Introducción a la integral de Riemann
Dada una función acotada \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) y una partición \(P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\) de \([a,b]\), definimos suma inferior y suma superior de \(f\) con respecto a \(P\) como \begin{eqnarray*} \underline{S}(f,P) &=& \sum_{i=1}^{n} m_i(f) \Delta_i x, \\ \overline{S}(f,P) &=& \sum_{i=1}^{n} M_i(f) \Delta_i x, \end{eqnarray*} donde \(m_i(f) = \inf\{f(x): x \in [x_{i-1},x_i]\}\), \(M_i(f) = \sup\{f(x): x \in [x_{i-1},x_i]\}\) y \(\Delta_i x = x_i - x_{i-1}\). La integral de Riemann.
Definimos la integral inferior y superior de \(f\) como \begin{eqnarray*} \underline{\int_a^b} f(x) dx &=& \sup\{\underline{S}(f,P): P \text{ es una partición de } [a,b]\}, \\ \overline{\int_a^b} f(x) dx &=& \inf\{\overline{S}(f,P): P \text{ es una partición de } [a,b]\}. \end{eqnarray*} Si \(\underline{\int_a^b} f(x) dx = \overline{\int_a^b} f(x) dx\), decimos que \(f\) es Riemann-integrable en \([a,b]\) y definimos la integral de Riemann de \( f\) en \([a,b]\) como \[ \int_a^b f(x) dx = \underline{\int_a^b} f(x) dx = \overline{\int_a^b} f(x) dx. \]
Queremos copiar la misma idea para funciones de dos variables definidas sobre rectángulos de la forma \([a,b]\times[c,d]\). Lo primero para esto es definir qué es una partición de un rectángulo.
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) un rectángulo en \(\mathbb{R}^2\). Una partición de \(\mathcal{R}\) es el producto cartesiano de particiones de sus lados. Es decir, si \[ \mathbb{P}_1=\{a=x_0< \cdots < x_n=b \}, \quad \mathbb{P}_2=\{c=y_0< \cdots < y_m= d \}, \] son particiones de \([a,b]\) y \([c,d]\), respectivamente, entonces \[ \mathbb{P}=\mathbb{P}_1\times \mathbb{P}_2= \{ (x_i,y_j): 1 \leq i \leq n, 1\leq j \leq m \} \] es una partición de \(\mathcal{R}\).
La partición \(\mathbb{P}\) parte a \(\mathcal{R}\) en \(nm\) subrectángulos, \([x_{i-1}, x_i]\times [y_{j-1},y_j]\). El rectángulo abierto \((x_{i-1},x_i)\times (y_{j-1},y_j)\) se llama un subrectángulo abierto de \(\mathcal{R}\).
Se dice que una partición \(\mathbb{P}'\) de \(\mathcal{R}\) refina a \(\mathbb{P}\) si \(\mathbb{P}\subseteq \mathbb{P}'\).
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) un rectángulo en \(\mathbb{R}^2\) y sea \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función acotada. Sea \(\mathbb{P}=\mathbb{P}_1\times \mathbb{P}_2\) una partición de \(\mathcal{R}\). Copiando el caso uno-dimensionales, definimos la suma inferior y suma superior de \(f\) con respecto a \(\mathbb{P}\) como \begin{eqnarray*} \underline{S}(f,\mathbb{P}) &=& \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} m_{ij}(f) \Delta_i x \Delta_j y,\\ \overline{S}(f,\mathbb{P}) &=& \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} M_{ij}(f) \Delta_i x \Delta_j y, \end{eqnarray*} donde \(m_{ij}(f)=\inf\{f(x,y): (x,y)\in [x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1},y_j]\}\), \(M_{ij}(f)=\sup\{f(x,y): (x,y)\in [x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1},y_j]\}\), \(\Delta_i x = x_i - x_{i-1}\) y \(\Delta_j y = y_j - y_{j-1}\).
