De manera intuitiva un espacio métrico es completo si "no tiene agujeros". Este concepto es imporante pues se traduce en existencia de soluciones de muchos tipos de ecuaciones.
El concepto de completitud también está muy ligado al de compacidad pues de hecho todo espacio métrico compacto es completo (pero no siempre alrevés).
Un espacio métrico \((X,d)\) se llama completo si toda sucesión de Cauchy en \(X\) converge a un punto en \(X\).
Por ejemplo, todo espacio métrico discreto es completo, pues las únicas sucesiones de Cauchy son las sucesiones constantes.
Muchos de los ejemplos de espacios métricos completos basan su completitud en la completitud de \(\mathbb{R}\) la cual a su vez es consecuencia del axioma del supremo.
\(\mathbb{R}\) con la métrica usual es completo.
Sea \((x_n)_{n=1}^\infty\) una sucesión de Cauchy (fija y arbitraria). Debemos de probar que existe \(x\in \mathbb{R}\) tal que \(\lim_{n\to \infty}x_n=x\).
Paso 1: \( (x_n)_{n=1}^\infty\) es una sucesión acotada.
Ya que \( (x_n)_{n=1}^\infty\) es de Cauchy, para \(\varepsilon =1\) existe \(N_1\in \mathbb{N}\) tal que, para todos \(n,m \geq N_1\), \(|x_n-x_m|< 1\). Por lo tanto, para toda \(n \geq N_1\): \[ ||x_n|-|x_{N_1}||\leq |x_n-x_{N_1}| < 1 \Rightarrow |x_n| \leq 1+ |x_{N_1}|. \] Si tomamos \(M=\max\{|x_1|, \dots, |x_{N_1}|, 1+|x_{N_1}| \}\), se sigue que, \(|x_n|\leq M\) para todo \(n\geq 1\).
Paso 2: usar compacidad para encontrar el límite.
Sabemos que \([-M,M]\) es compacto (y por lo tanto, compacto por sucesiones) y \((x_n)_{n=1}^\infty \subset [-M,M]\), por lo tanto existe una subsuseción \((x_{n_k})_{k=1}^\infty\) de \( (x_n)_{n=1}^\infty\) y un punto \(x\in [-M,M]\), tal que \(\lim_{k\to \infty} x_{n_k}=x\).
Paso 3: probar \(\lim_{n\to \infty}x_n=x\).
Sea \(\varepsilon >0\). Ahora, \( (x_n)_{n=1}^\infty\) Cauchy implica que existe \(N_0\in \mathbb{N}\) tal que para todo \(n,m\geq N_0\), \[ |x_n-x_m|< \varepsilon/2. \]
Usando que \(\lim_{k\to \infty} x_{n_k}=x\) existe \(k_0 \in \mathbb{N}\) tal que, para todo \(k\geq k_0\), \[ |x_{n_k}-x|< \varepsilon/2. \] Recordando de que \(n_1 < n_2< \cdots < n_k < n_{k+1}< \cdots \), existe \(k > k_0\) tal que \(n_k> N_0\). Ahora, para toda \(n\geq N_0\) se sigue: \[ |x_n-x|\leq |x_n-x_{n_k}|\leq |x_{n_k}-x| \leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \]
Sea \((x_n)_{n=1}^\infty \subseteq \mathbb{R}\) una sucesión de Cauchy.
Por el Ejercicio 4.29 es suficiente probar que \((x_n)_{n=1}^\infty\) admite una subsucesión convergente.
Usando que \((x_n)_{n=1}^\infty\) es de Cauhcy podemos encontrar una subsucesión \((x_{n_k})_{k=1}^\infty\) que satisface \[ |x_{n_{k+1}}-x_{n_k}|< \frac{1}{2^k} \] para todo \(k=1,2,\dots\). En consecuencia para todo natural \(p\geq 1\) \[ |x_{n_{k+p}-x_{n_k}}| \leq \sum_{i=0}^{p-1} \frac{1}{2^{k+i}} \]
Ahora definimos \begin{eqnarray*} \alpha &=& \liminf_{n\to \infty}x_n= \sup_{j \geq 1}\{ \inf_{k\geq j } \{ x_{n_k}\} \} \\ \beta &=& \limsup_{n\to \infty}x_n = \inf_{j \geq 1}\{ \sup_{k\geq j } \{x_{n_k} \}\} \end{eqnarray*} las cuales están bien definidas pues toda subsucesión de Cauchy es acotada (ver Ejercicio 4.27). Por el Lema 4.26 es suficiente probar que \(\alpha=\beta\).
