La idea de la conexidad es sencilla: "un conjunto es conexo si es un sola pieza". A pesar de que la idea es sencilla su formalización en términos matemáticos no es tan sencilla. La primera curiosidad es que no se define cuando un conjunto es conexo si no que se define cuando un conjunto no lo es y a partir de esto se da la definición de conexidad. Lo anterior se debe a que es más sencillo definir cuando un conjunto consiste en dos o más piezas pues se usan abiertos para poder "separar" dichas piezas. Así un conjunto va a ser conexo si "no se puede separar" usando abiertos.
Otra de las peculiaridades con la conexidad es que enunciados aparentemente sencillos, por ejemplo \(\mathbb{R}\) es conexo, pueden ser laboriosos de demostrar pues hay que cuidar varios detalles que uno piensa que son claro, pero que formalmente necesitan una demostración a partir de la definición.
Mencionamos lo anterior no para dar la impresión de que la conexidad sea "dificil" si no para advertir que se requiere aprender a pensar sobre estos conjuntos, aprender a programar nuevas rutinas en el cerebro por decirlo así. Pero las recompensas son muchas pues la relación de la conexidad con las funciones continuas es sorprendente y muy útil (para una muestra ver ejercicios 7.17, 7.18 y 7.19)
Sea \((X,d)\) un espacio métrico. Un subconjunto \(E \subseteq X\) se llama disconexo si existen \(A,B\subset X\) subconjuntos abiertos de \(X\) que satisfacen:
El subconjunto se llama conexo si no es disconexo.
Nota: para el caso \(E=X\), tenemos que el espacio métrico es disconexo si existen dos conjuntos, \(A\) y \(B\), ajenos no vacíos tal que \(X=A\cup B\)
Cualquier intervalo cerrado \([a.b]\) es un subconjunto conexo de \(\mathbb{R}\).
Supongamos que \([a,b]\) es un conjunto disconexo y que \(U,V\) es una disconexión, es decir
Como \([a,b] \subseteq U \cup V\) entonces \(b \in U\) o \(b \in V\), supongamos sin pérdida de generalidad supongamos que \(b \in V\). Dado que \(V\) es abierto y \(b \in V\) entonces existe \(r > 0\) tal que \((b-r,b_r) \subseteq V\).
Sea \(A=U\cap [a,b]\ne \emptyset \) y \(\alpha=\sup(A) \) (bien definido pues \(b\) es cota superior de \(A\)). Por la propiedad universal del supremo existe una sucesión \((u_n)_{n=1}^\infty \subseteq A\) tal que \(\lim_{n\to \infty}u_n=\alpha\). Ya que \((u_n)_{n=1}^\infty \subseteq [a,b]\) y éste es cerrado, \(\alpha \in [a,b]\).
Ya que \([a,b]\subseteq U\cap V\) tenemos dos casos.
Caso 1: \(\alpha \in V\). Ya que este es abierto y \(\lim_{n\to \infty}u_n=\alpha\) existe \(N\) tal que \(u_N\in V\), pero entonces \(u_N\in U\cap V\), una contradicción.
Caso 2: \(\alpha \in U\). Al ser \(U\) abierto, existe \(s> 0\) tal que \((\alpha-s,\alpha+s) \subseteq U\). Ya que \(\alpha < b \) (pues \(b\in V\) y \(\alpha \notin V\) por el caso anterior), podemos tomar \(s\) que también satisface, \(\alpha+s < b \). Pero entonces \(\alpha+s/2 \in U\cap [a,b] \), contradiciendo \(\alpha = \sup(U\cap [a,b])\).
Un espacio métrico \((X,d)\) es conexo si y sólo si los únicos subconjuntos simultaneamente abiertos y cerrados son \(\emptyset\) y \(X\).
Un espacio métrico \((X,d)\) es disconexo si y sólo si existe una función \(f:X \to \{0,1\}\), continua y suprayectiva.
Nota: se considera a \(\{0,1\}\) con la métrica discreta.
\(\Rightarrow]: \) Supongamos que \((X,d)\) es disconexo. Entonces existe una disconexión \((U,V)\) y con ésta definamos \(f: X\to \{0,1\}\), por \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 0 & \textrm{si \(x\in U\),} \\ 1 & \textrm{si \(x\in V\).} \end{array} \right. \] Como \(U\ne \emptyset\) y \(V\ne \emptyset \) resulta que \(f\) es suprayectiva.
