Análisis Matemático UNO

§ 10

Espacios de funciones

Ejercicio

Sea \(X\ne \emptyset\) un conjunto cualquiera. Por \(\mathcal{B}(X)\) denotamos al conjunto de funciones con valores reales, acotadas sobre \(X\). Es decir \[ \mathcal{B}(X)=\{ f:X \to \mathbb{R} | \sup_{x\in X}\{|f(x)| \} < \infty \} \] Para \(f\in \mathcal{B}\) define \[ \|f\|_\infty=\sup_{x\in X}\{ |f(x)|\} \] Prueba que \((\mathcal{B}(X), \|\cdot \|_\infty)\) es un espacio vectorial normado.

Nota

El espacio de las funciones acotadas y la norma uniforme.

El espacio vectorial normado, \((\mathcal{B}(X),\| \cdot \|_\infty)\), jugará un papel importante en el estudio de las funciones continuas pues bajo ciertas suposiciones \(\mathcal{B}(X)\) las contiene. Por lo tanto se presentan algunos ejemplos de subconjuntos de dichos espacios y una manera de visualizarlos.

Nota

Límites en la norma uniforme

En esta nota veremos la convergencia en el espacio de funciones acotadas con la norma uniforme, \(\mathcal{B}(X), \| \cdot\|_\infty\). Rcordamos que una sucesión de funcions \((f_n)_{n\in \mathbb{N}}\) en \(\mathcal{B}(X)\) converge a una función \(f \in \mathbb{B}(X)\) si y sólo si \[ \lim_{n\to \infty} \| f_n - f \|_\infty =0. \]

En términos de \(\varepsilon\)'s lo anterior quiere decir que, para toda \(\varepsilon >0\) existe \(N\in \mathbb{N}\), tal que para toda \(n \geq N\) \(\| f_n - f \|_\infty < \varepsilon\). Si analizamos la expresión \(\|f_n-f\|_\infty <\varepsilon \) aún más tenemos que se debe de cumplir \[ |f_n(x)-f(x)| < \varepsilon \] para toda \(x\in X\). En términos de las gráficas de \(f\) y \(f_n\) lo anterior nos dice que las gráficas de \(f_n\), para \(n \geq N\), están todas contenidas en una franja centrada en la gráfica de \(f\) de radio \(\varepsilon\):

Así la convergencia en el espacio \((\mathcal{B}(X), \| \cdot\|_\infty)\) se puede pensar como que las gráficas se van concentrando dentro de franjas donde éstas franjas se pueden tomar tan angostas como se quieran.

ConvergenciaSucEspFunciones

Otra característica importante de la convergencia en el espacio \((\mathcal{B}(X),\|\cdot\|_\infty)\) es que si \(\lim_{n\to \infty} \|f_n - f\|=0\) entonces, para toda \(x\in X\) se cumple \begin{equation}\label{Eqn:LimitePuntual} \lim_{n\to \infty} f_n(x)=f(x). \end{equation} Es importante notar que el último límite es un límite de números reales. Para probar \eqref{Eqn:LimitePuntual} simplemente notamos que, de la definición de la norma \(\|\cdot \|_\infty\), se sigue \[ |f_n(x)-f(x)| \leq \|f_n-f\|_\infty \] tomando límite cuando \(n\to \infty\) y usando la ley del sandwich concluimos que \(\lim_{n\to \infty}f_n(x)=f(x)\).

Teorema

Sea \(X\ne \emptyset\) un conjunto cualquiera. Entonces \((\mathcal{B}(X), \| \cdot\|_\infty)\) es un espacio vectorial normado completo.

Por el Ejercicio 10.1 sólo resta probar que si \((f_n)_{n=1}^\infty \subset \mathcal{B}(X)\) es Cauchy con respecto a \(\|\cdot\|_\infty\) entonces existe \(f\in \mathcal{B}(X)\) tal que \[ \lim_{n\to \infty}\|f_n-f \|_\infty=0 \]

Primero notamos que para todo \(\varepsilon> 0\) existe \(N\in \mathbb{N}\) tal que si \(n,m\geq N\) entonces \[ \leq \|f_n-f_m\|_\infty < \varepsilon. \] Pero por definición de la norma uniforme, para todo \(x\in X\) se sigue \begin{equation}\label{Eqn:AuxCompletezAcotadas} |f_n(x)-f_m(x)|\leq \|f_n-f_m \|_\infty < \varepsilon. \end{equation} Asi que la sucesión de reales \((f_n(x))_{n=1}^\infty\) es Cauchy y por lo tanto convergente. Definimos \(f(x)=\lim_{n\to \infty} f_n(x)\).

El primer paso es probar que \(f\) es acotada. Para esto, para \(\varepsilon =1\) la ecuación \eqref{Eqn:AuxCompletezAcotadas} implica que dada \(x\in X\) fija \[ ||f_n(x)|-|f_m(x)|| \leq |f_n(x)-f_m(x)| < 1 \Rightarrow |f_n(x)|\leq 1+ |f_m(x)| \] para todo \(n,m\geq N\). Fijando \(m=N\) y tomando \(n\) que tienda a infinito llegamos a \[ |f(x)|\leq 1+ |f_m(x)|\leq 1+ \|f_m\|_\infty \] Al ser \(x\) arbitrario concluimos que \(f\) es acotada, es decir \(f\in \mathcal{B}(X)\).

