El teorema de Fubini
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times[c,d]\) y \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función acotada y Riemann integrable sobre \(\mathcal{R}\). Entonces
Un resultado similar es válido intercambiando los papeles de \(x\) e \(y\): para casi toda \(x\in [a,b],\) la integral \(B(x):=\int_c^d f(x,y)dy\) existe, la función \(B(x)\) es integrable y \[ \int_\mathcal{R}f = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y)dy \right)dx. \]
Vamos a dar demostración parcial de éste teorema. Es parcial pues vamos a asumir lo siguiente:
Para iniciar sea \(P\times Q=\{(x_i,y_j)\}_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq m}\) una partición arbitraria de \(\mathcal{R}\). Con ésta notación denotamos \(R_{i,j}=[x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1},y_j]\) y notamos que, de la definición de \(m_{i,j}(f)\) y \(M_{i,j}(f)\), tenemos que \[ \sum_{i,j}m_{i,j}(f)\chi_{R_{i,j}}(x,y) \leq f(x,y) \leq \sum_{i,j}M_{i,j}(f)\chi_{R_{i,j}}(x,y) \] para todo \((x,y)\in \mathcal{R}\) excepto en las orillas de los \(R_{i,j}\), pues en las orillas pueden haber traslapes. Entonces podemos decir que las desigualdades anteriores se valen excepto en un conjunto de contenido cero. Por lo tanto podemos usar monotonía: fijamos \(y\in [c,d]\) e integramos con respecto a \(x\) para obtener \begin{eqnarray*} \int_a^b\left(\sum_{i,j}m_{i,j}(f)\chi_{R_{i,j}}(x,y) \right)dx &\leq& \int_a^b f(x,y)dx \\ & \leq & \int_a^b\left(\sum_{i,j}M_{i,j}(f)\chi_{R_{i,j}}(x,y) \right) dx \end{eqnarray*} y por linealidad se puede reescribir como \begin{eqnarray*} \sum_{i,j}m_{i,j}(f)\int_a^b\chi_{R_{i,j}}(x,y) dx &\leq& \int_a^b f(x,y)dx \\ & \leq & \sum_{i,j}M_{i,j}(f)\int_a^b\chi_{R_{i,j}}(x,y) dx \end{eqnarray*} Nota: en esta parte es dónde hacemos uso de la suposición de que la integral \(\int_a^b f(x,y)dx\) existe para toda \(y\).
Ahora analizamos la integral \(\int_a^b \chi_{R_{i,j}}(x,y)dx\). El integrando \(\chi_{R_{i,j}}(x,y)\) sólo toma dos valores: 0 y 1.
Notamos que si \(y\notin [y_{j-1},y_j]\) entonces \(\chi_{R_{i,j}}(x,y)=0\) para todo \(x\) y entonces \[ \int_a^b \chi_{R_{i,j}}(x,y)dx=0. \]
Por otro lado si \(y\in [y_{j-1},y_j]\) entonces \(\chi_{R_{i,j}}(x,y)=1\) si y sólo si \(x\in [x_{i-1}, x_i]\) y entonces \[ \int_a^b \chi_{R_{i,j}}(x,y)dx=\int_{x_{i-1}}^{x_i} dx =x_i-x_{i-1} \]
Juntando éstos dos casos llegamos a la fórmula \[ \int_a^b \chi_{R_{i,j}}(x,y)dx =\Delta_ix \chi_{[y_{j-1},y_j]}(y) \]
Entonces podemos reescribir las desigualdades anteriores como \begin{eqnarray*} \sum_{i,j}m_{i,j}(f)\Delta_i x \chi_{[y_{j-1},y_j]}(y) &\leq& A(y) \\ & \leq & \sum_{i,j}M_{i,j}(f)\Delta_i x \chi_{[y_{j-1},y_j]}(y) \end{eqnarray*}
