El principio de acotación uniforme

Definición

Si \(X,Y\) son espacios vectoriales normados y \(T:X\to Y\) una función lineal. Decimos que \(T\) está acotado si \[ \sup_{\|x\|\leq 1}\{\|Tx\| \} <+\infty \] es decir, si \(T\) está acotado en la bola cerrada unitaria. En tal caso definimos su norma (norma de operador) comom: \[ \|T\|=\sup_{\|x\|\leq 1}\{\|Tx\| \} \]

Observaciones:

\(\|Tx\| \leq \|T\| \|x\|\) para toda \(x\in X\).

\(T\) es acotada sii existe \(M>0\) tal que \(\|Tx\|\leq M\|x\|\) para todo \(x\in X\).

Nota: por \(\mathbb{B}(X,Y)\) denotamos al conjunto de operadores lineales de \(X\) en \(Y\).

Proposición

Al igual que para las funcionales lineales acotadas, tenemos la siguiente proposición.

Sean \(X,Y\) espacios vectoriales normados y \(T:X\to Y\) lineal. Las siguientes condiciones son equivalentes.

\(T\) es lineal.
\(T\) es Lipschitz continua.
\(T\) es continua en \(0\).

Ejercicio

Toda función lineal \(T:\mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^q\) es acotada.
Considera las operadores \(L,R: (\ell_p, \|\cdot\|_p) \to (\ell_p, \|\cdot\|_p )\) dadas por \begin{eqnarray*} x=(x(1),x(2), x(3),\dots) \mapsto Lx=(x(2),x(3),x(4),\dots) \\ x=(x(1),x(2), x(3),\dots) \mapsto Rx=(0,x(1),x(2),x(3),\dots) \end{eqnarray*}

Entonces \(L\) y \(R\) son lineales acotadas con \(\|R\|=1,\|L\|=1\).
Sea \(K:[0,1]\times [0,1]\to \mathbb{R}\) continua. Para \(f\in L^1([0,1],\mathbb{B}_{[0,1]},\lambda)\), (\(\lambda\) la medida de Lebesgue ) define \[ (Tf)(x)=\int_0^1 f(y)K(x,y)d\lambda(y) \] Prueba que \(Tf \in L^1([0,1])\), \(T\) es lineal y acotada.

Proposición

Al igual que con las funcionales lineales acotadas tenemos el siguiente resultado.

Sean \(X,Y\) espacios vectorales normados. Entonces \((\mathbb{B}(X,Y),\|\cdot\|)\) (con la norma de operadores) es un espacio vectorial normado y si \(Y\) es de Banach entonces \((\mathbb{B}(X,Y),\|\cdot\|)\) también.

Lema

Sean \(X,Y\) espacios vectoriales normados y \(T\in \mathbb{B}(X,Y)\). Para todo \(x_0\in X\) y \(r_0>0 \) se tiene \[ \sup_{x\in B_{r_0}(x_0)}\{\|Tx\| \}\geq r_0\|T\|. \]

Teorema

Banach-Steinhauss o principio de acotación uniforme

Sea \(X\) un espacio de Banach y \(Y\) un espacio vectorial normado. Considera una familia de operadores lineales acotados \( \{ T_\alpha:X\to Y\}_{\alpha \in \Lambda }\) con la siguiente propiedad: para todo \(x\in X\), \[ \sup_{\alpha \in \Lambda }\{\|T_\alpha x\| \} < +\infty \quad \textrm{(acotación puntual).} \] Entonces \[ \sup_{\alpha \in \Lambda }\{\|T_\lambda \| \}< + \infty \quad \textrm{(acotación uniforme).} \]

Definición

Dada una sucesión de operadores acotados entre espacios vectoriales normados \((T_n)_{n=1}^\infty \subseteq \mathbb{B}(X,Y)\) decimos que la sucesión converge en norma (o uniformemente) al operador \(T\in \mathbb{B}(X,Y)\) si \[ \lim_{n\to \infty}\| T_n-T\|=0 \]

Ejercicio

Sea \((T_n:\mathbb{F}^p \to \mathbb{F}^q)_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones lineales y \(T:\mathbb{F}^p \to \mathbb{F}^q\) lineal.

Supongamos que con respecto algunas bases las matrices asociadas a \(T_n\) y \(T\) son \[ [T_n]=[t_{i,j}^{(n)}], \, [T]=[t_{i,j}], \, 1\leq i \leq q, 1\leq j \leq p \]

Entonces \(\lim_{n\to \infty}\|T_n-T\|=0\) si y sólo si para todo \(i,j\), \(\lim_{n\to \infty}t_{i,j}^{(n)}=t_{i,j}\).

Proposición

Sea \(X\) un espacio de Banach y \(Y\) un espacio vectorial normado.

Sea \((T_n:X\to Y)_{n=1}^\infty\) una sucesión de operadores lineales acotados tal que, para todo \(x\in X\) el límite \(\lim_{n\to \infty}T_nx\) existe en \(Y\).

Entonces la función \(T:X\to Y\) dado por \(Tx:=\lim_{n\to \infty} T_nx\) es un operador lineal y acotado.

