Teorema del mapeo abierto

Definición

Sea \(X\) un espacio vectorial normado y \(M\leq X\) un subespacio cerrado. En el espacio cociente \(X/M\) definimos \begin{equation}\label{Eqn:DefiNormaCociente} \|[x]\|=\inf_{m\in M}\{ \|x-m\| \} \end{equation} Notamos que si \([x]=[x']\) entonces \(x'=x-m_0\), para algún \(m_0\in M\) por lo tanto \[ \inf_{m\in M}\{ \|x'-m\| \}=\inf_{m\in M}\{ \|x-(m_0+m)\|\}= \inf_{m\in M}\{\|x-m\|\} \] por lo tanto \(\|[x]\|\) está bien definido.

Observación: \(\|[x]\| \leq \|x\|\) para todo \(x\in X\).

Teorema

Sea \(X\) un espacio vectorial normado y \(M\leq X\) un subespacio cerrado. La ecuación \eqref{Eqn:DefiNormaCociente} define una norma en \(X/M\). Si además \(X\) es de Banach entonces \(X/M\) también.

Definición

Sean \((X,\tau_X), (Y,\tau_Y)\) dos espacios topológicos. Una función \(f:X\to Y\) se llama abierta si \(f(U)\in \tau_Y\) para todo \(U\in \tau_X\).

Observación: supongamos que \(f:X\to Y\) es biyectiva, entonces \(f\) es continua sii \(f^{-1}\) es abierta.

Proposición

Sea \(X\) un espacio vectorial normado y \(M\leq X\) un subespacio cerrado de \(X\). Entonces la proyección natural, \(\pi:X\to X/M\), \(\pi(x)=[x]\) es lineal acotada y abierta. Es más \[ \pi(B_r(x_0))=B_r(\pi(x_0)) \]

Teorema

Sean \(X\), \(Y\) espacios de Banach y sea \(T:X\to Y\) lineal acotada. Si \(T\) es biyectiva entonces \(T^{-1}\) existe y es lineal acotada.

Lema

Sean \(X,Y\) espacios vectoriales y \(T:X\to Y\) una función lineal. Denotamos \(M=\ker(T)\). Para \([x]\in X/M\) denota \(S([x])=Tx\).

Prueba que \(S\) no depende del representante de la clase \([x]\) y que define una función \(S:X/M \to T(Y)\) que es lineal y biyectiva.
Prueba que si además \(T\) es acotada entonces \(S\) también y \(\|T\|=\|S\|\).

Teorema

Mapeo abierto

Sean \(X,Y\) espacios de Banach y \(T:X\to Y\) lineal acotada y suprayectivo. Entonces \(T\) es abierta.

Ejercicio

Recuerda que dos normas, \(\|\cdot\|_1\) y \(\|\cdot\|_2\) dos normas en un espacio vectorial \(X\). Decimos que son equivalentes si existen constantes \(c,d>0\) tales que \begin{eqnarray*} \|x\|_1 \leq c \|x\|_2,\\ \|x\|_2 \leq d \|x\|_1 \end{eqnarray*} para todo \(x\in X\).

Ejercicio

Prueba que \(C[a,b]\) equipado con la normas \(\|\cdot\|_p\), \(1\leq p < +\infty\) no es un espacio de Banach.

Ejercicio

Sean \(X,Y\) dos espacios de Banach y \(T:X\to Y\) un operador lineal acotado.

Prueba que \(X/\ker(T)\) es isomorfo, en la categoría de espacios de Banach, a \(T(X)\) si y sólo si \(T(X)\) es cerrado en \(Y\).

Ejercicio

Sea \(X\) un espacio vectorial normado. Para \(A\subseteq X\) no vacío y \(\varepsilon > 0\) definimos la vecindad de radio \(\varepsilon\) como \[ V_\varepsilon(A)=\{x\in X: \textrm{existe \(a\in A\) con \(\|x-a\|< \varepsilon \)}\} \]

Prueba que para toda \(r>0\), \(rV_\varepsilon(A)=V_{r\varepsilon}(rA)\)
Supón que \(X\) es un espacio de Banach, \(Y\) un espacio vectorial normado y \(T:X\to Y\) lineal acotado que satisface: existen \(R >0\) y \(\varepsilon\in (0,1)\) tal que \[ (Y)_1 \subseteq V_\varepsilon(T((X)_R)) \] Prueba que \(T\) es suprayectiva.
Sugerencia: revisa la prueba del Teorema 7.5 para probar que existe \(M>0\) tal que \((Y)_1 \subseteq T((X)_M)\) y de ésta última contención prueba que \(T\) es suprayectiva.

Ejercicio

Sea \(X\) un espacio de Banach separable. Pruba que existe un operador lineal acotado y suprayectivo \(T:\ell_1(\mathbb{N})\to X\).

Sugerencia: usa el Ejercicio 7.10

Ejercicio

Sea \(X\) un espacio de Banach separable. Prueba que existe, \(Y\), un subespacio cerrado de \(\ell_1(\mathbb{N})\), tal que \(X\) es isomorfo a \(\ell_1(\mathbb{N})/Y\), en la categoría de espacios de Banach.

Ejercicio

Sea \(X\) un espacio de Banach y \(M \subseteq X\) un espacio finito dimensional. Prueba que para cualquier \(x_0\in X\) existe un \(m_0\in M\) tal que \[ \| [x_0]\|=\|x_0-m_0\|. \]

Sugerencia: utiliza la compacidad de las bolas cerradas relativas a \(M\).

Ejercicio

Sea \(X\) un epacio vectorial normado y \(M\subseteq X\) un subespacio cerrado. Prueba que si \(X\) es separable entonces \(X/M\) también.

Ejercicio

Sea \(X\) un espacio vectorial normado y \(M\subseteq X\) un subespacio cerrado propio de \(X\).

Por \(M^\perp\) denotamos al conjuntos de \(f\in X^*\) tal que restringidas a \(M\) sean idénticamente cero. Nota que \(M^\perp\) es un subespacio cerrado de \(X^*\).

Prueba que \((X/M)^*\) es isométricamente isomorfo a \(M^\perp\). Sugerencia: considera la función \(T:M^\perp (X/M)^*\), dada por \((Tf)([x])=f(x)\), para \(f\in M^\perp\). Inicia probando que \(T\) está bien definida.
Prueba que \(\|[x]\|=\max\{ |f(x)|: f\in M^\perp, \|f\|=1\}\). Sugerencia: usa el Teorema de Extensión de Hahn-Banach.

Ejercicio

Sean \(X,Y\) espacios de Banach, \(T:X\to Y\) un operador lineal acotado y supón que \(T(X)\) es cerrado en \(Y\). Recuerda que el adjunto es el operador \(T^*:Y^*\to X^*\) dado por \(T^*\psi=\psi\circ T\). Prueba que \[ T^*(Y^*)=\{\varphi\in X^* : \varphi|_{\ker(T)}=0\} \]