Si la función \(f\) es no negativa, entonces \(\underline{S}(f,\mathbb{P})\) y \(\overline{S}(f,\mathbb{P})\) pueden interpretarse como el área de los subrectángulos que se encuentran por debajo y por encima de la gráfica de \(f\), respectivamente.
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) un rectángulo en \(\mathbb{R}^2\) y sea \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función acotada. Definimos la integral inferior y superior de \(f\) como \begin{eqnarray*} \underline{\int_{\mathcal{R}}} f &=& \sup\{\underline{S}(f,\mathbb{P}): \mathbb{P} \text{ es una partición de } \mathcal{R}\},\\ \overline{\int_{\mathcal{R}}} f &=& \inf\{\overline{S}(f,\mathbb{P}): \mathbb{P} \text{ es una partición de } \mathcal{R}\}. \end{eqnarray*} Si \(\underline{\int_{\mathcal{R}}} f = \overline{\int_{\mathcal{R}}} f\), decimos que \(f\) es Riemann-integrable en \(\mathcal{R}\) y definimos la integral de Riemann de \(f\) en \(\mathcal{R}\) como \[ \int_{\mathcal{R}} f = \underline{\int_{\mathcal{R}}} f = \overline{\int_{\mathcal{R}}} f. \] Otras notaciones para la integral de Riemann de \(f\) en \(\mathcal{R}\) son \[ \int_{\mathcal{R}} f(x,y) dA \quad \text{o} \quad \int_{\mathcal{R}} f(x,y) dxdy \quad \text{o} \quad \int_{\mathcal{R}} f(x,y) d(x,y) \]
Definimos la función \(f:[0,1]\times [0,1]\to \mathbb{R}\) como \[ f(x,y) = \left\{\begin{array}{ll} 1, & \text{si } x=y,\\ 0, & \text{si } x\neq y. \end{array}\right. \] La función \(f\) es acotada, ya que \(0\leq f(x,y)\leq 1\) para todo \((x,y)\in [0,1]\times [0,1]\). Entonces \(f\) es Riemann-integrable en \([0,1]\times [0,1]\) y \[ \int_{[0,1]\times [0,1]} f = 0. \]
Recordamos que en el caso uno-dimensional un ejemplo de una función no Riemann-integrable es la función de Dirichlet, definida como \[ D(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1, & \text{si } x\in \mathbb{Q},\\ 0, & \text{si } x\notin \mathbb{Q}. \end{array}\right. \]
Ahora definimos la función de dos variables, \(f:[0,1]\times [0,1]\to \mathbb{R}\), como \[ f(x,y) = \left\{\begin{array}{ll} D(x), & \text{si } y=1/2,\\ 0, & \text{si } y\ne 1/2. \end{array}\right. \] Entonces \(f\) es acotada y es Riemann-integrable en \([0,1]\times [0,1]\) y \[ \int_{[0,1]\times [0,1]} f = 0. \]
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\). Sean \(f,g:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) funciones acotadas y Riemann-integrables en \(\mathcal{R}\).
Entonces la combinación lineal \(\alpha f+g\) es Riemann-integrable en \([a,b]\times [c,d]\) y además \[ \int_{\mathcal{R}} (\alpha f+g) = \alpha \int_{\mathcal{R}} f + \int_{\mathcal{R}} g. \]
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\). Sean \(f,g:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) funciones acotadas y Riemann-integrables en \(\mathcal{R}\).
Si \(f(x,y)\leq g(x,y)\) para todo \((x,y)\in \mathcal{R}\), entonces \[ \int_{\mathcal{R}} f \leq \int_{\mathcal{R}} g. \]
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\). Sean \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) acotadas y Riemann-integrable en \(\mathcal{R}\).
Entonces \(|f|\) es Riemann-integrable y \[ \left| \int_{\mathcal{R}} f \right| \leq \int_{\mathcal{R}} |f|. \]
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\). Sean \(f,g:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) funciones acotadas y Riemann-integrables en \(\mathcal{R}\).