Como \(y\in [c,d]\) es arbitraria podemos integrar con respecto a \(y\) para obtener \begin{eqnarray*} \int_c^d \left( \sum_{i,j}m_{i,j}(f)\Delta_i x \chi_{[y_{j-1},y_j]}(y) \right)dy &\leq& \int_c^d A(y)dy \\ & \leq & \int_c^d \left( \sum_{i,j}M_{i,j}(f)\Delta_i x \chi_{[y_{j-1},y_j]}(y) \right)dy \end{eqnarray*} y por linealidad llegamos a \begin{eqnarray*} \sum_{i,j}m_{i,j}(f)\Delta_i x \int_c^d \chi_{[y_{j-1},y_j]}(y) dy &\leq& \int_c^d A(y)dy \\ & \leq & \sum_{i,j}M_{i,j}(f)\Delta_i x \int_c^d \chi_{[y_{j-1},y_j]}(y)dy \end{eqnarray*} y usando que \(\int_c^d \chi_{[y_{j-1},y_j]}(y)dy=y_j-y_{j-1}=\Delta_jy\) podemos reescribir las desigualdades anteriores como \begin{eqnarray*} \sum_{i,j}m_{i,j}(f)\Delta_i x \Delta_j y \leq \int_c^d A(y)dy \leq \sum_{i,j}M_{i,j}(f)\Delta_i x \Delta_j y \end{eqnarray*}
Reescribiendo las desigualdades anteriores en términos de sumas inferiores y superiores como \begin{eqnarray*} \underline{S}(f,P\times Q) \leq \int_c^d A(y)dy \leq \overline{S}(f,P\times Q). \end{eqnarray*} Si ahora recordamos que \(P\times Q\) es una partición arbitraria de \(\mathcal{R}\) y tomamos supremo e ínfirmo sobre las particiones \(P\times Q\) obtenemos que \[ \underline{\int}_{\mathcal{R}} f \leq \int_c^d A(y)dy \leq \overline{\int}_{\mathcal{R}}f \] pero \(f\) es Riemann-integrable por lo que \(\underline{\int}_{\mathcal{R}} f=\overline{\int}_{\mathcal{R}} f=\int_{\mathcal{R}}f\) por lo que concluimos \[ \int_{\mathcal{R}} f = \int_c^d A(y)dy= \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y)dx\right)dy \]
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times[c,d]\) y \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función continua. Entonces \(f\) es integrable y \[ \int_{\mathcal{R}}f(x,y)dA=\int_a^b \int_c^d f(x,y)dydx=\int_c^d \int_a^b f(x,y)dxdy \]
Calcula la integral \[\int_{\mathcal{R}} \sqrt{x+y}\] donde \(\mathcal{R}=[0,1]\times [0,4]\).
Por el Teorema 12.20 tenemos que \begin{eqnarray*} \int_{R}\sqrt{x + y} & = & \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{4}\sqrt{x + y} dy\right)dx \\ & = & \int_{0}^{1} \frac{2}{3}\left((x + 4)^{\frac{3}{2}} -x^{\frac{3}{2}}\right) dx \\ & = & \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{5}\left((x + 4)^{\frac{5}{2}} - x^{\frac{5}{2}}\right)\mid_{0}^{1} \\ & = & \frac{4}{15}\left(5^{\frac{5}{2}} - 33\right) \end{eqnarray*}
Sea \(A\subseteq \mathbb{R}^2\) un subconjunto acotado y sea \(f:A\to \mathbb{R}\) una función acotada.
Decimos que \(f\) es Riemann-integrable en \(A\) sii existe un rectángulo \(\mathcal{R}\) tal que \(A\subseteq \mathcal{R}\) y tal que la siguiente función \[ \tilde{f}(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} f(x,y) & (x,y)\in A \\ 0. & (x,y)\in \mathcal{R}\setminus A \end{array} \right. \] es Riemann-integrable en \(\mathcal{R}\).
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función acotada.