En primer lugar por las propiedades de supremos e ínfimos, para toda \(j\) \begin{eqnarray} \alpha_j:= \inf_{k\geq j } \{x_{n_k} \} & \leq & \sup_{k\geq j } \{x_{n_k} \}=:\beta_j \label{Eqn:Aux1Rcomp}\\ \alpha_j= \inf_{k\geq j } \{x_{n_k} \} & \leq & \inf_{k\geq j+1 } \{x_{n_k} \} =\alpha_{j+1} \label{Eqn:Aux2Rcomp} \\ \beta_{j}=\sup_{k\geq j} \{x_{n_k} \} & \geq & \inf_{k\geq j+1 } \{x_{n_k} \}=\beta_{j+1} \label{Eqn:Aux3Rcomp} \end{eqnarray}
Por \eqref{Eqn:Aux1Rcomp} podemos concluir que \(\alpha \leq \beta\) y por \eqref{Eqn:Aux2Rcomp} y \eqref{Eqn:Aux3Rcomp} tenemos que \begin{eqnarray*} \alpha_1 \leq \alpha_2 \leq \cdots \leq \alpha \\ \beta \leq \cdots \leq \beta_2 \leq \beta_1 \end{eqnarray*}
Afirmamos que para toda \(j\geq 1\): \[ \beta_j-\alpha_j \leq \frac{1}{2^{j-1}}. \]
Fijamos \(\varepsilon\in (0,1)\) arbitrario. Ahora, para \(j\geq 1\) arbitrario, usando las propiedades fundamentales de ínfimos y supremos existen \(k_1,k_2 \geq j\) tales que \begin{eqnarray*} \alpha_j + \varepsilon & > & x_{n_{k_1}} \\ \beta_j -\varepsilon & < & x_{n_{k_2}} \end{eqnarray*} se sigue que \begin{eqnarray*} \beta_j-\varepsilon - (\alpha_j +\varepsilon) < x_{n_{k_2}} - x_{n_{k_1}} \leq |x_{n_{k_2}} - x_{n_{k_1}} | \end{eqnarray*}
Sin pérdida de generalidad podemos suponer \(k_2=k_1+p\), para algún \(p\geq 1\). Por lo tanto se sigue que \begin{eqnarray*} \beta_j - \alpha_j - 2\varepsilon \leq |x_{n_{k_1+p}}-x_{n_{k_1}}|\leq \sum_{i=0}^{p-1} \frac{1}{2^{k_1+i}} \end{eqnarray*} y ya que \(k_1 \geq j\) lo anterior también implica que \begin{eqnarray*} \beta_j - \alpha_j - 2\varepsilon & \leq & \sum_{i=0}^{p-1} \frac{1}{2^{j+i}} \\ &=& \frac{1}{2^j}\sum_{i=0}^{p-1}\frac{1}{2^i} \\ & < & \frac{1}{2^j}\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{2^j} \\ &=& \frac{1}{2^j}2 =\frac{1}{2^{j-1}} \end{eqnarray*}
Tomando límite cuando \(\varepsilon \to 0\) en la desigualdad anterior llegamos a \(\beta_j - \alpha_j \leq 1/2^{j-1}\).
Para concluir que \(\alpha = \beta\) usando que \(\alpha_j \leq \alpha \leq \beta \leq \beta_j\) llegamos a \[ \beta - \alpha \leq \beta_j -\alpha_j \leq \frac{1}{2^{j-1}} \] por lo cual, haciendo \(j\to \infty\) concluimos que \(\alpha = \beta\).
Prueba que \(\mathbb{R}\) con la métrica \(\rho(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|\) no es completo.
Sean \(X,Y\) dos espacios métricos completos.
Prueba que el espacio métrico producto \(X\times Y\) es completo si y sólo si ambos \(X\) e \(Y\) son completos.
Sea \(p\in [1,\infty]\). Prueba que \((\ell_p, \|\cdot \|_p)\) es completo.
Sea \((X,d)\) un espacio métrico completo y \(A \subset X\). Considera el subespacio con la métrica inducida \((A,d_A)\).
Prueba que \((A,d_A)\) es completo si y sólo si \(A\) es un subconjunto cerrado de \(X\).
Prueba que \((c_0, \|\cdot\|_\infty)\) es completo.
Sugerencia: usa el ejercicio anterior.
Sea \(X\) un conjunto cualquiera. Por \(\ell_\infty(X)\) denotamos al conjunta de todas las funciones de \(X\) en \(\mathbb{R}\) que están acotadas en \(X\). Es decir \(f\in \ell_\infty(X)\) si y sólo si \(f:X\to \mathbb{R}\) satisface \[ \sup_{x\in X}\{|f(x)|\} <\infty \]
Para \(f\in \ell_\infty(X)\) definimos \[ \|f\|_\infty:=\sup_{x\in X}\{|f(x)|\} \] La misma prueba de que \(\|\cdot\|_\infty\) es una norma en \(\ell_\infty\) (Ejercicio 3.5) se puede extendar para llegar a que \((\ell_\infty(X), \|\cdot\|_\infty)\) es un espacio vectorial normado. Es más, el caso usual de \(\ell_\infty\) se obtiene cuando \(X=\mathbb{N}\).