Afirmamos que \(f\) es continua, para lo cual vamos a probar que la imagen inversa de abiertos es abierto (ver Ejercicio 6.6).
Los únicos abiertos en el espacio métrico discreto \(\{0,1\}\) son \[ \emptyset, \{0,1\}, \{0\}, \{1\}. \] Usando la definición de \(f\) tenemos: \[ f^{-1}(\emptyset)=\emptyset, f^{-1}(\{0,1\})=X, f^{-1}(\{0\})=U, f^{-1}(\{1\})=V, \] todos los cuales son abiertos. Por lo tanto \(f\) es continua.
\(\Leftarrow]: \) Supongamos que existe una función continua y suprayectiva \(f:X\to \{0,1\}\).
Definamos \(U:=f^{-1}(\{0\})\) y \(V:=f^{-1}(\{1\})\). Ya que \(f\) es continua resulta que tanto \(U\) y \(V\) son abiertos. Además, ya que \(f\) es suprayectiva resulta que \(U\ne \emptyset\) y \(V\ne \emptyset\). Además \(U\) y \(V\) son ajenos pues \[ U\cap V= f^{-1}(\{0\})\cap f^{-1}(\{1\})=f^{-1}(\{0\}\cap \{1\})=\emptyset. \] Finalmente \[ X=f^{-1}(\{0,1\})=f^{-1}(\{0\}\cup \{1\})=f^{-1}(\{0\})\cup f^{-1}(\{1\})=U\cup V. \] Por lo tanto \((U,V)\) es una disconexión de \(X\).
Prueba que un espacio métrico \((X,d)\) es conexo si y sólo si toda función continua \(f:X\to \{0,1\}\) es constante.
Nota:se considera a \(\{0,1\}\) con la métrica discreta.
Sugerencia: usa el lema anterior.
Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \(E \subset X\) un subconjunto conexo. Supón que \(U,V \subseteq X\) son dos subconjuntos abiertos, ajenos que cumplen \(E \subset U\cup V\). Prueba que \(E\subseteq U\) ó \(E\subseteq V\).
Considera a \(\mathbb{R}\) con la métrica usual.
Sugerencia: usa los ejercicios Ejercicio 7.3 y Ejercicio 7.8
Sea \(E\subseteq \mathbb{R}\) un subconjunto que contiene más de dos elementos.
Prueba que \(E\) es conexo si y sólo si, siempre que \(x,y\in E\) entonces también se cumple \([x,y]\subseteq E\).
Concluye que los subconjuntos conexos de \(\mathbb{R}\) son precisamente los intervalos.
Probaremos ambas implicaciones por contrapuesta. Supongamos que \(x,y \in E\) son tales que \([x,y] \not\subseteq E\), es decir, existe \(z \in (x,y)\) tal que \(z \notin E\). Entonces los conjuntos \(U = (-\infty, z), V = (z,\infty)\) forman una disconexión de \(E\).
Supongamos ahora que \(E\) es disconexo, entonces existe una disconexión \(U,V\) de E. Por definición \(U \cap E \neq \varnothing \neq V \cap E\), por lo que podemos tomar \(x \in U \cap E\) y \(y \in V \cap E\) y suponemos sin pérdida de generalidad que \(x < y\). Para concluir note que \([x,y] \not\subseteq E\), pues de lo contrario \(U,V\) sería una disconexión del intervalo que sabemos conexo. Por definición, un intervalo es un conjunto que cumple la propiedad descrita, es decir, si \(x,y \in E\) entonces \([x,y] \subseteq E\), con lo que hemos demostrado que los conjuntos conexos de \(\mathbb{R}\) son exactamente los intervalos.
Sea \(f:(X,d_X)\to (Y,d_Y)\) una función continua entre dos espacios métricos. Si \(C\subset X \) es conexo entonces su imagen directa bajo \(f\) también es conexo.
Vamos a demostrarlo por contradicción.
Supongamos que \(f(C)\subseteq Y\) es disconexo. Entonces existen \(A,B\subseteq Y\) tal que forman una disconexión de \(f(C)\).
Definamos \(U=f^{-1}(A)\) y \(V=f^{-1}(B)\). Afirmamos que \((U,V)\) es una disconexión de \(C\).
Primero notamos que al ser \(f\) contínua y \(A,B\subseteq Y\) abiertos \(U\) y \(V\) también son abierto.
