Ejercicio

Para iniciar con ejemplos vemos sucesiones de números reales.

Define la sucesión en \(\mathbb{R}\) por \(x_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\).

¿ Las sucesiones \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\), \((\sqrt{n}x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) son convergentes?

Justifica tu respuesta.

Ejercicio

Sea \(c>0\) un número real positivo, fijo. Examina la convergencia de las siguientes sucesiones \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) de números reales.

1. \(x_n=c^n\).
2. \(x_n=\sqrt[n]{c}\).
3. \(x_n=\frac{n}{c^n}\).
4. \(x_n= \frac{c^n}{n!}\).

Ejercicio

Este ejercicio muestra que, de existir, los límites de sucesiones son únicos.

Sea \((X,d)\) un espacio métrico, \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión en \(X\) y supongamos que existen dos puntos \(x,y\in X\) tales que \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) converge tanto a \(x\) como a \(y\). Prueba que \(x=y\).

Sugerencia: aplica la desigualdad del triángulo iniciando con \(d(x,y)\).

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión en \(X\) tal que \(\lim_{n\to \infty} x_n\) existe y es igual a \(x\).

1. Sea \(y\in X\). Prueba que \(\lim_{n\to \infty} d(x_n,y) = d(x,y)\).

2. Supongamos que \((y_n)_{n\in \mathbb{N}}\) es un sucesión en \(X\) con \(\lim_{n\to \infty} y_n=y\). Prueba \(\lim_{n\to \infty} d(x_n,y_n)=d(x,y)\).

   Sugerencia: usa el inciso anterior y la desigualdad del triángulo.

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico y sea \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión en \(X\). Supongamos que existe \(y\in X\) y \(r>0\) que satisface \(d(x_n,y) < r\), para toda \(n\in \mathbb{N}\).

¿ Si \(x=\lim_{n\to \infty}x_n \) se sigue que \(d(x,y)< r\) ? Demuestra o da un contraejemplo.

Ejercicio

Sea \((V,\|\cdot\|)\) un espacio vectorial normado, \((v_n)_{n\in \mathbb{N}}\), \((w_n)_{n\in \mathbb{N}}\) dos sucesiones en \(V\) y \((\alpha)_{n\in \mathbb{N}} \) una sucesión de escalares.

Supón que \(\lim_{n\to \infty}v_n=v\), \(\lim_{n\to \infty} w_n=w\) y \(\lim_{n\to \infty}\alpha_n = \alpha\). Prueba que: \[ \lim_{n\to \infty} (\alpha_n v_n+ w_n )= \alpha v +w \]

Ejercicio

Este ejercicio muestra que, para los espacios \(\mathbb{R}^n\), con las normas-\(p\), la convergencia de sucesiones se reduce a convergencia de sucesiones de números reales.

Fija \(p\in [1,\infty)\) y considera el espacio vectorial normado \((\mathbb{R}^n, \| \cdot \|_p)\).

Ya se este ejercicio maneja sucesiones de vectores introducimos la siguiente notación: dado \(x\in \mathbb{R^n}\) por \(x(1), x(2), \dots, x(n)\) denotamos a sus coordenadas, es decir \[ x= (x(1), x(2), \dots, x(n)). \] Con ésta notación, dada una sucesión de vectores \((x_k)_{k\in \mathbb{N}}\) sus coordenadas están denotadas por \[ x_k=(x_k(1), x_k(2), \dots, x_k(n)). \]

Sean \(x,y\in \mathbb{R}^n\).

1. Prueba que, para toda \(i=1,\dots, n\): \[ |x(i)-y(i)| \leq \| x-y\|_p. \]
2. Además prueba que \[ \quad \|x-y\|_p \leq n^{1/p}\max_{i=1,\dots, n} \{|x(i)-y(i)| \} \]

3. Sea \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión en \(\mathbb{R}^n\) y \(x\in \mathbb{R}^n\). Prueba que \(\lim_{n\to \infty} x_n=x\) si y sólo si, para toda \(i=1,\dots, n\), se cumple \(\lim_{n\to \infty}x_n(i)=x(i)\).

   Es decir, una sucesión de vectores converge en \(\mathbb{R}^n\), con respecto a la norma-\(p\), si y sólo si todas sus condenadas convergen, vistas como sucesiones en \(\mathbb{R}\).

