Espacios métricos.

Preambulo

Hasta la sección anterior las herramientas que hemos utilizado son principalmente de cálculo (límites, desigualdades, algo de combinatoria). Pero si queremos analizar con más profundidad las propiedades de funciones o sucesiones de funciones es necesario introducir más herramientas. Por ejemplo consideremos el siguiente teorema.

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Si \((x_n)_{n=1}^\infty \subseteq \mathbb{R}^p\) está acotada entonces existe un \(x\in \mathbb{R}^p\) y una subsucesión \((x_{n_k})_{k=1}^\infty\) tal que \[ \lim_{k\to \infty} \|x_{n_k}-x\|=0 \]

Parte de la importancia de éste teorema es que asegura, directa o indiractamente, la existencia de soluciones, desde el algoritmo para calcular \(\sqrt{2}\) hasta el método de Newton.

Ahora consideremos la pregunta: ¿existe un Teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones de funciones continuas con la norma uniforme? Como ejemplo veamos la utilidad de un Teorema de Bolzano-Weierstrass para asegurar la exitencia de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Teorema (Peano)

Sea \(f:[t_0,t_0+a]\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) una función continua (\(a>0\)). Dado \(x_0\in \mathbb{R}\) el problema de valores iniciales \begin{eqnarray} \frac{dx(t)}{dt}&=&f(t,x(t)) \label{Eqn:ODEPVI-1} \\ x(t_0)&=&x_0 \label{Eqn:ODEPVI-2} \end{eqnarray} tiene una solución \(x:[t_0,t_0+\delta]\), para alguna \(\delta \in (0, a)\).

Vamos un bosquejo de la demostración para enfatizar la importancia de obtener subsucesiones uniformemente convergentes.

Bosquejo de la demostración del Teorema de Peano

Fijamos un \(b>0\) y tomamos \[ M=\sup_{f(t,x): t\in [t_0,t_0+a]\times [-b,b]} \] y definimos \(\delta=\min\{a,b/M\}\).

Para \(n\in \mathbb{N}\) tomamos \((t_k)_{k=0}^n\) la partición uniforme de longitud \(n\) del intervalo \([t_0,t_0+\delta]\), denotando \(h_n=\frac{\delta}{n}\). Definimos \[ x_n(t)=\int_{t_0}^{t}f(t,x_n(s-h_n))ds+x_0 \] con \(x_n(s-h_n)=x_0\) si \(t_0< s< t_1\).

Si de alguna manera Bolzano-Weierstrass fuese aplicable en este caso podríamos encontrar \(x:[t_0,t_0+\delta]\to \mathbb{R}\) función continua y \((x_{n_k})_{k=1}^\infty\) una subsucesión tal que \(x_{n_k}\to x\) uniformemente en \([t_0,t_0+\delta]\). Ya que la convergencia uniforme permite meter límites dentro de la integral se sigue que \begin{eqnarray*} x(t)&=&\lim_{k\to \infty} x_{n_k}(t) \\ &=& \lim_{k\to \infty} \int_{t_0}^t f(t,x_{n_k}(s-h_{n_k}))ds+x_0 \\ &=& \int_{t_0}^t f(t,x(s))ds+x_0 \end{eqnarray*} donde usamos que \(\lim_{k\to \infty} h_{n_k}=0\). Por lo tanto \[ x(t)=\int_{t_0}^t f(t,x(s))ds+x_0 \] que es otra forma de escribir que \(x\) es solución de \eqref{Eqn:ODEPVI-1}-\eqref{Eqn:ODEPVI-2}.

Por lo tanto vemos la utilidad de obtener un teorema tipo Bolzano-Weierstrass para suceciones de funciones. Entonces la idea en lo que sigue es desarrollar ideas para poder encontrar dicho teorema en el contexto de sucesiones de funciones con la norma uniforme. Un primer intento es tratar de copiar directamente las hipótesis pero para sucesiones de funciones.:

Conjetura

Sea \((f_n:[a,b]\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones continuas tal que existe una \(M>0\) con \(\|f_n\|_{[a,b]}\leq M\) para toda \(n\). Entonces existe una función conntinua \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) y una subsucesión \((f_{n_k})_{k=1}^\infty\) tal que \(\lim_{k\to \infty}\|f-f_{n_k}\|_{[a,b]}=0\).

Desafortunadamente esta conjetura es falsa.

Contraejemplo

Sea \((f_n:[-\pi,\pi]\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) dada por \(f_n(x)=\sen(nx)\). Entonces \(\|f_n\|_{[-\pi,\pi]}=1\) para toda \(n\), pero no existe una subsucesión de \((f_n)_{n=1}^\infty\) uniformemente convergente ya que el límite puntual \(\lim_{n\to \infty} \sen(nx)\) no existe para todo \(x\in [-\pi,\pi]\).

