Cálculo CUATRO

§ 1

La integral de Riemann

¡Ahora en 2-D!

Teorema

Fubinni

Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times[c,d]\) y \(f:[a,b] \times [c,d]\to \mathbb{R}\) una función acotada y Riemann integrable sobre \(\mathcal{R}\). Entonces

  1. Para casi toda \(y\in [c,d]\), la integral 1-dimensional \(\int_a^bf(x,y)dx\) existe. Denotemos esta integral por \(A(y)\).
  2. La integral \(\int_c^d A(y)dy\) existe y \[ \int_\mathcal{R}f = \int_c^d A(y)dy. \] Lo anterior se puede escribir como la integral iterada \[ \int_\mathcal{R}f = \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y)dx \right)dy. \]

Un resultado similar es válido intercambiando los papeles de \(x\) e \(y\): para casi toda \(x\in [a,b],\) la integral \(B(x):=\int_c^d f(x,y)dy\) existe, la función \(B(x)\) es integrable y \[ \int_\mathcal{R}f = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y)dy \right)dx. \]

Notas

  1. Notación: la integral se puede denotar como \[ \int_{\mathcal{R}}f=\int_{\mathcal{R}}f dA=\int_{\mathcal{R}}f(x,y)dA(x,y)=\int_{\mathcal{R}}f(x,y) dx\otimes dy \]

  2. La parte "para casi toda \(y\in [c,d]\)" se debe de entender de la siguiente manera.

    Una caja en \(\mathbb{R}^n\) es un conjunto de la forma \[ [a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]. \] En \(\mathbb{R}^1\) una caja es un intervalo, en \(\mathbb{R}^2\) es un rectángulo, en \(\mathbb{R}^3\) es una caja. Dada una caja \(C\), su medida, denotada \(|C|\) ó \(\lambda(C)\) se define como \((b_1-a_1)\cdots (b_n-a_n) \).

    Un conjunto \(N\subseteq \mathbb{R}^n\) tiene contenido cero o es de contenido cero si para toda \(\varepsilon >0 \) existen una serie de cajas en \(\mathbb{R}^n\), \(C_1,\dots, C_n \) tal que \(N\subseteq \cup_{i=1}^n C_i\) y \(\sum_{i=1}^n |C_i|< \varepsilon\).

    Por ejemplo, una curva en \(\mathbb{R}^2\) tiene contendio cero.

    T

    Finalmente, la frase "para casi toda \(y\in [c,d]\)" significa que existe un conjunto \(N\subseteq [c,d]\), de contenido cero tal que para toda \(y\in [c,d]\setminus N\) se vale la propiedad en cuestión. Es decir, se puede pensar al conjunto \(N\) como despreciable/irrelevante.

  3. La integral de Riemann en 2D tiene la interpretación geométrica de volumen bajo la gráfica de la función. Con este punto de vista la idea de las integrales iteradas es que la integral más interna nos da áreas y la integral más externa (la segunda) suma las área anteriores para generar el volumen.
IntegralIterada
IntegralIterada
IntegralIterada

Corolario

Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times[c,d]\) y \(f:[a,b] \times [c,d]\to \mathbb{R}\) una función continua, excepto tal vez en un conjunto de contenido cero. Entonces \(f\) es integrable y \[ \int_{\mathcal{R}}f(x,y)=\int_a^b \int_c^d f(x,y)dydx=\int_c^d \int_a^b f(x,y)dxdy \]

Ejercicio

Para cada una de las siguientes funciones y rectángulos calcula \(\int_\mathcal{R}fdA\). Puedes suponer que todas las funciones que se presentan son integrables.

  1. \(f(x,y)=xy(x^2+y)\), \(\mathcal{R}=[0,1]\times [0,2]\).
  2. \(f(x,y)=\sqrt{xy}+x\), \(\mathcal{R}=[0,9]\times [0,1]\).
  3. \(f(x,y)=\sin(x+y)\), \(\mathcal{R}=[0,\pi]\times [0,\pi]\).
  4. \[ f(x,y)= \left\{ \begin{array}{cc} 1+x-y & \frac{x}{4} \leq y \leq \frac{x}{2} \\ 0 & \textrm{en otro caso} \end{array} \right. \] \(\mathcal{R}=[0,2]\times [0,1]\).
  5. \[ f(x,y)= \left\{ \begin{array}{cc} x+y & x^2\leq y \leq x \\ 0 & \textrm{en otro caso} \end{array} \right. \] \(\mathcal{R}=[0,1]\times [0,1]\).
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Ejercicio

Calcula la integrales de las siguientes funciones. Puedes suponer que todas las funciones que aparecen son integrables.

