_K(\alpha)| f(0)=0 \} \] Prueba que \(\mathcal{F}\) es un subconjunto compaco de \(C([0,1])\).
Dado un intervalo \([a,b]\subset \mathbb{R}\), por \(\rm{Iso}([a,b])\) denotamos al conjunto de todas las isometrías de \([a,b]\) en \([a,b]\). Es decir \(f\in \rm{Iso}([a,b])\) sii \(f:[a,b]\to [a,b]\) y \(d(x,y)=d(f(x),f(y))\), para toda \(x,y\in [a,b]\).
Prueba que \(\rm{Iso}([a,b])\) es un subconjunto compacto de \(C([a,b])\).
Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) espacios métricos y \(D\subseteq X\).
Sea \(f: D \to Y\) una función uniformemente continua en \(D\) y supongamos que \(D\) es denso en \(X\) y que \(Y\) es completo.
Entonces \(f\) se extiende de manera única a una función uniformemente continua en todo \(X\). Es decir, existe \(F:X \to Y\) uniformemente continua en \(X\) tal que \(F(a)=f(a)\), para todo \(a\in D\).
Dado \(x\in X\) vamos a definir \(F(x)\) como un límite. Primero, ya que \(D\) es denso en \(X\), existe \((a_n)_{n=1}^\infty \subseteq D\) tal que \[ \lim_{n\to \infty}d_X(a_n,x)=0 \] Afirmamos que \((f(a_n))_{n=1}^\infty\) es Cauchy. Razón: para \(\varepsilon >0\) sea \(\delta > 0\) la \(\delta\) de la continuidad uniforme de \(f\) en \(D\). Ya que \(\lim_{n\to \infty}d_X(a_n,x)=0\) la sucesión \((a_n)_{n=1}^\infty\) es convergente y por lo tanto Cauchy así que para el número positivo \(\delta \) existe un natural \(N\) tal que si \(n,m\geq N\) entonces \(d_X(a_n,a_m) < \delta\) y por lo tanto \(d_Y(f(a_n),f(a_m))< \varepsilon\). Por lo tanto \((f(a_n))_{n=1}^\infty\) es de Cauchy.
Al ser \(Y\) completo existe un punto \(y\in Y\) con \(\lim_{n\to \infty}d(_Yf(a_n),y)=0\). Definimos \(F(x)=y\), es decir lo anterior lo podemos escribir como \[ F(x)=f(\lim_{n\to \infty} a_n)= \lim_{n\to \infty}f(a_n). \]
Para proseguir vamos a probar que \(F\) está bien definida, es decir no depende de la sucesión \((a_n)_{n=1}^\infty\). Sea \((\tilde{a}_n)_{n=1}^\infty \subseteq D\) otra subsucesión tal que \(\lim_{n\to \infty} d_X(\tilde{a}_n,x)=0\). Debemos de probar que \[ \lim_{n\to \infty} f(a_n)=\lim_{n\to \infty} f(\tilde{a}_n). \] Nota: por un argumento similar al anterior \(\lim_{n\to \infty} f(\tilde{a}_n)\) existe, denotemoslo \(\tilde{y}\). Es decir \(\lim_{n\to \infty} d_Y(f(\tilde{a}_n),\tilde{y})=0\).
Utilizando que \[ \lim_{n\to \infty} d_X(a_n,x)=0=\lim_{n\to \infty} d_X(\tilde{a}_n,x) \] y la desigualdad del triángulo deducimos que \(\lim_{n\to \infty} d_X(a_n,\tilde{a}_n) =0\). Entonces se sigue del Ejercicio 10.8 que \[ \lim_{n\to \infty} d_Y(f(a_n),f(\tilde{a}_n)) =0. \] Si ahora consideramos la desigualdad \[ d_Y(y,\tilde{y})\leq d_Y(y,f(a_n))+d_Y(f(a_n),f(\tilde{a}_n))+d_Y(f(\tilde{a}_n),y') \] y tomamos límite cuando \(n\to \infty\) concluimos que \(d_Y(y,\tilde{y})=0\). Es decir \(\lim_{n\to \infty}f(a_n)=y=\tilde{y}=\lim_{n\to \infty}f(\tilde{a}_n)\). Esto termina la prueba de que \(F\) está bien definida.
Como una consecuencia de que \(F\) está bien definida se tiene que \(F(a)=f(a)\) para toda \(a\in D\). En efecto, dado \(a\in D\), simplemente usamos la sucesión constante \(a_n=a\) para llegar que \[ F(a)=\lim_{n\to \infty} f(a)=f(a). \]
Resta probar que \(F\) es uniformemente continua. Sea \(\varepsilon>0\) fija y arbitraria y sea \(\delta >0\) la de la continuidad uniforme de \(f\) en \(D\) para \(\varepsilon/2\). Afirmamos que si \(x,x'\in X\) y \(d(x,x')< \delta\) entonces \(d_Y(F(x),F(x'))< \varepsilon\). Razón: sean sucesiones \((a_n)_{n=1}^\infty, (a_n')_{n=1}^\infty \subseteq D\) tales que \[ \lim_{n\to \infty} d_X(x,a_n)=0, \quad \lim_{n\to \infty} d_X(x',a_n')=0. \]
Usando que la función distancia es continua y ya que tenemos la desigualdad \(d_X(x,x')< \delta\), los límites anteriores aseguran que existe un \(N\in \mathbb{N}\) tal que para todo \(n\geq N\), \(d_X(a_n,a_n')< \delta \). Por la continuidad uniforme de \(f\) en \(D\) se sigue que \[d_Y(f(a_n),f(a_n')) < \varepsilon/2\] Pero por la definición de la función \(F\), \[ F(x)=\lim_{n\to \infty} f(a_n), F(\tilde{x})=\lim_{n\to \infty} f(a_n') \] asi que al tomar límite cuando \(n\to \infty\) en la desigualdad anterior y utilizando que la función distancia es continua llegamos a que \[ d_Y(F(x),F(\tilde{x})) \leq \varepsilon/2 < \varepsilon \] probando lo que queremos.