Definición

Un espacio métrico es una pareja \((X,d)\), donde \(X\) es un conjunto no vacío y \(d:X\times X \to \mathbb{R}\) satisface, para todos \(x,y,z\in X\):

\(d(x,y) \geq 0\),
\(d(x,y)=0\) si y sólo si \(x=y\),
\(d(x,y)=d(y,x)\),
desigualdad del triángulo: \(d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\).

Definición

Sea \(V\) un espacio vectorial. Una norma en \(V\) es una función \(\| \cdot \|: V \to \mathbb{R}\) que satisface

para todo \(x\in V\), \(\|x\| \geq 0\).
\(\|x\|=0\) si y sólo si \(x=0\).
para todo \(x\in V\) y todo escalar \(\alpha\), \(\|\alpha x \| = |\alpha| \|x\|\) .
desigualdad del triángulo: para todos, \(x,y\in V\), \(\|x+y\| \leq \|x\|+\|y\|\)

Un espacio vectorial normado es una pareja \((V,\|\cdot\|)\), donde \(V\) es un espacio vectorial y \(\|\cdot \|\) es una norma.

Ejercicio

Sea \((V, \|\cdot \|)\) un espacio vectorial normado. Define \(d:V\times V \to \mathbb{R}\) por \[ d(x,y)=\|x-y\| \] Prueba que \(d\) es una métrica en \(V\).

En primer lugar notemos que \(\forall x,y \in V \| x-y\| \geq 0\) y que \(\|x-y\| = 0\) si y sólo si \(x-y = 0\), es decir, si \(x=y\). Por lo tanto \(d(x,y) \geq 0\) y \(d(x,y) = 0\) si y sólo si \(x=y\).
\(d(x,y) = \| x - y\| = \|-(y-x)\| = |-1| \|y-x\| = d(y,x)\).
Si \(x,y,y \in V\) entonces \begin{eqnarray*} d(x,y) &=& \|x-y\| \\ &= & \|x-z + z -y\| \\ &\leq & \|x-z\| + \|z-y\| \\ &=& d(x,z) + d(z,y) \end{eqnarray*}

Con ello hemos demostrado que \(d(x,y) = \|x-y\|\) es una métrica en \(V\).

Definición

Espacios \(\ell_p\), \(p\in [1,\infty]\)

Para \(p\in [1, \infty) \) se define el espacio \(\ell_p\) como \[ \ell_p=\left\{(x_i)_{i=1}^\infty \subset \mathbb{R}: \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p < +\infty\right\} \] Nota: la notación \(\sum_{i=1}^\infty |x_i|^p < +\infty\) significa que la serie \(\sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \) es convergente.

Si \(x\in \ell_p\) definimos \[ \|x\|_p=\left( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \right)^{1/p} \]

Por ejemplo si \(p=1\), \(x\in \ell_1\) si y sólo si \(\sum_{i=1}^\infty |x_i|\) es convergente, que suele denotarse como que la sucesión \((x_i)_{i=1}^\infty\) es absolutamente convergente. Por lo tanto \(\ell_1\) es el conjunto de sucesiones absolutamente convergentes.

Si \(p=\infty\) definimos \(\ell_\infty\) como \[ \ell_\infty =\left\{ (x_i)_{i=1}^\infty \subset \mathbb{R}: \sup_{i\in \mathbb{N}}\{|x_i| \} < +\infty \right\} \] Nota: la notación \(\sup_{i\in \mathbb{N}}\{|x_i| \} < +\infty\) significa que la sucesión está acotada. Entonces \(\ell_\infty\) es el conjunto de sucesiones acotadas.

Ejercicio

Sea \(1\leq p <\infty\).

Sean \(a,b\geq 0\). Prueba \((a+b)^p \leq 2^p(a^p+b^p)\).
Usa el inciso anterior para probar que \(\ell_p\) es cerrado bajo la suma, es decir \(x,y\in \ell_p \Rightarrow x+y \in \ell_p\).
Concluye que \(\ell_p\) es un espacio vectorial.