Definición

Sea \((X, d)\) un espacio métrico.

\(E\subseteq \) se llama denso en ninguna parte sii \(\textrm{int}(\overline{E})=\emptyset\).
\(A\subseteq X\) es de la primera categoría en \(X\) ("flaco") sii \[ A=\cup_{n=1}^\infty E_n \] donde cada \(E_n\) es denso en ninguna parte.
\(Y\subseteq X\) es de la segunda categoría en \(X\) ("gordo") sii no es de la primera categoría.

Ejercicio

La frontera de conjuntos abiertos es densa en ninguna parte.
Unión finita de subconjuntos densos en ninguna parte es densa en ninguna parte.
Nota: la unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte no necesariamente es denso en ninguna parte. Por ejemplo, en \(\mathbb{R}\) con la métrica usual, \(\mathbb{Q}\) es la unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte (los singuletes) pero \(\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}\).

Lema

Sea \((X,d\) un espacio métrico.

Un subconjunto \(D\subseteq X\) se llama denso si \(\overline{D}=X\). Entonces \(D\) es densi si y sólo si para todo abierto no vacío \(U\subseteq X\), \(U\cap D \ne \emptyset\).
\(E\subseteq X\) es denso en ninguna parte sii \(X\setminus \overline{E}\) es denso en \(X\).

Teorema de Categoría de Baire

Sea \((X,d)\) un espacio métrico completo.

Entonces la intersección contable de subconjuntos abiertos y densos es densa.

Nota

El Teorema de Categoría de Baire también se vale para espacios topológicos localmente compactos.

Corolario

Sea \((X,d)\) un espacio métrico completo. Si \[ X=\cup_{n=1}^\infty F_n \] donde cada \(F_n\) es cerrado entonces existe un \(F_{n_0}\) tal que \(\textrm{int}(F_{n_0})\ne \emptyset\).

En particular \(X\) es de la segunda categoría.

Ejercicio

Sea \(X\) un espacio vectorial normado y \(X^*\) su dual. Sea \(A\subseteq X\) distinto del vacío con la propiedad de que, para toda \(\varphi \in X^* \), \[ \sup_{x\in A}\{|\varphi(x)| \} < \infty \]

Prueba que \(A\) está acotado.

Ejercicio

Sean \(X\) y\(Y\) dos espacios vectorial normados. Dada una red de operadores acotados, \((T_\alpha)_{\alpha \in A} \subset \mathbb{B}(X,Y)\) decimos que converte en SOT (o puntualmente) al operador \(T\in \mathbb{B}(X,Y)\) si y sólo si para todo \(x\in X\), \(\lim_{\alpha}\| T_\alpha x - Tx\| =0\).

Para \(X=\ell_p\), \(1\leq p < \infty\) definimos el operador desplazamiento haia la izquierda \(L:\ell_p \to \ell_p\), por \[ Lx=(x(2), x(3), \dots ) \] donde \(x=(x(1),x(2),x(3),\dots)\). Define \(T_n=L\circ \cdots \circ L\) (\(L\) compuesto consigo mismo n-veces). Prueba que \((T_n)_{n=1}^\infty\) converge al operador \(0\) en SOT pero no converge al operador \(0\) en norma de operadores.
Si \(X\) es de Banach y \((T_n)_{n=1}^\infty \subset \mathbb{B}(X,Y)\) es una sucesón de operadores que converge en SOT al operador \(T\) prueba que \(\sup_{n\in \mathbb{N}}\| T_n\| < \infty\).

Ejercicio

Sea \(X\) un espacio vectorial normado y \(M\subseteq X\) un subespacio. Prueba que si el interior de \(M\) es no vacío entonces \(M=X\).
Sea \(X\) un espacio de Banach y \(T:X\to X\) un operador lineal acotado. Prueba que si para todo \(x\in X\) existe un \(n\in \mathbb{N}\) tal que \(T^nx=0\) entonces existe un \(N\in \mathbb{N}\) tal que \(T^Nx=0\), para toda \(x\in X\).

Sugerencia: usar el Teorema de categoría de Baire.

Ejercicio

Sea \(X\) un espacio vectorial normado. Una sucesión \((x_n)_{n=1}^\infty \subset X\) se llama débilmente Cauchy si para toda \(\varphi \in X^*\), la sucesión de escalares \((\varphi(x_n))_{n=1}^\infty\) es de Cauchy.

Prueba que si \((x_n)_{n=1}^\infty\subset X\) es débilmente Cauchy entonces está acotada.

Ejercicio

Sean \(X,Y\) espacios de Banach y sea \(\Phi:X\times Y \to \mathbb{F}\) una función bilineal que satisface:

para todo \(x\in X\) existe \(A_x>0\) tal que \(|\Phi(x,y)|\leq A_x\|y\|\) para toda \(y\in Y\).
para todo \(y\in Y\) existe \(B_y >0\) tal que \(|\Phi(x,y)|\leq B_y\|x\|\) para toda \(x\in X\).

Prueba que existe \(K>0\) tal que \(|\Phi(x,y)|\leq K\|x\|\|y\|\) para todos \(x\in X, y\in Y\).