Sea \((X,d)\) un espacio métrico. Prueba que \((\ell_\infty(X), \|\cdot \|_\infty)\) es un completo.
Sea \((X,d)\) un espacio métrico. Las siguientes condiciones son equivalentes.
Propiedad de los Cerrados Anidados.
Toda sucesión decreciente de cerrados en \(X\), \(F_1 \supseteq F_2 \supset \cdots \), con la característica de que \(\lim_{n\to \infty} \operatorname{diam}(F_n)=0\), satisface que existe \(x\in X\) con \[ \cap_{n=1}^\infty F_n =\{ x \} \]
\(\Rightarrow ] \) Supongamos que \((X,d)\) es completo y sea \((F_n)_{n=1}^\infty\) una sucesión de cerrados que satisfacen las suposiciones del inciso 2.
Para cada natural \(n\) fijamos un elemento \(x_n \in F_n \). Afirmamos que \((x_n)_{n=1}^\infty\) es una sucesión de Cauchy. En efecto, dada \(\varepsilon >0\) el límite \(\lim_{n\to \infty} \operatorname{diam}(F_n)=0\) implica que existe un natural \(N \) tal que \(\operatorname{diam}(F_n) < \varepsilon \) para todo \(n \geq N\). Ahora, si \(n,m \geq N\) y \(m\geq n\) usando que la sucesión es anidada tenemos que \(x_n,x_m \in F_m\) y por lo tanto \[ d(x_n, x_m)\leq \operatorname{diam}(F_m) < \varepsilon. \]
Por completez existe un \(x\in X\) tal que \(\lim_{n\to \infty} x_n = x\). Para terminar vamos a probar que \(\cap_{n=1}^\infty F_n=\{x\}\).
Fijamos un natural \(n\). Al ser la sucesión anidada tenemos que \(F_k \subseteq F_n\) para todo \(k\geq n \), por lo tanto \(x_k \in F_n\) para todo \(k\geq n\) y como \(\lim_{k \to \infty}x_k=x\) se sique que \(x\) está en la cerradura de \(F_n\) pero al ser éste cerrado concluimos que \(x\in F_n\). Por lo tanto concluimos que \(x\in \cap_{n=1}^\infty F_n\).
Por otro lado, si \(y\in \cap_{n=1}^\infty F_n\) se sigue que para todo natural \(n\), \(x,y\in F_n\) y por lo tanto: \[ d(x,y)\leq \operatorname{diam}(F_n) \] y como \(\lim_{n\to \infty} \operatorname{diam}(F_n)=0\) de la desigualdad anterior concluimos que \(d(x,y)=0\) es decir \(x=y\). Por lo tanto conclumos que \(\cap_{n=1}^\infty F_n \subseteq \{x\}\).
De lo anterior obtenemos \(\cap_{n=1}^\infty F_n=\{x\}\).
\(\Leftrightarrow ] \) Supongamos que el espacio \((X,d)\) satisface la propiedad de los cerrados anidados y sea \((x_k)_{k=1}^\infty\) una sucesión de Cauchy. Debemos de probar que existe un \(x\in X\) tal que \(\lim_{k\to \infty} x_k=x\).
Para cada natural \(n\) definimos \(F_n=\overline{\{ x_k\}_{k\geq n}}\). Por definición cada \(F_n\) es cerrado y además \(F_{n+1} \subseteq F_n\). El siguiente paso es probar que \(\lim_{n\to \infty} \operatorname{diam}(F_n)=0\).
Dada \(\varepsilon >0\), al ser \((x_k)_{k=1}^\infty\) de Cauchy existe un \(N \in \mathbb{N}\) tal que para todos \(k,l \geq N\), \(d(x_k,x_l) < \varepsilon \). En particular, si \(n \geq N\) \[ \operatorname{diam}(\{x_k \}_{k\geq n})=\sup_{k,l\geq n}\{ d(x_k,x_l)\} \leq \varepsilon. \] Del Ejercicio 5.31 conclumios que para todo \(n \geq N\), \(\operatorname{diam}(F_n)\leq \varepsilon\).