Sea \(c = \max \{a,b\}\), entonces \(a \leq c\) y \(b \leq c\). Como la función \(x^p\) es creciente en \(\mathbb{R}^+ \cup \{0\}\), entonces \((a+b)^p \leq (c+c)^p = (2c)^p = 2^p c^p\). Finalmente, como \(c=a\) o \(c=b\) y ambos son no negativos, entonces \(c^p \leq a^p + b^p\) y \(2^p c^p \leq 2^p (a^p + b^p)\). Por lo tanto \((a+b)^p \leq 2^p(a^p + b^p)\).
Sean \(x,y \in \ell_p\), entonces tanto \(x\) como \(y\) son sucesiones de números reales que satisfacen \[\sum_{i = 1}^\infty |x_i|^p < \infty \text{ y } \sum_{i = 1}^\infty |y_i|^p < \infty.\] Para cada \(i \in \mathbb{N}\) se tiene que \(|x_i|,|y_i| \geq 0\), de modo que la prueba del primer inciso nos garantiza que \(|x_i + y_i|^p \leq 2^p(|x_i|^p + |y_i|^p)\). Por lo tanto \[\sum_{i=1}^\infty |x_i + y_i|^p \leq \sum_{i=1}^\infty 2^p(|x_i|^p+|y_i|^p) = 2^p(\sum_{i=1}^\infty |x_i|^p + \sum_{i=1}^\infty |y_i|^p) < \infty,\] y \(x + y \in \ell_p\)

Teorema.

La desigualdad de Minkowski

Sea \(1\leq p <\infty \) un exponente fijo y \(x,y\in \ell_p\). Se cumple que \[ \|x+ y\|_p \leq \|x\|_p + \|y\|_p. \]

Esta demostración sólo usa la convexidad de la función \(t \mapsto t^p \), \( t\in [0,\infty ) \), es decir: \((\lambda s + (1-\lambda) t )^p \leq \lambda s^p+(1-\lambda)t^p\), para todos \(s,t\in [0,\infty), \lambda \in (0,1)\).

Sín pérdida de generalidad podemos suponer que \(x\ne 0, y\ne 0\). Denotamos \[ \tilde{x}=\frac{1}{\|x\|_p}x,\, \tilde{y}=\frac{1}{\|y\|_p}y \] los cuales son vectores unitarios. Si tomamos \[ \lambda= \frac{\|y\|_p}{\|x\|_p+\|y\|_p} \] entonces \(\lambda \in (0,1)\) y \[ 1-\lambda = \frac{\|x\|_p}{\|x\|_p+\|y\|_p}. \]

Aplicando la convexidad de \(f\) obtenemos \begin{eqnarray*} f((1-t)|\tilde{x}_i|+ t|\tilde{y}_i|) & \leq & (1-t)|\tilde{x}_i|^p+ t |\tilde{y}_i|^p \\ & \Downarrow & \\ \frac{1}{(\|x\|_p+\|y\|_p)^p}\left( \|x\|_p\frac{|x_i|}{\|x\|_p} + \|y\|_p\frac{|y_i|}{\|y\|_p} \right)^p & \leq & (1-t)\frac{|x_i|^p}{\|x\|_p^p}+ t \frac{|y_i|^p}{\|y\|_p^p}\\ &\Downarrow & \\ \frac{1}{(\|x\|_p+\|y\|_p)^p}\left( |x_i| + |y_i| \right)^p & \leq & (1-t)\frac{|x_i|^p}{\|x\|_p^p}+ t \frac{|y_i|^p}{\|y\|_p^p} \end{eqnarray*} Sumando sobre \(i\) las desigualdades anteriores llegamos a \begin{eqnarray*} \frac{1}{(\|x\|_p+\|y\|_p)^p}\sum_{i=1}^\infty(|x_i|+|y_i|)^p \leq (1-t)\frac{\|x\|_p^p}{\|x\|_p^p}+t\frac{\|y\|_p^p}{\|y\|_p^p}=1 \end{eqnarray*} lo cual implica que \begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty (|x_i|+|y_i|)^p \leq (\|x\|_p+\|y\|_p)^p \end{eqnarray*} y sacando raíz \(p\)-ésima obtenemos la desigualdad de Minkowski.

Corolario

Para \(1\leq p < +\infty\), \((\ell_p, \|\cdot\|_p)\) es un espacio vectorial normado.

Ejercicio

\((\ell_{\infty}, \|\cdot\|_{\infty})\) es un espacio vectorial normado.

Ejercicio

Prueba que para todo \(p\in [1,\infty)\), \(\ell_p \subseteq \ell_\infty\). Además para todo \(x\in \ell_p\) se cumple \[ \|x\|_\infty \leq \|x\|_p. \]

Ejercicio

Fija \(d\in \mathbb{N}\) y \(x\in \mathbb{R}^d\).

Prueba que para todo \(p\in [1,\infty)\): \[ \|x\|_\infty \leq \|x\|_p, \quad \|x\|_p \leq d^{1/p}\|x\|_\infty \]
Prueba \[ \lim_{p\to \infty}\|x\|_p=\|x\|_\infty \]

Ejercicio

La otra desigualdad del triángulo.