Entonces la función producto \(fg\) es Riemann-integrable en \(\mathcal{R}\).
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\). Sea \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función continua en \(\mathcal{R}\). Entonces \(f\) es Riemann-integrable en \(\mathcal{R}\). Además \[ \int_{\mathcal{R}} f = \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n f((t_{i}^{(n)},t_j^{(n)}))\left(\frac{b-a}{n}\right) \left(\frac{d-c}{n}\right). \] donde los \((t_{i}^{(n)},t_j^{(n)})\in [x_{i-1}^{(n)},x_i^{(n)}]\times [y_{j-1}^{(n)},y_j^{(n)}]\), son puntos arbitrarios en los rectángulos de la partición homogenea de \(\mathcal{R}\).
Un subconjunto \(A\subseteq \mathbb{R}^2\) se llama de contenido cero o tiene contenido cero si para todo \(\varepsilon>0\) existe una colección finita de rectángulos (o cajas) \(\{C_1,\ldots,C_n\}\) tal que
Nota: en la definición sólo decimos rectángulos, sin especificar si son abiertos o cerrados, pues como el área de un rectángulo abierto es igual al área de un rectángulo cerrado, no importa si usamos abiertos o cerrados.
Por ejemplo, la diagonal \(A=\{(x,x): x\in [0,1]\}\) tiene contenido cero. Para probarlo, sea \(\varepsilon>0\) y consideremos la colección de rectángulos \[ C_i = \left[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\right]\times \left[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}\right], \quad i=1,\ldots,n, \] donde \(n\) es un entero positivo tal que \(1/n<\varepsilon\). Entonces \(A\subseteq \bigcup_{i=1}^{n} C_i\) y \[ \sum_{i=1}^{n} \text{área}(C_i) = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} < \varepsilon. \]
Decimos que \(f=g\) excepto en un conjunto de contenido cero si existe \(N\subseteq \mathcal{R}\), un conjunto de contenido cero, tal que \(f(x,y)=g(x,y)\) para todo \((x,y)\in \mathcal{R}\setminus N\).
Por ejemplo, si \[ f(x,y) = \left\{\begin{array}{ll} 1, & \text{si } x=y,\\ 0, & \text{si } x\neq y. \end{array}\right. \] entonces \(f=0\) excepto en un conjunto de contenido cero (la diagonal).
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función continua en \([a,b]\). Entonces su gráfica, \(G(f)=\{(x,f(x)): x\in [a,b]\}\), tiene contenido cero.
Para probarlo vamos a usar que al ser \(f\) continua en el compacto \([a,b]\), entonces \(f\) es uniformemente continua.
Sea \(\varepsilon>0\) y sea \(\delta>0\) tal que si \(|x-y|<\delta\), entonces \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon/(b-a)\).
Sea \(n\) un entero positivo tal que \(1/n<\delta\) y consideremos la partición homogenea de tamaño \(n\) de \([a,b]\): \[ P=\left\{a=x_0< x_1< \cdots < x_n=b\right\}, \quad x_i = a + i\frac{b-a}{n}, \quad i=0,\ldots,n. \]
Por continuidad, para cada \(i=1,\ldots,n\) existe \(x_i^*, x_{i,*}\in [x_{i-1},x_i]\) tal que \begin{eqnarray*} f(x_i^*) = \sup\{f(x): x\in [x_{i-1},x_i]\}, \\ f(x_{i,*}) = \inf\{f(x): x\in [x_{i-1},x_i]\}. \end{eqnarray*}
Por la elección de \(\delta\), tenemos que \(|f(x_i^*)-f(x_{i,*})|<\varepsilon/(b-a)\). Entonces si definimos \[ C_i= [x_{i-1},x_i]\times [f(x_{i,*}), f(x_i^*)] \] tenemos que \[ \text{área}(C_i) = (x_i-x_{i-1})(f(x_i^*)-f(x_{i,*})) < \frac{b-a}{n}\cdot \frac{\varepsilon}{b-a} = \frac{\varepsilon}{n}. \] Entonces \(\sum_{i=1}^{n} \text{área}(C_i) < \varepsilon\).
