Funcionales lineales acotadas

Definición

Sea \((X,\|\cdot\|)\) un espacio vectorial normado. Una función \(\varphi:X\to \mathbb{F}\) se llama funcional lineal acotada si

\(\varphi\) es \(\mathbb{F}\)-lineal,
existe una constante \(M> 0\) tal que \(|\varphi(x)|\leq M\|x\|\) para toda \(x\in X\).

Nota: gracias a la linealidad de \(\varphi\) la segunda condición es equivalente decir que \(\varphi\) está acotada en la esfera unitaria \(S=\{x\in X: \|x\|=1\}\) o equivalente a decir que es acotada en la bola cerrada \(B=\{x\in X: \|x\| \leq 1\}\).

Si \(\varphi\) es una funcional lineal acotada definimos su norma como \[ \|\varphi\|=\sup_{\|x\|\leq 1}\{|\varphi(x)| \} \]

Ejemplos

Si \(\varphi: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}\) es lineal, por un Teorema de Riesz existe un vector \(y \in \mathbb{F}\) tal que \(\varphi(x)=\langle x, y \rangle\), para toda \(x\in \mathbb{F}\). Por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, \(|\langle x, y \rangle | \leq \|x\|_2\|y\|_2\). Por lo tanto toda función lineal de \(\mathbb{F}^n\) en \(\mathbb{F}\) es acotada con \(\|\varphi\|=\|y\|_2\).
Nota: en \(\mathbb{F}=\mathbb{R}\), \(\langle x, y \rangle =\sum_{i=1}^n x_iy_i\), en \(\mathbb{F}=\mathbb{C}\), \(\langle x, y \rangle =\sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i}\).
Sea \((M,d)\) un espacio métrico compacto y \(X=C(M)\) dotado con la norma infinito. Dado \(t_0\in M\) la función \(\varphi_{t_0}:X\to \mathbb{F}\) dada por \(\varphi_{t_0}(f)=f(t_0)\) es lineal acotada con \(\|\varphi_{t_0}\|=1\).
Sea \((X,\Sigma,\mu)\) un espacio de medida finita. Definimos \(\varphi:L_\infty(X)\to \mathbb{F}\) por \[ \varphi(f)=\int_X f(x)d\mu(x) \] Entonces \(\varphi\) es lineal acotada con \(\|\varphi\|=\mu(X)\).
Sea \((X,\Sigma,\mu)\) un espacio de medida y \(p\in (1,\infty)\). Dada \(g\in L_q(X)\), con \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\), definimos \(\varphi_g:L_p(X)\to \mathbb{F}\) por \[ \varphi_g(f)=\int_X fgd\mu \] Entonces \(\varphi_g\) es lineal acotada con \(\|\varphi_g\|=\|g\|_{q}\).

Proposición

Sea \(\varphi: X\to \mathbb{F}\) una función lineal. Las siguientes condiciones son equivalentes.

\(\varphi\) es acotada.
\(\varphi\) es Lipschitz continua.
\(\varphi\) es continua en \(0\).

Definición

Sea \(X\) un espacio vectorial normado. El espacio dual de \(X\) (ó espacio conjugado) se define como \[ X^*=\{\varphi:X\to \mathbb{F}: \textrm{\(\varphi\) es acotada}\}. \]

Lema

Sea \(X\) un espacio vectorial normado.

Si \(\varphi:X\to \mathbb{F}\) es lineal acotada entonces \[ \|\varphi\|=\inf\{M>0| |\varphi(x)|\leq M \|x\| \, \textrm{para toda \(x\in X\)} \} \]
\((X^*,\| \cdot\|)\) es un espacio vectorial normado.

Teorema

Sea \(X\) un espacio vectorial normado. Entonces \((X^*,\|\cdot\|)\) es un espacio de Banach.

Teorema

Sea \(X\) un espacio vectorial normado y \(Y\leq X\) un subespacio. Si \(\phi:Y\to \mathbb{F}\) es una funcional lineal acotada entonces existe \(\tilde{\phi}:X\to \mathbb{F}\) funcional lineal acotada tal que

\(\tilde{\phi}|_Y=\phi\).
\(\|\tilde{\phi}\|=\|\phi\|\).

Corolario

Sea \(X\) un espacio vectorial normado. Para todo \(x\in X\) existe \(\varphi\in X^*\) tal que \(\varphi(x)=\|x\|\) y \(\|\varphi\|=1\).