  1. \(\int_{\mathcal{R}}|3x+2y|\), \(\mathcal{R}=[0,2]\times [-3,3]\).
  2. \(\int_{\mathcal{R}} |\cos(x+y)|\), \(\mathcal{R}=[0,\pi]\times [0,\pi]\)
  3. \(\int_{\mathcal{R}} \sqrt{x+y}\), \(\mathcal{R}=[0,1]\times [0,4]\).
  4. \(\int_{\mathcal{R}} y^{-3}e^{tx/y}\), \(\mathcal{R}=[0,t]\times [1,t]\), con \(t>0\).
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Por el Teorema 12.20 tenemos que \begin{eqnarray*} \int_{R}\sqrt{x + y} & = & \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{4}\sqrt{x + y} dy\right)dx \\ & = & \int_{0}^{1} \frac{2}{3}\left((x + 4)^{\frac{3}{2}} -x^{\frac{3}{2}}\right) dx \\ & = & \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{5}\left((x + 4)^{\frac{5}{2}} - x^{\frac{5}{2}}\right)\mid_{0}^{1} \\ & = & \frac{4}{15}\left(5^{\frac{5}{2}} - 33\right) \end{eqnarray*}

Ejercicio

Calcula la integrales de las siguientes funciones. Puedes suponer que todas las funciones que aparecen son integrables.

  1. \(\mathcal{R}=[0,1]\times [0,1]\) \begin{eqnarray*} f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} x+2y & \textrm{si \(x^2 \leq y \leq 2x^2\)} \\ 0 & \textrm{en otro caso} \end{array} \right. \end{eqnarray*}
  2. \(\mathcal{R}=[-1,1]\times [-1,1]\) \begin{eqnarray*} f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} 2x^2+2y^2 & \textrm{si \(x^2 + y^2 \leq 1 \)} \\ 0 & \textrm{en otro caso} \end{array} \right. \end{eqnarray*}
  3. \(\mathcal{R}=[1,2]\times [1,4]\) \begin{eqnarray*} f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{(x+y)^{-2}}{2} & \textrm{si \(x \leq y \leq 2x\)} \\ 0 & \textrm{en otro caso} \end{array} \right. \end{eqnarray*}

El dominio de \(f\) es el que se encuentra entre la gráfica verde (\(y= 2x^{2}\)) y la gráfica roja (\(y = x^{2}\)),

Dominio25-1
Tenemos que la condición del dominio es \(x^{2} \leq y \leq 2x^{2}\) la cual es equivalente a \(\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}} \leq x \leq \sqrt{y}\). Entonces fijando \(y \in [0, 1]\) y tamando \begin{equation*} A(y) = \int_{0}^{1}f(x, y)dx \end{equation*} Por la regla de correspondecia de \(f\) simplificamos \begin{eqnarray*} A(y) & = & \int_{\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}}^{\sqrt{y}} x + 2y dx \\ & = & \frac{1}{2}\left(y - \frac{y}{2}\right) + 2y\left(\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}\right) \\ & = & \frac{y}{4} + \sqrt{2}\left(\sqrt{2} - 1\right)y^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*} Suponiendo que \(f\) es integrable, entonces por el ejercicio 12.5 tenemos \begin{eqnarray*} \int_{R} f & = & \int_{0}^{1} A(y) dy \\ & = & \int_{0}^{1} \frac{y}{4} + \sqrt{2}\left(\sqrt{2} - 1\right)y^{\frac{3}{2}} dy \\ & = & \frac{1}{8} + \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{5}\\ & = & \frac{37 -16\sqrt{2}}{40} \end{eqnarray*}


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Ejercicio

Sean \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\), \(g:[c,d]\to \mathbb{R}\) dos funciones continuas, denota \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y define \(h:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) por \(h(x,y)=f(x)g(y)\).

Expresa la integral \(\int_{\mathcal{R}} h(x,y)\) en términos de las integrales de \(f\) y de \(g\).

