Sea \(V\) un espacio vectorial. De manera directa se puede probar que todo subespacio \(W\subseteq V\) induce una relación de equivalencia en \(V\) mediante \[ x' \sim x \Leftrightarrow x'-x \in W \] Si \([x]\) denota la clase de equivalencia de un elemento \(x\in V\) entonces \[ [x]=\{v\in V: v \sim x \}=\{v\in V: v-x \in W\}= \{v\in V: v=x+w, w\in W \} \] Por lo tanto si defimos \(x+W:=\{x+w:w\in W\}\) tenemos \([x]=x+W\).
El conjunto de clases de equivalencia se denota por \(V/W\) y tiene estructura de espacio vectorial sobre \(\mathbb{F}\) si definimos las operaciones como \[ (x+W)+(y+W)=(x+y)+W, \alpha (x+W)=(\alpha x)+W \] donde \(x,y\in V\) y \(\alpha \in \mathbb{F}\).
Con estas opereciones el cero del espacio \(V/W\) es \([0]=0+W=W\).
El mapeo conciente de define como \[\pi: V\to V/W, \pi(x)=x+W\]
Sea \(V\) un espacio vectorial y \(W\) un subespacio. El mapeo cociente \(\pi:V\to V/W\) es lineal con \(\ker(\pi)=W\).
Sean \(X,Y\) dos esapcios vectoriales, \(W\subseteq X\) un subespacio y \(T:X\to Y\) una función lineal. Prueba que existe una función lineal \(\tilde{T}:X/W \to Y \) tal que \(\tilde{T} \circ \pi =T \) si y sólo si \(W\subseteq \ker(T)\), donde \(\pi\) es la proyección de \(X\) en \(X/W\).
Una funcional lineal en el espacio vectorial \(V\) es simplemente una función lineal de \(V\) en el campo, \(\varphi:V\to \mathbb{F}\).
La siguiente proposición prueba que las funcionales lineales en \(V\) están en correspondencia uno a uno con los subespacios de codimensión 1 de \(V\).
Sea \(V\) un espacio vectorial.
Sea \(X\) un conjunto distinto del vacío y considera el espacio de funciones \[ F(X)=\{f:X \to \mathbb{F} \} \]
Sea \(V\) un espacio vectorial. Un subconjunto \(A\subseteq V\) se llama absorbente si para todo \(x\in V\) existe \(t>0\) tal que \(x\in tA\).
Nota: todo subconjunto absorbente \(A\) satisface que \(0 \in A\).
Ejemplos.
Prueba que \(\mathbb{Q}\times \mathbb{Q} \) no es un subconjunto absorbente de \(\mathbb{R}^2\).
Sean \(X,Y\) espacios vectoriales y \(f:X\to Y\) lineal y suprayectiva. Prueba que si \(A\subseteq X\) es absorbente entonces \(f(A)\subseteq Y\) es absorbente.
Sea \(V\) un espacio vectorial y \(W\subseteq V\) un subespacio. Sea \(A\subseteq V\) un subconjunto absorbete (em \(V\)). Define \(A'=A\cap W\). Prueba que \(A'\) es absorbeten (en \(W\)).
Sea \(V\) un espacio vectorial (real o complejo) de dimensión mayor o igual a 2 y \(A\subseteq V\) numerable. Entonces \(A\) no es absorbente.
Caso 1: finito dimensional.
Sea \(V\) un espacio con \(2\leq \dim(V)=n < \infty\) y \(A \subseteq V\) contable.
Razonando por contradicción supongamos que \(A\subseteq V\) es absorbente. Al ser \(V\) de dimensión \(n\) sabemos que existe \(\phi: V \rightarrow \mathbb{K}^{n} \) un isomorfismo. Por ser \(\phi\) inyectiva, \(\phi(A)\) es contable y por ser suprayectiva \(\phi(A)\) es absorbente (ver Ejercicio 1.9). Por ende \(\phi(A)\subseteq\mathbb{K}^{n}\) es un conjunto contable y absorbente.