Para terminar debemos de probar que \(\lim_{n\to \infty}\| f-f_n\|_\infty=0\). De la ecuación \eqref{Eqn:AuxCompletezAcotadas} tenemos que para todo \(x\in X\) \[ |f_n(x)-f_m(x)| < \varepsilon \] para todos \(n,m\geq N\). Si fijamos \(m\geq N\) y hacemos \(n\) tender a infinito llegamos a \[ |f(x)-f_m(x)|\leq \varepsilon. \] Pero \(x\) es arbitrario así que si tomamos supremo sobre \(x\in X\) obtenemos \[ \|f-f_n\|_\infty < \varepsilon \] Finalmente, ya que la desigualdad anterior es válida para todo \(m\geq N\) concluimos \(\lim_{m\to \infty}\| f-f_m\|=0\).

Ejercicio

Sean \(f,g\in \mathcal{B}(X)\). Prueba que la función producto \(fg\) pertenece a \(\mathcal{B}(X)\) y que \[ \|fg\|_\infty \leq \|f\|_\infty \|g\|_\infty \]

Ejercicio

Sea \(f\in \mathcal{B}(X)\). Prueba \(\| f - \| f\| \|_\infty \leq \|f\|_\infty \) si y sólo si \(f(x)\geq 0\) para toda \(x\in X\).

Nota: se está usando \(\|f\|\) para denotar tanto al escalar como a la función constante igual a \(\|f\|\).

Teorema

Sea \((X,d)\) un espacio métrico y sea \((f_n)_{n=1}^\infty \subset \mathcal{B}(X)\). Supongamos que todas las funciones \(f_n\) son continuas en \(x_0\) y \(\lim_{n\to \infty}\|f_n-f\|_\infty=0\) para una función \(f\in \mathcal{B}(X)\). Entonces \(f\) es continua en \(x_0\).

En consecuencia el espacio de funciones acotadas y continuas en \(X\) forma un espacio vectorial normado completo.

Fijamos \(x_0\in X\) y probamos que \(f\) es continua en \(x_0\).

Primero encontramos un \(n_1\in \mathbb{N}\) tal que \(\|f_{n_1}-f\|_\infty < \varepsilon/3\).

A continuación, usando que \(f_{n_1}\) es continua encontramos un \(\delta> 0\) que satisfaga \[ d(x,x_0)< \delta \Rightarrow |f_{n_1}(x)-f_{n_1}(x_0)| < \varepsilon/3 \]

Por último se sigue que si \(d(x,x_0)< \delta \) entonces \begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)| &\leq & |f(x)-f_{n_1}(x)|+|f_{n_1}(x)-f_{n_1}(x_0)|+ |f_{n_1}(x_0)-f(x_0)| \\ &\leq & 2\|f_{n_2}-f\|_\infty + |f_{n_1}(x)-f_{n_1}(x_0)| \\ &< &2 \frac{\varepsilon}{3}+ \frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon. \end{eqnarray*}

Nota

Si \((X,d)\) es un espacio métrico compacto el Teorema 8.18 asegura que \[ \sup_{x\in X}\{|f(x)| \} < + \infty\] y por lo tanto las funciones continuas son un subconjunto de \(\mathcal{B}(X)\). El Teorema anterior implica que las funciones continuas son un subconjunto de cerrado de \((\mathcal{B}(X))\) y por lo tanto un espacio vectorial normado completo.

Por \(C(X)\) denotamos al cojunto de funciones continuas de \(X\) a \(\mathbb{R}\).

Ejercicio

Considera el espacio métrico \((C([0,1]), d)\), donde \(d\) es la métrico uniforme, es decir, la métrica inducida por la norma uniforme, \(\| \cdot\|_\infty\).

Para cada una de las siguientes sucesiones de funciones, \((f_n)_{n\in \mathbb{N}}\), investiga si el límite \(\lim_{n\to \infty} f_n\) existe o no en \((C([0,1]),d)\).

  1. \(f_n(t)=\frac{\sen(nt+1/n)}{n}\).
  2. \(f_n(t)=t(1-t)^n\).
  3. \(f_n(t)=\frac{n^2t}{1+nt^2}\).
  4. \( f_n(t)=\frac{nt}{1+n^2t^2}\).

Definición

Una función \(f:(X,d_X)\to (Y,d_Y)\) se llama uniformemente continua en \(X\) si, para toda \(\varepsilon >0 \) existe \(\delta >0\), que sólo depende de \(\varepsilon > 0\), tal que para cualesquiera \(x_1,x_2\in X\) que satisfacen \(d_X(x_1,x_2)< \delta\) se cumple que \(d_Y(f(x_1),f(x_2))<\varepsilon\).

La diferencia fundamental entre una función uniformemente continua y una función continua es que la \(\varepsilon\) de la continuidad uniforme sirve para TODOS los puntos de \(X\), es decir, la \(\varepsilon\) NO depende del punto donde se está analizando la continuidad.

Ejemplos y contra-ejemplos.

Ejercicio

Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) espacios métricos y \(f:X\to Y\) uniformemente continua.

Utilizando la noción de diámetro prueba que para toda \(\varepsilon > 0\) existe \(\delta >0\), tal que \[ \operatorname{diam}(A) < \delta \Rightarrow \operatorname{diam}(f(A)) \leq \varepsilon \] donde \(A\) es cualquier subconjunto de \(X\).

