Ejercicio

Ya que la continuidad se puede escribir en términos de imágines inversas es útil tener varias propiedades sobre ésta.

Sean \(S,T\) dos conjuntos, \(f:S\to T\) una función y subconjuntos \(A,A' \subseteq S, B,B'\subseteq T\). Prueba las siguientes identidades de conjuntos

1. \(A \subseteq f^{-1}(f(A))\) y la igualdad se da, para todo subconjunto \(A\) si y sólo si \(f\) es inyectiva.
2. \(f(f^{-1}(B)) \subseteq B\) y la igualdad se da, para todo subconjunto \(B\) si y sólo si \(f\) es suprayectiva.
3. \(f^{-1}(B\cap B')=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B')\).
4. \(f^{-1}(B\cup B')=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B')\).
5. \(f^{-1}(B\setminus B')=f^{-1}(B)\setminus f^{-1}(B')\).
6. \(f(A\cup A')=f(A)\cup f(A')\).
7. \(f(A\cap A') \subseteq f(A)\cap f(A')\). Además da un ejemplo dónde la contención sea propia.
8. Si \(B'\subseteq B\\) entonces \(f^{-1}(B')\subseteq f^{-1}(B)\).

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \(f,g:X\to \mathbb{R}\) funciones continuas en \(x_0\in X\). Prueba que las siguientes funciones (dadas por operaciones algebráticas) son continuas en \(x_0\):

1. combinaciones lineales \(\alpha f +g\), donde \(\alpha \in \mathbb{R}\),
2. la función producto \(fg\),
3. si \(g(x_0 )\ne 0\), la función cociente \(f/g\).

Sugerencia: usa el Lema 6.4

Nota: se puede generalizar este ejercicio cambiando \(\mathbb{R}\) por un espacio vectorial normado.

Ejercicio

1. Prueba que una función continua \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) está completamente determinada por sus valores en \(\mathbb{Q}\). Es decir, si \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) es una función continua que satisface \(f(r)=g(r)\) para toda \(r\in \mathbb{Q}\) entonces \(f(x)=g(x)\) para toda \(x\in \mathbb{R}\).

2. Generaliza el ejercicio anterior. Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) dos espacios métricos y sea \(D\subset X\) un subconjunto denso. Prueba que una función continua \(f:X \to Y\) está completamente determinada por sus valores en \(D\).

   Sugerencia: usa el Ejercicio 5.32 inciso 2.

Ejercicio

Sea \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) que satisface: \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), para todos \(x,y\in \mathbb{R}\).

Prueba que si \(f\) es continua en un punto entonces existe una constante \(a\in \mathbb{R}\) tal que \(f(x)=ax\) para todo \(x\in \mathbb{R}\).

Es decir, toda función aditiva y continua en almenos un punto es lineal.

Sugerencia: empieza probando que si \(f\) es aditiva y continua en un punto entonces es continua en cero y después prueba que es continua en todo punto.

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \(f:X\to \mathbb{R}\) una función.

1. Si \(f\) es continua en \(X\) entonces, para todo \(a\in \mathbb{R}\) entonces \(\{x: f(x)>a\}\) y \(\{x: f(x)< a \}\) son abiertos.
2. Inversamente, si para toda \(a\in \mathbb{R}\) se satisface que \(\{x: f(x)>a\}\) y \(\{x: f(x)< a \}\) son conjuntos abiertos prueba que \(f\) es continua en \(\mathbb{R}\).
3. Mejora el inciso anterior. Prueba que si para toda \(a\in \mathbb{Q}\) se satisface que \(\{x: f(x)>a\}\) y \(\{x: f(x)< a \}\) son conjuntos abiertos prueba que \(f\) es continua en \(\mathbb{R}\).

Sugerencia: usa el Lema .

Ejercicio

Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) dos espacios métricos y \(f:X\to Y\) una función. La gráfica de \(f\) se define como el subconjunto de \(X\times Y\) dado por \[ G(f):=\{(x,f(x)): x\in X\} \]

1. Prueba que \(f\) es continua en \(X\) entonces \(G(f)\) es un subconjunto cerrado de \(X\times Y\).
2. Da un ejemplo donde \(G(f)\) sea cerrado pero \(f\) no es continua.

Nota: considera el espacio \(X\times Y\) dotado con la métrica \(d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2)\).

Ejercicio

Sea \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) una función y define \(F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2\) por \(F(x)=(x,f(x))\). Prueba que las siguientes condiciones son equivalentes.

1. \(f\) es continua en \(\mathbb{R}\).
2. \(F\) es continua en \(\mathbb{R}\).
3. Los subconjuntos \[ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y \leq f(x) \}, \quad \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: f(x)\leq y\} \] son cerrados en \(\mathbb{R}^2\).