Sea \((V, \|\cdot \|)\) un espacio vectorial normado. Prueba \[ |\|x\|-\|y\| | \leq \|x-y\| \]

Ejercicio

Se \(V\) un espacio vectorial y \(\| \cdot\|_a, \| \cdot\|_b:V \to \mathbb{R}\), dos normas en \(V\). Sea \(\alpha > 0\). Prueba que \[ \|v\|:= \alpha \|v\|_a+ \|v\|_b \] define una norma en \(V\).

Ejercicio

Sea \((V,\|\cdot\|_V), (W,\|\cdot\|_W)\) dos espacios vectoriales normados. Para las siguientes funciones, definidas en \(V\times W\) determina cuáles son normas en \(V\times W\). Si es norma da una prueba si no especifíca qué propiedad falla.

\(\|(v,w) \|= ( \|v\|_V^2+\|w\|_W^2)^{1/2} \).
\(\|(v,w) \|= \|v\|_V\|w\|_W \).
\(\|(v,w) \|= \max\{ \|v\|_V,\|w\|_W \}\).
\( \| (v,w)\|=(\|v\|^{1/2}+\|w\|^{1/2})^2\).

Ejercicio

Sea \(V\) un espacio vectorial y \(\|\cdot\|_a, \|\cdot\|_b\) dos normas en \(V\). Decimos que son equivalentes, denotado \(\| \cdot \|_a \sim \|\cdot\|_b\), si existen constantes positivas \(\alpha>0, \beta >0\) tal que, para todo \(v\in V\): \begin{eqnarray*} \|v\|_b \leq \alpha \|v\|_a,\quad \|v\|_a \leq \beta \|v\|_b. \end{eqnarray*} Prueba que lo anterior define una relación de equivalente entre las normas en \(V\), es decir, satisface:

\(\|\cdot \|_a \sim \|\cdot\|_a\).
\(\|\cdot \|_a \sim \|\cdot\|_b \Rightarrow \|\cdot\|_b \sim \| \cdot\|_a\).
\(\|\cdot \|_a \sim \|\cdot\|_b\) y \(\|\cdot \|_b \sim \|\cdot\|_c\) entonces \(\|\cdot \|_a \sim \|\cdot\|_c\).

Ejercicio

Prueba que \(d(x,y)=\left| \frac{1}{x}-\frac{1}{y} \right| \) es una métrica en \((0,\infty)\).

Empecemos por notar que si \(x,y \in (0,\infty)\) entonces \(\frac{1}{x}\) y \(\frac{1}{y}\) están bien definidos. Asímismo, \(\left|z \right| \geq 0\) para toda \(z \in \mathbb{R}\) y es \(0\) únicamente cuando \(z = 0\), es decir, \(d(x,y) \geq 0\) y se anula sólo cuando \(\frac{1}{x} = \frac{1}{y}\). Como \(x,y \neq 0\) podemos multiplicar de ambos lados por éstos para obtener que \(d(x,y) = 0\) si y sólo si \(x = y\).

La simetría se debe a que \(\left| z \right| = \left| -z \right|\) y \(d(y,x) = \left| -(\frac{1}{x} - \frac{1}{y})\right| \).

Para terminar bastará probar la desigualdad del triángulo, pero ello es consecuencia directa de la desigualdad del triángulo para el valor absoluto. Si \(z \in (0,\infty)\) entonces \begin{eqnarray*} d(x,y) &=& \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right| \\ &=& \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{z} + \frac{1}{z} - \frac{1}{y} \right| \\ & \leq & \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{z}\right| + \left| \frac{1}{z} - \frac{1}{y} \right| \\ &=& d(x,z) + d(z,y). \end{eqnarray*}

Ejercicio

La otra desigualdad del triángulo.

Sea \((X,d)\) un espacio métrico. Prueba que para todos \(x,y,z\in X\) \[ |d(x,z)-d(y,z)|\leq d(x,y). \]

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico. Define una nueva función \(\rho:X\times X \to \mathbb{R}\) dada por \[ \rho(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} \] Prueba que \(\rho\) es una métrica.

Sugerencia: considera la función \(\varphi:[0,\infty)\to [0,1)\) dada por \(\varphi(t)=\frac{t}{1+t}\). Primera prueba que \(\varphi\) es monótona creciente y que \(\varphi(s+t)\leq \varphi(s)+\varphi(t)\).

Tomando la función \(\varphi:[0,\infty)\to [0,1)\) como en la sugerencia notamos que \[ \rho(x,y)=\varphi(d(x,y)). \] De la ecuación anterior, y usando que \(d\) es una métrico, se puede checar directamente que \(\rho\) satisface:

\(\rho(x,y) \geq 0\).
\(\rho(x,y)=0\) si y sólo si \(x=y\). Ojo aquí se usa que \(\varphi(t)=0 \) sii \(t=0\).
\(\rho(x,y)=\rho(y,x)\).