Finalmente, \(G(f)\subseteq \bigcup_{i=1}^{n} C_i\).
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\). Sean \(f,g:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) funciones acotadas y Riemann-integrables en \(\mathcal{R}\).
Si \(f=g\) excepto en un conjunto de contenido cero, entonces \[ \int_{\mathcal{R}} f = \int_{\mathcal{R}} g. \]
El teorema anterior permite relajar hipótesis en algunos teoremas de integración. Por ejemplo la monotonía de la integral dice que si \(f(x,y)\leq g(x,y)\) para todo \((x,y)\in \mathcal{R}\) entonces \[ \int_{\mathcal{R}} f \leq \int_{\mathcal{R}}g \] Pero usando el teorema anterior podemos cambiar la hipótesis por: si existe \(N\subset \mathcal{R}\) de contenido cero y \(f(x,y)\leq g(x,y)\) para todo \((x,y)\in \mathcal{R}\setminus N\) entonces \[ \int_{\mathcal{R}} f \leq \int_{\mathcal{R}}g. \]
El concepto de contenido cero se puede definir en otras dimensiones. Veamos como se ve en dimensión 1.
Una parte importante en la definición de contenido cero en \(\mathbb{R}^2\) es que involucra el concepto de área, por lo tanto si queremos copiar la definición de contenido cero en \(\mathbb{R}\) debemos usar el concepto de longitud (el análigo de área).
Un subconjunto \(A\subseteq \mathbb{R}\) se llama de contenido cero o tiene contenido cero si para todo \(\varepsilon>0\) existe una colección finita de intervalos \(\{I_1,\ldots,I_n\}\) tal que
Por ejemplo el conjunto \(A=\{0\}\cup \{\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N}\}\) tiene contenido cero.
Si queremos definir contenido cero en \(\mathbb{R}^3\) ahora el cocepto clave es el de volumen. Por lo tanto definimos contenido cero en \(\mathbb{R}^3\) como sigue: un subconjunto \(A\subseteq \mathbb{R}^3\) se llama de contenido cero o tiene contenido cero si para todo \(\varepsilon>0\) existe una colección finita de cajas (rectángulos en \(\mathbb{R}^3\)) \(\{C_1,\ldots,C_n\}\) tal que
Sea \(X\) un conjunto y \(A\subseteq X\). Definimos la función característica de \(A\), ó indicadora, como \[ \chi_A(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1, & \text{si } x\in A,\\ 0, & \text{si } x\notin A. \end{array}\right. \]
Sea \(X\) un conjunto y \(A,B\subseteq X\). Entonces:
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y \(\mathcal{R}'=[\alpha, \beta]\times [\gamma, \delta]\subseteq \mathcal{R}\).
Entonces \(\chi_{\mathcal{R}'}\) es Riemann-integrable con \[ \int_{\mathcal{R}} \chi_{\mathcal{R}'} = \text{área}(\mathcal{R}') \]
Probaremos que \[ \text{Area}(\mathcal{R}') = \underline{\int}_{\mathcal{R}} \chi_{\mathcal{R}'}=\overline{\int}_{\mathcal{R}} \chi_{\mathcal{R}'} \]
Primera parte:
Vamos a probar que \(\underline{\int}_{\mathcal{R}} \chi_{\mathcal{R}'}=\text{Area}(\mathcal{R}')\).
