Análisis Matemático TRES

§ 1

Preliminares

Definición

Sea \(V\) un espacio vectorial. De manera directa se puede probar que todo subespacio \(W\subseteq V\) induce una relación de equivalencia en \(V\) mediante \[ x' \sim x \Leftrightarrow x'-x \in W \] Si \([x]\) denota la clase de equivalencia de un elemento \(x\in V\) entonces \[ [x]=\{v\in V: v \sim x \}=\{v\in V: v-x \in W\}= \{v\in V: v=x+w, w\in W \} \] Por lo tanto si defimos \(x+W:=\{x+w:w\in W\}\) tenemos \([x]=x+W\).

El conjunto de clases de equivalencia se denota por \(V/W\) y tiene estructura de espacio vectorial sobre \(\mathbb{F}\) si definimos las operaciones como \[ (x+W)+(y+W)=(x+y)+W, \alpha (x+W)=(\alpha x)+W \] donde \(x,y\in V\) y \(\alpha \in \mathbb{F}\).

Con estas opereciones el cero del espacio \(V/W\) es \([0]=0+W=W\).

El mapeo conciente de define como \[\pi: V\to V/W, \pi(x)=x+W\]

Proposición

Sea \(V\) un espacio vectorial y \(W\) un subespacio. El mapeo cociente \(\pi:V\to V/W\) es lineal con \(\ker(\pi)=W\).

Ejercicio

Sean \(X,Y\) dos esapcios vectoriales, \(W\subseteq X\) un subespacio y \(T:X\to Y\) una función lineal. Prueba que existe una función lineal \(\tilde{T}:X/W \to Y \) tal que \(\tilde{T} \circ \pi =T \) si y sólo si \(W\subseteq \ker(T)\), donde \(\pi\) es la proyección de \(X\) en \(X/W\).

Definición

Una funcional lineal en el espacio vectorial \(V\) es simplemente una función lineal de \(V\) en el campo, \(\varphi:V\to \mathbb{F}\).

La siguiente proposición prueba que las funcionales lineales en \(V\) están en correspondencia uno a uno con los subespacios de codimensión 1 de \(V\).

Proposición

Sea \(V\) un espacio vectorial.

  1. Sea \(W\leq V\) un subespacio. Entonces: \(\dim(V/W)=1\) si y sólo si existe \(\varphi:V\to \mathbb{F}\) funcional lineal distinta de cero tal que \(\ker(\varphi)=W\).
  2. Sean \(\varphi, \psi:V \to \mathbb{F}\) dos funcionales lineales con \(\varphi\ne 0\). Entonces: \(\psi\) es un múltiplo de \(\varphi\) si y sólo si \(\psi\) restringido a \(\ker(\varphi)\) es cero (otra forma es decir \(\ker(\varphi) \subseteq \ker(\psi)\)).
  3. Sean \(\varphi_1, \dots, \varphi_n, \psi:V\to \mathbb{F}\) funcionales lineales con \(\varphi_i\ne 0\) para todo \(i=1,\dots, n\). Entonces: \(\psi\) es combinación lineal de las \(\varphi_1,\dots, \varphi_n\) si y sólo si \(\left. \psi \right|_{\cap_{i=1}^n\ker(\varphi_i)}=0\) (es decir \(\cap_{i=1}^n \ker(\varphi_i) \subseteq \ker(\psi)\)).

Ejercicio

Sea \(X\) un conjunto distinto del vacío y considera el espacio de funciones \[ F(X)=\{f:X \to \mathbb{F} \} \]

  1. Fija un \(x_0\in X\) y considera \(W=\{f\in F(X): f(x_0)=0\}\). Prueba que \(W\) es un subespacio de \(F(X)\) y que \(\dim(F(X)/W)=1\).
  2. Fija ahora \(x_1,x_0\in X\), \(x_1\neq x_2\) y define \(V=\{f\in F(X): f(x_0)=0, f(x_1)=0\}\). Prueba que \(V\) es un subespacio y encuentra la dimensión de \(F(X)/V\)
  3. ¿Se valen los mismos resultados de los dos incisos anteriores si cambiamos \(F(X)\) por \(C(X)\), el espacio de funciones continuas sobre \(X\)? para esta parte suponemos que \(X\) es un espacio métrico.

Definición

Sea \(V\) un espacio vectorial. Un subconjunto \(A\subseteq V\) se llama absorbente si para todo \(x\in V\) existe \(t>0\) tal que \(x\in tA\).

Nota: todo subconjunto absorbente \(A\) satisface que \(0 \in A\).

Ejemplos.