La condición que no es tan clara es la desigualdad del triángulo. Para esto primero vamos a probar las dos condiciones dadas en la sugerencia.

Primero vamos a probar que \(\varphi\) es estrictamente creciente. Esto se puede hacer de varias formas, veamos dos.

De mandera directa.

Tomamos \(0 \leq s < t\) y debemos de probar que \(\varphi(s)<\varphi(t)\) o equivalentemente, \(0< \varphi(t)-\varphi(s)\). Haciendo la cuenta resulta \begin{eqnarray*} \varphi(t)-\varphi(s)&=&\frac{t}{1+t}-\frac{s}{1+s} \\ &=&\frac{t(1+s)-s(1+t)}{(1+t)(1+s)}\\ &=& \frac{t-s}{(1+t)(1+s)} \end{eqnarray*} donde vemos que éste último cociente es positivo pues \(t>s\).

Usando derivadas.

Ya que \(\varphi\) es diferenciable en \([0,\infty)\) sabemos que si su derivada es positiva entonces es estrictamente creciente. Aplicando la regla del cociente obtenemos \[ \varphi'(t)=\frac{(1+t)(1)-t(1)}{(1+t)^2}=\frac{1}{(1+t)^2} \] el cual claramente es positivo.

Ahora veamos que se satisface \(\varphi(s+t) < \varphi(s)+\varphi(t)\), para todos \(s,t >0 \). Vamos a proceder de manera directa.

Primero notamos que \[ \frac{s}{1+s+t} \leq \frac{s}{1+s}, \quad \frac{t}{1+t+s} < \frac{t}{1+t} \] sumando ambas desigualdades obtenemos \[ \frac{t+s}{1+t+s} < \frac{t}{1+t}+ \frac{s}{1+s} \] lo cual se traduce a \(\varphi(s+t)< \varphi(s)+\varphi(t)\).

Ahora sí, se puede probar fácilmente que \(\rho\) satisface la desigualdad del triángulo. Empezando con la desigualdad del triángulo para \(d\) tenemos \[ d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y) \] aplicando \(\varphi\) a ambos lados, usando que \(\varphi\) es monótona creciente y usando la propiedad 2 de la sugerencia llegamos a \begin{eqnarray*} \varphi(d(x,y)) &\leq & \varphi(d(x,z)+d(z,y)) \\ &\leq & \varphi(d(x,z))+\varphi(d(z,y)), \end{eqnarray*} y podemos concluir \[ \rho(x,y)=\varphi(d(x,y)) \leq \varphi(d(x,z))+\varphi(d(z,y))=\rho(x,z)+\rho(z,y). \]

Ejercicio

Por \(\{0,1\}^{\mathbb{N}}\) denotamos al conjunto de todas las suceciones de 0's y 1's. Es decir \(a\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}\) si y sólo si \(a=(a_n)_{n=1}^{\infty}\), con \(a_n\in \{0,1\}\), para toda \(n\).

En \(\{0,1\}^{\mathbb{N}}\) define \[ d(a,b)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}|a_n-b_n| \] Prueba que \(d\) es una métrica en \(\{0,1\}^{\mathbb{N}}\).

Sean \(a,b \in \{0,1\}^{\mathbb{N}}\). Note que para cada \(n\) se tiene que \( 0 \leq \left| a_n - b_n \right| \leq 1\), de manera que \(0 \leq d(a,b) \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = 1\) y \(d(a,b)\) está bien definido. Supongamos que \(d(a,b) = 0\), es decir, \(\sum_{n=1}^\infty \frac{|a_n - b_n|}{2^n} = 0\). Como \(\frac{|a_n - b_n|}{2^n} \geq 0\) para cada \(n\), entonces la serie se anula si y sólo si \(|a_n - b_n| = 0\) para toda \(n\), lo cual significa que \(a = b\).

Como \(|x - y| = | -(y-x)| = | y-x|\) para cualquier par \(x,y \in \mathbb{R}\), se sigue que \(d(a,b) = d(b,a)\) si \(a,b \in \{0,1\}^\mathbb{N}\).

Sean \(a,b,c \in \{0,1\}^\mathbb{N}\), entonces \[ \begin{align*} d(a,b)=& \sum_{n=1}^\infty \frac{|a_n - b_n|}{2^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{|a_n - c_n + c_n - b_n|}{2^n}\\ \leq& \sum_{n=1}^\infty \frac{|a_n - c_n|+|c_n - b_n|}{2^n}\\ =& \sum_{n=1}^\infty \frac{|a_n - c_n|}{2^n} + \sum_{n=1}^\infty \frac{|c_n - b_n|}{2^n}\\ =& d(a,c) + d(c,b). \end{align*} \] Con ésto se demuestra que se satisface la desigualdad del triángulo y que \(d(\ ,\ )\) es una métrica en \(\{0,1\}^\mathbb{N}\).