Ejercicio

Recuerda que por \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) denotamos al conjunto de sucesiones de números reales. Dado \(x\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) denotamos sus entradas como \[ x=(x(1), x(2), \dots, x(n), \dots) \]

Dada una sucesión \(x \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) denota \(x_{k}\) al truncamiento de \(x\) a altura \(k\), es decir, \(x_{k}=(x(1),\dots, x(k), 0,0,\dots)\).

1. Si \(x\in \ell_2\) prueba que \((x_{k})_{k\in \mathbb{N}}\) converge a \(x\) en \(\ell_2\).
2. Si \(x\in \ell_1\) prueba que \((x_{k})_{k\in \mathbb{N}}\) converge a \(x\) en \(\ell_1\).
3. Da un ejemplo donde se muestre que los incisos anteriores no se valen cuando \(x\in \ell_\infty\).

Ejercicio

Dos métricas, \(d_1\) y \(d_2\), sobre un conjunto \(X\), se llaman equivalentes si generan las mismas sucesiones convergentes, es decir: \(\lim_{n\to \infty} d_1(x_n,x)=0\) si y sólo si \(\lim_{n\to \infty} d_2(x_n,x)=0\).

1. Prueba que esto define una relación de equivalencia sobre el conjunto de métricas definidas en \(X\).
2. Se \(V\) un espacio vectorial y \(\|\cdot\|_1, \| \cdot \|_2\) dos normas sobre \(V\). Supón que existen constantes \(c,d>0\) tales que: \[ \| v\|_1 \leq c \|v\|_2, \quad \|v\|_2 \leq d \|v\|_1, \quad \textrm{para todo \(v\in V\).} \] Sean \(d_1\) y \(d_2\) las métricas asociadas a \(\|\cdot\|_1\) y \(\| \cdot\|_2\) respectivamente. Prueba que \(d_1\) y \(d_2\) son equivalentes.

Por ejemplo, el ejercicio Ejercicio 3.21 muestra que las normas \(\|\cdot\|_1, \|\cdot\|_2\), \(\|\cdot\|_\infty\) y en general todas las normas \(\|\cdot\|_p\) en \(\mathbb{R}^n\) generan métricas equivalentes.

Ejercicio

Supongamos que \((X,d_X)\), \((Y,d_Y)\) son dos espacios métrios. En el Ejercicio 2.20 se definieron las métricas: \begin{eqnarray*} d((x_1,y_1),(x_2,y_2))&=& d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2),\\ \rho((x_1,y_1),(x_2,y_2)) &=& \max\{d_X(x_1,x_2), d_Y(y_1,y_2) \}\\ \sigma((x_1,y_1),(x_2,y_2)) &=& \sqrt{d_X(x_1,x_2)^2+d_Y(y_1,y_2)^2}. \end{eqnarray*} Prueba que \(d\), \(\rho\) y \(\sigma\) son métricas equivalentes.

Ejercicio

¿Cuáles de las siguientes expresiones representan subsucesiones de \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\)?

1. \((x_{n^2})_{n\in \mathbb{N}}\) .
2. \((x_{n^2-4n})_{n \in \mathbb{N}}\).
3. \((x_{\frac{n^2+1}{n+1}})_{n \geq 2 }\).
4. \((x_{\frac{n}{n+1}})_{n\in \mathbb{N}}\).
5. \((x_{n^2-4n})_{n\geq 5} \).

Ejercicio

Considera una sucesión \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\). De esta sucesión se van a ir sacando subsuceciones recursivamente.

Por \((x_n^{(1)})_{n\in \mathbb{N}}\) vamos a denotar una subsucesión de \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\). Es decir, \(x_n^{(1)}=x_{\varphi_1(n)}\), donde \(\varphi_1:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) es estrictamente creciente.

Por \((x_n^{(2)})_{n\in \mathbb{N}}\) vamos a denotar una subsucesión de \((x_n^{(1)})_{n\in \mathbb{N}}\). Es decir, \(x_n^{(2)}=x_{\varphi_2(n)}^{(1)}\), donde \(\varphi_2:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) es estrictamente creciente.

Si \((x_n^{(m)})_{n\in\mathbb{N} } \) se ha construido, por \((x_n^{(m+1)})_{n\in \mathbb{N}}\) vamos a denotar una subsucesión de \((x_n^{(m)})_{n\in \mathbb{N}}\). Es decir, \(x_n^{(m+1)}=x_{\varphi_{m+1}(n)}^{(m)}\), donde \(\varphi_{m+1}:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) es estrictamente creciente.

