Sea \(X\) un conjunto. Una topología en \(X\) es una familia de subcojuntos de \(X\), \(\tau\), que satisface
El interior de un subconjunto \(A \subseteq X\) es la unión de todos los subconjuntos abiertos contenidos de \(A\): \(\textrm{int}(A)=\cup \{ U\in \tau : U \subseteq A\}\).
La cerradura de un subconjunto \(A\subseteq X\) es la intersección de todos los subconjuntos cerrados que contienen a \(A\): \(\overline{A}=\cap\{ F: A\subseteq F, F^c \in \tau\}\).
Una base para la topología \(\tau\) es una familia de abiertos, \(\beta \subseteq \tau \) que satisface: para todo \(U\in \tau\) existen una familia de elementos de la base \(\{ V_j\}_{j\in J} \subset \beta\) tal que \(U=\cup_{j\in I}V_j\). Por ejemplo para la topología generada por un espacio métrico \((X,d)\), una base es la familia de bolas abiertas, \(\beta=\{ B_r(x): r>0, x\in X\}\).
Son equivalentes:
Observación: la intersección arbitraria de topologías en un conjunto \(X\) es de nuevo una topología en \(X\). Así pues dado una familia de subsonjuntos \( \mathcal{U} \subseteq P(X)\) se define la topología generada por \(\mathcal{U}\) como \[ \tau_{\mathcal{U}}=\cap\{ \tau \subseteq P(X): \textrm{\(\tau\) es topología y \(\mathcal{U}\subseteq \tau \)} \} \] Nota que si tomamos \(\tau\) como el conjunto potencia de \(X\) entonces en la definición anterior \(\mathcal{U}\subseteq \tau\). En particular la familia que estamos intersectando para la definición de \(\tau_{\mathcal{U}}\) es no vacía y por lo tanto \(\tau_{\mathcal{U}}\) está bien definida.
Sean \((X,\tau_X)\) y \((Y,\tau_Y)\) dos espacios topológicos. Decimos que una función \(f:X\to Y\) es continua (con respecto a las topologías \(\tau_X\), \(\tau_Y\)) sii para todo \(U\in \tau_Y\), \(f^{-1}(U)\in \tau_X\). Es decir, imagen inversa de abiertos es abierta.
Sea \((X,\tau)\) un espacio topológico y \(x_0\in X\). Una vecindad de \(x_0\) es un subconjunto \( A \subseteq X\) para el cual existe un \(U \in \tau \) con \(x\in U \subseteq A\). En otras palabras es un conjunto para el cual \(x\) está en su interior.
Una base de vecindades de \(x_0\) es una familia de vecindades, \(\beta_{x_0}\), con la propiedad de que dada \(A\), cualquier vecindad de \(x_0\), existe \(B \in \beta_{x_0}\), con la propiedad de que \(B \subseteq A\).
Por ejemplo para la topología generada por un espacio métrico, \((X,d)\), la familia \(\{B_{1/n}(x) \}_{n=1}^\infty\), es una base de vecindades en \(x_0\).
Sean \((X,\tau_X)\), \((Y,\tau_Y)\) espacios topológico y \(f:X\to Y\) una función. La función \(f\) es continua en \(x_0\in X\) sii para toda \(U\) vecindad de \(f(x_0)\) existe una vecindad \(V\), de \(x_0\), tal que \(V\subseteq f^{-1}(U)\).
La condición \(V\subseteq f^{-1}(U)\) es equivalente a \(f(V)\subseteq U\).
Sean \((X,\tau_X)\), \((Y,\tau_Y)\) espacios topológico y \(f:X\to Y\) una función.
Entonces \(f\) es continua en \(X\) (ver Definición 5.1) si y sólo si \(f\) es continua en \(x\) para todo \(x\in X\) (ver Definición 5.2).
Sea \((X,\tau)\) un espacio topológico y \((x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}\) una red en \(X\). Decimos que la red converge al punto \(x\in X\) si para toda \(V\), vecindad de \(x\), existe \(\lambda_0 \in \Lambda\) que satisface, \(x_\lambda \in V\) para todo \(\lambda \geq \lambda_0\).
En tal caso escribimos \(\lim_{\lambda} x_\lambda = x\) o si queremos aclarar la topología que se usa podemos escribir \(\lim_{\lambda} x_\lambda \overset{\tau}{=} x \).
Sea \((X,\tau)\) un espacio topológico y \(E\subseteq X\).
Enotnces \(x\in \overline{E}\) si y sólo si existe una red de elementos de \(E\), \((x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \subset E\), tal que \(\lim_{\lambda}x_\lambda =x\).
Sean \((X,\tau_X)\), \((Y,\tau_y)\) espacios topológicos y \(f:X\to Y\).
Enotnces \(f\) es continua en \(x_0\) si y sólo si para toda red en \(X\), \((x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}\) con \(\lim_{\lambda} x_\lambda =x_0 \) se cumple \(\lim_{\lambda }f(x_\lambda)=f(x_0)\).