Ejercicio

Prueba que la función \(f:[0,\infty)\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\sqrt{x}\), es uniformemente continua en \([0,\infty)\).

Sugerencia: prueba la desigualdad, \(|\sqrt{a}-\sqrt{b}|\leq \sqrt{|a-b|}\), válida para todos \(a,b\in \mathbb{R}\).

Ejercicio

Supon que \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) es una función continua en todo \(\mathbb{R}\) y que \(\lim_{x\to \pm \infty} f(x)=0\). Prueba que \(f\) es uniformemente continua en \(\mathbb{R}\).

Ejercicio

  1. Da una ejemplo de una función continua y acotada \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) que no sea uniformemente continua.
  2. Da un ejemplo de una función continua y uniformemente continua \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) que no sea acotada.

Ejercicio

Sea \(f:(a,b)\to \mathbb{R}\) una función uniformemente continua en \((a,b)\). Prueba que \(f\) es acotada en \((a,b)\).

Ejercicio

Una función entre dos espacios métricos \(f:(X,d_X)\to (Y,d_Y)\) se llama Lipschitz de orden \(\alpha \), donde \(\alpha \in (0,\infty) \) es una constante, si existe una constate \(K>0\) que satisface: \[ d_Y(f(x_1), f(x_2)) \leq K (d(x_1,x_2))^\alpha \] para todos \(x_1,x_2\in X\).

  1. Prueba que toda función Lipschitz de orden \(\alpha\) es uniformemente continua.

  2. Prueba que si \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) es Lipschitz de orden \(\alpha\) y \(\alpha >1\) entonces \(f\) es una función constante. Sugerencia: investiga si la función es diferenciable.

Ejercicio

Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) espacios métricos y \(f:X\to Y\).

Prueba que \(f\) es uniformemente continua en \(X\) si y sólo si para cualesquiera par de sucesiones \((a_n)_{n=1}^\infty, (b_n)_{n=1}^\infty\) en \(X\) con la propiedad de que \[ \lim_{n\to \infty} d_X(a_n,b_n)=0 \] se cumple que \[ \lim_{n\to \infty} d_Y(f(a_n),f(b_n))=0. \]

Sugerencia: para el regreso supon que \(f\) no es uniformemente continua y llega a una contradicción.

\(\Rightarrow ] \) Supongamos que \(f\) es uniformemente continua en \(X\) y que las sucesiones \((a_n)_{n=1}^\infty, (b_n)_{n=1}^\infty\) satisfacen \begin{equation}\label{Eqn:AuxEjerCharcContUnfir} \lim_{n\to \infty} d_X(a_n,b_n)=0. \end{equation}

Debemos de probar que \(\lim_{n\to infty} d_Y(f(a_n),f(b_n))=0\). Sea \(\varepsilon >0\). Por continuidad uniforme existe una \(\delta > 0\) tal que si \(a,b \in X\) con \(d_X(a,b)< \delta\) entonces \(d_Y(f(a),f(b))< \varepsilon\). Ahora, por \eqref{Eqn:AuxEjerCharcContUnfir} existe una \(N\in \mathbb{N}\) tal que si \(n \geq N\), \(d_X(a_n,b_n)< \delta \) y en consecuencia \(d_Y(f(a_n),f(b_n))< \varepsilon\), para toda \(n \geq N\).

\(\Leftarrow ]\) Esta parte la hacemos por contrapositiva. Supongamos que \(f\) NO es uniformemente continua en \(X\). Como consecuencia existe un \(\varepsilon_0 >0\) tal que para todo \(\delta > 0\) existen puntos \(a,b\in X\) tal que \(d_X(a,b)< \delta\) pero \(d_Y(f(a_n),f(b_n) \geq \varepsilon_0\). Tomando valores de \(\delta\) de la forma \(\delta=1/n\) se construyen sucesiones \((a_n)_{n=1}^\infty\), \((b_n)_{n=1}^\infty\) con \(\lim_{n\to \infty} d_X(a_n,b_n) \leq 1/n\) pero \(d_Y(f(a_n),f(b_n)) \geq \varepsilon_0\) para toda \(n\), por lo que \[ \lim_{n\to \infty}d_X(a_n,b_n)=0, \quad \lim_{n\to infty} d_Y(f(a_n),f(b_n)) \ne 0. \]

Ejercicio

Prueba que una función uniformemente continua, \(f:X\to Y\), manda sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy.

Ejercicio

Si \(f:(X,d_X)\to (Y,d_Y)\) es una función uniformemente continua en \(X\) prueba que \(f\) manda subconjuntos totalmente acotados en subconjuntos talmente acotados.

Teorema

Sea \((K,d)\) un espacio métrico compacto. Entonces toda función continua \(f:(K,d)\to (Y,\rho)\) es uniformemente continua.