Ejercicio

Calcula la integrales de las siguientes funciones.

Nota: este ejercicio muestra que el orden de integración puede ayudar a calcular una integral.

  1. \(\int_{\mathcal{R}} y\sen(xy)dA\), \(\mathcal{R}=[1,2]\times [0,\pi]\).
  2. \(\int_{\mathcal{R}} xe^{x^2+y}dA\), \(\mathcal{R}=[-1,1]\times [1,2]\).
  3. \(\int_{\mathcal{R}} xy^2\sec^2(xy^3)dA\), \(\mathcal{R}=[1,\pi]\times [\pi, 2\pi]\).
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Ejercicio

Calcula los siguientes volúmenes.

  1. El volumen determinado por el paraboliode elíptico \(x^2+2y^2+z=16\) delimitado por los planos coordenados y los planos \(x=2,y=3\).
  2. El volumen en el primer octante determinado por la gráfica de \(z=x\sec^2(y)\), \(z=0,x=0,x=2,y=0,y=\pi/4\).
  3. El volumen determinado por la gráfica de \(z=2+x^2+(y-2)^2\) y los planos \(z=1\), \(x=-1,x=1\), \(y=0,y=1\).
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Ejercicio

Utilizando la interpretación de la integral como volumen bajo la gráfica, calcula la integrales de las siguientes funciones. Recuerda que \(\lfloor x \rfloor\) denota el mayor entero menor o igual a \(x\).

  1. \(\int_{\mathcal{R}} \lfloor x\rfloor \lfloor y \rfloor\), \(\mathcal{R}=[0,2]\times [0,2]\).
  2. \(\int_{\mathcal{R}} \lfloor x+y \rfloor\), \(\mathcal{R}=[0,3]\times [0,3]\)
  3. \(\int_{\mathcal{R}} \sqrt{\lfloor x+y \rfloor}\), \(\mathcal{R}=[0,3]\times [0,3]\).

Sugerencia: si \(\mathcal{R}\) es un polígono en el plano y \(f\) es igual a una constante \(c\) sobre \(\mathcal{R}\) entonces \(\int_{\mathcal{R}}fdA=c * \textrm{área}(\mathcal{R})\)

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Definición

Consideremos dos funciones \(g_1,g_2:[a,b]\to \mathbb{R}\) con la propiedad de que \(g_1(t)\leq g_2(t)\), para toda \(t\in [a,b]\). Para dichas funciones definimos la región de Tipo I: \[ \mathcal{S}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x\in [a,b], g_1(x)\leq y \leq g_2(x)\}. \]

tipoI

De manera similar, si tenemos dos funciones \(h_1,h_2:[c,d]\to \mathbb{R}\) con la propiedad de que \(h_1(t)\leq h_2(t)\), para toda \(t\in [c,d]\), definimos la región de Tipo II: \[ \mathcal{S}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y\in [c,d], h_1(x)\leq y \leq h_2(x)\}. \]

T
T

Teorema

Sean \(g_1,g_2:[a,b]\to \mathbb{R}\) dos funciones continuas en todo \([a,b]\) con la propiedad de que \(g_1(t)\leq g_2(t)\), para toda \(t\in [a,b]\). Considera la región de Tipo I \[ \mathcal{S}=\{(x,y): x\in [a,b], g_1(x)\leq y \leq g_2(x)\}. \]

Sea \(f:\mathcal{S} \to \mathbb{R}\) una función y supongamos que \(f\) es continua en \(\mathcal{S}\).

Entonces \(f\) es integrable sobre \(\mathcal{S}\) y la integral se puede calcular como la integral iterada: \[ \int_{\mathcal{S}}f = \int_a^b \left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dy \right)dx. \]

Nota

Hay un resultado similar al Teorema anterior para regiones de Tipo II.

Sean \(h_1,h_2:[c,d]\to \mathbb{R}\) dos funciones continuas en todo \([c,d]\) con la propiedad de que \(h_1(t)\leq h_2(t)\), para toda \(t\in [c,d]\). Considera la región de Tipo II \[ \mathcal{S}=\{(x,y): y\in [c,d], h_1(y)\leq x \leq h_2(y)\}. \]

Sea \(f:\mathcal{S} \to \mathbb{R}\) una función acotada y supongamos que \(f\) es continua en \(\mathcal{S}\).