Ejercicio

Por \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) denotamos el conunto de todas las sucesiones de números reales. Es decir, \(x\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) si y sólo si \(x=(x_n)_{n=1}^\infty\), con \(x_n\in \mathbb{R}\).

En \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) define \[ d(x,y)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}\frac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|}. \] Prueba que \(d\) es una métrica en \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\).

Ejercicio

Por \(C[a,b]\) denotamos al conjunto de funciones continuas en el intervalo \([a,b]\). En \(C[a,b]\) define \[ d_1(f,g)=\int_a^b |f(t)-g(t)|dt. \] Prueba que \(d_1\) es una métrica en \(C[a,b]\).

Ya que la integral de funciones no negativas es mayor a igual a cero se sigue que \(d_1(f,g) \geq 0\) para todas \(f,g\in C[a,b]\).

Si \(d_1(f,g)=0\) entonces \[ \int_a^b |f(t)-g(t)|dt =0. \] Ahora, si \(f(s)\ne g(s)\) para algún \(s\in [a,b]\), por continuidad de \(f\) y \(g\) existe un intervalo alrededor de \(s\), \((s-r,s+r)\), y un número positivo \(\alpha\) tal que \(|f(t)-g(t)|\geq \alpha \) para toda \(t\in (s-r,s+r)\). Usando la monotonía de la integral se sigue que \[ 2\alpha r=\int_{s-r}^{s+r}\alpha dt \leq \int_{s-r}^{s+r} |f(t)-g(t)|dt\leq \int_a^b |f(t)-g(t)|dt =0 \] por lo que \(2\alpha r =0\), una contradicción pues \(\alpha >0, r>0\). Por lo tanto debemos de tener que \(f=g\).

Ya que \(|f(t)-g(t)|=|g(t)-f(t)|\) para toda \(t\in [a,b]\) se sigue que \(d_1(f,g)=d(g,f)\).

Fijamos funciones \(f,g,h\). Para la desigualdad del triángulo, primero iniciamos con la desigualdad del triángulo para los reales y obtenemos que, todo \(t \in [a,b]\): \begin{eqnarray*} |f(t)-g(t)| & \leq & |f(t)-h(t)|+|h(t)-g(t)| \\ \Rightarrow \int_{a}^b |f(t)-g(t)|dt & \leq & \int_{a}^b(|f(t)-h(t)|+|h(t)-g(t)|)dt \\ \Rightarrow d_1(f,g) & \leq & d_1(f,h)+d_1(h,g). \end{eqnarray*}

Ejercicio

Supongamos que \((X,d_X)\), \((Y,d_Y)\) son dos espacios métrios. Define \begin{eqnarray*} d((x_1,y_1),(x_2,y_2))&=& d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2),\\ \rho((x_1,y_1),(x_2,y_2)) &=& \max\{d_X(x_1,x_2), d_Y(y_1,y_2) \}\\ \sigma((x_1,y_1),(x_2,y_2)) &=& \sqrt{d_X(x_1,x_2)^2+d_Y(y_1,y_2)^2} \end{eqnarray*} Prueba que \(d\), \(\rho\) y \(\sigma\) son métricas en \(X\times Y\).

Ejercicio

Sea \(f:[0,\infty)\to [0,\infty)\) una función que satisface

\(f\) es monótona creciente.
\(f(0)=0\),
\(f(x)>0\) para \(x>0\),
\(f(x+y)\leq f(x)+f(y)\), para todos \(x,y\).

Sea \((X,d)\) un espacio métrico. Prueba que \(\rho(x,y):= f(d(x,y)) \) es una métrica en \(X\).

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico. Define, \(\rho,\sigma:X\times X\to \mathbb{R}\) por \[ \rho(x,y)=\min\{d(x,y),1\}, \quad \sigma(x,y)=\sqrt{d(x,y)} \] Prueba que \(\rho\) y \(\sigma\) son métricas.

Sugerencia: utiliza el Ejercicio anterior .

Ejercicio

Sea \(\rho:X\times X\to \mathbb{R}\) una función que satisface, para todos \(x,y,z\in X\):
1. \(\rho(x,y) = 0\) si y sólo si \(x=y\),
2. \(\rho(x,y)=\rho(y,x)\),
3. \(\rho(x,y) \leq \rho(x,z)+\rho(z,y)\).
Prueba que \(\rho\) es una métrica en \(X\).
Da un ejemplo de un conjunto \(X\) y función \(\rho:X\times X\to \mathbb{R} \) tal que, para todos \(x,y\in X\) satisface:
1. \(d(x,y)=0\) si y sólo si \(x=y\)
2. \(d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\)
y sin embargo \(d\) no es una métrica.
Sugerencia: piensa en un conjunto \(X\) con sólo dos puntos.

