Espacios de Hilbert

Definición

Un espacio con producto interior es una pareja \((V,\langle \cdot , \cdot \rangle)\) donde \(V\) es un espacio vectorial sobre \(\mathbb{F}\) y \(\langle \cdot , \cdot \rangle : V\times V \to \mathbb{F}\) satisface que para todos \(x,y,z\in V\) y \( a\in \mathbb{F} \):

\[ \langle x+ay, z \rangle =a \langle x,y \rangle + \langle y,z \rangle; \]
\[ \langle x,y \rangle =\overline{\langle y, x \rangle}; \]
\( \langle x, x \rangle \geq 0\) y la igualdad se da si y sólo si \(x=0\).

Observación: para todos \(x,y,z\in V, a\in \mathbb{F}\) \[ \langle x, ay+z \rangle = \overline{a}\langle x,y \rangle + \langle x,z \rangle \]

Nota: en algunos textos para la definición de producto interior el inciso 3 sólo pide \(\langle x,x \rangle \geq 0\) y cuando se tiene el sí y sólo si: \(\langle x, x \rangle =0 \Leftrightarrow x=0\), se le llama producto positivo definido.

Ejemplo

Sea \(S\) un conjunto cualquiera. Definimos \[ \ell^2(S)=\{x:S\to \mathbb{C}: \sum_{s\in S}|x(x)|^2< +\infty\} \] donde entendemos la serie como un límite en la red de subconjuntos finitos de \(S\) \[ \sum_{s\in S}|x(x)|^2=\lim_{F\in \mathcal{P}_{fin}(S)} \sum_{s\in F}|x(s)|^2 \] lo cual se puede probar es igual a \[ \sum_{s\in S}|x(x)|^2=\sup_{F\in \mathcal{P}_{fin}(S)}\left\{ \sum_{s\in F}|x(s)|^2\right\} \]

Para \(x,y\in \ell^2(S)\) definimos \[ \langle x, y\rangle =\sum_{s\in S}x(s)y(s) \] Con estas definiciones \((\ell^2(S),\langle \cdot, \cdot \rangle)\) es un espacio con producto interior.

Teorema

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Sea \((V,\langle \cdot, \cdot \rangle )\) un espacio con producto interior.

Para todos \(x,y\in V\) \[ |\langle x, y \rangle | \leq (\langle x,x \rangle)^{1/2}(\langle y,y \rangle)^{1/2} \]

Además la igualdad se da si y sólo si existe \(a_0\in \mathbb{C}\) tal que \(x=a_0y\).

Proposición

Sea \((V, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) un espacio con producto interior. Para \(x\in V\) definimos \[ \|x\|:=(\langle x, x \rangle)^{1/2} \] Entonces \(\| \cdot \|\) es una norma.

Proposición

Sea \((V, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) un espacio con producto interior.

Para todos \(x,y\in V\) se vale:

Identidad del paralelogramo \[ \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2) \]
Identidad de polarización \[ \langle x, y \rangle =\frac{1}{4}(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2+i\|x+iy\|^2-i\|x-iy\|^2) \]

Definición

Un espacio vectorial normado \((V,\|\cdot\|)\) se llama pre-Hilbert si existe un producto interior en \(\langle \cdot, \cdot \rangle: V\times V\to \mathbb{C}\) tal que, para todo \(x\in V\) \[ \|x\|=\langle x, x \rangle^{1/2}. \]

Teorema

Un espacio vectorial normado \((V,\|\cdot\|)\) es pre-Hilbert si y sólo si su norma satisface la identidad del paralelogramo.

En dado caso la función \[ \langle x, y \rangle_0= \frac{1}{4}(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2+i\|x+iy\|^2-i\|x-iy\|^2) \] define un producto interior en \(V\) que satisace \(\|x\|= (\langle x, x\rangle_0 )^{1/2}\) para todo \(x\in V\).

Proposición

Sea \((V, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) un espacio con producto que satisface los incisos 1 y 2 de la Definición 9.1 de producto interior y que sólo satisface \(\langle x, x \rangle \geq 0\) para todo \(x\in V\).

Denotamos \[ L=\{x\in V: \langle x,x \rangle =0\} \] Entonces \(L\) es un subespacio de \(V\).

En el espacio cociente \(V/L\) la función \[ \langle x+L, y+L \rangle := \langle x, y \rangle \] está bien definida y es un producto interior.

Proposición

Sea \((V, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) un espacio con producto interior.

Entonces el producto interior es una función continua, es decir \[ \lim_{n\to \infty} \langle x_n,y_n \rangle = \langle x, y \rangle \] para toda sucesión \(((x_n,y_n))_{n=1}^\infty\) en \(V\times V\) tal que \(\lim_{n\to \infty} (x_n,y_n)=(x,y)\) en \(V\times V\).

Definición

Un espacio de Hilbert es una pareja \((H,\langle \cdot, \cdot \rangle )\) donde \(H\) es un espacio vectorial sobre \(\mathbb{C}\), \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) es un producto interior positivo definido en \(H\) de tal forma que la norma que induce es completa.

Por ejemplo, los espacios \((\ell_2(S), \langle \cdot, \cdot \rangle )\) del Ejemplo 9.2 son de Hilbert.

Teorema

Sea \((H,\langle \cdot, \cdot \rangle )\) un espacio de Hilbert y sea \(\emptyset \ne C \subseteq H\) un subconjunto convexo y cerrado.