Ejercicio

Una función entre dos espacio métricos \(f: X \to Y\) se dice que satisface la condición de Lipschitz si existe un constante \(K>0\) para la cual: \[ d_Y(f(a),f(b)) \leq K d_X(a,b), \quad \textrm{para todos \(a,b\in X\)}. \] Por sencillez también se dice que \(f\) es Lipschitz con constante \(K\).

1. Prueba que toda función Lipschitz es continua en todo punto.
2. Mejora el inciso anterior. Prueba que toda función Lipschitz es uniformemente continua en su dominio.

Nota: una función \(g:X\to Y\) se llama uniformemente continua en \(X\) si para toda \(\varepsilon >0\) existe una \(\delta>0\), que sólo depende de \(\varepsilon\), tal que \[ d_X(a,b) < \delta \Rightarrow d_Y(g(a),g(b))<\varepsilon \]

Ejercicio

1. Prueba que las funciones \(\sen, \cos:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) son Lipschitz con constante \(K=1\).
2. Generaliza el inciso anterior. Si \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es continua en \([a,b]\), diferenciable en \((a,b)\) y con derivada acotada en \((a,b)\) entonces \(f\) es Lipschitz.
Respuesta

1. Comencemos por recordar el Teorema del Valor Medio. Si \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) es continua en \([a,b]\) y diferenciable en \((a,b)\) entonces existe un punto \(c \in (a,b)\) tal que \(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

   Dado que \(\sen\) y \(\cos\) son continuas y diferenciables en todo \(\mathbb{R}\). Trabajaremos con \(\sen\) y el caso para \(\cos\) será análogo. Recordemos que ambas funciones toman valores en el intervalo \([0,1]\) y \(\sen '(x) = \cos(x)\), de esta forma si \(a,b \in \mathbb{R}\) entonces existe \(c \in (a,b)\) tal que \(\cos(c) = \frac{\sen(b)-\sen(a)}{b-a}\). Basta tomar valor absoluto en ambos lados de la ecuación y despejar el término \(|b-a|\) para obtener \(|\sen(b) - \sen(a)| = |\cos(c)||b-a|\). Como \(|\cos(c)| \leq 1\) concluimos que \(|\sen(b) - sen(a)| \leq 1 \cdot |b-a|\) y la función en cuestión es Lipschitz con constante \(K=1\). El caso de \(\cos\) es análogo. Dados \(a,b \in \mathbb{R}\) existe \(c \in (a,b)\) tal que \(|\cos(b) - \cos(a)| = |-\sen(c)||b-a| \leq 1 \cdot |b-a|\).

2. Notemos que la generalización la obtenemos de manera natural de la demostración anterior. Supongamos que \(|f'(z)| \leq K \). Sean \(x,y \in [a,b]\) y supongamos SPG que \(x < y\). Por el Teo. del Valor Medio sabemos que existe \(z \in (x,y) \subseteq (a,b)\) tal que \(f'(z) = \frac{f(y) - f(x)}{y - x}\). Tomando valor absoluto de ambos lados de la ecuación y despejando el término \(|y-x|\) tenemos \(|f(y) - f(x)| = |f'(z)||y - x| \leq K |y-x|\), por lo que la función es Lipschitz.

Ejercicio

Considera la función \(L: \ell_\infty \to \mathbb{R}\) dada por \[ L(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} x_n \] donde consideramos \(\ell_\infty\) dotado con la norma \(\|\cdot\|_\infty\).

Prueba que \(L\) es Lipschitz.

Ejercicio

1. Fija \(y=(y_n)_{n=1}^\infty \in \ell_2\) y define \(g:\ell_2 \to \mathbb{R}\) por \[ g(x)=\sum_{n=1}^\infty x_ny_n \] Por la desigualdad de Cauchy-Schwartz \(g\) está bien definida, es decir, la serie \(\sum_{n=1}^\infty x_ny_n\) es convergente.

   Prueba que \(g\) es Lipschitz.

2. Generaliza el inciso anterior. Sean \(p,q\in (1,\infty)\) exponentes conjugados y fija \(y\in \ell_q \). Define \(g:\ell_p \to \mathbb{R} \) por \[ g(x)=\sum_{n=1}^\infty x_ny_n \] Prueba que \(g\) es Lipschitz. Sugerencia: usa la desigualdad de Hølder.