Entonces \(f\) es integrable y la integral se puede calcular como la integral iterada: \[ \int_{\mathcal{S}}f = \int_c^d \left(\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)dx \right)dy. \]

Teorema

Aditividad con respecto a regiones

Sean \(\mathcal{S}_1, \mathcal{S}_2 \subseteq \mathbb{R}^2\) dos regiones acotadas con interior no vacío y tal que la intersección \(\mathcal{S}_1\cap \mathcal{S}_2\) tiene contenido cero. Si la función \(f\) es integrable sobre \(\mathcal{S}_1\) y \(\mathcal{S}_2\) entonces es integrable sobre \(\mathcal{S}_1\cup \mathcal{S}_2\) y además \[ \int_{\mathcal{S}_1 \cup \mathcal{S}_2}f = \int_{\mathcal{S}_1}f +\int_{\mathcal{S}_2}f \]

Nota

En ciertas ocaciones, la región \(\mathcal{S}\) no es una región del Tipo I o II, pero se puede expresar como la unión de dichas regiones de tal forma que la intersección de los uniendos tiene contenido cero.

Por ejemplo en el caso de un anillo \[ \mathcal{S}=\{(x,y): r\leq x^2+y^2 \leq R\} \] tenemos que \(\mathcal{S}=\mathcal{S}_1\cup \mathcal{S}_2\), donde \[ \mathcal{S}_1=\{(x,y): -R \leq x \leq R, g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}, \] \[ \mathcal{S}_2=\{(x,y): -R\leq x \leq R, -g_2(x) \leq y \leq -g_1(x)\}, \] y las funciones \(g_1, g_2:[-R,R]\to \mathbb{R}\) están dadas por \[ g_1(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 0 & -R \leq x \leq -r \\ \sqrt{r^2-x^2} & -r \leq x \leq r \\ 0 & r \leq x \leq R \end{array} \right. \] \[ g_2(x)=\sqrt{R^2-x^2}. \]

T

En casos como estos, usando la aditividad con respcto a regiones (teorema anterior) tenemos que: \[ \int_{\mathcal{S}} f = \int_{\mathcal{S}_1}f + \int_{\mathcal{S}_2} f. \] Es muy importante enfatizar que, para que la ecuación anterior sea válida, la intersección entre las partes \(\mathcal{S}_1\) y \(\mathcal{S}_2\) debe ser de contenido cero.

Teorema

Linealidad de la integral

Sea \(\mathcal{D}\) un subconjunto acotado con interior no vacío. Si \(f,g\) son funciones integrables en \(\mathcal{D}\) entonces la combinación lineal \(f+\alpha g\) (\(\alpha\) un escalar) también integrable y \[ \int_{\mathcal{D}}f+\alpha g = \int_{\mathcal{D}}f+ \alpha \int_{\mathcal{D}}g \]

Teorema

Monotonía de la integral

Sea \(\mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^2\) una región compacta con interior no vacío y \(f,g:\mathcal{D}\to \mathbb{R}\) dos funciones Riemann integrables en \(\mathcal{D}\). Si se cumple que \(f(x,y)\leq g(x,y)\) para todo \((x,y)\in \mathcal{D}\) entonces \[ \int_{\mathcal{D}} f \leq \int_{\mathcal{D}} g \]

Nota: el mismo resultado es válido si \(f(x,y)\leq g(x,y)\) para todo \((x,y)\in \mathcal{D}\) excepto un conjunton de contenido cero.

Ejercicio

Calcula las siguientes integrales.

Nota: determina cómo expresar las regiones dadas en términos de regiones Tipo I, Tipo II o uniones de dichas regiones.

  1. \(\int_{\mathcal{S}}xy^2 \), donde \(\mathcal{S}\) es la región acotada encerrada por las parábolas \(y=x^2-16\) y \(y=-x^2+9\).
  2. \(\int_{\mathbb{S}} 2x+y \), donde \(\mathcal{S}\) es la región acotada encerrada por las gráficas de \(y=|x|\) y \(y=6-|x-3|.\)
  3. \(\int_{\mathcal{S}}e^{2x+5y}\), donde \(\mathcal{S}=\{(x,y): |x|+|y|\leq 1\}\).
  4. \(\int_{\mathcal{S}} xy\), donde \(\mathcal{S}\) es la región acotada encerrada por la recta \(y=2x-2\) y la parábola \(2y^2=x+6\).
  5. \(\int_{\mathcal{S}} x^3 \), donde \(\mathcal{S}\) es la región encerrada por el triángulo con vértices \((1,1), (6,1)\) y \((4,8)\).
Video

