Sea \(H\) un espacio con producto interior.
Si \(\{x_i\}_{i=1}^n\) es una familia tal que \(\langle x_i, x_j \rangle =0\) para \(i\ne j\) entonces \[ \left\| \sum_{i=1}^n x_i\right\|^2 =\sum_{i=1}^n\|x_i\|^2 \]
Por definición de la norma y de las propiedades del producto interior obtenemos: \begin{eqnarray*} \left\| \sum_{i=1}^n x_i\right\|^2 &=& \langle \sum_{i=1}^n x_i, \sum_{j=1}^n x_j \rangle \\ &=& \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \langle x_i, x_j \rangle \end{eqnarray*} pero al ser los vectores ortogonales, \(\langle x_i, x_j \rangle =0 \) para \(i\ne j\) por lo que la expresión anterior se simplifica a \begin{eqnarray*} \left\| \sum_{i=1}^n x_i\right\|^2 &=& \sum_{i=1}^n \langle x_i, x_i \rangle \\ &=& \sum_{i=1}^n \|x_i\|^2 \end{eqnarray*}
Sea \(H\) un espacio de Hilbert y sea \(\{x_\alpha\}_{\alpha \in A}\) sea una familia ortogonal de vectores.
Entonces \(\sum_{\alpha \in A} x_\alpha \) converge en \(H\) sii \(\sum_{\alpha \in A}\|x_\alpha\|^2\) converge en \(\mathbb{R}\).
En tal caso se tiene \[ \left\| \sum_{\alpha \in A} x_\alpha \right\|^2=\sum_{\alpha \in A}\|x_\alpha\|^2 \]
\(\Rightarrow ]\) Supongamos que la suma \(\sum_{\alpha \in A} x_\alpha\) existe en \(H\), es decir existe \(x\in H\) tal que \[ x=\lim_{F\in \mathcal{P}_{\textrm{fin}}(A)} \sum_{\alpha \in F } x_\alpha \] en el sentido de redes, donde \(\mathcal{P}_{\textrm{fin}}(A)\) denota el conjunto de subconjuntos finitos de \(A\).
Usando que la norma es continua obtenemos que \[ \|x\|^2=\lim_{F\in \mathcal{P}_{\textrm{fin}}(A)} \| \sum_{\alpha \in F } x_\alpha \|^2 \] pero como el conjunto \(\{x_\alpha\}_{\alpha \in A}\) es ortogonal el Teorema de Pitágora implica que \[ \|x\|^2=\lim_{F\in \mathcal{P}_{\textrm{fin}}(A)} \sum_{\alpha \in F }\| x_\alpha \|^2 \] Por lo tanto la serie \(\sum_{\alpha \in A}\| x_\alpha \|^2\) converge en \(\mathbb{R}\) y \[ \left\| \sum_{\alpha \in A} x_\alpha \right\|^2 =\|x\|^2=\sum_{\alpha \in A }\| x_\alpha \|^2 \]
\(\Leftarrow ]\) Supongamos que \(\sum_{\alpha \in A }\| x_\alpha \|^2\) converge en \(\mathbb{R}\). Se sigue que es de Cauchy y por lo tanto para \(\varepsilon > 0\) existe un \(F_0 \in \mathcal{P}_{\textrm{fin}}(A)\) tal que si \(E_1,E_2 \in \mathcal{P}_{\textrm{fin}(A)}\) y \(F_0\subseteq E_1,E_2\) entonces \begin{equation}\label{Eqn:Aux1} \left| \sum_{\alpha \in E_1} \|x_\alpha\|^2 - \sum_{\alpha \in E_2} \|x_\alpha\|_2 \right| < \varepsilon^2. \end{equation}
Por otro lado, para probar que \(\sum_{\alpha \in A} x_\alpha\) converge en \(H\) vamos a probar que la red de sumas parciales es de Cauchy. Tomamos conjuntos fijos y arbitrarios, \(F_1,F_2\in \mathcal{P}_{\textrm{fin}}(A)\), se sigue que:
\begin{eqnarray*} \left\| \sum_{\alpha \in F_1} x_\alpha - \sum_{\alpha \in F_2} x_\alpha \right\|^2 &=& \left\| \sum_{\alpha \in F_1\setminus F_2} x_\alpha - \sum_{\alpha \in F_2\setminus F_1} x_\alpha \right\|^2 \\ &=& \sum_{\alpha \in F_1\setminus F_2} \|x_\alpha\|^2 + \sum_{\alpha \in F_2\setminus F_1} \|x_\alpha \|^2 \\ \end{eqnarray*} donde la primera igualdad se debe al cancelar los términos iguales y la segunda es por el Teorema de Pitágoras.