\(U\) y \(V\) son ajenos pues \[ A\cap B= \emptyset \Rightarrow \emptyset = f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B) =U\cap V. \]
Para probar \(U\cap C \ne \emptyset\) empezamos con \(A\cap f(C)\ne \emptyset\) y tomamos \(a \in A\cap f(C) \). Entonces existe \(x\in C\) tal que \(f(x)=a\) y por lo tanto \(x\in C\cap f^{-1}(A)\).
De manera similar se tiene \(V\cap C\ne \emptyset\).
Para probar que \((U,V)\) es disconexión resta probar \(C\subseteq U\cup V\). Pero \[ f(C) \subseteq A\cup B \Rightarrow f^{-1}(f(C))\subseteq f^{-1}(A\cup B)= f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)=U\cup V. \] Usando que \(C\subseteq f^{-1}(f(C))\) concluimos que \(C\subseteq U\cup V\).
Concluimos que \((U,V)\) es una disconexión de \(C\) lo cual es una contraficción pues \(C\) es conexo.
Sea \(I \subseteq \mathbb{R}\) un intervalo y \(f:I\to \mathbb{R}\) una función continua. Prueba que \(f(I)\) también es un intervalo.
Nota: el intervalo \(I\) puede se abierto, cerrado, semi-abierto, acotado, no acotado etc.
Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \(E \subseteq X\) un subconjunto conexo. Prueba que si un subconjunto \(F\) satiface \(E \subseteq F \subseteq \overline{E}\) entonces \(F\) es conexo.
En particular si \(E\) es conexo entonces su cerradura, \(\overline{E}\), también.
¿ Es cierto que si \(\overline{E}\) es conexo entonces \(E\) también?
Sea \((X,d)\) un espacio métrico conexo con almenos dos puntos. Prueba que \(X\) es no numerable.
Sugerencia: encuentra una función continua, no constante, de \(X\) en \(\mathbb{R}\).
Sea \(x_0 \in X\) fijo y consideremos la función \(f:X \to \mathbb{R}\) dada por \(f(x) = d(x,x_0)\). Por la desigualdad del triángulo inversa tenemos que para cualquier par \(x,y \in X\), \(|f(x)-f(y)| = |d(x,x_0) - d(y,x_0)| \leq d(x,y)\), por lo que \(f\) es continua. Asímismo, como \(X\) tiene al menos dos puntos existe \(x \neq x_0\) y \(f\) toma, al menos, los valores \(0\) y \(d(x,x_0)\), por lo que no es constante. Como \(X\) es conexo entonces su imagen directa \(f(X)\) es un conjunto conexo en \(\mathbb{R}\), y como tiene al menos dos puntos tiene que ser un intervalo. Toda función es suprayectiva en su imagen directa, entonces \(X\) tiene al menos tantos elementos como un intervalo, que sabemos que es no numerable.
Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) dos espacios métricos conexos.
Considera el espacio métrico producto \((X\times Y,d)\), donde \(d\) puede ser cualquiera de las métricas dadas en Ejercicio 2.20. Prueba que \(X\times Y\) es conexo.
Sugerencia: usa el Ejercicio 7.6
Si \(f:[a,b]\to [a,b]\) es continua prueba que \(f\) tiene un punto fijo.
Si \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) es continua e inyectiva prueba que \(f\) es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
Prueba que no existe una función continua \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) que satisface \(f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) y \(f(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}) \subseteq \mathbb{Q}\).
Sea \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) una función que es: (1) biyectiva, (2) continua.
Prueba que \(f\) es un homeomorfismo.
La Definición 7.2 da la impresión de que la conexidad de un conjunto depende del espacio ambiente donde vivve, pues está dada en términos de los subconjuntos abiertos de \((X,d)\). En realidad la conexidad es una propiedad inherente del subconjunto y los ejercicios siguientes exploran este punto de vista.
Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \(\emptyset \ne E \subseteq X\). La métrica inducida por \(d\) en \(E\) es simplemente la métrica \(d\) restrigida a \(E\times E\), \(d_E=\left. d\right|_{E\times E}\). Se dice que \((E,d_E)\) es un subespacio de \((X,d)\).
Por ejemplo, en \(\mathbb{R}^3\) tomando \(E=\{p\in \mathbb{R}^3: \|p\|=1\}\) como subespacio, tenemos \(d_E((0,0,1),(0,0,-1))=2\).
Pero si consideramos a \(E\) con la métrica coordal, denotada \(\rho\), entonces \(\rho((0,0,1),(0,0,-1))=\pi\).