Primero vamos a graficar la región \(S\) y obtener los puntos de intersección de las gráficas \(y = \mid x \mid \) y \(y = 6 - \mid x-3 \mid\). Entonces graficando obtenemos,

T

Ahora vamos a obtener los puntos de intersecci\'on \(A\) y \(B\). Tenemos que si \(x < 0\), entonces \(y = \mid x \mid = -x \) y si \(x < 3\), entonces \(y = 6 - \mid x-3 \mid = 6 - ( -( x-3 )) = 3 + x \). Esto implica, que si \(y = \mid x \mid = 6 - \mid x-3 \mid \) y \(x < 0\), entonces \(-x = 3 + x\), es decir \(x = -\frac{3}{2}\) y \( y = \frac{3}{2}\), lo cual implica que \(A = (-\frac{3}{2}, \frac{3}{2})\). Por otro lado, si \(0 < x \), entonces \(y = \mid x \mid = x \) y si \(3 < x\), entonces \(y = 6 - \mid x-3 \mid = 6 - ( x - 3 ) = 9 - x \). Esto implica, que si \(y = \mid x \mid = 6 - \mid x-3 \mid \) y \(3 < x\), entonces \(x = 9 - x\), es decir \(x = \frac{9}{2}\) y \(y = \frac{9}{2} \), lo cual implica que \(B =( \frac{9}{2}, \frac{9}{2})\).

Para calcular la integral \(\int_S 2x + y\) dividiremos la región \(S\) en tres subregiones \(R_1\), \(R_2\) y \(R_3\), tal que \(S = R_1 \cup R_2 \cup R_3\) como lo muestra la gráfica.

S

Tenemos que \begin{eqnarray*} R_1 & = & \left\lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x \in \left[-\frac{3}{2}, 0\right], -x \leq y \leq 3 + x \right\rbrace \\ R_2 & = & \left\lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x \in [0, 3], x \leq y \leq 3 + x \right\rbrace \\ R_3 & = & \left\lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x \in \left[3, \frac{9}{2}\right], x \leq y \leq 9 - x \right\rbrace \end{eqnarray*}

Es claro que \(S\) la estamos representando como una región de Tipo I. Adem\'as, \[ \int_S 2x + y dA = \int_{R_1} 2x + y dA + \int_{R_2} 2x + y dA + \int_{R_3} 2x + y dA \]

Entonces, \begin{eqnarray*} \int_{R_1} 2x + y dA & = & \int_{-\frac{3}{2}}^{0}\left(\int_{-x}^{3 + x}(2x + y)dy\right)dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{0} 2x(3 + 2x) + \frac{(3 + x)^{2} - x^{2}}{2} dx = \frac{9}{8} \\ \int_{R_2} 2x + y dA & = & \int_{0}^{3}\left(\int_{x}^{3 + x}(2x + y)dy\right)dx = \int_{0}^{3} 6x + \frac{(3 + x)^{2} - x^{2}}{2} dx = 54 \\ \int_{R_3} 2x + y dA & = & \int_{3}^{\frac{9}{2}}\left(\int_{x}^{9 - x}(2x + y)dy\right)dx = \int_{3}^{\frac{9}{2}}2x(9 - 2x) + \frac{(9 - x)^{2} - x^{2}}{2} dx = \frac{207}{8} \end{eqnarray*}

Por lo tanto, \[ \int_S 2x + y dA = \frac{9}{8} + 54 + \frac{207}{8} = 81 \]

Video

Area y volúmen

Podemos usar la integral para calcular areas y volúmenes.

De cálculo 2, sabemos que si tenemos dos funciones continuas \(f,g:[a,b]\to \mathbb{R}\) con la propiedad de que \(f\leq g\) entonces la integral \(\int_{a}^b (g(t)-f(t))dt\) representa el área entre las gráficas de \(f\) y \(g\). Si \(\mathcal{S}\) es la región de Tipo I determinada por \(f\) y \(g\) entonces tenemos, por el Teorema 1.13 que: \[ \int_{\mathcal{S}}1 = \int_a^b\left(\int_{f(x)}^{g(x)} 1 dy \right)dx = \int_a^b (g(t)-f(t))dt. \] Es decir, \(\int_{\mathcal{S}}1 = \textrm{Area}(\mathcal{S})\).