Sea \(\varepsilon >0\) fija y arbitraria. Para cada \(x\in X\) existe una \(\delta_x > 0\) (la de la continuidad de \(f\) en \(x\)) tal que \[ d(x,y)< \delta_x\Rightarrow d(f(x),f(y))< \varepsilon/2 \]

Ahora consideramos la cubierta abierta de \(K\): \[ \{ B_{\delta_x/2}(x): x\in K \} \] Al ser \(K\) compacto existe una cantidad finita \(x_1,\dots, x_n \in K\) tal que \begin{equation}\label{Eqn:Aux1CompactoImplicaContiUnif} K\subseteq \cup_{i=1}^n B_{\delta_{x_i}/2}(x_i). \end{equation} Definimos \(\delta = \min\{ \delta_{x_1}/2,\dots, \delta_{x_n}/2\} > 0\). Afirmamos que si \(y,z\in X\) son arbitrarios y cumplen \(d(y,z)< \delta\) entontces \(d(f(y),f(z)) < \varepsilon\). Para probar lo anterior primero usamos \eqref{Eqn:Aux1CompactoImplicaContiUnif} para poder encontrar \(x_{i}\) con \(d(y,x_{i}) < \delta_{x_{i}}/2\). Se sigue que \[ d(z,x_i)\leq d(z,y)+d(y,x_i)< \delta + \delta_{x_i}/2 \leq \delta_{x_i}/2+\delta_{x_i}/2=\delta_{x_i} \] Por lo tanto \(d(f(y),f(x_i))< \varepsilon/2\) y \(d(f(z),f(x_i))<\varepsilon/2\) de donde concluimos que \(d(f(x),f(y))< \varepsilon\).

Compacidad en \(C(X)\)

Sea \((X,d)\) un espacio métrico compacto. Nuestro próximo objtivo es encontrar un criterio para saber si un subconjunto \(\emptyset \ne \mathcal{F} \subset C(X)\) es compacto. Ya que el espacio \( (C(X),\|\cdot\| )\) es completo sabemos que un conjunto es compacto si y sólo si es: (1) cerrado, (2) totalmente acotado (Teorema 9.27).

Ya se han estudiado conjuntos cerrados así que ahora se trata de encontrar condiciones, en el caso especial de funciones continuas, para las cuales los conjuntos sean totalmente acotados. La siguiente definición va en ésta dirección.

Definición

Sea \((X,d)\) un espacio métrico. Una familia de funciones \(\mathcal{F}\subset C(X)\) se llama uniformemente equicontinuo si para toda \(\varepsilon >0\) existe una \(\delta >0 \) tal que si \(d(x,y)< \delta\) entonces \(|f(x)-f(y)|< \delta \), para toda \(f\in \mathcal{F}\).

En otras palabras, todas la funciones en la familia \(\mathcal{F}\) son uniformemente continuas y además dada \(\varepsilon >0\) existe una \(\delta >0\) que sireve como la \(\delta\) de la continuidad uniforme para TODAS las funciones en la familia \(\mathcal{F}\).

Nota: en algunos textos se le llama equicontinua, quitando el adjetivo uniformemente.

Ejemplos.

  1. Sea \((X,d)\) un espacio métrico compacto. Entonces todo subconjunto finito \(\mathcal{F} \subset C(X)\) es uniformemente equicontinuo. En efecto, si \(\mathcal{F}=\{f_1,\dots, f_n \}\), ya que cada \(f_i\) es continua y \(X\) es compacto, existe una \(\delta_i > 0\) tal que si \(d(x,y)< \delta_i\) entonces \(|f(x)-f(y)|< \delta_i\). Tomando \(\delta = \min\{\delta_1, \dots, \delta_n \}\) logramos el objetivo.
  2. Sean \((X,d_X)\), \((Y,d_Y)\) espacios métricos. Recuerda que una función \(f:X\to Y\) es Lipschitz continua con constantes \(K\) y orden \(\alpha\) si \(d_Y(f(x),f(y))\leq K(d_X(x,y))^\alpha\) para todos \(x,y\in X\). Por \(\rm{Lip}_K(\alpha)\) denotamos al conjunto de funciones Lipschitz continuas con constantes \(K\) y orden \( \alpha \). Entonces \(\rm{Lip}_K(\alpha)\) es uniformemente equicontinua pues dada \(\varepsilon >0\), \(\delta:=(\varepsilon/K)^{1/\alpha}\) sirve como la \(\delta\) de la continuidad uniforme para todo elemento de \(\rm{Lip}_K(\alpha)\).

Ejercicio

En \(C(\mathbb{R})\) considera la familia de funciones \(\mathcal{F}=\{f_m\}_{m\in (0,\infty)}\), donde \(f_m(t)=mt\). Prueba que \(\mathcal{F}\) no es uniformemente equicontinua.

Lema

Sea \((X,d)\) un espacio métrico compacto. Si \(\mathcal{F}\subset C(X)\) es totalmente acotado entonces \(\mathcal{F}\) es uniformemente equicontinua.

Sea \(\varepsilon >0\) y tomemos \(f_1,\cdots, f_n \in \mathcal{F}\) una \(\frac{\varepsilon}{3}\)-red de \(\mathcal{F}\). Al ser \((X,d)\) compacto cada función \(f_i\) es uniformemente continua en \(X\) y por lo tanto existe \(\delta_i >0\) con la propiedad de que si \(d(x,y)< \delta_i\) entonces \(|f_i(x)-f_i(y)|< \frac{\varepsilon}{3}\). Tomamos \(\delta=\min\{\delta_1,\cdots, \delta_n\}\).