Por lo tanto la sucesión de conjuntos \((F_n)_{n=1}^\infty\) satisface las condiciones de la propiedad de cerrados anidados y por lo tanto existe \(x\in X\) tal que: \[ \cap_{n=1}^\infty F_n=\{x\}. \]
Afirmamos que \(\lim_{k\to \infty}x_k=x\) para lo cual notamos que si \(\varepsilon >0\) y \(N \in \mathbb{N}\) son como arriba, \(\operatorname{diam}(F_n) \leq \varepsilon\) para todo \(n\geq N\). Si fijamos \(k \geq N\) y notamos que \(x,x_k \in F_k \) llegamos a que \[ d(x,x_k) \leq \operatorname{diam}(F_k) \leq \varepsilon \] por lo que concluimos \(\lim_{k\to \infty} x_k=x\).
Sea \((X,d)\) un espacio métrico. Un subconjunto \(A \subseteq X\) se llama totalmente acotado si, para toda \(\varepsilon > 0 \) existen puntos \(x_1,\dots, x_n \in X\) que satisfacen \[ A\subseteq \cup_{i=1}^n B_{\varepsilon}(x_i) \] Con estas condiciones decimos que el conjunto \(\{x_1,\dots, x_n\}\) es una \(\varepsilon\)-red para \(A\).
Ejemplos.
La idea de los subconjuntos totalmente acotados es que tratan de relajar las condiciones de un subconjunto acotado pero tratando de mantener algunos de las propiedades fundamentales. En otras palabras, si un conjunto no es acotado lo siguiente mejor es que sea totalmente acotado.
Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \( A\subseteq X\) un subconjunto totalmente acotado. Prueba que simpre es posible encontrar una \(\varepsilon\)-red cuyos elementos están todos en \(A\).
Prueba que todo subconjunto compacto es totalmente acotado.
Para probar lo anterior sea \( K \subset X\) un conjunto compacto de \((X,d)\) y sea \(\varepsilon >0\). Ya que \(x\in B_\varepsilon(x)\) para toda \(x\in K\) tenemos que \[ K \subseteq \cup_{x\in K}B_{\varepsilon}(x). \] Por la compacidad de \(K\) existen \(x_1,\dots, x_n \in K\) tal que \[ K \subseteq \cup_{i=1}^n B_\varepsilon(x_i) \] por lo que \(\{x_1,\dots, x_n\}\) es una \(\varepsilon\)-red para \(K\).
Considera a \(\mathbb{R}^n\) con la métrica usual.
Prueba que un subconjunto de \(\mathbb{R}^n\) es totalmente acotado si y sólo si es acotado.
Sugerencia: considera los vectores \(e_n\), \(n\in \mathbb{N}\), donde \(e_n\) es la sucesión que tiene todas las entradas igual a cero, excepto la entrada \(n\) donde tiene un 1. Empieza probando que \(\|e_n-e_m\|_1=2\) si \(n\ne m\).
Por lo tanto los conjuntos totalmente acotados contienen propiamente a los conjuntos acotados.
\(A\) es totalmente acotado si y sólo si para toda \(\varepsilon >0\) existe un número finito de subconjuntos \(A_1,\dots, A_n \subseteq A\), con \(\operatorname{diam}(A_i)< \varepsilon\), \(i=1,\dots, n\), tal que \[ A\subseteq \cup_{i=1}^n A_i \]
\(\Rightarrow ]\) Si \(A\) es totalmente acotado dada \(\varepsilon >0\) existen \(a_1\dots, a_n \in A\) tal que \(A\subseteq \cup_{i=1}^n B_{\varepsilon / 3}(a_i)\). Tomando \(A_i=B_{\varepsilon /3}(a_i)\cap A\) obtenemos que \(A_i \subseteq A\) y \[ \operatorname{diam}(A_i)\leq \operatorname{diam}(B_{\varepsilon/3}(a_i)) \leq \frac{2\varepsilon}{3}< \varepsilon. \]
\(\Leftarrow ]\) Ahora supongamos que \(A\) satisface las suposiciones del lema y probemos que \(A\) es totalmente acotado. Dada \(\varepsilon >0\) existen subconjuntos \(A_1,\dots, A_n \subseteq A\) tal que \(A \subseteq \cup_{i=1}^n A_i\) y \(\operatorname{diam}(A_i)< \varepsilon\). Fijamos un \(a_i\in A_i\). Afirmamos que \[ A\subseteq \cup_{i=1}^n B_{\varepsilon}(a_i). \] Para probar la contención tomamos \(a\in A\) arbitrario. Ya que \(A\subseteq \cup_{i=1}^n A_i\), existe un índice \(i\) tal que \(a\in A_i\). En particular \(d(a,a_i)\leq \operatorname{diam}(A_i) < \varepsilon\) lo cual se puede reescribir como \(a\in B_{\varepsilon}(a_i)\). Por lo tanto \(A\subseteq \cup_{i=1}^n B_{\varepsilon}(a_i)\).
Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \((x_n)_{n=1}^\infty\) una sucesión de elementos de \(X\). Toma \(A=\{x_n: n\in \mathbb{N}\}\).
Sea \(\varepsilon >0\). Al ser \((x_n)_{n=1}^\infty\) de Cauchy, existe una \(N\in \mathbb{N}\) tal que si \(n,m \geq N\) entonces \(d(x_n,x_m) < \varepsilon\). De lo anterior se sigue que \(\{ x_n: n\geq N\} \subseteq B_\varepsilon(x_N)\) y por lo tanto \[ A \subseteq \cup_{i=1}^N B_{\varepsilon}(x_i). \]
Caso 1: \(A\) es finito.
En este caso existe un punto \(x\in A\) para el cual hay una infinidad de naturales \(n's\) para los cuales \(x_n=x\). A partir de lo anterior se puede construir una subsucesión \((x_{n_k})_{k=1}^\infty\) tal que \(x_{n_k}=x\) para todo \(x\). Por lo tanto \((x_{n_k})_{k=1}^\infty\) es de Cauchy.
Caso 2: \(A\) es infinito.
Se construirá la subsucesión de Cauchy aplicando el Lema 9.19.
Aplicando el Lema 9.19 al conjunto \(A\) con \(\varepsilon=1/2\) podemos asegurar que existen subconjuntos \(A_1^{(1)},\dots, A_{m_1}^{(1)} \subseteq A \) con \(\operatorname{diam}(A_i^{(1)}) < 1/2\) y \(A \subseteq \cup_{i=1}^{m_1}A_i^{(1)}\). Ya que \(A\) es infinito al menos uno de los conjuntos \(A_i^{(1)}\) es infinito. Sea \(A_1\) uno de esos conjuntos infinitos.
Ahora aplicamos el Lema 9.19 al conjunto \(A_1\) con \(\varepsilon=1/2^2\). Por lo tanto existen subconjuntos \(A_1^{(2)}, \dots, A_{m_2}^{(2)}\subseteq A_1\) con \(\operatorname{diam}(A_i^{(2)})< 1/2^2\) y \(A_1 \subseteq \cup_{i=1}^{m_2}A_i^{(2)}\). Ya que \(A_1\) es infinito al menos uno de los conjuntos \(A_i^{(2)}\) es infinito. Sea \(A_2\) uno de esos conjuntos infinitos.
Continuiando con este proceso podemos construir una sucesión de conjuntos \((A_k)_{k=1}^\infty\) tal que: \(A_k\subseteq A\), \(A_{k+1}\subseteq A_k\), \(\operatorname{diam}(A_k)< 1/2^k\) y \(A_k\) es infinito.
Finalmente para construir la subsucesión iniciamos tomamos \(x_{n_1}\in A_1\). Como \(A_2\) es infinito existe un \(x_{n_2}\), con \(n_2 > n_1\) con \(x_{n_2}\in A_2\). De esta forma podemos encontrar \(x_{n_1}, \dots, x_{n_k}\), con \(n_k > \cdots > n_2 > n_1\) y tal que \(x_{n_k}\in A_k\). Afirmamos que la subsucesión \((x_{n_k})_{k=1}^\infty\) es de Cauchy. En efecto, dada \(\varepsilon >0\) tomamos un \(k_0\) tal que \(1/2^{k_0}< \varepsilon\). Entonces para todo \(k,l \geq k_0\), se cunple que \(x_{n_k},x_{n_l} \in A_{\min\{k,l\}}\) y \[ d(x_{n_k},x_{n_l}) \leq \operatorname{diam}(A_{\min\{k,l\}})\leq 1/2^{\min\{k,l\}} \leq 1/2^{k_0} < \varepsilon \]
Un subconjunto \(A\), de un espacio métrico \((X,d)\), es totalmente acotado si y sólo si toda sucesión en \(A\) admite una subcusesión que es Cauchy.
\(\Rightarrow ]\) Supongamos que \(A\) es totalmente acotado. Sea \((x_n)_{n=1}^\infty \) una sucesión de elementos de \(A\). Ya que el conjunto \(\{x_n: n\in \mathbb{N}\}\) también es totalmente acotado (al ser subconjunto de \(A\)) el Lema 9.20-2 asegura que existe una subsucesión de \((x_n)_{n=1}^\infty\) que es de Cauchy.
\(\Leftarrow ]\) Por contrapositiva, es decir, suponemos que \(A\) no es totalmente acotado y vamos a construir una sucesión de elementos de \(A\) tal que no admite una subsucesión de Cauchy.
Como suponemos que \(A\) no es totalmente acotado existe una \(\varepsilon >0\) tal que \(A\) no puede ser cubierto por una cantidad finita de bolas con radio \(\varepsilon\).