Por lo tanto, podemos definir el área de \(\mathcal{S}\) simplemente como \(\int_{\mathcal{S}}1\), SIEMPRE y CUANDO ésta última integral exista.

Con respecto al volumen, si iniciamos con una función integrable \(f:\mathcal{S}\to \mathbb{R}\), con la propiedad de que \(f\geq 0\), la gráfica de \(f\) está por arriba del plano \(xy\) y podemos considerar el volumen que está por debajo de la gráfica de \(f\). Si aproximamos este volumen por cajas por debajo de la gráfica y tomamos el supremo sobre la cantidad de cajas vemos que obtenemos la integral inferior de \(f\), la cual coincide con \(\int_{\mathcal{S}}f\), al ser \(f\) integrable.

T

Por lo tanto, podemos pensar a \(\int_{\mathcal{S}}f\) como el volumen que está por debajo de la gráfica de \(f\).

Ejercicio

Calcula el volumen del sólido encerrado por el elipsoide \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \]

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Ejercicio

Usando integración, calcula el volumen bajo la gráfica de las siguientes funciones sobre las regiones dadas.

  1. \(f(x,y)=2x^2+2y^2\), \(\mathcal{S}=\{(x,y): |x|\leq 1, |y|\leq 1 \}\).
  2. \(f(x,y)=5x-y\), \(\mathcal{S}=\{(x,y): 4x^2+9y^2\leq 36, x\geq 0, y\geq 0\}\).

Ejercicio

Usando consideraciones geométricas, como area, volumen y simetría, calcula las sigueintes integrales.

  1. \(\int_{\mathcal{S}} 3 +x \), donde \(\mathcal{S}=\{(x,y): -4 \leq x \leq 4, 0\leq y \leq \sqrt{16-x^2}\}\)
  2. \(\int_{\mathcal{S}} x^3+y^3+\sqrt{a^2-x^2}\), donde \(\mathcal{S}=[-a,a]\times [-a,a]\), y \(a\) es una constante positiva.
  3. \(\int_{\mathcal{S}}\sqrt{r^2-x^2-y^2} \), donde \(\mathcal{S}=\{(x,y): x^2+y^2 \leq r^2 \}\).
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Cambio en el orden de integración

El Teorema de Fubini nos asegura que, a sabiendas de que la función \(f:\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d] \to \mathbb{R}\) es integrable, \[ \int_{\mathcal{R}} f =\int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy\right)dx =\int_c^d \left(\int_a^b f(x,y)dx\right)dy \]

Lo interesante es que el orden en que se integra puede facilitar o complicar las cuentas de las integrales.

Por ejemplo, consideremos la integral \[ \int_0^1 \left( \int_x^1 2\cos(y^2)dy \right)dx. \] Si intentamos evaluar la integral iterada la primera integral es \(\int 2\cos(y^2)dy\), la cual no se puede poner en términos de funciones elementales. Necesitamos cambiar el orden de integración.

Primero encontramos la región \(\mathcal{S}\) la cual nos da la integral iterada \(\int_0^1 \left( \int_x^1 2\cos(y^2)dy \right)dx\). Usando los límites de integración proponemos \[ \mathcal{S}=\{(x,y): 0 \leq x \leq 1, \quad x \leq y \leq 1 \} \]

T
Por lo que, viendo a \(\mathcal{S}\) como una región de Tipo I, tenemos \[ \int_{\mathcal{S}} 2\cos(y^2)=\int_0^1 \left( \int_x^1 2\cos(y^2)dy \right)dx. \] Pero también podemos ver a \(\mathcal{S}\) como una región de Tipo II mediante \[ \mathcal{S}=\{(x,y): 0\leq y \leq 1, \quad 0 \leq x \leq y \}. \]
T
Es importante notar que para pasar de región Tipo I a región de Tipo II siempre hay que dibujar las regiones y a partir del dibujo hay que intercambiar los papeles de \(x\) e \(y\) para poder reescribir la región de otra forma.