Finalmente probamos que para toda \(f\in \mathcal{F}\), \(\delta\) sirve como la de la continuidad uniforme. Sea \(x,y\in X\) con \(d(x,y)<\delta\). Ya que \(\{f_1,\dots, f_n\}\) es una \(\varepsilon\)-red de \(\mathcal{F}\), existe \(f_i\) tal que \(\|f-f_i\|_\infty < \varepsilon \). Se sigue que \begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| &\leq & |f(x)-f_i(x)|+ |f_i(x)-f_i(y)|+ |f_i(y)-f(y)| \\ &\leq & 2\| f-f_i\|_\infty+ |f_i(x)-f_i(y)| \\ &< & 2\frac{\varepsilon}{3}+ \frac{\varepsilon}{3} \end{eqnarray*}

Lema

Sea \((X,d)\) un espacio métrico compacto. Sea \(\mathcal{F}\subset C(X)\) una familia de funciones que satisface:

  1. \(\mathcal{F}\) es uniformemente equicontinua,
  2. para toda \(x\in X\), \(\sup_{f \in \mathcal{F}}\{ |f(x)|\}< + \infty\).
Entonces \(\mathcal{F}\) es totalmente acotado.

Sea \(\varepsilon >0\). Vamos a descomponer \(\mathcal{F}\) como la unión finita de conjuntos con diámetro menor o igual a \(\varepsilon\) (ver Lema 9.19).

Para \(\frac{\varepsilon}{4}\) sea \(\delta>0 \) la de la equicontinuidad uniforme para \(\mathcal{F}\). Es decir, si \(d(x,y)< \delta\), \(|f(x)-f(y)|< \frac{\varepsilon}{4}\), para toda \(f\in \mathcal{F}\).

Al ser \((X,d)\) compacto existe \(\{x_1,\dots, x_k\}\) una \(\delta\)-red, es decir \[ X=\cup_{i=1}^k B_{\delta}(x_i). \]

Por hipótesis, para toda \(i=1,\dots, k\), \(\sup_{f\in \mathcal{F}}\{ |f(x_i)|\}<+\infty\) asi que existe \(M_i>0\) tal que \(\{ f(x_i): f\in \mathcal{F}\}\subseteq [-M_i,M_i]\). Sea \(M=\max_{i=1,\dots, k}\{M_i\}\).

Al ser \([-M,M]\) compacto existen \(t_1,\dots, t_m\in [-M,M]\) tal que \[ [-M,M]\subseteq \cup_{j=1}^m B_{\varepsilon/4}(t_j) \]

Para un vector \((t_{j_1}, \dots, t_{j_k})\) definimos \[ A(t_{j_1}, \cdots, t_{j_k})=\{f\in \mathcal{F}: f(x_1)\in B_{\varepsilon/4}(t_{j_1}),\dots, f(x_k)\in B_{\varepsilon/4}(t_{j_k}) \} \] Por \(I\) denotamos al conjunto de todos los vectores de la forma \((t_{j_1}, \dots, t_{j_k})\). Notamos que \(I\) es finito.

Ya que para toda \(f\in \mathcal{F}\) y toda \(i=1,\dots, k\), \[ f(x_i)\in [-M_i,M_i]\subseteq [-M,M] \subset \cup_{j=1}^m B_{\varepsilon/4}(t_j) \] existen \(t_{j_1}, \dots, t_{j_k}\) tal que \(f(x_i)\in B_{\varepsilon/4}(t_{j_i})\), \(i=1,\dots,k\), por lo que \[ \mathcal{F}=\cup_{(t_{j_1},\dots, t_{j_k})\in I}A(t_{j_1},\dots, t_{j_k}). \]

Afirmamos que \( \textrm{diam}(A(t_{j_1},\dots, t_{j_k}) ) \leq \varepsilon\).

Sean \(f,g\in A(t_{j_1},\dots, t_{j_k}) \). Para \(x\in X\) arbitrario tomamos \(x_i\) en la red con \(d(x,x_i)< \delta\). Por equicontinuidad uniforme \(|f(x)-f(x_i)|< \frac{\varepsilon}{4},|g(x)-g(x_i)|< \frac{\varepsilon}{4} \) y por lo tanto \begin{eqnarray*} |f(x)-g(x)| &\leq & |f(x)-f(x_i)|+ |f(x_i)-g(x_i)|+|g(x_i)-g(x)| \\ & < & \frac{\varepsilon}{2}+ |f(x_i)-g(x_i)| \end{eqnarray*} Usando que \(f,g\in A(t_{j_1}, \dots, t_{j_k})\) tenemos que \(f(x_i),g(x_i)\in B_{\varepsilon/4}(t_{j_i})\) por lo que \(|f(x_i)-g(x_i)|< \frac{\varepsilon}{2}\), concluyendo \(|f(x)-g(x)|< \varepsilon\). Al ser \(x\) arbitraria concluimos \(\|f-g\|_\infty \leq \varepsilon \) y al ser \(f,g\in A(t_{j_1},\dots, t_{j_k})\) arbitrarios tenemos \(\rm{diametro}(A(t_{j_1},\dots, t_{j_k}))\leq \varepsilon\).

Teorema

Arzelá-Ascoli (versión 1)

Sea \((X,d)\) un espacio métrico compacto.

