Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado completo.
Sea \((X,d)\) un espacio métrico (ó topológico) compacto. Definimos \[ C(X):=\{f:X\to \mathbb{F}: \textrm{\(f\) continua en \(X\)}\} \] para \(f\in C(X)\) se define \[ \|f\|_\infty=\sup_{x\in X}\{|f(x)|\} \]
\((C(X),\|\cdot\|_\infty)\) es un espacio de Banach.
De manera similar el conjunto \[ B(X)=\{f:X\to \mathbb{F}: \textrm{\(f\) es acotada en \(X\)}\} \] es un espacio de Banach con la misma norma que \(C(X)\). Nota que para el espacio \(B(X)\) no es necesario dar estructura de espacio métrico (o topológico) a \(X\), éste puede ser cualquier conjunto no vacío.
Este ejemplo se puede generalizar reemplazando \(\mathbb{F}\) por cualquier espacio de Banach, pues lo importante es que el codominio es compacto.
El espacio de las funciones \(p\)-integrables en un espacio de medida, \(L_p(X,\Sigma,\mu)\), \(p\in [1,\infty)\).
El espacio de las funciones de variación acotada.
Una función \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) se llama de variación acotada si existe una constante \(M>0\) tal que, para toda partición de \([a,b]\), \(P=\{t_i\}_{i=0}^n\) tal que \[ \sum_{i=1}^n|f(t_{i})-f(t_{i-1})| \leq M \]
Por ejemplos:
Si \(f:[a,b]\to \mathbb{F}\) es de variavión acotada definimos \[ V_a^b(f)=\sup_{P}\left\{ \sum_{i=1}^n|f(t_{i})-f(t_{i-1})| \right\} \] donde el supremo se toma sobre todas las particiones de \([a,b]\). Por ejemplo para toda función constante \(f=c\), \(V_a^b(f)=0\).
Nota que \(V_a^b(f+c)=V_a^b(f)\) para toda constante \(c\in \mathbb{R}\), por lo que \(V_a^b\) no define una norma en el espacio de funciones de variación acotada. Se define \[ BV([a,b])=\{f:[a,b]\to \mathbb{R}: V_a^b(f)<+\infty \}. \] Entonces \(BV([a,b])\) es un espacio vectorial y \(\|f\|:=V_a^b(f)+|f(a)|\) define una norma que lo convierte en espacio de Banach.
Un conjunto dirigido es un conjunto parcialmente ordenado \((A,\leq)\) con la propiedad de que para todos \(\alpha,\beta \in A\) existe \(\gamma \in A\) tal que \(\alpha \leq \gamma\) y \(\beta \leq \gamma\).
Por ejemplo si \(S\) es un conjunto arbitrario y tomamos el conjunto de subconjuntos finitos de \(S\), denotado \(\mathcal{P}_{fin}(S)\), entonces ordenado con la contención éste se vuelve un conjunto dirigido.
Una red sobre un conjunto \(X\) es una función \(x: A \to X\) donde \(A\) es un conjunto dirigido.
Por ejemplo, si \(X\) es un espacio vectorial y \((x_n)_{n=1}^{\infty}\) es una sucesión de elementos de \(X\) definimos \(s: \mathcal{P}_{fin}(\mathbb{N})\to X\) por \(s(F)=\sum_{i\in F}x_i\). Entonces \(s\) es una red, la red de sumas parciales de la sucesión.
Notación: como en el caso de las sucesiones, una red \(x:A\to X\) se denota mediante \((x_\alpha)_{\alpha\in A}\) donde \(x_\alpha=x(\alpha)\).
Sea \((X,\|\cdot\|)\) un espacio vectorial normado. Una red \((x_\alpha)_{\alpha \in A}\) converge a un punto \(x_0\in X\) si para toda \(\varepsilon > 0 \), existe \(\alpha_0\in A\) tal que para toda \(\alpha \geq \alpha_0 \) se tiene \(\| x_\alpha -x_0 \| < \varepsilon \). Notación: \(\lim_{\alpha \in A}x_\alpha = x_0\).
Sea \((X,\|\cdot\|)\) un espacio vectorial normado. Sea \((x_\alpha)_{\alpha \in A}\) una red en \(X\) y supón que \(\lim_{\alpha \in A}x_\alpha = x_0\) y \(\lim_{\alpha \in A}x_\alpha = x_1\). Prueba que \(x_0=x_1\).
Sea \((X,\|\cdot\|)\) un espacio vectorial normado. Sean \((x_\alpha)_{\alpha \in A}, (y_\alpha)_{\alpha \in A}\) dos redes en \(X\) tal que \(\lim_{\alpha \in A} x_\alpha = x_0\) y \(\lim_{\alpha \in A} y_\alpha = y_0\). Prueba que para todo escalar \(\lambda\), \[ \lim_{\alpha \in A} (\lambda x_\alpha+ y_\alpha)=\lambda x_0+y_0 \]
Sean \((X,\|\cdot\|_X), (Y,\|\cdot\|_Y)\) dos espacios vectoriales normados. Una función \(f:X\to Y\) es continua en \(x_0\) sii para toda \((x_\alpha)_{\alpha \in A}\) red convergente a \(x_0\) se tiene que \((f(x_\alpha))_{\alpha \in A}\) es convergente a \(f(x_0)\).