  1. En \(\mathbb{R}^n\) la bola abierta de radio \(r\), \(A=\{x\in \mathbb{R}^n: \|x\| < r\}\), es absorbente. Más en general, en un espacio vectorial normado toda bola abierta centrada en cero es absorbente.
  2. En \(\mathbb{R}^2\) un espiral que sale del origen.

Ejercicio

Prueba que \(\mathbb{Q}\times \mathbb{Q} \) no es un subconjunto absorbente de \(\mathbb{R}^2\).

Ejercicio

Sean \(X,Y\) espacios vectoriales y \(f:X\to Y\) lineal y suprayectiva. Prueba que si \(A\subseteq X\) es absorbente entonces \(f(A)\subseteq Y\) es absorbente.

Ejercicio

Sea \(V\) un espacio vectorial y \(W\subseteq V\) un subespacio. Sea \(A\subseteq V\) un subconjunto absorbete (em \(V\)). Define \(A'=A\cap W\). Prueba que \(A'\) es absorbeten (en \(W\)).

Ejercicio (conjetura Yair-Yahir)

Sea \(V\) un espacio vectorial (real o complejo) de dimensión mayor o igual a 2 y \(A\subseteq V\) numerable. Entonces \(A\) no es absorbente.

Caso 1: finito dimensional.

Sea \(V\) un espacio con \(2\leq \dim(V)=n < \infty\) y \(A \subseteq V\) contable.

Razonando por contradicción supongamos que \(A\subseteq V\) es absorbente. Al ser \(V\) de dimensión \(n\) sabemos que existe \(\phi: V \rightarrow \mathbb{K}^{n} \) un isomorfismo. Por ser \(\phi\) inyectiva, \(\phi(A)\) es contable y por ser suprayectiva \(\phi(A)\) es absorbente (ver Ejercicio 1.9). Por ende \(\phi(A)\subseteq\mathbb{K}^{n}\) es un conjunto contable y absorbente.

Al ser \(\phi(A)\) contable podemos escribir \(\phi(A)=\left\lbrace v_{i} | i\in\mathbb{N}\right\rbrace\). Ya que \(\phi(A)\) es absorbente, si para todo todo \(x\in \mathbb{R}\) consideramos el vector \(v= \left(1,x,0,...,0\right) \in\mathbb{R}^n\) entonces existen \(i \in \mathbb{N}\)\ y \(t>0\) tales que \[ \begin{align*} \left(1,x,0,...,0\right)&=t v_j \\ \end{align*} \] escribiendo \(v_i=(v_i(1),v_i(2),\dots)\) llegamos a que \[ \begin{eqnarray*} 1=tv_{j}(1) \\ x= tv_j(2) \end{eqnarray*} \] de lo que se sigue que \(t=1/v_{j}(1)\) y por lo tanto \(x=\frac{v_j(2)}{v_j(1)}\). Finalmente, ya que el conjunto \(\{ \frac{v_i(2)}{v_i(1)}| i\in \mathbb{N}, \, v_i(1)\ne 0\}\) es numerable llegamos a una contradicción pues \(x\in \mathbb{K}\) es arbitrario.

Caso 2: caso infinito dimensional.

Sea \(V\) un espacio vectorial real o complejo con \(2\leq \dim(V)\). Tomemos \(u,v\in V\) linealmente independientes y denotemos \(W=\textrm{span}(u,v)\). Nota que \(\dim(W)=2\). Por otra parte si suponemos que existe \(A \subseteq V\) contable y absorbente en \(V\) entonces, \(A\cap W\) tambien es absorbente en \(W\) (ver Ejercicio 1.10) y además contable, esto contradice el primer caso.

Definición

Sea \(V\) un espacio vectorial. Un subconjunto \(C \subseteq V\) se llama convexo si para todos \(x,y\in C\) se cunple que el segmento que une \(x\) conn \(y\) está contenido en \(C\), es decir para todos \(s,t \geq 1\) que satistacen \(s+t=1\) se cumple que \(tx+sy\in C\).

Proposición

Prueba que un conjunto \(C \subset V\) es convexo si y sólo si para todos \(x_1,\dots, x_n \in C\) y escalares \(t_1,\dots, t_n\) con \(t_i\geq 0\) y \(t_1+\cdots + t_n=1\) se tiene que \(t_1x_1+\cdots t_nx_n\in C\).

Nota: a una expresión de la forma \(t_1x_1+\cdots + t_nx_n\) con \(t_i \geq 0\) y \(t_1+\cdots + t_n=1\), se le llama una combinacion lineal convexa.

