Ejercicio

Sea \(X\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\) y supon que existe \(P\subseteq X\) un conjunto que satisface:

• si \(x,y\in P\) entonces \(x+y \in P\),
• si \(x\in P\) y \(t\geq 0\) entonces \(tx\in P\),
• si \(x\in P\) y \(-x\in P\) entonces \(x=0\).

1. La relación definida en \(X\) como \(x\leq y\) sii \(y-x\in P\) es un orden parcial.

2. Teorema de Extensión de Krein

   Sea \(W\subseteq X\) un subespacio que satisface que para todo \(x\in X\) existe \(w\in W\) tal que \(x\leq w\).

   Si \(f\) es una funcional lineal en \(W\) tal que \(f(w)\geq 0\) para todo \(w\in W\cap P\) entonces existe \(F\), funcional lineal en \(X\), tal que \(F|_{W}=f\) y \(F(x)\geq 0\) para todo \(x\in P\).

   Sugerencias:

   1. Para \(x\in X\) define \begin{eqnarray*} A=\{ y\in W : x\leq y \} \\ B= \{z\in W : z \leq x \} \end{eqnarray*} Prueba que \(A\ne \emptyset, B\ne \emptyset\). Hint: para \(B\) considera \(-x\).
   2. Para \(x\in X\) define \[ \rho(x)=\inf\{f(y)| y\in A \} \] Prueba que \(\rho\) está bien definida y es sublineal.
   3. Prueba que \(f(w)\leq \rho(w)\) para todo \(w\in W\).
   4. Aplica un Teorema de extensión para encontrar \(F:X\to \mathbb{R}\) una extensión lineal de \(f\) que satisface \(F(x)\leq \rho(x)\) para toda \(x\in X\). Finalmente prueba \(F(x)\geq 0\) para toda \(x\in P\).

Ejercicio

Sea \(V\) un espacio vectorial, \(A\subseteq V\) un conjunto convexo y absorbente, con funcional de Minkowski \(\mu_A\). Sea \(x_0\in V\) con la propiedad de que existe un \(\varepsilon_0\in (0,1)\) tal que \(x_0\notin sA\) para toda \(s\in (1-\varepsilon_0, 1+ \varepsilon_0)\). Prueba que existe \(f:V\to \mathbb{R}\) funcional lineal tal que \(f(a)\leq 1 \) para toda \(a\in A\) y \(1+\varepsilon_0 =f(x_0)\).

Ejercicio

Por \(\ell_\infty\) denotamos al conjunto de sucesiones acotadas con valores reales. Es decir \(x\in \ell_\infty\) si y sólo si \(x:\mathbb{N}\to \mathbb{R}\) y \(\sup_{n\in \mathbb{N}}\{|x(n)|\} < +\infty\).

Define \(T:\ell_\infty \to \ell_\infty\) por \(Tx(n)=x(n+1)\), \(n\in \mathbb{N}\) (traslación hace la derecha).

Prueba que existe una funcional lineal real, \(\varphi: \ell_\infty \to \mathbb{R}\), que satisface \[ \begin{eqnarray*} \varphi(Tx)&=&\varphi(x),\\ \liminf_{n\to \infty} x(n)\leq & \varphi(x) & \leq \limsup_{n\to \infty} x(n) \end{eqnarray*} \] para toda \(x\in \ell_\infty\).

Suegerencia: define \[ \varphi_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x(i). \] y \(W=\{x\in \ell_\infty| \lim_{n\to \infty}\varphi_n(x)\, \textrm{existe}\}\). Define \(\varphi: W \to \mathbb{R}\) por \(\varphi(x)=\lim_{n\to \infty}\varphi_n(x)\) y considera \(\rho:\ell_\infty \to \mathbb{R}\) dada por \(\rho(x)=\limsup_{n\to \infty} \varphi_n(x)\).

Ejercicio

Sea \((V,\|\cdot\|)\) un espacio vectorial normado y \(\emptyset \ne A\subseteq V\) un conjunto abierto y convexo. Prueba que si \(f:V\to \mathbb{R}\) es funcional no cero entonces \(f(A)\) es abierto convexo en \(\mathbb{R}\).

Ejercicio

Sea \((V,\|\cdot\|)\) un espacio vectorial real normado y \(A \subseteq V\) un subconjunto convexo y abierto. Si \(x_0\notin A\) prueba que existe una funcional lineal \(f:V\to \mathbb{R}\) y \(c>0\) tal que \(f(a) < c \leq f(x_0)\) para toda \(a\in A\).