Recordamos que \[ \underline{\int}_{\mathcal{R}} \chi_{\mathcal{R}'}=\sup\{ \underline{S} (\chi_{\mathcal{R}'},P_1\times P_2): P_1\times P_2 \text{ partición de } \mathcal{R}\} \]
Paso 1: \(\text{Area}(\mathcal{R}')\) es cota superior del conjunto del lado derecho en la ecuación de arriba.
Sea \(P_1\times P_2\) una partición arbitraria de \(\mathcal{R}\). Ahora sea \(\tilde{P_1}\times \tilde{P_2}\) la partición de \(\mathcal{R}\) generada por el rectángulo \(\mathcal{R}'\) y tomemos \(\widehat{P_1}\times \widehat{P_2}=(P_1\times P_2)\cup (\tilde{P_1}\times \tilde{P_2})\). Se sigue que \[ \underline{S} (\chi_{\mathcal{R}'},P_1\times P_2) \leq \underline{S} (\chi_{\mathcal{R}'},\widehat{P_1}\times \widehat{P_2}) \] Afirmamos que \(\underline{S}(\chi_{\mathcal{R}'},\widehat{P_1}\times \widehat{P_2}) = \text{área}(\mathcal{R}')\). Para ver esto escribimos \begin{equation}\label{Aux:SumaInferiorCaracteristica} \underline{S}(\chi_{\mathcal{R}'},\widehat{P_1}\times \widehat{P_2})=\sum_{i,j} m_{i,j}(\chi_{\mathcal{R}'}) \Delta_i x \Delta_j y \end{equation} y lo importante es analizar los \(m_{i,j}(f)\).
Denotamos \(\widehat{R}_{i,j}=[\hat{x}_{i-1},\hat{x}_i]\times[\hat{y}_{j-1},\hat{y}_j]\), donde \(\widehat{P}_1\times \widehat{P}_2=\{(\hat{x}_i, \hat{y}_j)\}_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq m}\).
Por construcción de \( \widehat{P}_1 \times \widehat{P}_2\) podemos dividir los \(\widehat{R}_{i,j}\) en tres tipos:
Para los de tipo (I) tenemos que \(m_{i,j}(\chi_{\mathcal{R}'})=1\), pues \(\chi_{R'}(x,y)=1\) para \((x,y)\in \mathcal{R}'\).
Para los de tipo (II) tenemos que \(m_{i,j}(\chi_{\mathcal{R}'})=0\), pues \(\chi_{R'}(x,y)=0\) para \((x,y)\notin \mathcal{R}'\).
Para los de tipo (III) tenemos: si \((x,y)\in \widehat{R}_{i,j}\) está en la frontera de \(\mathcal{R}'\) entonces \(\chi_{\mathcal{R}'}(x,y)=1\); en cualquier otro caso \(\chi_{\mathcal{R}'}(x,y)=0\). Como por definición \[ m_{i,j}(\chi_{\mathcal{R}'})=\inf\{\chi_{\mathcal{R}'}(x,y): (x,y)\in \widehat{R}_{i,j}\} \] concluimos que \(m_{i,j}(\chi_{\mathcal{R}'})=0\).
Tomado en cuenta el análisis anterior tenemos que en \eqref{Aux:SumaInferiorCaracteristica} sólo sobreviven los sumando \(i,j\) para los cuales \(\widehat{R}_{i,j}\subset \mathcal{R}'\) y como por construcción éstos \(\widehat{R}_{i,j}\) reconstruyen todo \(\mathcal{R}'\) concluimos \begin{eqnarray*} \sum_{i,j} m_{i,j}(\chi_{\mathcal{R}'}) \Delta_i x \Delta_j y&=&\sum_{i,j: \widehat{R}_{i,j}\subset \mathcal{R}'} \text{Area}(\widehat{R}_{i,j}) \\ &=& \text{Area}(\mathcal{R}') \end{eqnarray*}
Resumiendo \[ \underline{S} (\chi_{\mathcal{R}'},P_1\times P_2) \leq \underline{S} (\chi_{\mathcal{R}'},\widehat{P_1}\times \widehat{P_2}) =\text{Area}(\mathcal{R}'). \]
Ya que \(P_1\times P_2\) fue arbitraria concluimos que \(\text{Area}(\mathcal{R}')\) es cota superior del conjunto \[ \{ \underline{S} (\chi_{\mathcal{R}'},P_1\times P_2): P_1\times P_2 \text{ partición de } \mathcal{R}\} \]
Paso 2: \(\underline{\int}_{\mathcal{R}}\chi_{\mathcal{R}'}=\text{Area}(\mathcal{R}')\).