Un subconjunto \(\mathcal{F} \subseteq C(X)\) es compacto, en \((C(X),\|\cdot\|_\infty)\), si y sólo si

  1. \(\mathcal{F}\) es cerrado (con respecto a la norma \(\|\cdot\|_\infty\)),
  2. \(\mathcal{F}\) es acotado (con respecto a la norma \(\|\cdot\|_\infty\)),
  3. \(\mathcal{F}\) es uniformemente equicontinua.

Arzelá-Ascoli (versión 2)

Sea \((X,d)\) un espacio métrico compacto.

Un subconjunto \(\mathcal{F} \subseteq C(X)\) es compacto, en \((C(X),\|\cdot\|_\infty)\), si y sólo si

  1. \(\mathcal{F}\) es cerrado (con respecto a la norma \(\|\cdot\|_\infty\)),
  2. para toda \(x\in X\), \(\sup_{f\in \mathcal{F}}\{|f(x)|\}<+\infty\),
  3. \(\mathcal{F}\) es uniformemente equicontinua.

Nota: si \(\mathcal{F}\) es acotado con respecto a la norma \(\|\cdot\|_\infty\) entonces para toda \(x\in X\): \[ \sup_{f\in \mathcal{F}}\{|f(x)| \} \leq \sup_{f\in \mathcal{F}}\{\|f\|_\infty \}< +\infty. \] Así pues es suficiente probar la versión 2.

\(\Rightarrow ]:\) Si \(\mathcal{F}\) es compacto entonces es cerrado y totalmente acotado. Totalmente acotado implica acotado y por lo tanto, para toda \(x\in X\), \(\sup_{f\in \mathcal{F}}\{|f(x)|\}<+\infty\). Así que sólo resta probar que \(\mathcal{F}\) es uniformemente equicontinuo. Pero Lema 10.23 dice precisamente que totalmente acotado implica equicontinuidad, así que terminamos.

\(\Leftarrow ]: \) Al ser \(C(X)\) completo (ver Teorema 9.27 ) es suficiente probar que \(\mathcal{F}\) es cerrado y totalmente acotado. Cerrado lo tenemos por hipótesis asi que resta probar que \(\mathcal{F}\) es totalmente acotado. Pero por el Lema 10.24 los incisos 2 y 3 de las hipótesis implican que \(\mathcal{F}\) es totalmente acotado, lo que termina la prueba.

Ejercicio

Sea \((f_n:[a,b]\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones diferenciables que satisface:

  1. existe \(M>0\) tal que \(|f_n'(x)|\leq M\), para toda \(n\in \mathbb{N}\) y toda \(x\in [a,b]\),
  2. existe un \(x_0\in [a,b]\) tal que \(\sup_{n\in \mathbb{N}}\{ |f_n(x_0)|\} < +\infty\)
Prueba que \((f_n)_{n=1}^\infty\) admite una subsucesión convergente en \((C([a,b]),\|\cdot\|_\infty)\).

Además da un ejemplo que muestre que la condición 2 no puede ser eliminada.

Ejercicio

Para \(K>0\) y \(\alpha \in (0,1]\) define \[ \mathcal{F}=\{f\in \rm{Lip}_K(\alpha)| f(0)=0 \} \] Prueba que \(\mathcal{F}\) es un subconjunto compaco de \(C([0,1])\).

Ejercicio

Dado un intervalo \([a,b]\subset \mathbb{R}\), por \(\rm{Iso}([a,b])\) denotamos al conjunto de todas las isometrías de \([a,b]\) en \([a,b]\). Es decir \(f\in \rm{Iso}([a,b])\) sii \(f:[a,b]\to [a,b]\) y \(d(x,y)=d(f(x),f(y))\), para toda \(x,y\in [a,b]\).

Prueba que \(\rm{Iso}([a,b])\) es un subconjunto compacto de \(C([a,b])\).

Teorema

Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) espacios métricos y \(D\subseteq X\).

Sea \(f: D \to Y\) una función uniformemente continua en \(D\) y supongamos que \(D\) es denso en \(X\) y que \(Y\) es completo.

Entonces \(f\) se extiende de manera única a una función uniformemente continua en todo \(X\). Es decir, existe \(F:X \to Y\) uniformemente continua en \(X\) tal que \(F(a)=f(a)\), para todo \(a\in D\).

Dado \(x\in X\) vamos a definir \(F(x)\) como un límite. Primero, ya que \(D\) es denso en \(X\), existe \((a_n)_{n=1}^\infty \subseteq D\) tal que \[ \lim_{n\to \infty}d_X(a_n,x)=0 \] Afirmamos que \((f(a_n))_{n=1}^\infty\) es Cauchy. Razón: para \(\varepsilon >0\) sea \(\delta > 0\) la \(\delta\) de la continuidad uniforme de \(f\) en \(D\). Ya que \(\lim_{n\to \infty}d_X(a_n,x)=0\) la sucesión \((a_n)_{n=1}^\infty\) es convergente y por lo tanto Cauchy así que para el número positivo \(\delta \) existe un natural \(N\) tal que si \(n,m\geq N\) entonces \(d_X(a_n,a_m) < \delta\) y por lo tanto \(d_Y(f(a_n),f(a_m))< \varepsilon\). Por lo tanto \((f(a_n))_{n=1}^\infty\) es de Cauchy.