Por lo tanto tenemos que \[ \sup\{|\phi(x)| : \phi \in X^*, \|\phi\|\leq 1 \}=\|x\| \]

Corolario

Sea \(X\) un espacio vectorial normado. Si \(\varphi(x)=0\) para todo \(\varphi \in X^*\) entonces \(x=0\).

Teorema

Sea \(X\) un espacio vectorial normado y \(A,B\subseteq X\) convexos, no vacíos y ajenos.

Si \(A\) es abierto entonces existe \(\varphi\in X^*\) y \(c\in \mathbb{R}\) tal que \[ \Re(\varphi(a)) < c \leq \Re(\varphi(b)) \] para todo \(a\in A\) y \(b\in B\).
Si \(A\) es compacto y \(B\) es cerrado entonces existe \(\varphi\in X^*\) y \(c_1,c_2\in \mathbb{R}\) tal que \[ \Re(\varphi(a)) < c_1 < c_2 < \Re(\varphi(b)) \]

Ejercicio

Sea \((X,\Sigma, \mu)\) un espacio de medida y \(1< p < +\infty\) con \(1< q < +\infty\) su exponente conjugado. Prueba que \((L_p(X), \|\cdot\|_p)^*\) es linealmente isométricamente isomorfo a \((L_q(X),\|\cdot\|_q)\).

Proposición

Sea \(X\) un espacio vectorial normado y \(Y \leq X\) un subespacio vectorial. Si \(\varphi: Y\to \mathbb{F}\) es lineal y acotada entonces existe \(\overline{\varphi}: \overline{Y} \to \mathbb{F}\), lineal acotada tal que

\(\overline{\varphi}|_{Y}=\varphi\).
\(\|\overline{\varphi}\|=\|\varphi\|\).

Ejercicio

Sea \(X\) un espacio métrico (o topológico) compacto. Prueba que \(C(X)\) es de dimensión finita si y sólo si \(X\) es finito.

Ejercicio

Sea \(X\) un espacio vectorial normado. Prueba que \(X\) es de dimensión finita si y sólo si toda función lineal de \(X\) en el campo es acotada.

Ejercicio

Prueba que \(\ell_1(\mathbb{Z})^*\) es linealmente isométricamente isomorfo a \(\ell_\infty(\mathbb{Z})\).

Sugerencia: dada \(x\in \ell_\infty(\mathbb{Z})\) define \(\varphi_x: \ell_1(\mathbb{Z}) \to \mathbb{F}\) por \[ \varphi_x(y)=\sum_{n\in \mathbb{Z}} x_ny_n \] Prueba que \(\varphi_x\) es lineal acotada con \(\|\varphi_x\|=\|x\|_\infty\).

Prueba que \(x\mapsto \varphi_x\) es un isomorfismo lineal.

Ejercicio

Prueba que \(\ell_\infty(\mathbb{Z})\) no es separable.

Ejercicio

Sea \(X\) un espacio de Banach y \(Y \subset X\) un subespacio. Fija \(x\in X\) y denota \[ d=\inf \{ \|x-y\|: y \in Y \} \]

Si \(d>0\) prueba que existe \(\varphi\in X^*\) tal que \(\varphi|_Y=0\), \(\varphi(x)=1\) y \(\|\varphi\|=1/d\).

Ejercicio

Sean \((X,\|\cdot\|_X), (Y,\|\cdot\|_Y)\) dos espacios de Banach. En el producto cartesiano define \begin{eqnarray*} \|(x,y)\|_1&=&\|x\|_X+\|y\|_y \\ \|(x,y)\|_\infty &=& \max\{\|x\|_X, \|y\|_Y \} \end{eqnarray*} Prueba que ambas normas hacen \(X\times Y\) un espacio de Banach y que el dual de \((X\times Y,\|\cdot\|_1)\) es \((X^*\times Y^*, \|\cdot\|_\infty)\).

Ejercicio

Sea \((X,\|\cdot\|)\) un espacio de Banach y \(X^*\) su dual. Prueba que si \(X^*\) es separable entonces \(X\) también es separable.

Sugerencia: sea \(\{\varphi_n\}_{n=1}^\infty\) un subconjunto denso en \(X^*\). Para todo \(n\in \mathbb{N}\) asegura de que existe un vector unitario \(x_n\in X\) tal que \(|\varphi(x_n)| \geq \frac{1}{2}\|\varphi_n\|\). Prueba que el espacio vectorial generado por \(\{x_n\}_{n=1}^\infty\) es denso en \(X\).

El regreso no es cierto. Por ejemplo \(\ell_1(\mathbb{Z})\) es separable pero \(\ell_\infty(\mathbb{Z})\) no es separable.