Por el Paso 1 y la definición de supremo obtenemos \begin{eqnarray*} \underline{\int}_{\mathcal{R}}\chi_{\mathcal{R}'}&=&\sup\{ \underline{S} (\chi_{\mathcal{R}'},P_1\times P_2): P_1\times P_2 \text{ partición de } \mathcal{R}\} \\ & \leq & \text{Area}(\mathcal{R}') \end{eqnarray*} Pero la igualdad se da pues en el Paso 1 construimos una partición \(\widehat{P}_1\times \widehat{P}_2\) tal que \[ \underline{S} (\chi_{\mathcal{R}'},\widehat{P}_1\times \widehat{P}_2)=\text{Area}(\mathcal{R}') \]
Seguna parte:
Vamos a probar que \(\overline{\int}_{\mathcal{R}} \chi_{\mathcal{R}'}=\text{Area}(\mathcal{R}')\).
Recordamos que \[ \overline{\int}_{\mathcal{R}} \chi_{\mathcal{R}'}=\inf\{ \overline{S} (\chi_{\mathcal{R}'},P_1\times P_2): P_1\times P_2 \text{ partición de } \mathcal{R}\} \]
Para esta parte vamos a construir una sucesión de particiones \(\widehat{P}_n\times \widehat{Q}_n\) tal que \[ \lim_{n}\overline{S} (\chi_{\mathcal{R}'},\widehat{P}_n\times \widehat{Q}_n)=\text{Area}(\mathcal{R}') \]
Empezamos con \(P_n\), partición homogenea de \([\alpha, \beta]\) de longitud \(n\) y \(Q_n\), partición homogenea de \([\gamma, \delta]\) de longitud \(n\).
Ahora construimos rectángulos con base de longitud \(\frac{\beta-\alpha}{n}\) y altura con longitud \(\frac{\delta-\gamma}{n}\) y los colocamos alrededor de la orilla de \(\mathcal{R}'\). Notamos que tenemos \(4n+4\) de dichos rectángulos.
Vamos a definir a \(\widehat{P}_n\times \widehat{Q}_n\) como la partición de \(\mathcal{R}\) generada por \(P_n\times Q_n\) y los rectángulos que pusimos en la orilla de \(\mathcal{R}'\). Si escribimos la suma superior obtenemos \begin{equation}\label{Aux:SumaSuperiorCaracteristica} \overline{S}(\chi_{\mathcal{R}'},\widehat{P_1}\times \widehat{P_2})=\sum_{i,j} M_{i,j}(\chi_{\mathcal{R}'}) \Delta_i x \Delta_j y \end{equation} al igual que en las sumas inferior denotamos \(\widehat{R}_{i,j}\) a los subrectángulos de \(\widehat{P}_n\times \widehat{Q}_n\) y los dividimos en tres tipos:
Para los de tipo (I) tenemos que \(M_{i,j}(\chi_{\mathcal{R}'})=1\), pues \(\chi_{R'}(x,y)=1\) para \((x,y)\in \mathcal{R}'\).
Para los de tipo (II) tenemos que \(M_{i,j}(\chi_{\mathcal{R}'})=0\), pues \(\chi_{R'}(x,y)=0\) para \((x,y)\notin \mathcal{R}'\).