Si el conjunto de discontinuidades de \(f\) es Jordan medible y tiene contenido cero entonces \(f\) es Riemann-integrable en \(\mathcal{R}\).
Sea \(A\subset \mathbb{R}^2\) un subconjunto acotado con interior no vacío cuya frontera tiene contenido cero (es decir, Jordan medible). Si \(f:A\to \mathbb{R}\) es acotada y continua en el interior de \(A\) entonces \(f\) es Riemann-integrable.
Consideremos dos funciones \(g_1,g_2:[a,b]\to \mathbb{R}\) con la propiedad de que \(g_1(t)\leq g_2(t)\), para toda \(t\in [a,b]\). Para dichas funciones definimos la región de Tipo I: \[ \mathcal{S}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x\in [a,b], g_1(x)\leq y \leq g_2(x)\}. \]
De manera similar, si tenemos dos funciones \(h_1,h_2:[c,d]\to \mathbb{R}\) con la propiedad de que \(h_1(t)\leq h_2(t)\), para toda \(t\in [c,d]\), definimos la región de Tipo II: \[ \mathcal{S}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y\in [c,d], h_1(x)\leq y \leq h_2(x)\}. \]
Sean \(g_1,g_2:[a,b]\to \mathbb{R}\) dos funciones continuas en todo \([a,b]\) con la propiedad de que \(g_1(t)\leq g_2(t)\), para toda \(t\in [a,b]\). Considera la región de Tipo I \[ \mathcal{S}=\{(x,y): x\in [a,b], g_1(x)\leq y \leq g_2(x)\}. \]
Sea \(f:\mathcal{S} \to \mathbb{R}\) una función y supongamos que \(f\) es continua en \(\mathcal{S}\).
Entonces \(f\) es integrable sobre \(\mathcal{S}\) y la integral se puede calcular como la integral iterada: \[ \int_{\mathcal{S}}f = \int_a^b \left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dy \right)dx. \]
Sea \(\mathcal{R}\) el medio anillo centrado en el origen con radio interior 1 y radio exterior 2.
Calculo \(\int_{\mathcal{R}}y\)
La región \(\mathcal{R}\) se puede representar como una región de Tipo I \[ \mathcal{R}=\{(x,y): -2\leq x \leq 2, g_1(x)\leq y \leq g_2(x)\} \] donde \[ g_1(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 0 & -2\leq x \leq -1\\ -\sqrt{1-x^2} & -1\leq x \leq 1 \\ 0 & 1\leq x \leq 2\\ \end{array} \right. \] y \[ g_2(x)=\left\{ \begin{array}{cc} \sqrt{4-x^2} & -2\leq x \leq 2 \end{array} \right. \]
Entonces por el Teorema 1.6 tenemos que \begin{eqnarray*} \int_{\mathcal{R}}y &=& \int_{-2}^{2}\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}y dy\right)dx \\ &=& \int_{-2}^2 \int_{g_1(x)}^{g_2(x)}y dy dx \\ &=& \int_{-2}^2 \frac{1}{2}\left(g_2(x)^2 - g_1(x)^2\right) dx \\ &=&\frac{1}{2}\int_{-2}^2 g_2(x)^2 dx - \frac{1}{2}\int_{-1}^1 g_1(x)^2 dx \\ &=& \frac{1}{2}\int_{-2}^2 (4-x^2) dx - \frac{1}{2}\int_{-1}^1 (1-x^2) dx \\ &=& \frac{1}{2}\left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \frac{1}{2}\left( 2 - \frac{2}{3} \right) = 2 \end{eqnarray*}
Hay un resultado similar al Teorema anterior para regiones de Tipo II.
Sean \(h_1,h_2:[c,d]\to \mathbb{R}\) dos funciones continuas en todo \([c,d]\) con la propiedad de que \(h_1(t)\leq h_2(t)\), para toda \(t\in [c,d]\). Considera la región de Tipo II \[ \mathcal{S}=\{(x,y): y\in [c,d], h_1(y)\leq x \leq h_2(y)\}. \]
Sea \(f:\mathcal{S} \to \mathbb{R}\) una función acotada y supongamos que \(f\) es continua en \(\mathcal{S}\).