Afirmamos que existe una sucesión de elementos de \(A\), \((x_n)_{n=1}^\infty\) tal que \(d(x_n,x_m) \geq \varepsilon\) para todos \(n,m\). Para construir dicha subsucesión inciamos con un \(x_1\in A\). Ya que \(A\) no está contenido en \(B_\varepsilon(x_1)\) existe un \(x_2\in A\) con \(d(x_1,x_2) \geq \varepsilon\). Ya que \(A\) no está contenido en \(B_\varepsilon(x_1)\cup B_\varepsilon(x_2)\) existe un \(x_3 \in A\) con \(d(x_3,x_1)\geq \varepsilon, d(x_3,x_1)\geq \varepsilon\). Por inducción, si tenemos \(x_1,\dots, x_k \in A\) con \(d(x_i,x_j)\geq \varepsilon\), para \(i\ne j\) con \(1\leq i,j \leq k\), usamos el hecho de que \(A\) no está contenido en \(\cup_{i=1}^k B_\varepsilon(x_i)\) para asegurar la existencia de un \(x_{k+1}\in A\) con la propiedad de que \(d(x_{k+1}, x_i) \geq \varepsilon\), para todo \(i=1,\dots, k\).
Para terminar simplemente se nota que la sucesión \((x_n)_{n=1}^\infty\) no admite una subsucesión de Cauchy.
Sea \((X,d)\) un espacio métrico. Las siguientes condiciones son equivalentes.
Propiedad de Bolzano-Weierstrass.
Todo subconjunto de \(X\), infinito y totalmente acotado tiene un punto límite en \(X\).
\(\Rightarrow ]\) Supongamos que \((X,d)\) es completo y sea \(A\subseteq X\) infinito y totalmente acotado. Ya que \(A\) es infinito podemos encontrar \((x_n)_{n=1}^\infty\), una sucesión de elementos de \(A\), tal que \(x_n \ne x_m\) para todos \(n\ne m\). Aplicando el lema Lema 9.20-2 podemos asegurar que existe \((x_{n_k})_{k=1}^\infty\), una subsucesión de Cauchy. Al ser \((X,d)\) completo existe un \(x\in X\) tal que \(\lim_{k\to \infty}x_{n_k}=x\). Finalmente, ya que \(x_k \in A\) y \(x_{n_k}\ne x_{n_j}\), para todos \(j,k\), concluimos que \(x\) es un punto de acumulación de \(A\).
\(\Leftarrow ] \) Supongamos que \((X,d)\) satisface la propiedad de Bolzano-Weierstrass. Debemos de probar que \((X,d)\) es completo. Sea \((x_n)_{n=1}^\infty\) una sucesión de Cauchy, debemos de probar que ésta sucesión converge a un punto de \(X\). Denotemos \(A=\{x_n:n\in \mathbb{N}\}\).
Caso 1: \(A\) es finito.
En este caso existe un punto \(x\in A\) para el cual hay una infinidad de \(n's\) con \(x_n=x\). Por lo tanto podemos encontrar una subsucesión \((x_{n_k})_{k=1}^\infty\) con \(x_{n_k}=x\) para toda \(k\). Pero entonces \((x_{n})_{n=1}^\infty\) es de Cauchy y la subsucesión \((x_{n_k})_{k=1}^\infty\) es convergente, por lo tanto la sucesión inicial \((x_n)_{n=1}^\infty\) es convergente en \(X\) (ver Ejercicio 4.29).
Caso 2: \(A\) es infinito.
Por la propiedad de Bolzano-Weierstrass el conjunto \(A\) tiene un punto límite en \(A\). De lo anterior se sigue que existe una subsucesión \((x_{n_k})_{k=1}^\infty\) convergente a un punto de \(X\). Pero entonces tenemos la misma situación que en el caso 1: \((x_{n})_{n=1}^\infty\) es de Cauchy y la subsucesión \((x_{n_k})_{k=1}^\infty\) es convergente. Por el Ejercicio 4.29 la sucesión original es convergente.
Otro aspecto importante de los espacios métricos completos es una caracterización de los subconjuntos compactos similar al Teorema de Heine-Borel en \(\mathbb{R}^n\). Recordemos que este teorema dice que un subconjunto de \(\mathbb{R}^n\) es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Para espacios métricos completos mucho más generales que \(\mathbb{R}^n\) se necesita cambiar la hipótesis de acotado por totalmente acotado.
Sea \((X,d)\) un espacio métrico completo y \(K \subseteq X\).
\(K\) es compacto si y sólo si es cerrado y totalmente acotado.