Sea \(X\) un conjunto y \(\tau_1, \tau_2\) dos topologías en \(X\).
Las topologías son iguales si y sólo si tienen las mismas redes convergentes.
Es decir \[ \lim_{\lambda} x_\lambda \overset{\tau_1}{=}x \Leftrightarrow \lim_{\lambda} x_\lambda \overset{\tau_2}{=}x \]
Sea \(X\) un conjunto cualquiera y \(\{(Y_i,\tau_i)\}_{i\in I}\) una familia de espacios topológicos (nota: los espacios \(Y_i\) pueden repetirse). Para cada \(i\in I\) supón que tenemos \(f_i: X\to Y_i\) una función cualquiera y denotemos \(\mathcal{F}=\{f_i\}_{i\in I}\).
La topología débil generada por la familia \(\mathcal{F}\) se define como la topología más débil (más chica) que hace a todas las funciones de \(\mathcal{F}\) continuas. Es decir es la topología generada por la familia de subconjuntos: \[ \{f_i^{-1}(U_i): f_i:X\to Y_i, U_i \in \tau_i, i\in I\} \]
Otra forma de escribirlo es: \[ \tau_{\mathcal{F}}:=\cap\left\{\tau \subset P(X): \textrm{\(\tau\) es topología y} \, f_i^{-1}(\tau_i)\subseteq \tau, \forall i \in I \right\} \]
Sea \(\{(X_i,\tau_i)\}_{i\in I}\) una familia es espacios topológicos. Denotamos el espacio producto como \(X=\Pi_{i\in I}X_i\). Recordamos que los elementos de \(X\) son simplemente funciones de \(I\) en \(\cup_{i\in I}X_i\) tal que el valor en \(i\) pertenece en \(X_i\). Dado \(x\in X\) escribimos \(x=(x_i)_{i\in I}\) donde, para toda \(i\in I\), \(x_i\) es el valor de \(x\) en \(i\).
Para cada \(i\in I\) definimos \(p_i:X\to X_i\) por \(p_i(x)=x_i\). La topología dada por la familia \(\mathcal{F}=\{p_i\}_{i \in I}\) se llama la topología producto. Los elementos de la base del lema anterior son de la forma \[ p_{i_1}^{-1}(U_{i_1}) \cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(U_{i_n})=U_{i_1}\times \cdots \times U_{i_n} \times \Pi_{i\ne i_1,\dots, i_n }X_i \]
Sea \(X\ne \emptyset\), \(\{(Y_i,\tau_i)\}_{i\in I}\) una familia de espacios topológicos y \(\mathcal{F}=\{f_i:X\to Y_i\}\) una familia de funciones. Para cada \(i\) supongamos que \(\beta_i\) es una base para \(\tau_i\). La familia \[ \beta:=\left\{\cap_{s=1}^n f_{i_s}^{-1}(U_{i_s}): n\in \mathbb{N}, i_1,\dots, i_n \in I, U_{i_s}\in \beta_{i_s} \right\} \] es una base para \(\tau_{\mathcal{F}}\), es decir, para todo \(V \in \tau_{\mathcal{F}}\) existe una familia de conjuntos \( \{V_j\}_{j\in J}\subseteq \beta\) tal que \(V=\cup_{i\in I}V_i\).
Un espacio topológico se llama compacto si toda cubierta abierta del espacios admite una subcubierta finita.
Para cada \(i\in I\) sea \((X_i,\tau_i)\) un espacio compacto no vacío. Entonces el espacio producto \(X=\Pi_{i\in I}X_i\), con la topología producto (la del ejemplo anterior), es compacto.
Referencias:
Sea \(X\) un conjunto y \(\{(Y_i,\tau_i)\}_{i\in I}\) una familia de espacios topológicos. Sea \(\mathcal{F}=\{f_i:X\to Y_i\}_{i\in I}\) una familia de funciones y dotemos a \(X\) con la topología débil generada por \(\mathcal{F}\).
Una red \((x_\alpha)_{\alpha\in A}\) en \(X\) converge a un punto \(x\) en la topología débil \(\tau_{\mathcal{F}}\) si y sólo si, para toda \(f_i\in \mathcal{F}\), \(\lim_{\alpha \in A}f_i(x_\alpha)\overset{\tau_i}{=}f_i(x)\) en \(Y_i\).
Sea \(X\) un conjunto y \(\{(Y_i,\tau_i)\}_{i\in I}\) una familia de espacios topológicos. Sea \(\mathcal{F}=\{f_i:X\to Y_i\}_{i\in I}\) una familia de funciones y dotemos a \(X\) con la topología débil generada por \(\mathcal{F}\).
Decimos que \(\mathcal{F}\) separa los puntos de \(X\) si dados \(x_1,x_2\in X\) distintos existe \(f\in \mathcal{F}\) tal que \(f(x_1)\ne f(x_2)\).