Para una visualización podemos escribir las suceciones en una lista

\begin{eqnarray*} & x_1^{(1)}, x_2^{(1)}, x_3^{(1)}, \dots \\ & x_1^{(2)}, x_2^{(2)}, x_3^{(2)}, \dots \\ & x_1^{(3)}, x_2^{(3)}, x_3^{(3)}, \dots \\ & \vdots \\ & x_1^{(m)}, x_2^{(m)}, x_3^{(m)}, \dots \\ & \vdots \end{eqnarray*}

Define la sucesión \((y_n)_{n \in \mathbb{N}}\) por \(y_n:=x_n^{(n)}\). Se puede pensar como la sucesión diagonal.

Prueba que, para cada \(m\in \mathbb{N}\), \((y_n)_{n \geq m}\) es una subsucesión de \((x_n^{(m)})_{n\in \mathbb{N}}\).

Este método se conoce como el método de la diagonal de Cantor.

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico y sea \((x_n)_{n=1}^\infty\subset X\) una subsuseción.

Prueba que si \((x_n)_{n=1}^\infty\) NO converge al punto \(x_0\) entonces existe un número positivo \(\varepsilon_0 >0\) y una subsucesión \((x_{n_k})_{k=1}^\infty\) de \((x_n)_{n=1}^\infty\) tal que \[ d(x_{n_k}, x_0) \geq \varepsilon_0 \] para toda \(k\).

Ejercicio

Como en el caso real, toda sucesión convergente en un espacio métrico es es acotada. Sin embargo, varios resultados que se valen en \(\mathbb{R}\) ya no son válidos para cualquier espacio métrico.

1. Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión en \(X\). Prueba que si \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) es convergente en \(X\) entonces el conjunto \(\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) está acotado.

2. Para \(k\in \mathbb{N}\) denota por \(e^{(k)}\) a la sucesión de reales tal que es cero en todos lados excepto en la entrada \(k\), donde vale 1. Nota que el conjunto \(\{e^{(k)}\}_{k\in \mathbb{N}}\) es acotado en \((\ell_\infty, \| \cdot \|_\infty)\) pero prueba que la sucesión \((e^{(k)})_{k\in \mathbb{N}}\) no converge en \((\ell_\infty, \| \cdot \|_\infty)\).

   Sugerencia: inicia probando que, para \(x=(x(i))_{i\geq 1} \in \ell_\infty\) \(|x(i)| \leq \| x-e^{(k)}\|_\infty \), para toda \(i\ne k\).

3. Generaliza el inciso anterior probando que no existe subsucesión de \((e^{(k)})_{k\in \mathbb{N}}\) que sea convergente en \((\ell_\infty, \| \cdot \|_\infty)\). Esto muestra que un teorema tipo Bolzano-Weierstrass no es válido en el espacio \((\ell_\infty, \| \cdot \|_\infty)\).

Nota: recuerda que un subconjunto \(A\) de un espacio métrico es acotado si existe \(x_0\) en el espacio y \(r>0\) que satisface: \(d(x_0,a) \leq r\), para toda \(a\in A\).

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión convergente en \(X\). Prueba que \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) es Cauchy respecto a \(d\).

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión de Cauchy. Prueba que \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) está acotada.

Ejercicio

Este ejercicio muestra que las sucesiones de Cauchy guardan información sobre el espacio métrico que no se preserva bajo métricas equivalentes.

En \(\mathbb{N}=\{1,2,\dots\}\) considera dos métricas: \(d_1\) es la métrica usual, \(d_1(n,m)=|n-m|\), mientras que \(d_2\) está dada por \(d_2(n,m)=|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|\).

1. Prueba que \(d_1\) y \(d_2\) son equivalentes.
2. Prueba que la sucesión \((n)_{n=1}^\infty\) es Cauchy con respecto a \(d_2\) pero no Cauchy con respecto a \(d_1\).

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \((x_n)_{n=1}^\infty\) una sucesión de Cauchy respecto a \(d\). Prueba que existe una subsucesión \((x_{n_k})_{k=1}^\infty\) tal que \[ d(x_{n_k}, x_{n_{k+1}})\leq \frac{1}{2^k} \] para todo \(k \geq 1\).