Sea \(\sigma:X\times X\to \mathbb{R}\) una función que satisface, para todos \(x,y,z\in X\):
1. \(\sigma(x,y) = 0\) si y sólo si \(x=y\),
2. \(\sigma(x,y) \leq \sigma(x,z)+\sigma(y,z)\).
Prueba que \(\sigma\) es una métrica en \(X\).

Ejercicio

Un subconjunto \(A\) de un espacio métrico \((X,d)\) se llama acotado si existe un \(r>0\) y un punto \(x_0\) en \(X\) tal que \(d(a,x_0) \leq r\), para toda \(a\in A\).

Prueba que la unión finita de subconjuntos acotados sigue siendo acotada.

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico. Dado \(x_0\in X\) y \(r>0\) definimos la bola abierta centrada en \(x_0\) y de radio \(r\) como \[ B_r(x_0)=\{ x\in X | d(x,x_0) < r\} \]

Prueba que un conjunto \(A\subseteq X\) está acotado si y sólo si para todo un \(x_0\in X\) existe un \(r>0\) tal que \(A\subseteq B_r(x_0)\).

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico, \(x_0\in X\) y \(r>0\).

Prueba que \(\textrm{diam}(B_r(x_0))\leq 2r\).
De un ejemplo de espacio métrico dónde la desigualdad anterior sea estricta.
Si \((X,d)\) proviene de un espacio vectorial normado (no cero) prueba que \(\textrm{diam}(B_r(x_0))=2r\).

Ejercicio

Dado un subconjunto \(A\ne \emptyset\) de un espacio métrico \((X,d)\), se define si diámetro como \[ \operatorname{diam}(A)=\sup_{a,b\in A}\{d(a,b)\}. \] Nota: el diametro puede ser infinito si \(\{d(a,b):a,b\in A\}\) no está acotado superiormente.

Prueba que \(A\) está acotado si y sólo si \(\operatorname{diam}(A)<\infty\).

Ejercicio

Dados dos subconjuntos no vacíos, \(A, B\), de un espacio métrico \((X,d)\), se define la distancia entre ellos como \[ d(A,B)=\inf_{a\in A, b\in B}\{ d(a,b)\} \]

Prueba que \[ \operatorname{diam}(A\cup B) \leq \operatorname{diam}(A)+d(A,B)+ \operatorname{diam}(B). \]

De la definición de \(\operatorname{diam}\) y \(d(A,B)\) tenemos las siguientes afirmaciones:

Si \(a,b \in A\) entonces \(d(a,b) \leq \operatorname{diam}(A)\) y en consecuencia \( d(a,b) \leq \operatorname{diam}(A) +d(A,B)+ \operatorname{diam}(B).\)

Análogamente, si \(a,b \in B\) entonces \(d(a,b) \leq \operatorname{diam}(B)\) y \( d(a,b) \leq \operatorname{diam}(A) +d(A,B)+ \operatorname{diam}(B).\).

Si \(x \in A\) y \(y \in B\) entonces \(d(A,B) \leq d(x,y)\).

Si \(a,x \in A\) y \(b,y \in B\) deducimos por medio de la desigualdad del triángulo y las afirmaciones anteriores que \[ d(a,b) \leq d(a,x) + d(x,y) + d(y,b) \leq \operatorname{diam}(A) + d(x,y) + \operatorname{diam}(B). \]

Al tomar el ínfimo del lado derecho de la desigualdad anterior observamos \begin{eqnarray*} d(a,b) & \leq & \operatorname{diam}(A) + \inf_{x \in A,y \in B}d(x,y) + \operatorname{diam}(B)\\ & = & \operatorname{diam}(A) + d(A,B) + \operatorname{diam}(B). \end{eqnarray*}

Para concluir basta notar que ya hemos probado que la desigualdad anterior es verdadera si \(a,b \in A\), si \(a,b \in B\) y si \(a \in A, b\in B\), por lo que es válida para \(a, b \in A \cup B\). Al tomar supremo del lado izquierdo obtenemos el resultado deseado: \[ \operatorname{diam}(A \cup B) = \sup_{a,b \in A \cup B} d(a,b) \leq \operatorname{diam}(A) + d(A,B) + \operatorname{diam}(B). \]

Ejercicio

Sea \(V\) un espacio vectorial y \(d\) una métrica en \(V\) que satisface

\(d(x,y)=d(x-y,0)\).
\(d(\alpha x,\alpha y )= |\alpha| d(x,y)\).