Sean \(B\) y \(A\) dos copos. Una función \(\varphi:B\to A\) se llama cofinal si para toda \(a\in A\) existe \(b\in B\) tal que \(a\leq \varphi(b)\).
Sea \(A\) un conjunto dirigido y \(x:A\to X\) una red en el conjunto \(X\). Una subred de \(x\) es pre-componer \(x\) con una función estrictamente creciente y cofinal. Es decir es una red de la forma \(x\circ \varphi : B \to X\), donde \(B\) es un conjunto dirigido y \(\varphi: B\to A\) es estrictamente creciente. Al igual que con sucesiones una subred de \((x_\alpha)_{\alpha \in A}\) se puede denotar como \((x_{\alpha_\beta})_{\beta\in B}\), donde \(x_{\alpha_\beta}=x(\varphi(\beta))\).
Sea \((X,\|\cdot\|)\) un espacio vectorial normado y \((x_\alpha)_{\alpha\in A}\) una red en \(X\). Prueba que si \(\lim_{\alpha \in A}x_\alpha = x\) y si \((x_{\alpha_\beta})_{\beta \in B}\) es una subred entonces \(\lim_{\beta \in B} x_{\alpha_\beta}=x\).
Una red \((x_\alpha)_{\alpha \in A}\) en un espacio vectorial normado \(X\) se llama red de Cauhcy si para toda \(\varepsilon > 0 \) existe \(\alpha_0\in A\) tal que para todas \(\alpha, \beta \geq \alpha_0\) \(\|x_\alpha - x_\beta \| < \varepsilon\).
En un espacio de Banach toda red de Cauchy es convergente.
Sea \(X\) un espacio vectorial normado y \((x_i)_{i\in I}\subseteq X\). Denotamos \(A=\mathcal{P}_{fin}(I)\) y definimos \(s:A \to X\) por \(s(F)=\sum_{i\in F}x_i\).
Si la red \(s\) converge a un punto \(x\in X\) decimos que la red \(\sum_{i\in F}x_i\) converge y escribimos \(x=\sum_{i\in I}x_i\).
Sea \(X\) un espacio de Banach y sea \((x_i)_{i\in I} \subset X\).
Si \(\sum_{i\in I}\|x_i\|\) es convergente en \(\mathbb{R}\) entonces \(\sum_{i\in I}x_i\) es convergente en \(X\).
Es decir, convergencia absoluta implica convergencia.
Un espacio vectorial normado es de Banach sii toda serie absolutamente convergente es convergente.
Sean \((X,\|\cdot\|_X)\) y \((Y,\|\cdot\|_Y)\) dos espacios vectoriales normados. En el producto cartesiano \(X\times Y\) considera la norma \(\|(x,y)\|=\|x\|_X+\|y\|_Y\). Prueba que \((X\times Y, \|\cdot\|)\) es un espacio de Banach si y sólo si \((X,\|\cdot\|_X)\) y \((Y,\|\cdot\|_Y)\) son espacios de Banach.
Sea \(\mathcal{X}=\{ (X_i, \|\cdot\|_i)\}_{i\in I}\) una familia arbitraria de espacios de Banach. Define \[ \ell_\infty(\mathcal{X})=\{ (x_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I}X_i | \sup_{i\in I}\{\|x_i\|_i\} < +\infty \} \] y define \[ \|x\|_\infty= \sup_{i\in I}\{\|x_i\|_i\} \]
Nota: \(\Pi_{i\in I}X_i\) denota al producto cartesiano de los espacios, es decir \((x_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I}X_i\) si y sólo si para toda \(i\in I\), \(x_i\in X_i\).
Prueba que cualesquiera dos normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes.
Sea \(X\) un espacio de Banach y \(M\subseteq X\) un subespacio de dimensión finita. Prueba que \(M\) es cerrado.
Sean \(X\), \(Y\) espacios vectoriales normados con \(\dim(X)=\dim(Y)< +\infty\). Prueba que \(X\) e \(Y\) son isomorfos en la categoría de espacios de Banach. Es decir, existe \(T:X\to Y\), biyección, con \(T\) y \(T^{-1}\) operadores lineales acotados.
Sea \((X,\|\cdot\|)\) un espacio vectorial normado y \((x_i)_{i\in I} \subseteq X\) una familia arbitraria de conjuntos.
Escribe la definición de que \(\sum_{i\in I}\|x_i\|\) exista en el sentido de redes.
Denota \(s= \sum_{i\in I}\|x_i\|\). Prueba que \[ \sup_{F\in P_{\textrm{fin}}(I)}\{\sum_{i\in F} \|x_i\|\}= s \] Hint: unión de conjuntos.