Una ves que escribimos a \(\mathcal{S}\) como una región del Tipo II podemos escribir \[ \int_{\mathcal{S}}2\cos(y^2) = \int_0^1\left(\int_{0}^y 2\cos(y^2) dx\right)dy \]

Ahora sí, podemos hacer la cuenta: \begin{eqnarray*} \int_0^y 2\cos(y^2)dx=2\cos(y^2)\int_0^y 1 dx = 2y\cos(y^2) \end{eqnarray*} luego con un cambio de variable, \(u=y^2\) \[ \int_0^1 2y\cos(y^2)dy=\int_{0}^1 \cos(u)du=\sen(u) |_{0}^1=\sen(1) \] Por lo tanto, podemos concluir \[ \int_0^1 \left( \int_x^1 2\cos(y^2)dy \right)dx=\sen(1). \]

Ejercicio

En los siguientes ejercicios asume que \(f\) es una función no negativa definida sobre una región \(\mathcal{S}\) y continua. La integral \(\int_{\mathcal{S}}f\) se reduce a la integral iterada que se muestra. En cada caso haz un bosquejo de la región \(\mathcal{S}\) e intercambia los límites de integración.

  1. \(\int_0^1\left(\int_{y^2}^{2y} f(x,y) dx\right) dy\).
  2. \(\int_{-1}^{1} \left( \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{1-x^2} f(x,y) dy\right)dx \).
  3. \(\int_{1}^{e} \left( \int_{0}^{\log(x)}f(x,y)dy \right) dx \).
  4. \(\int_{0}^{4} \left( \int_{-\sqrt{4-y}}^{(y-4)/2} f(x,y) dx\right) dy\).

Primero vamos a determinar y después a graficar la región \(S\) de la integral iterada \(\int_0^1\left(\int_{y^{2}}^{2y}f(x,y)dx\right)dy\).

Tenemos que \[ S = \lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : y \in [0, 1], y^{2} \leq x \leq 2y \rbrace \] es claro que \(S\) representada de esta manera es una región de Tipo II y de manera gr\'afica tenemos

U

Ahora procederemos a cambiar los límites de integración. Podemos dividir a la región \(S\) en dos subregiones \(S_1\) y \(S_2\) como lo muestra la imagen

V

Tenemos que \begin{eqnarray*} S_1 & = & \left\lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x \in [0, 1], \frac{x}{2} \leq y \leq \sqrt{x} \right\rbrace \\ S_2 & = & \left\lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x \in [1, 2], \frac{x}{2} \leq y \leq 1 \right\rbrace \end{eqnarray*}

Por lo tanto, \[ \int_0^1\left(\int_{y^{2}}^{2y}f(x,y)dx\right)dy = \int_{S_1} f + \int_{S_2} f \] donde \[ \int_{S_1} f = \int_0^1\left(\int_{\frac{x}{2}}^{\sqrt{x}}f(x,y) dy\right)dx \hspace{0.5cm} \text{ y} \hspace{0.5cm} \int_{S_2} f = \int_1^2\left(\int_{\frac{x}{2}}^{1}f(x,y) dy\right)dx \]

Por lo tanto, \[ \int_0^1\left(\int_{y^{2}}^{2y}f(x,y)dx\right)dy = \int_0^1\left(\int_{\frac{x}{2}}^{\sqrt{x}}f(x,y) dy\right)dx + \int_1^2\left(\int_{\frac{x}{2}}^{1}f(x,y) dy\right)dx \]

Ejercicio

Revierte el orden de integración para evaluar la integral.

  1. \(\int_0^{\pi/2}\int_x^{\pi/2} \frac{\sen(y)}{y}dydx\)

  2. \(\int_0^4 \int_{\sqrt{x}}^2 \frac{1}{y^3+1}dydx\)

  3. \(\int_0^1\int_{arcsin(y)}^{\pi/2}\cos(x)\sqrt{1+\cos^2(x)}dxdy\)

  4. \(\int_0^8 \int_{\sqrt[3]{y}}^2 e^{x^4}dxdy\)

  5. \(\int_{0}^1\int_x^1e^{x/y}dydx\)

Ejercicio

Revierte el orden de integración para probar \[ \int_{0}^a \left( \int_0^y e^{m(a-x)}f(x)dx \right)dy =\int_0^a (a-x)e^{m(a-x)}f(x)dx \] donde \(m,a>0\) son constantes.