Ejercicio

Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) dos espacios métricos. Una función \(f:X \to Y\) se llama isometría si para todos \(a,b\in X\) \[ d_X(a,b)=d_Y(f(a),f(b)). \]

1. Prueba que la función \(F: \mathbb{N} \to \ell_1\) dada por \[ F(n)=(\underbrace{1,\dots,1}_{n \quad \textrm{lugares}}, 0, 0, \dots) \] es una isometría. Nota: \(\mathbb{N}\) está dotado con la métrica usual heredada de \(\mathbb{R}\).
2. Sea \(p\in [1,\infty) \). Define \(G: \ell_p \to \ell_p\) dada por \[ G((x_1,x_2,\dots, ))=(0,x_1,x_2,\dots) \] Prueba que \(G\) es una isometría.

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \(A\subseteq X\). La distancia de un punto \(x\in X\) al conjunto \(A\) se define como \[ d(x,A):=\inf_{a\in A}\{ d(x,a) \} \] Prueba que \(|d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)\), para todos \(x,y\in X\).

Por lo tanto la función distancia a un conjunto es Lipschitz continua con \(K=1\).

Ejercicio

Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \(E,F \subseteq X\) dos conjuntos cerrados, no vacíos y ajenos. Define \(f:X\to \mathbb{R}\) por \[ f(x)=\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)} \]

1. Prueba que \(f\) es continua.
2. Para toda \(x\in X\), \(0\leq f(x)\leq 1\).
3. \(f^{-1}(0)=E\), \(f^{-1}(1)=F\).

Sugerencia: usa Ejercicio 6.18 y Ejercicio 5.31

Usa lo anterior prueba que existen dos conjuntos abiertos, \(U,V\), ajenos con \(E\subset U\), \(F \subset V\). Se dice que los conjuntos \(U\) y \(V\) separan a \(E\) y \(F\).

Ejercicio

Una función definida sobre un espacio métrico, con valores en \(\mathbb{R}\), \(f:X\to \mathbb{R}\) se llama semi-continua inferiormente si para toda \(a\in \mathbb{R}\) el conjunto \[ \{x\in X: f(x)\leq a \} \] es cerrado.

Prueba que \(f\) es semi-continua inferiormente si y sólo si \[ f(x)\leq \liminf_{n\to \infty} f(x_n) \] siempre que \(\lim_{n\to \infty} x_n=x\).

Nota: para una sucesión de números reales \((r_n)_{n=1}^\infty\) se define \[ \liminf_{n\to \infty} r_n = \sup_{n\geq 1} \left\{ \inf_{k\geq n} \{r_k\} \right\} \]

Ejercicio

Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) espacios métricos y \(f:X\to Y\) una biyección. Las siguientes condiciones son equivalentes.

1. \(f\) es un homemorfismo.
2. \(U\) abierto en \(X\) si y sólo si \(f(U)\) abierto en \(Y\).
3. \(F\) cerrado en \(X\) si y sólo si \(f(U)\) cerrado en \(Y\).
4. una sucesión \((x_n)_{n=1}^\infty \subseteq X\) satisface \(\lim_{n\to \infty}x_n=x\) en \(X\) si y sólo si la sucesión \((f(x_n))_{n=1}^\infty\subseteq Y\) satisface \(\lim_{n\to \infty} f(x_n)=f(x)\) en \(Y\).

Ejercicio

Sea \(X \ne \emptyset\) un conjunto y \(d,\rho\) dos métricas sobre \(X\).

Prueba que las métricas \(d\) y \(\rho\) son equivalentes si y sólo si la función identidad \(\operatorname{id}: (X,d) \to (X,\rho)\) es un homemorfismo.

Ejercicio

Por \((X,d)\) denotamos al espacio métrico \(X=\{0\} \cup \{\frac{1}{n}: n=1,2,\dots \}\) donde \(d \) es la métrica usual, heredada de \(\mathbb{R}\).

En \(X\) define una nueva métrica dada por \[ \rho(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} \left| \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right| & \textrm{si \(x=1/n, y=1/m\) con \(n,m\geq 2\)}\\ \frac{1}{n} & \textrm{si \(y=1\), \(x=1/n\) con \(n\geq 2\)} \\ 1-\frac{1}{n} & \text{si \(y=0\), \(x=1/n\) con \(n\geq 2\))} \\ 1 & \textrm{si \(y=0\), \(x=1\)} \end{array} \right. \]

Prueba que \((X,d)\) y \((X,\rho)\) son homemomorfos y que la función identidad \(\operatorname{id}:X \to X\) no es continua.

Ejercicio

Sea \((V,\|\cdot\|)\) un espaio vectorial normado. Prueba que \(V\) y \(B_1(0)\) son homeomorfos.

Hint: considera la función \(f: V\to B_1(0)\) dada por \(f(x)=\frac{1}{1+\|x\|}x\).