Entonces existe un único \(y_0\in C\) de norma mínima. Es decir \[ \|y_0\|=\inf_{y\in C}\{\|y\|\} \]

Corolario

Sea \((H,\langle \cdot, \cdot \rangle )\) un espacio de Hilbert y \(\emptyset \ne C \subseteq H\) un convexo cerrado.

Para todo \(x_0\in H\) exsite un único \(y_0\in C\) tal que \[ \|y_0-x_0\| = \inf_{y\in C}\{\|y-x_0 \|\}. \]

Además, para todo \(y\in C\): \[ \textrm{Re} \langle y_0-x_0,y_0 \rangle \leq \textrm{Re} \langle y_0-x_0,y \rangle \] donde \(\textrm{Re}\) denota la parte real.

Definición

Dos vectores \(x,y\in H\) en un espacio con producto interior se llama ortogonales sii \(\langle x, y \rangle =0\).

Dado \(S\subseteq H\) denotamos \[ S^\perp=\{x\in H: \langle x, s \rangle =0, \ \textrm{para todo }\ s\in S\} \]

Lema

Sea \(H\) un espacio con producto interior y \(S\subseteq H\).

\(S\subseteq (S^\perp)^\perp\).
Si \(S\subseteq T\) entonces \(T^\perp \subseteq S^\perp \).
\(S^\perp = (\span(S))^\perp\).
\(S^\perp= \overline{S}^\perp \).

Proposición

Sea \(H\) un espacio con producto interior y \(S\subseteq H\).

Entonces \(S^\perp\) es un subespacio cerrado de \(H\).

Teorema

Sea \(H\) un espacio de Hilbert y \(Y\leq H\) un subespacio cerrado.

Todo \(x_0\in H\) se puede expresar de manera única como \[ x_0=y_0+z_0 \] con \(y_0\in Y\) y \(z_0\in Y^\perp\). Es decir \(H=Y\oplus Y^\perp\).

Es más \[ \|x_0-y_0\| =\inf_{y\in Y}\{\|x_0-y\|\} \]

Corolario

Sea \(H\) un espacio de Hilbert y sea \(Y\leq H\) un subespacio cerrado y \(\emptyset \ne S \subseteq H\).

Entonces \[ (Y^\perp)^\perp=Y, \quad (S^\perp)^\perp= \overline{\span(S)}. \]

Corolario

Teorema de representación de Riesz

Sea \(H\) un espacio de Hilbert y \(\varphi:H \to \mathbb{F}\) una funcional lineal acotada. Entonces existe un único vector \(x_0\in H\) tal que \(\varphi(x)=\langle x, x_0\rangle\) para toda \(x\in H\). Además \(\|\varphi\|=\|x_0\|\).

Ejercicio

Sea \(H\) un espacio ode Hilbert y \(\|\cdot\|\) la norma generada por su producto interior.

Para \(p\in [1, \infty) \) define \[ \ell_p(H)=\{x:\mathbb{N} \to H: \sum_{i=1}^\infty \|x(i)\|^p < \infty\} \] y para \(x\in \ell_p(H)\) \[ \|x\|_p:=\left(\sum_{i=1}^\infty \|x(i)\|^p \right)^{1/p} \] Prueba

para \(p\in (1,\infty)\), \(q\in (1,\infty)\) su exponente conjugado y \(x\in \ell_p, y\in \ell_q\), \[ \sum_{i=1}^\infty |x(i)||y(i)|\leq \|x\|_p\|y\|_q. \]
\((H,\|\cdot\|_p)\) es un espacio de Banach que es de Hilbert si y sólo si \(p=2\).
Halla la condición sobre \(x\) y \(y\) que garantice la igualdad en el primer inciso.

Ejercicio

Sea \(H\) un espacio de Hilbert, \(M\subseteq H\) un subespacio cerrado y \(P:H\to M\) la proyección ortogonal sobre \(M\). Prueba

\( \|x-Px\|\leq \|x-m\|\), para toda \(m\in M\).
\( \|x-Px\|\leq \sqrt{ \|x\|^2 \|Px\|^2 \|}\), para toda \(m\in M\).
\((H/M, \|\cdot\|_{H/M})\) es un espacio de Hilbert con el producto interior dado por \[ \langle [x], [y]\rangle_{H/M} = \langle x-Px, y-Py \rangle \] donde \([x]\) denot la clase de \(x\) en \(H/M\).

Ejercicio

Sea \(H\) un espacio de Hilbert y \(\{M_i\}_{i\in I}\) una familia de subespacios cerrados que satisfacen \(M_i \perp M_j\), para todo \(i\ne j\). Prueba que \[ \overline{\span(\cup_{i\in I}M_i)}=\oplus_{i\in I } M_i \]

Ejercicio

En el espacio de Hilbert \(\ell_2(\mathbb{N})\) define \[ L=\{x\in \ell_2(\mathbb{N}): |x(i)|\leq \frac{1}{i}, \forall i\in \mathbb{N}\} \] (el ladrillo de Hilbert). Prueba

\(L\) es compacto.
\(\textrm{int}(L)=\emptyset\).

Ejercicio

Sea \((X,\langle \cdot, \cdot \rangle )\) un espacio con producto interior. Supón que \((M^\perp)^\perp=M\) para todo subespacio cerrado de \(X\). Prueba que \(X\) es un espacio de Hilbert.

Sugerencia: prueba que el operador \(T:H\to H^*\) dada por \(Tx=\varphi_x\), donde \(\varphi_x(y)=\langle x, y \rangle \), es suprayectivo.