Para los de tipo (III) tenemos: si \((x,y)\in \widehat{R}_{i,j}\) está en la frontera de \(\mathcal{R}'\) entonces \(\chi_{\mathcal{R}'}(x,y)=1\); en cualquier otro caso \(\chi_{\mathcal{R}'}(x,y)=0\). Como por definición \[ M_{i,j}(\chi_{\mathcal{R}'})=\sup\{\chi_{\mathcal{R}'}(x,y): (x,y)\in \widehat{R}_{i,j}\} \] concluimos que \(M_{i,j}(\chi_{\mathcal{R}'})=1\).
Entonces podemos simplificar \eqref{Aux:SumaSuperiorCaracteristica} como sigue \begin{eqnarray*} \overline{S}(\chi_{\mathcal{R}'},\widehat{P_1}\times \widehat{P_2})&=& \sum_{i,j:\widehat{R}_{i,j} \text{tipo (I)}} \Delta_ix \Delta_jy \\ &+& \sum_{i,j:\widehat{R}_{i,j} \text{tipo (III)}} \Delta_ix \Delta_jy \\ &=&\sum_{i,j:\widehat{R}_{i,j} \text{tipo (I)}} \text{Area}(\widehat{R}_{i,j}) \\ &+& \sum_{i,j:\widehat{R}_{i,j} \text{tipo (III)}} \text{Area}(\widehat{R}_{i,j}) \\ &=& \text{Area}(\mathcal{R}') \\ &+& (4n+4)\left(\frac{\beta-\alpha}{n}\frac{\delta-\gamma}{n} \right) \\ &=&\text{Area}(\mathcal{R}') + \frac{4(\beta-\alpha)(\delta-\gamma)}{n}+\frac{4(\beta-\alpha)(\delta-\gamma)}{n^2} \\ &=&\text{Area}(\mathcal{R}') + \frac{c_1}{n}+\frac{c_1}{n^2} \end{eqnarray*} con \(c_1=4(\beta-\alpha)(\delta-\gamma)\).
Por definición de integral superior llegamos a: \begin{eqnarray*} \overline{\int}_{\mathcal{R}}\chi_{\mathcal{R}'} &\leq & \overline{S}(\chi_{\mathcal{R}'}, \widehat{P}_n\times \widehat{Q}_n) \\ &=&\text{Area}(\mathcal{R}')+\frac{c_1}{n}+\frac{c_1}{n^2}. \end{eqnarray*} Ahora, por la primera parte y la relación entre la integral inferior y superior obtenemos: \[ \text{Area}(\mathcal{R}')=\underline{\int}_{\mathcal{R}'}\chi_{\mathcal{R}'}\leq \overline{\int}_{\mathcal{R}'}\chi_{\mathcal{R}'} \leq \text{Area}(\mathcal{R})+\frac{c_1}{n}+\frac{c_2}{n} \]
Finalmente, tomando límite cuando \(n\to \infty\) la ley del Sandwich implica \[ \text{Area}(\mathcal{R})=\underline{\int}_{\mathcal{R}'}\chi_{\mathcal{R}'}= \overline{\int}_{\mathcal{R}'}\chi_{\mathcal{R}'}=\text{Area}(\mathcal{R}). \]
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función acotada.
\(f\) es Riemann-integrable si y sólo si para toda \(\varepsilon >0\) existe \(P\times Q\) partición de \(\mathcal{R}\) tal que \[ \overline{S}(f,P\times Q)-\underline{S}(f,P\times Q) < \varepsilon. \]
Sea \(A\subseteq \mathbb{R}^2\) un subconjunto acotado. Entonces \(\chi_A\) es Riemann-integrable si y sólo si \(\partial A\) tiene contenido cero.
Un subconjunto acotado \(A\subset \mathbb{R}^2\) se llama jordan medible si \(\chi_A\) es Riemann-integrable.
Por el teorema anterior un subconjunto \(A\) es Jordan medible si y sólo si \(\partial A\) tiene contenido cero.