Al ser \(\phi(A)\) contable podemos escribir \(\phi(A)=\left\lbrace v_{i} | i\in\mathbb{N}\right\rbrace\). Ya que \(\phi(A)\) es absorbente, si para todo todo \(x\in \mathbb{R}\) consideramos el vector \(v= \left(1,x,0,...,0\right) \in\mathbb{R}^n\) entonces existen \(i \in \mathbb{N}\)\ y \(t>0\) tales que \[ \begin{align*} \left(1,x,0,...,0\right)&=t v_j \\ \end{align*} \] escribiendo \(v_i=(v_i(1),v_i(2),\dots)\) llegamos a que \[ \begin{eqnarray*} 1=tv_{j}(1) \\ x= tv_j(2) \end{eqnarray*} \] de lo que se sigue que \(t=1/v_{j}(1)\) y por lo tanto \(x=\frac{v_j(2)}{v_j(1)}\). Finalmente, ya que el conjunto \(\{ \frac{v_i(2)}{v_i(1)}| i\in \mathbb{N}, \, v_i(1)\ne 0\}\) es numerable llegamos a una contradicción pues \(x\in \mathbb{K}\) es arbitrario.
Caso 2: caso infinito dimensional.
Sea \(V\) un espacio vectorial real o complejo con \(2\leq \dim(V)\). Tomemos \(u,v\in V\) linealmente independientes y denotemos \(W=\textrm{span}(u,v)\). Nota que \(\dim(W)=2\). Por otra parte si suponemos que existe \(A \subseteq V\) contable y absorbente en \(V\) entonces, \(A\cap W\) tambien es absorbente en \(W\) (ver Ejercicio 1.10) y además contable, esto contradice el primer caso.
Sea \(V\) un espacio vectorial. Un subconjunto \(C \subseteq V\) se llama convexo si para todos \(x,y\in C\) se cunple que el segmento que une \(x\) conn \(y\) está contenido en \(C\), es decir para todos \(s,t \geq 1\) que satistacen \(s+t=1\) se cumple que \(tx+sy\in C\).
Prueba que un conjunto \(C \subset V\) es convexo si y sólo si para todos \(x_1,\dots, x_n \in C\) y escalares \(t_1,\dots, t_n\) con \(t_i\geq 0\) y \(t_1+\cdots + t_n=1\) se tiene que \(t_1x_1+\cdots t_nx_n\in C\).
Nota: a una expresión de la forma \(t_1x_1+\cdots + t_nx_n\) con \(t_i \geq 0\) y \(t_1+\cdots + t_n=1\), se le llama una combinacion lineal convexa.
Sea \(V\) un espacio vectorial y \(C\) un subconjunto convexo. Entonces para todos \(s,t>0\) se cunple \[ sC+tC=(s+t)C. \]
Sea \(V\) un espacio vectorial (real o complejo). Una funcional sublineal es una función \(\rho:V\to \mathbb{R}\) que satisface, para todos \(x,y\in V\), y todo \(t\in \mathbb{R}\), \(t>0\):
\[ \rho(ax)=|a|\rho(x) \] para todos \(a\in \mathbb{F}\) y \(x\in V\) se llama seminorma.
Ejemplos
Si \(\rho\) es una seminorma en \(V\) entonces satisface
Sea \(V\) un espacio vectorial y \(A\subseteq V\) un conjunto absorbente. La funcional de Minkowski de \(A\), denotada \(\mu_A\), es la función \(\mu_A:V\to [0,\infty)\) dada por \[ \mu_A(x)=\inf\{t>0: x\in tA \} \] Ya que \(A\) es absorbente \(\mu_A\) está bien definida.
Observación: \(\mu_A(0)=0\).
Sea \(\rho:V\to \mathbb{R}\) una funcional sublineal. Define \[ B:=\{x\in V: \rho(x)< 1\}, \, C:=\{x\in V: \rho(x) \leq 1\} \] Entonces \(B\) y \(C\) son convexos y absorbentes y \[ \mu_B=\rho= \mu_C. \] Si además \(\rho\) es una seminorma entonces \(B\) y \(C\) son balanceados.
Sea \(V\) un espacio vectorial. Un subconjunto \(B\subseteq V\) se llama balanceado si \(a B \subseteq B\) para todo \(a\in \mathbb{F}\) con \(|a|\leq 1\).
Sea \(A\subseteq V\) un subconjunto convexo y absorbente. Entonces:
Sea \(A\subseteq V\) un subconjunto convexo y absorbente. Entonces:
Da la definición de: funcional sublineal, seminorma y funcional de Minkowski.