Si \((Y_i,\tau_i)\) es Hausdorff para todo \(i\) y \(\mathcal{F}\) separa los puntos de \(X\) entonces \((X,\tau_{\mathcal{F}})\) es Hausdorff.
Sea \((X,\|\cdot\|)\) un espacio vectorial normado y \(X^*\) su dual. Dado \(x\in X\) definimos \(\hat{x}:X^*\to \mathbb{F}\) por \(\hat{x}(\varphi)=\varphi(x)\). También se suele denotar \(\iota_x=\hat{x}\).
La topología débil generada por familia \(\{\hat{x}\}_{x\in X}\) se llama la topología débil estrella en \(X^*\) o simplemente débil-* y se denota por \(\omega^*\).
Por la Proposición 5.6 tenemos que una red de funcionales lineales, \((\varphi_{\alpha})_{\alpha \in A}\), converge a la funcional \(\varphi\) en la topología \(\omega^*\) sii para toda \(x\in X\) \[ \lim_{\alpha \in A}\varphi_\alpha(x)=\varphi(x). \] Nota que éste último límite es en \(\mathbb{F}\).
Sea \((X,\|\cdot\|)\) un espacio vectorial normado y \(X^*\) su dual dotado con la topología \(\omega^*\). Entonces las operaciones de suma y producto escalar son continuas en la topología \(\omega^*\).
Por la proposición anterior, las vecindades en la topología \(\omega^*\) de un punto \(\varphi_0\in X^*\) son de la forma \(\varphi_0+V\), donde \(V\) es una vecindad del cero.
Por el Lema 5.3 las vecindades de la funcional cero son e la forma \[ \cap_{i=1}^n \iota_{x_i}^{-1}(B_{r_i}(0))=\{\varphi\in X^*: |\varphi(x_i)|< r_i, i=1,\dots, n\}. \] donde \(B_r(0)=\{a \in \mathbb{F} : |a|< r\}\).
Además nota que los conjuntos \(\cap_{i=1}^n \iota_{x_i}^{-1}(B_{r_i}(0))\) son convexos y balanceados.
Denotamos \[ V_r(\varphi_0;x_1,\dots, x_n)=\{\varphi\in X^*: |\varphi(x_i)-\varphi_0(x_i)|< r, i=1,\dots, n\}. \] Estos conjuntos pueden pensarse como las "bolas abiertas de radio \(r\) centradas en cero" en la topología \(\omega^*\).
Por \((X^*)_1\) denotamos la bola unitaria cerrada en dual de un espacio vectorial normado, es decir \[ (X^*)_1=\{\varphi \in X^*: \|\varphi\|\leq 1\}. \] En la topología \(\omega^*\) la bola cerrada \((X^*)_1\) es compacta.
Sabemos que \((\ell_1(\mathbb{N}),\|\cdot\|_1 )^*\) es linealmente isométricamente isomorfo a \((\ell_\infty, \|\cdot\|)\), donde la identificación está dada por \(y\in \ell_1(\mathbb{N}) \mapsto \varphi_y \in \ell_\infty(\mathbb{N})\) donde \[ \varphi(y)=\sum_{k=1}^\infty x(k)y(k) \]
Por lo tanto, con este isomorfismo, podemos pasar la topología \(\omega^*\) en \(\ell_1(\mathbb{N})\) a \(\ell_\infty(\mathbb{N})\), a la cual vamos a seguir llamando la topología \(\omega^*\). Es decir, dada una red \((x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \subset \ell_\infty(\mathbb{N})\) y \(x\in \ell_\infty(\mathbb{N})\) entonces: \begin{eqnarray*} \lim_\lambda x_\lambda & = & x \quad \textrm{en \((\ell_\infty(\mathbb{N}), \omega^*)\)} \\ & \Leftrightarrow & \\ \lim_{\lambda }\varphi_{x_\lambda} &=& \varphi_x \quad \textrm{ en \((\ell_1(\mathbb{N}), \omega^*) \) } \\ & \Leftrightarrow & \\ \lim_{\lambda} \sum_{n=1}^\infty x_\lambda(k)y(k) &= &\sum_{n=1}^\infty x(k)y(k), \quad \textrm{para todo \(y\in \ell_1(\mathbb{Z})\)} \end{eqnarray*} Nota: lo importante para entender la convergencia en \((\ell_\infty(N), \omega^*)\) son la primera y última equivalencias.
Sea \((x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda } \subset \ell_\infty(\mathbb{N})\) una red tal que existe \(M>0 \) con, \(\|x_\lambda \|_\infty \leq M\), para toda \(\lambda\). Prueba que \(\lim_{\lambda}x_\lambda=x\) en \((\ell_\infty(\mathbb{N}), \omega^*)\) si y sólo si, para toda \(k\in \mathbb{N}\), \(\lim_{\lambda}x_\lambda(k)=x(k)\) en el campo. Es decir, en conjuntos acotados convergencia en la topología \(\omega^*\) coincide con la convergencia puntual.