Al ser \(Y\) completo existe un punto \(y\in Y\) con \(\lim_{n\to \infty}d(_Yf(a_n),y)=0\). Definimos \(F(x)=y\), es decir lo anterior lo podemos escribir como \[ F(x)=f(\lim_{n\to \infty} a_n)= \lim_{n\to \infty}f(a_n). \]

Para proseguir vamos a probar que \(F\) está bien definida, es decir no depende de la sucesión \((a_n)_{n=1}^\infty\). Sea \((\tilde{a}_n)_{n=1}^\infty \subseteq D\) otra subsucesión tal que \(\lim_{n\to \infty} d_X(\tilde{a}_n,x)=0\). Debemos de probar que \[ \lim_{n\to \infty} f(a_n)=\lim_{n\to \infty} f(\tilde{a}_n). \] Nota: por un argumento similar al anterior \(\lim_{n\to \infty} f(\tilde{a}_n)\) existe, denotemoslo \(\tilde{y}\). Es decir \(\lim_{n\to \infty} d_Y(f(\tilde{a}_n),\tilde{y})=0\).

Utilizando que \[ \lim_{n\to \infty} d_X(a_n,x)=0=\lim_{n\to \infty} d_X(\tilde{a}_n,x) \] y la desigualdad del triángulo deducimos que \(\lim_{n\to \infty} d_X(a_n,\tilde{a}_n) =0\). Entonces se sigue del Ejercicio 10.8 que \[ \lim_{n\to \infty} d_Y(f(a_n),f(\tilde{a}_n)) =0. \] Si ahora consideramos la desigualdad \[ d_Y(y,\tilde{y})\leq d_Y(y,f(a_n))+d_Y(f(a_n),f(\tilde{a}_n))+d_Y(f(\tilde{a}_n),y') \] y tomamos límite cuando \(n\to \infty\) concluimos que \(d_Y(y,\tilde{y})=0\). Es decir \(\lim_{n\to \infty}f(a_n)=y=\tilde{y}=\lim_{n\to \infty}f(\tilde{a}_n)\). Esto termina la prueba de que \(F\) está bien definida.

Como una consecuencia de que \(F\) está bien definida se tiene que \(F(a)=f(a)\) para toda \(a\in D\). En efecto, dado \(a\in D\), simplemente usamos la sucesión constante \(a_n=a\) para llegar que \[ F(a)=\lim_{n\to \infty} f(a)=f(a). \]

Resta probar que \(F\) es uniformemente continua. Sea \(\varepsilon>0\) fija y arbitraria y sea \(\delta >0\) la de la continuidad uniforme de \(f\) en \(D\) para \(\varepsilon/2\). Afirmamos que si \(x,x'\in X\) y \(d(x,x')< \delta\) entonces \(d_Y(F(x),F(x'))< \varepsilon\). Razón: sean sucesiones \((a_n)_{n=1}^\infty, (a_n')_{n=1}^\infty \subseteq D\) tales que \[ \lim_{n\to \infty} d_X(x,a_n)=0, \quad \lim_{n\to \infty} d_X(x',a_n')=0. \]

Usando que la función distancia es continua y ya que tenemos la desigualdad \(d_X(x,x')< \delta\), los límites anteriores aseguran que existe un \(N\in \mathbb{N}\) tal que para todo \(n\geq N\), \(d_X(a_n,a_n')< \delta \). Por la continuidad uniforme de \(f\) en \(D\) se sigue que \[d_Y(f(a_n),f(a_n')) < \varepsilon/2\] Pero por la definición de la función \(F\), \[ F(x)=\lim_{n\to \infty} f(a_n), F(\tilde{x})=\lim_{n\to \infty} f(a_n') \] asi que al tomar límite cuando \(n\to \infty\) en la desigualdad anterior y utilizando que la función distancia es continua llegamos a que \[ d_Y(F(x),F(\tilde{x})) \leq \varepsilon/2 < \varepsilon \] probando lo que queremos.

Corolario

Si \((\tilde{X}, \tilde{d})\) y \((\hat{X}, \hat{d})\) son dos completaciones de \((X,d)\) entonces ambas son isométricas.

Debemos de probar que existe una biyección \(F:\tilde{X}\to \hat{X}\) que cumple \(\hat{d}(F(x),F(y))=\tilde{d}(x,y)\), para todos \(x,y\in \hat{X}\).

Sean \(\alpha: X \to \tilde{X}, \beta:X \to \hat{X}\) isometrías tal que \(\alpha(X)\) es denso en \(\tilde{X}\) y \(\beta(X)\) es denso en \(\hat{X}\).

Vamos a definir \(f: \alpha(X) \to \hat{X} \) mediante \[ f(\alpha(x))=\beta(x) \] Esta función está bien definida pues \(\alpha\) es inyectiva. Además \(f\) es isometría pues al ser \(\alpha\) y \(\beta\) isometrías \[ d_{\tilde{X}}(\alpha(x),\alpha(x'))=d(x,x')=d_{\hat{X}}(\beta(x),\beta(x')) \] lo cual se puede reescribir como \[ d_{\tilde{X}}(\alpha(x),\alpha(x'))=d(x,x')=d_{\hat{X}}(f(\alpha(x)),f(\alpha(x'))). \]

La idea para encontrar \(F\) es completar el siguiente diagrama extendiendo la función \(f\) \[ \begin{array}{ccc} \tilde{X} & \xrightarrow{F} & \hat{X} \\ \uparrow & & \uparrow \\ \alpha(X) & \xrightarrow{f} & \beta(X) \end{array} \]