\(\Rightarrow ] \) Supongamos que \(K\) es compacto. El Lema 8.11 nos dice que \(K\) es cerrado. Además por el Ejercicio 9.15 \(K\) es totalmente acotado y terminamos.
\(\Leftrightarrow ] \) Supongamos que \(K\) es cerrado y totalmente acotado. Por el Teorema 8.14 es suficiente probar que \(K\) es compacto por sucesiones.
Sea \((x_n)_{n=1}^\infty\) una sucesión en \(K\). Debemos de probar que existe una subsucesión convergente a un punto de \(K\). Ya que \(K\) es totalmente acotado, el conjunto \(A=\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset K\) es totalmente acotado. Por el Lema 9.20 existe \((x_{n_k})_{k=1}^\infty\) una subsucesión de Cauchy. Al ser \((X,d)\) completo existe \(x\in X\) tal que \(\lim_{k\to \infty}x_{n_k}=x\). Finalmente como \(K\) es cerrado \(x\in K\).
Parte de la importancia de los espacios métricos completos es que en ellos se pueden encontrar soluciones a numerosas ecuaciones. El ejemplo más sencillo es \(\mathbb{R}\), donde la ecuación \(x^2=2\) tiene dos soluciones. Otro ejemplo es que, para ciertos espacios métricos, ser completo asegura la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales. Uno de los teoremas más importantes en espacios métricos completos y que asegura la existencia de soluciones a ecuaciones muy generales es el Teorema del punto fijo de Banach, que se ve más adelante.
Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \(f:X\to X\) una función.
La función \(f\) se llama una contracción estricta si existe un número positivo \( \alpha \), con \(\alpha < 1\), tal que \[ d(f(x),f(y))\leq \alpha d(x,y) \] para todos \(x,y\in X\).
Sea \((X,d)\) un espacio métrico completo y \(f:X\to X\) una contracción estricta. Entonces \(f\) tiene un único punto fijo.
Es más, para cualquier \(x_0\in X\) dado, la sucesión de iteradas \((f^n(x_0))_{n=1}^\infty\) converge al punto fijo de \(f\).
Nota: por \(f^n(x_0)\) denotamos la \(n\)-ésima iterada de \(f\) en el punto \(x_0\), por ejemplo \(f^2(x_0)=f(f(x_0)), f^3(x_0)=f(f(f(x_0)))\), etc.
Primeramente vamos a probar que la sucesión de iteradas, \((f^n(x_0)_{n=1}^\infty)\) es de Cauchy. Para iniciar notamos que aplicando la propiedad de contracción estricta \(n\)-veces nos lleva a \begin{equation}\label{Eqn:Aux1PtoFijo} d(f^{n+p}(x_0),f^{n}(x_0))\leq \alpha^{n}d(f^p(x_0),x_0), \end{equation} donde \(n,p\in \mathbb{N}\).
El siguiente paso es probar, por inducción, la siguiente desigualdad \begin{equation}\label{Eqn:Aux2PuntoFijo} d(f^p(x_0),x_0) \leq \left(\sum_{j=0}^{p-1}\alpha^j\right)d(f(x_0),x_0). \end{equation} El caso \(p=1\) es inmediato. Supongamos que \eqref{Eqn:Aux2PuntoFijo} es válido para \(p\) y probemos para \(p+1\). Aplicando la desigualdad del triángulo para la primera desigualdad y la propiedad de contraccíon estrcita para la segunda desigualdad lleamos a: \begin{eqnarray*} d(f^{p+1}(x_0),x_0) & \leq & d(f^{p+1}(x_0),f(x_0))+ d(f(x_0),x_0) \\ &\leq & \alpha d(f^p(x_0),x_0)+d(f(x_0),x_0) \end{eqnarray*} y añidiendo la hipótesis de inducción obtenemos \begin{eqnarray*} d(f^{p+1}(x_0),x_0) &\leq & \alpha \left[ \left( \sum_{j=0}^{p-1}\alpha^j\right) d(f(x_0),x_0) \right] + d(f(x_0),x_0) \\ &=& \left( \sum_{j=1}^p \alpha^j \right) d(f(x_0),x_0)+ d(f(x_0),x_0) \\ &= & \left( \sum_{j=0}^p\alpha^j \right)d(f(x_0),x_0). \end{eqnarray*}
Juntando \eqref{Eqn:Aux1PtoFijo}, \eqref{Eqn:Aux2PuntoFijo} obtenemos \begin{eqnarray*} d(f^{n+p}(x_0),f^n(x_0)) &\leq & \alpha^n \left( \sum_{j=0}^{p-1}\alpha^j \right)d(f(x_0),x_0) \\ &= & \left( \sum_{j=n}^{n+p-1} \alpha^j \right)d(f(x_0),x_0). \end{eqnarray*}
Finalmente, para probar que \((f^n(x_0))_{n=1}^\infty\) es de Cauchy notamos que \(\sum_{j=n}^{n+p-1} \alpha^j \) es parte del residuo de la serie geométrica \(\sum_{j=0}^\infty \alpha^j \), la cual es convergente al ser \(\alpha < 1\). Por lo tanto, dado \(\varepsilon > 0 \) existe una \(N\in \mathbb{N}\) tal que si \(n\geq N\) y \(p\geq 1\), se tiene \[ \sum_{j=n}^{n+p-1} \alpha^j < \frac{\varepsilon}{d(f(x_0),x_0)+1} \] por lo que se tiene \(d(f^{n+p}(x_0), f^n(x_0)) < \varepsilon\).