Si \((\tilde{X}, \tilde{d})\) y \((\hat{X}, \hat{d})\) son dos completaciones de \((X,d)\) entonces ambas son isométricas.
Debemos de probar que existe una biyección \(F:\tilde{X}\to \hat{X}\) que cumple \(\hat{d}(F(x),F(y))=\tilde{d}(x,y)\), para todos \(x,y\in \hat{X}\).
Sean \(\alpha: X \to \tilde{X}, \beta:X \to \hat{X}\) isometrías tal que \(\alpha(X)\) es denso en \(\tilde{X}\) y \(\beta(X)\) es denso en \(\hat{X}\).
Vamos a definir \(f: \alpha(X) \to \hat{X} \) mediante \[ f(\alpha(x))=\beta(x) \] Esta función está bien definida pues \(\alpha\) es inyectiva. Además \(f\) es isometría pues al ser \(\alpha\) y \(\beta\) isometrías \[ d_{\tilde{X}}(\alpha(x),\alpha(x'))=d(x,x')=d_{\hat{X}}(\beta(x),\beta(x')) \] lo cual se puede reescribir como \[ d_{\tilde{X}}(\alpha(x),\alpha(x'))=d(x,x')=d_{\hat{X}}(f(\alpha(x)),f(\alpha(x'))). \]
La idea para encontrar \(F\) es completar el siguiente diagrama extendiendo la función \(f\) \[ \begin{array}{ccc} \tilde{X} & \xrightarrow{F} & \hat{X} \\ \uparrow & & \uparrow \\ \alpha(X) & \xrightarrow{f} & \beta(X) \end{array} \]
Al ser \(f\) isometría también es uniformemente continua en \(\alpha(X)\). Por el Teorema 10.12 se puede extender \(f\) a una función uniformemente continua \(F:\tilde{X}\to \hat{X}\) tal que \(F(\alpha(x))=f(\alpha(x))=\beta(x)\). Se sigue que para todo \(x,x'\in X\), \[ d_{\hat{X}}(F(\alpha(x)), F(\alpha(x')))=d_{\tilde{X}}(\alpha(x), \alpha(x')), \] pero \(\alpha(X)\) es denso en \(\tilde{X}\) así que la identidad anterior implica que \[ d_{\hat{X}}(F(\tilde{x}), F(\tilde{x}')))=d_{\tilde{X}}(\tilde{x}, \tilde{x}') \] para todos \(\tilde{x},\tilde{x}'\in \tilde{X}\), probando que \(F\) es una isometría.
Al ser isometría \(F\) es inyectiva, resta probar que \(F\) es suprayectiva. Pero por construcción de \(F\), \(F(\alpha(x))=\beta(x)\) para toda \(x\in X\). Por lo tanto \(F(\alpha(X))=\beta(X)\). Tomando cerradura en ambos lados y usando que \(\hat{X}\) es una completación llegamos a \[ \overline{F(X)}=\overline{\beta(X)}=\hat{X} \] pero al ser \(F\) isometría, \(\overline{F(\alpha(X))}=F(\overline{\alpha(X)})=F(\tilde{X})\). Por lo tanto \(F(\tilde{X})=\hat{X}\) y \(F\) es suprayectiva.
Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \(D \subseteq X\) un subconjunto denso de \(X\). Prueba que \(M\) es isométrico a un subconjunto de \(\ell_\infty(D)\).
En particular si \((X,d)\) es separable entonces es isométrico a un subconjunto de \(\ell_\infty\).
Sugerencia: primero prueba que \(D\) es isométrico a un subconjunto de \(\ell_\infty(D)\) (ver Lema 2.29), después usa el Teorema 10.17.
Sea \(X\) un conjunto cualquiera y \((Y,\rho)\) un espacio métrico. Decimos que una sucesión de funciones \((f_n:X\to Y)_{n=1}^\infty\) es uniformemente de Cauhcy (o Cauchy-uniforme) en \(X\) si:
para toda \(\varepsilon > 0 \) existe \(N\in \mathbb{N}\) con la propiedad de que, para todo \(x\in X\) y para todos \(n,m \geq N\) \[ \rho(f_n(x),f_m(x)) < \varepsilon \]
Sea \((Y,\rho)\) un espacio métrico completo y \(X\) un conjunto cualquiera.
Sea \((f_n:X\to Y)_{n=1}^\infty\) es una sucesión de funciones que es uniformemente de Cauchy en \(X\).
Entonces existe \(f:X\to Y\) tal que \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge uniformemente a \(f\) en \(X\).
Prueba que toda función \(f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}\) es uniformemente continua.
Nota: \(\mathbb{N}\) y \(\mathbb{R}\) tienen la métrica usual.