La métrica \(d_E\) induce una topología en \(E\), llama la topología inducida por \((X,d)\), de la siguiente forma. Las bolas abiertas en \((E,d_E)\), denotadas \(B_r^E(x)\), son simplemente \[ B_{r}^E(x)=\{e \in E: d_E(x,e)< r\} \] lo cual se puede ver que es igual a \[ B_r^E(x)=E\cap B_r(x). \]
Un subconjunto \(U \subseteq E\) se llama abierto si, para todo \(x\in U\), existe \(r>0\) tal que \(B_r^E(x)\subset U\).
Para hacer referencia que los abiertos de \((E,d_E)\) están dados por la métrica inducida por \(d\) en \(E\) se dice que son abiertos relativos a \(E\). Por ejemplo si \(E=[0,1]\) entonces \(U=[0,1/2)\) NO es abierto en \(\mathbb{R}\) pero es abierto relativo en \([0,1]\) pues \[ [0,1/2)=[0,1] \cap B_{1/2}(0). \]
Sea \((X,d)\) un espacio métrico y considera el subespacio \((E,d_E)\), donde \(E \subseteq X\) y \(d_E\) denota la métrica inducida en \(E\).
Si \(U,V\subseteq E\) son abiertos ajenos en \(E\) prueba que existen \(\tilde{U},\tilde{V}\subseteq X\), abiertos en \(X\) y ajenos tales que \(U=E\cap \tilde{U}\), \(V=\tilde{V}\cap E\).
Ya que \(U\) es abierto en \(E\) para toda \(x\in U\) existe un número positivo \(r(x)>0\) tal que \[ E\cap B_{r(x)}(x) \subseteq U, \] donde \(B_{r(x)}(x)\) denota la bola abierta en \((X,d)\) por lo que \(E\cap B_{r(x)}(x)\) representa la bola abierta en \((E,d_E)\).
De manera similar, para todo \(y\in V\) existe un número positivo \(s(y)>0\) tal que \[ E\cap B_{s(y)}(y) \subseteq V. \]
Tomemos los abiertos \[ \tilde{U}=\cup_{x\in U}B_{r(x)/2}(x), \quad \tilde{V}=\cup_{y\in V}B_{s(y)/2}(y) \]
Afirmamos que \(\tilde{U}\cap \tilde{V}=\emptyset\).
Ya que \[ \tilde{U}\cap \tilde{V}=\cup_{x\in U, y\in V} B_{r(x)/2}(x)\cap B_{s(y)/2}(y) \] es suficiente probar que \(B_{r(x)/2}(x)\cap B_{s(y)/2}(y)=\emptyset\) para todos \(x\in U\), \(y\in V\).
Supongamos que existe \(z\in B_{r(x)/2}(x)\cap B_{s(y)/2}(y)\). Entonces \[ d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y) < \frac{r(x)}{2}+ \frac{s(y)}{2} \leq \max\{ r(x),s(x)\} \] S.P.G. \(\max\{ r(x),s(x)\}=r(x)\). Se sigue que \(y\in B_{r(x)}(x)\cap E \subseteq U\). Por lo tanto \(y\in V\cap U\), una contradicción pues \(U\cap V =\emptyset\).
Para terminar notamos que de las contenciones \(E\cap B_{r(x)}(x)\subseteq U\), \(E\cap B_{s(y)}(y)\subseteq V\) concluimos \[ E\cap \tilde{U}=\cup_{x\in U}E\cap B_{r(x)/2}(x)=U, \] \[ E\cap \tilde{V}=\cup_{y\in V}E\cap B_{s(y)/2}(y)=V. \]
Sea \((X,\|\cdot\|)\) un espacio vectorial normado.
Un subconjunto \(C\subseteq X\) se llama conexo por trayectorias si para todos \(x,y\in C\) existe una función \(\alpha:[0,1]\to X\) tal que
Prueba que si \(C\) es conexo por trayectorias entonces \(C\) es conexo.
Nota: el regreso no se vale, un ejemplo es \(X=\mathbb{R}^2\) con \[ C=\{(x,\sin(1/x)): x\ne 0\}\cup \left( \{0\}\times [-1,1]\right) \]
(2 pts) Sea \((X,d)\) un espacio métrico y considera subconjuntos de \(X\), \(A\subseteq B \subseteq C\), donde \(A\) y \(C\) son conexos. Prueba o da un contraejemplo: \(B\) es conexo.
(3 pts) Prueba que todo subconjunto abierto, acotado y conexo de \(\mathbb{R}\) es un intervalo de la forma \((a,b)\), para algunos reales \(a< b\).