Continuando con la prueba del Teorema del Punto Fijo, al ser \((X,d)\) completo existe un \(y\in X\) tal que \(\lim_{n\to \infty} f^n(x_0)=y\). Vamos a probar que \(f(y)=y\).
Usando que \(f\) es continua obtenemos que \[ f(\lim_{n\to \infty} f^n(x_0))=\lim_{n\to \infty} f(f^n(x_0)). \] Pero \(f(f^{n}(x_0))=f^{n+1}(x_0)\) y la sucesión \((f^{n+1}(x_0))_{n=1}^\infty\) es una subsucesión de \((f^{n}(x_0))_{n=1}^\infty\) por lo que \(\lim_{n\to \infty}f^{n+1}(x_0)=y\). Por lo tanto se concluye que \[ f(y)=f\left(\lim_{n\to \infty}f^n(x_0) \right)=\lim_{n\to \infty} f^{n+1}(x_0)=y. \]
Resta probar la unicidad. Supongamos que tenemos otro punto \(z\) con \(f(z)=z\). Aplicando la propiedad de contracción estricta tenemos \[ d(y,z)=d(f(y),f(z))\leq \alpha d(y,z). \] Si \(y\ne z\) entonces \(d(y,z)> 0\) y podemos cancelar la en la desigualdad anterior para llegar a \(1 \leq \alpha\), contradiciendo que \(\alpha < 1\).
Sea \((X,d)\) un espacio métrico.
Una completación de \((X,d)\) es un espacio métrico, \((\tilde{X}, \tilde{d})\), que satisface
Sea \((X,d)\) un espacio métrico.
Entonces \((X,d)\) es isométrico a un subconjunto de \((\ell_\infty(X), \|\cdot\|_\infty)\).
Fijamos un \(a\in X\) y para \(x\in X\) arbitrario definimos la función \(f_x:X\to \mathbb{R}\) por \[ f_x(y)=d(x,y)-d(y,a) \] Por la otra desigualdad del triángulo \(|d(x,y)-d(y,a)|\leq d(x,a)\) para todo \(y\in X\) por lo que \(f_x\in \ell_\infty(X)\) y \(\|f_x\|_\infty \leq d(x,a)\).
Resta probar que la función \(x\mapsto f_x\) es una isometría, es decir \(d(x_1,x_2)=\|f_{x_1}-f_{x_2}\|_\infty\). Pero \begin{eqnarray*} \|f_{x_1}-f_{x_2}\|_\infty&=& \sup_{y\in X}\{|f_{x_1}(y)-f_{x_2}(y)| \}\\ &=& \sup_{y\in Y} \{| d(x_1,y)-d(y,a)- (d(x_2,y)-d(y,a)) | \} \\ &=& \sup_{y\in Y}\{| d(x_1,y)-d(x_2,y)| \} \end{eqnarray*} y por la otra desigualdad del triángulo \(| d(x_1,y)-d(x_2,y)| \leq d(x_2,x_2)\) para toda \(y\). Por lo tanto \(\|f_{x_1}-f_{x_2}\|_\infty \leq d(x_1,x_2)\). Finalmente la igualdad en la desigualdad anterior se da cuando \(y=x_2\).
Todo espacio métrico admite una completación.
Sea \((X,d)\) un espacio métrico. Por el Lema 9.29 existe una isometría \(\Phi:(X,d)\to (\ell_\infty(X), \|\cdot\|_\infty)\). Tomamos \(\tilde{X}=\overline{\Phi(X)}\). Ya que \(\ell_\infty(X)\) es completo tenemos que \(\tilde{X}\) también es completo. Finalmente \(X\) es isométrico a \(\Phi(X)\) y éste último es denso en \(\tilde{X}\).
Sea \((X,d)\) un espacio métrico totalmente acotado. Prueba que \(X\) es separable.
Sugerencia: para \(n\in \mathbb{N}\) sea \(D_n\) una \(\frac{1}{n}\)-red para \(X\).