Ahora, usando que \((F_1\setminus F_2) \cup (F_2\setminus F_1) = F_1\triangle F_2 = (F_1\cup F_2)\setminus (F_1\cap F_2)\) podemos reescribir \begin{eqnarray*} \left\| \sum_{\alpha \in F_1} x_\alpha - \sum_{\alpha \in F_2} x_\alpha \right\|^2 &=& &=& \sum_{\alpha \in F_1\cup F_2} \|x_\alpha\|^2 - \sum_{\alpha \in F_2\cap F_1} \|x_\alpha \|^2 \\ \end{eqnarray*}
Finalmente, si pedimos que \(F_0 \subseteq F_1,F_2\) y tomamos \(E_1=F_1\cup F_2\) y \(E_2=F_1\cap F_2\) en \eqref{Eqn:Aux1} obtenemos que \(F_0\subseteq E_1,E_2\) y por lo tanto \begin{eqnarray*} \left\| \sum_{\alpha \in F_1} x_\alpha - \sum_{\alpha \in F_2} x_\alpha \right\|^2 < \varepsilon^2 \end{eqnarray*}
Sea \(H\) un espacio de Hilbert y sea \(\{x_\alpha\}_{\alpha \in A}\) un conjunto ortonormal y \(u\in H\). Entonces:
Para \(F\subseteq A\) un conjunto finito, no vacío, de las propiedades del producto interior se sigue que \begin{eqnarray*} \left\| u - \sum_{\alpha \in F} \langle u, x_\alpha \rangle x_\alpha \right\|^2 &=& \langle u - \sum_{\alpha \in F} \langle u, x_\alpha \rangle x_\alpha , u - \sum_{\beta \in F} \langle u, x_\beta \rangle x_\beta \rangle \\ &=& \| u\|^2 \\ &-& \langle \sum_{\alpha \in F} \langle u, x_\alpha \rangle x_\alpha, u \rangle \\ &-& \langle u, \sum_{\beta \in F} \langle u, x_\beta \rangle x_\beta \rangle \\ &+& \langle \sum_{\alpha \in F} \langle u, x_\alpha \rangle x_\alpha, \sum_{\beta \in F} \langle u, x_\beta \rangle x_\beta \rangle \\ &=& \| u\|^2 \\ &-& \sum_{\alpha \in F} \langle u, x_\alpha \rangle \langle x_\alpha, u \rangle \\ &-& \sum_{\beta \in F} \overline{\langle u, x_\beta} \rangle \langle u, x_\beta \rangle \\ &+& \sum_{\alpha \in F} \sum_{\beta \in F} \langle u, x_\alpha \rangle \overline{\langle u, x_\beta \rangle} \langle x_\alpha, x_\beta \rangle \\ &=& \| u\|^2\\ &-& 2 \sum_{\alpha \in F}|\langle u, x_\alpha \rangle |^2 \\ &+& \sum_{\alpha \in F} |\langle u, x_\alpha \rangle|^2 \\ &=& \| u\|^2 \\ &-& \sum_{\alpha \in F}|\langle u, x_\alpha \rangle |^2 \end{eqnarray*}
En resumen tenemos: \begin{equation}\label{Eqn:Aux1Bessel} \left\| u - \sum_{\alpha \in F} \langle u, x_\alpha \rangle x_\alpha \right\|^2 = \|u\|^2-\sum_{\alpha \in F}|\langle u, x_\alpha \rangle |^2 . \end{equation} Como las normas son no negativos tenemos que para todo subconjunto finito \(F\subseteq A\), \[ \sum_{\alpha \in F}|\langle u, x_\alpha \rangle |^2 \leq \|u\|^2, \] y tomando supremos llegamos a \[ \sup_{F \in \mathcal{P}_{\textrm{fin}}(A)} \left\{ \sum_{\alpha \in F} |\langle u, x_\alpha\rangle|^2 \right\} \leq \|u\|^2 < +\infty \]
Se sigue que la serie \(\sum_{\alpha \in A} |\langle u, x_\alpha\rangle |^2\) converge en \(\mathbb{R}\) y como los vectores \(x_\alpha\) son unitarios también tenemos que la serie \(\sum_{\alpha \in A} \|\langle u, x_\alpha \rangle x_\alpha\|^2\) es convergente y usando el Teorema 10.2 concluimos que la serie \[ \sum_{\alpha \in A} \langle u, x_\alpha \rangle x_\alpha \] converge en \(H\).