Proposición

Sea \(V\) un espacio vectorial y \(C\) un subconjunto convexo. Entonces para todos \(s,t>0\) se cunple \[ sC+tC=(s+t)C. \]

Ejercicio

  1. Prueba que la intersección de conjuntos convexos es convexo.
  2. Da un ejemplo de que unión de conjuntos convexos no es necesariamente convexo.
  3. Prueba que la imagen directa de subconjuntos convexos bajo funciones lineales sigue siendo convexo.

Definición

Sea \(V\) un espacio vectorial (real o complejo). Una funcional sublineal es una función \(\rho:V\to \mathbb{R}\) que satisface, para todos \(x,y\in V\), y todo \(t\in \mathbb{R}\), \(t>0\):

  1. \(\rho(x+y)\leq \rho(x)+\rho(y)\).
  2. \(\rho(tx)=t\rho(x)\).
Si además satisafce la condición

\[ \rho(ax)=|a|\rho(x) \] para todos \(a\in \mathbb{F}\) y \(x\in V\) se llama seminorma.

Ejemplos

  1. Sea \(X\) un conjunto cualquiera y consideremos el espacio vectorial de funciones de \(X\) en \(\mathbb{F}\). Dado un punto \(x_0\in X\), fijo y arbitrario, definimos \(\rho(f)=|f(x_0)|\). Entonces \(\rho\) es una seminorma.
  2. Sea \(X\) un espacio métrico (o topológico) localmente compacto. Vamos a denotar por \(V\) al conjunto de funciones continuas de \(X\) en \(\mathbb{R}\). Dado un subconjunto compacto \(K\subseteq X\) defimos \(\rho:V\to [0,\infty)\) por \(\rho(f)=\sup_{x\in K}\{f(x)\}\). Entonces \(\rho\) es una funcional sublineal y no es en general una seminorma. Si la modificamos como \(\rho(f)=\sup_{x\in K}\{|f(x)|\}\) obtenemos una seminorma.

Ejercicio

Si \(\rho\) es una seminorma en \(V\) entonces satisface

  1. \(\rho(0)=0\),
  2. \(0 \leq \rho(x) \), para toda \(x\),
  3. para todos \(x,y\in V\), \( |\rho(x)-\rho(y)|\leq \rho(x-y) \)

Definición

Sea \(V\) un espacio vectorial y \(A\subseteq V\) un conjunto absorbente. La funcional de Minkowski de \(A\), denotada \(\mu_A\), es la función \(\mu_A:V\to [0,\infty)\) dada por \[ \mu_A(x)=\inf\{t>0: x\in tA \} \] Ya que \(A\) es absorbente \(\mu_A\) está bien definida.

Observación: \(\mu_A(0)=0\).

Proposición

Sea \(\rho:V\to \mathbb{R}\) una funcional sublineal. Define \[ B:=\{x\in V: \rho(x)< 1\}, \, C:=\{x\in V: \rho(x) \leq 1\} \] Entonces \(B\) y \(C\) son convexos y absorbentes y \[ \mu_B=\rho= \mu_C. \] Si además \(\rho\) es una seminorma entonces \(B\) y \(C\) son balanceados.

Definición

Sea \(V\) un espacio vectorial. Un subconjunto \(B\subseteq V\) se llama balanceado si \(a B \subseteq B\) para todo \(a\in \mathbb{F}\) con \(|a|\leq 1\).

Proposición

Sea \(A\subseteq V\) un subconjunto convexo y absorbente. Entonces:

  1. la funcional de Minkowski, \(\mu_A\), es una funcional sublineal.
  2. Si además definimos \[ B=\{x\in V: \mu_A(x)< 1 \}, C=\{x\in V: \mu_A(x)\leq 1 \} \] entonces \(B \subseteq A \subseteq C \) y \[ \mu_{B}=\mu_A=\mu_{C}. \]
  3. Finalmente, si \(A\) es balanceado entonces \(\mu_A\) es una seminorma.

Proposición

Sea \(A\subseteq V\) un subconjunto convexo y absorbente. Entonces:

  1. la funcional de Minkowski, \(\mu_A\), es una funcional sublineal.
  2. Si además definimos \[ B=\{x\in V: \mu_A(x)< 1 \}, C=\{x\in V: \mu_A(x)\leq 1 \} \] entonces \(B \subseteq A \subseteq C \) y \[ \mu_{B}=\mu_A=\mu_{C}. \]
  3. Finalmente, si \(A\) es balanceado entonces \(\mu_A\) es una seminorma.

Quiz

  1. Da la definición de: funcional sublineal, seminorma y funcional de Minkowski.

  2. Sea \(V\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\) y \(\rho_1,\rho_2: V\to \mathbb{R}\) dos funcionales sublineales. Define \(\rho=\max\{\rho_1,\rho_2\}\). Prueba que \(\rho\) es funcional sublineal.