Prueba que \(\|\cdot \| :V\to \mathbb{R}\) dada por \(\|x\|=d(x,0)\) define una norma en \(V\) y que la métrica asociada a esta norma es \(d\).

Además da un ejemplo de una métrica en \(\mathbb{R}\) que no pueda ser asociada a una norma de ésta manera.

Ejercicio

(propuesto por Cruz Olivera Fernando "Fercho")

Este ejercicio generaliza el Ejercicio 4.22

Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) dos espacios métricos y \(\| \cdot \|: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) una norma en \(\mathbb{R}^2\). En el producto cartesiano \(X\times Y\) define \[ d((x_1,y_1), (x_2,y_2))= \| (d_X(x_1,x_2), d_Y(y_1,y_2)) \| \] Prueba que \(d\) define una métrica en \(X\times Y\).

Definición

Una pseudo métrica en el conjunto \(X\) es una función \(\rho:X\times X \to \mathbb{R}\) que satisface

\(\rho(x,y) \geq 0\),
\(\rho(x,y)=\rho(y,x)\),
desigualdad del triángulo: \(\rho(x,y)\leq \rho(x,z)+\rho(z,y)\).

para todos \(x,y,z\in X\).

Una familia de pseudo métricas \(\{\rho_i\}_{i\in I}\) se dice que separa los puntos de \(X\) sii para \(x,y\in X\) con \(x\ne y\) existe \(\rho_j\) tal que \(\rho_j(x,y) > 0\).

Por ejemplo, para \(X=C(\mathbb{R})\), el espacio de las funciones continuas en \(\mathbb{R}\), dado cualquier compacto \(K\subseteq \mathbb{R}\) la función \[ \rho_K(f,g)=\max_{x\in K}\{|f(x)-g(x)| \} \] es una pseudo métrica pero no una métrica.

Ejercicio

Supongamos que \(\{\rho_{n}\}_{n=1}^\infty\) es una familia numerable de pseudo métricas en \(X\) que separan los puntos. Prueba que la función \(d:X\times X \to \mathbb{R}\) definida por \[ d(x,y)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \frac{\rho_n(x,y)}{1+\rho_n(x,y)} \] es una métrica en \(X\).

Ejercicio

Dado \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) un conjunto abierto por \(C^\infty(U)\) denotamos al conjunto de funciones infinitamente diferenciales en \(U\).

Un multi-indice es un vector \[ \alpha=(\alpha_1,\dots, \alpha_n) \] donde para toda \(i\), \(\alpha_i \geq 0\) es un natural. Dado un multi-indice (\alpha) denotamos \(D^\alpha: C^\infty(U)\to C^\infty(U)\) dada por \[ D^\alpha f = \partial_{x_1}^{\alpha_1} \cdots \partial_{x_n}^{\alpha_n} f \] y definimos su orden como \(|\alpha|:=\alpha_1+\cdots +\alpha_n\).

Nota: \(|\alpha|=0\), \(D^\alpha f =f\), para toda función.

Si escribimos \(U=\cup_{n=1}^\infty K_n\), donde cada \(K_n \subset U\) es compacto la familia \[ \rho_n(f):=\max_{x\in K_n, |\alpha|\leq n}\{|D^\alpha f(x)| \} \] define una familia de seminormas que separan los puntos de \(C^\infty(U)\).

Ejercicio

Una función \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) se anula en el infinito si para toda \(\varepsilon >0\) existe una \(M>0\) tal que \(|f(x)|< \varepsilon \) para todo \(x\) con \(|x|\geq M\).

Por \(C_0(\mathbb{R})\) denotamos al conjunto de funciones en \(\mathbb{R}\) que se anula en el infinito.

Prueba que toda \(f\in C_0(\mathbb{R})\) es acotada.
Para \(f,g\in C_O(\mathbb{R})\) define \[ d_\infty(f,g)=\sup_{x\in \mathbb{R}}\{ |f(x)-g(x)|\} \] Prueba que \(d_\infty\) es una métrica en \(C_0(\mathbb{R})\).

Quiz

Sean \(d_1,d_2:X\times X \to \mathbb{R}\) dos métricas en \(X\).

(2pts) Sea \(c>0\). Prueba que \(cd_1+d_2\) es una métrica en \(X\).
(3pts) ¿Cuál de las siguientes funciones define una métrica en \(X\) ? \[ d(x,y)=\max\{ d_1(x,y), d_2(x,y)\}, d(x,y)= \min\{d_1(x,y),d_2(x,y)\} \] Prueba o da un contraejemplo, según corresponda.

Lectura

Ejemplos de espacios métricos.

Grupos como espacios métricos.