Finalmente usando que la norma es continua, tomando límite en \eqref{Eqn:Aux1Bessel} sobre la red de subconjuntos finitos llegamos a \[ \left\| u - \sum_{\alpha \in A} \langle u, x_\alpha \rangle x_\alpha \right\|^2 = \|u\|^2-\sum_{\alpha \in A}|\langle u, x_\alpha \rangle |^2 \]
Directamente usando la identidad del inciso 1 y que las normas son no negativas, llegamos a la desigualdad de Bessel \[ \sum_{\alpha \in A} |\langle u, x_\alpha \rangle|^2 \leq \|u\|^2 \]
Para probar éste inciso es suficiente probar que \[ \langle u - \sum_{\alpha \in A}\langle u, x_\alpha \rangle x_\alpha , x_\beta \rangle =0 \] para toda \(\beta \in A\). Pero, usando la continuidad del producto interior y que los vectores \(x_\alpha\) son ortogonales dos a dos y unitarios, tenemos: \begin{eqnarray*} \langle u - \sum_{\alpha \in A}\langle u, x_\alpha \rangle x_\alpha , x_\beta \rangle&=& \langle u, x_\beta \rangle - \sum_{\alpha \in A} \langle u, x_\alpha \rangle \langle x_\alpha, x_\beta \rangle \\ &=& \langle u, x_\beta \rangle - \langle u, x_\beta \rangle \\ &=& 0 \end{eqnarray*}
Sea \(H\) un espacio de Hilbert.
Sea \(\{y_\alpha\}_{\alpha \in A}\) un conjunto ortonormal y \(Y=\overline{\span(\{y_\alpha\}_{\alpha \in A})}\).
Si \(x_0=y_0+z_0\) con \(y_0\in Y\) y \(z_0\in Y^\perp\) entonces \[ y_0=\sum_{\alpha \in A} \langle x, y_\alpha \rangle y_\alpha \]
Además, son equivalentes:
Si \(\{e_\alpha\}_{\alpha \in A}\) es un conjunto ortonormal, las siguientes condiciones son equivalentes.
Sea \(H\) un espacio de Hilbert. Un conjunto ortonormal que satisface cualquiera (y por lo tanto todos) de las condiciones del teorema anterior se llama una base ortonormal de \(H\).
Si \(\{e_\alpha\}_{\alpha \in A}\) es una base ortonormal los números \(\langle u,e_\alpha \rangle \) se llaman los coeficientes de Fourier de \(u\) con respecto a la base \(\{e_\alpha\}_{\alpha\in A}\).
Definimos \[ L_2((-\pi,\pi))=\left\{ f:(-\pi, \pi)\to \mathbb{C}: \int_{-\pi}^\pi |f(t)|^2d\lambda(t)< + \infty \right\} \] donde \(\lambda\) es la medida de Lebesgue sobre los Borelianos de \((-\pi,\pi)\).
Denotamos \(e_n:(-\pi,\pi)\to \mathbb{C},\) \(e_n(t)=\frac{e^{int}}{\sqrt{2\pi}}\), \(n\in \mathbb{Z}\).
Por la Teoría de series de Fourier, para toda \(f\in L_2((-\pi,\pi))\) \[ f(t)=\sum_{n\in \mathbb{Z}} c_n e^{int}\ c.d. \] con \[ c_n:=\int_{-\pi}^{\pi} f(t)e^{-int}d\lambda(t) \]
Sea \(H\ne \{0\}\), un espacio de Hilbert.
Entonces \(H\) tiene una base ortonornal.
Sea \(H\) un espacio de Hilbert.
Si \(\{e_\alpha\}_{\alpha \in A}\) y \(\{f_\beta\}_{\beta\in B}\) son dos bases ortonormales de \(H\) entonces \[ \#(A)=\#(B). \]
Sea \(H\) un espacio de Hilbert. La dimensión de \(H\) se define como la cardinalidad de una base ortonormal. Por el teorema anterior la dimensión no depende de la base ortonormal que se tome.
Dos espacios de Hilbert \((H_1,\langle \cdot, \cdot \rangle_1 )\), \((H_2,\langle \cdot, \cdot \rangle_2 )\) son isomorfos sii existe \(\Phi: H_1 \to H_2\) tal que
Dos espacios de Hilbert son isomorfos sii tienen la misma dimensión.
Si \((H,\langle \cdot, \cdot \rangle )\) es un espacio de Hilbert no nulo y \(\{e_\alpha\}_{\alpha \in A}\) es base ortonormal entonces \(H\) es isomorfo \(\ell^2(A)\).