Al ser \(f\) isometría también es uniformemente continua en \(\alpha(X)\). Por el Teorema 10.12 se puede extender \(f\) a una función uniformemente continua \(F:\tilde{X}\to \hat{X}\) tal que \(F(\alpha(x))=f(\alpha(x))=\beta(x)\). Se sigue que para todo \(x,x'\in X\), \[ d_{\hat{X}}(F(\alpha(x)), F(\alpha(x')))=d_{\tilde{X}}(\alpha(x), \alpha(x')), \] pero \(\alpha(X)\) es denso en \(\tilde{X}\) así que la identidad anterior implica que \[ d_{\hat{X}}(F(\tilde{x}), F(\tilde{x}')))=d_{\tilde{X}}(\tilde{x}, \tilde{x}') \] para todos \(\tilde{x},\tilde{x}'\in \tilde{X}\), probando que \(F\) es una isometría.

Al ser isometría \(F\) es inyectiva, resta probar que \(F\) es suprayectiva. Pero por construcción de \(F\), \(F(\alpha(x))=\beta(x)\) para toda \(x\in X\). Por lo tanto \(F(\alpha(X))=\beta(X)\). Tomando cerradura en ambos lados y usando que \(\hat{X}\) es una completación llegamos a \[ \overline{F(X)}=\overline{\beta(X)}=\hat{X} \] pero al ser \(F\) isometría, \(\overline{F(\alpha(X))}=F(\overline{\alpha(X)})=F(\tilde{X})\). Por lo tanto \(F(\tilde{X})=\hat{X}\) y \(F\) es suprayectiva.

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \(D \subseteq X\) un subconjunto denso de \(X\). Prueba que \(M\) es isométrico a un subconjunto de \(\ell_\infty(D)\).

En particular si \((X,d)\) es separable entonces es isométrico a un subconjunto de \(\ell_\infty\).

Sugerencia: primero prueba que \(D\) es isométrico a un subconjunto de \(\ell_\infty(D)\) (ver Lema 2.29), después usa el Teorema 10.17.

Quiz

  1. Prueba que toda función \(f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}\) es uniformemente continua.

    Nota: \(\mathbb{N}\) y \(\mathbb{R}\) tienen la métrica usual.

  2. Sea \((X,d)\) un espacio métrico y sean \(f,g:X \to \mathbb{R}\) dos funciones uniformemente continuas. Prueba que la suma también es uniformemente continua.

Definición

Sea \(X\) un conjunto cualquiera y \((Y,\rho)\) un espacio métrico. Decimos que una sucesión de funciones \((f_n:X\to Y)_{n=1}^\infty\) es uniformemente de Cauhcy (o Cauchy-uniforme) en \(X\) si:

para toda \(\varepsilon > 0 \) existe \(N\in \mathbb{N}\) con la propiedad de que, para todo \(x\in X\) y para todos \(n,m \geq N\) \[ \rho(f_n(x),f_m(x)) < \varepsilon \]

Teorema

Sea \((Y,\rho)\) un espacio métrico completo y \(X\) un conjunto cualquiera.

Sea \((f_n:X\to Y)_{n=1}^\infty\) es una sucesión de funciones que es uniformemente de Cauchy en \(X\).

Entonces existe \(f:X\to Y\) tal que \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge uniformemente a \(f\) en \(X\).

Corolario

Sea \(X\ne \emptyset\) un conjunto y \((Y,\rho)\) un espacio métrico completo.

Por \(B(X,Y)\) denotamos al conjunto de funciones acotadas de \(X\) en \(Y\) dotada con la métrica uniforme \[ d_\infty(f,g)=\sup_{x\in X}\{ \rho(f(x),g(x)) \} \]

Entonces \((B(X,Y), d_\infty)\) es un espacio métrico completo.

Por \(C_b(X,Y)\) denotamos al conjunto de funciones continuas y acotadas de \(X\) en \(Y\) dotada con la métrica uniforme. Entonces \((C_b(X,Y),d_\infty)\) es un espacio métrico completo.

Teorema

Teorema de Dini (versión espacios métricos compactos)

Sea \(X\) un espacio métrico compacto.

Sea \((f_n:X\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones continuas en \(X\). Supón que:

  1. para todo \(x\in X\) y para todo \(n\in \mathbb{N}\) se cumple: \[ f_{n+1}(x) \leq f_n(x)\]
  2. para todo \(x\in X\) el límite \(\lim_{n\to \infty}f_n(x)\) existe y la función \(f:X\to \mathbb{R}\) definida por \[ f(x)=\lim_{n\to \infty} f_n(x) \] es continua en \(X\).

Entonces \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge uniformemente a \(f\) en \(X\).

Ejercicio

Por \(C^{(1)}([a,b])\) denotamos al conjunto de funciones \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) con las propiedades de que:

Para \(f\in C^{(1)}([a,b])\) definimos \[ \|f\|_{C^{(1)}}=\max_{x\in [a,b]}\{|f(x)|\}+\max_{x\in [a,b]}\{ |f'(x)|\} \] Prueba que el espacio \((C^{(1)}([a,b]),\|\cdot\|_{C^{(1)}})\) es completo.