Sea \(f:X\to Y\) una función. La gráfica de \(f\) se define como \[ G(f)=\{(x,y)\in X\times Y: y=f(x)\}. \]
Observación:
Si \(X,Y\) son espacios vectoriales y \(f\) es lineal entonces \(G(f)\) es un subespacio de \(X\times Y\).
Sean \(X,Y\) espacios vectoriales normados y \(T:X\to Y\) un operador lineal acotado. En \(X\times Y\) considera cualquier norma que hace a las dos proyecciones continuas. Entonces \(G(T)\) es un subespacio cerrado de \(X\times Y\).
Sean \(X,Y\) espacios de Banach y \(T:X\to Y\) lineal.
\(T\) es acotado sii \(G(T)\) es cerrada.
Sea \(X\) un espacio de Banach y \(Y,Z\) subespacios cerrados de \(X\) tal que \(X=Y \oplus Z\), es decir
Sea \(X\) un espacio de Banach y \(Y,Z\leq X\) subespacios cerrados de \(X\) con \(Y\cap Z=\{0\}\).
\(Y+Z\) es cerrado sii existe \(C>0\) tal que \(\|y\| \leq C\|y+z\|\), para todos \(y\in Y,z\in Z\).
Prueba que el Teorema de la gráfica cerrada implica en Teorema del mapeo abierto.
Este ejercicio muestra que, en la categoría de espacios de Banach, ambos Teoremas son equivalentes.
Sean \(X,Y\) espacios vectoriales normados con \(X\) finito dimensional. Prueba que toda función lineal \(T:X\to Y\) es acotada.
Sean \(X,Y\) espacios de Banach y \(T:X\to Y\) una función lineal. Para \(\psi\in Y^*\) denotamos \(T'\psi: X \to \mathbb{F}\) como \(T'\psi(x)=\psi(Tx)\). Nota que \(T'\psi\) es lineal.
Supón que para toda \(\psi\in Y%*\), \(T'\psi \in X^*\). Prueba que \(T\) está acotada.
Sean \(X,Y\) espacios métricos con \(Y\) compacto. Supón que la gráfica de la función \(f:X\to Y\) es cerrada. Prueba que \(f\) es continua en \(X\).
Da un ejemplo que muestre que la compacidad de \(Y\) no puede ser omitida.
Este en un análogo al teorema de la gráfica cerrada en espacios métricos.
Sean \(X,Y\) dos espacios vectoriales normados y dotamos a \(X\times Y\) con una norma que haga a las proyecciones continuas. Sea \(D \subseteq X\) un subespacio (no necesariamente cerrado). Decimos que el operador lineal \(T:D \to X\) es cerrado si su gráfica \(G(T)\subseteq X\times Y\) es cerrada.
Esta definición sustituye la definición de operador acotado para operadores que no están definidos en todo el espacio, pues si \(G(T)\) es cerrado entonces se cumple que si \(\lim_{n\to \infty }x_n=x\) en \(X\) y \(\lim_{n\to \infty} Tx_n=y\) en \(Y\) entonces \(x\in D\) y \(Tx=y\). Además por el Teorema de la gráfica cerrada, en la categoría de espacios de Banach, ésta definición es equivalente al de operador acotado.
Sean \(X,Y\) espacios vectoriales normados y \(D\subseteq X\) un subespacio. Si \(D\) es cerrado y \(T:D\to Y\) es acotado entonces \(T\) es cerrado.
Tomamos \(X=Y=C[0,1]\) con la norma uniforme y consideramos el subespacio \(D\) como las funciones de clase \(C^1\). Definimos \(T:D\to Y\) por \(Tf=f'\).
Sean \(X,Y\) espacios vectoriales normados, \(D\subseteq X\) un subespacio y \(T:D\to Y\) un operador lineal cerrado. Si \(T\) es inyectivo y \(T^{-1}:T(D) \to X\) es su inversa entonces \(T^{-1}\) también es un operador lineal cerrado.
Sean \(X,Y\) espacios vectoriales normados con \(X\) de Banach. Sea \(D\subseteq X\) un subespacio y \(T:D\to Y\) un operador lineal cerrado.
Si \(T(D)\) es de la segunda categoría en \(Y\) entonces:
Sea \(X\) un espacio vectorial normado y \(D\subseteq X\) un subespacio. Prueba que si \(T:D\to X\) es un operador cerrado entonces \(T-\lambda I\) tambien es cerrado. Nota: por \(I\) denotamos a la función identidad en \(X\) y \(\lambda\) denota un escalar.
Sea \(X\) un espacio vectorial normado y \(D_T,D_S\subseteq X\) dos subespacios. Si \(T:D_T \to X\) y \(S:D_S\to X\) son dos operadores cerrados ¿ se sigue que la suma \(T+S\), definida en \(D_A\cap D_B\), es un operador cerrado?