Entonces \(f\) es integrable y la integral se puede calcular como la integral iterada: \[ \int_{\mathcal{S}}f = \int_c^d \left(\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)dx \right)dy. \]
Sean \(\mathcal{S}_1, \mathcal{S}_2 \subseteq \mathbb{R}^2\) dos subconjuntos Jordan-medibles y tal que la intersección \(\mathcal{S}_1\cap \mathcal{S}_2\) tiene contenido cero. Si la función \(f\) es integrable sobre \(\mathcal{S}_1\) y \(\mathcal{S}_2\) entonces es integrable sobre \(\mathcal{S}_1\cup \mathcal{S}_2\) y además \[ \int_{\mathcal{S}_1 \cup \mathcal{S}_2}f = \int_{\mathcal{S}_1}f +\int_{\mathcal{S}_2}f \]
En ciertas ocaciones, la región \(\mathcal{S}\) no es una región del Tipo I o II, pero se puede expresar como la unión de dichas regiones de tal forma que la intersección de los uniendos tiene contenido cero.
Por ejemplo en el caso de un anillo \[ \mathcal{S}=\{(x,y): r\leq x^2+y^2 \leq R\} \] tenemos que \(\mathcal{S}=\mathcal{S}_1\cup \mathcal{S}_2\), donde \[ \mathcal{S}_1=\{(x,y): -R \leq x \leq R, g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}, \] \[ \mathcal{S}_2=\{(x,y): -R\leq x \leq R, -g_2(x) \leq y \leq -g_1(x)\}, \] y las funciones \(g_1, g_2:[-R,R]\to \mathbb{R}\) están dadas por \[ g_1(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 0 & -R \leq x \leq -r \\ \sqrt{r^2-x^2} & -r \leq x \leq r \\ 0 & r \leq x \leq R \end{array} \right. \] \[ g_2(x)=\sqrt{R^2-x^2}. \]
En casos como estos, usando la aditividad con respcto a regiones (teorema anterior) tenemos que: \[ \int_{\mathcal{S}} f = \int_{\mathcal{S}_1}f + \int_{\mathcal{S}_2} f. \] Es muy importante enfatizar que, para que la ecuación anterior sea válida, la intersección entre las partes \(\mathcal{S}_1\) y \(\mathcal{S}_2\) debe ser de contenido cero.
Podemos usar la integral para calcular areas y volúmenes.
De cálculo 2, sabemos que si tenemos dos funciones continuas \(f,g:[a,b]\to \mathbb{R}\) con la propiedad de que \(f\leq g\) entonces la integral \(\int_{a}^b (g(t)-f(t))dt\) representa el área entre las gráficas de \(f\) y \(g\). Si \(\mathcal{S}\) es la región de Tipo I determinada por \(f\) y \(g\) entonces tenemos, por el Teorema 1.13 que: \[ \int_{\mathcal{S}}1 = \int_a^b\left(\int_{f(x)}^{g(x)} 1 dy \right)dx = \int_a^b (g(t)-f(t))dt. \] Es decir, \(\int_{\mathcal{S}}1 = \textrm{Area}(\mathcal{S})\).
Por lo tanto, podemos definir el área de \(\mathcal{S}\) simplemente como \(\int_{\mathcal{S}}1\), SIEMPRE y CUANDO ésta última integral exista.
Con respecto al volumen, si iniciamos con una función integrable \(f:\mathcal{S}\to \mathbb{R}\), con la propiedad de que \(f\geq 0\), la gráfica de \(f\) está por arriba del plano \(xy\) y podemos considerar el volumen que está por debajo de la gráfica de \(f\). Si aproximamos este volumen por cajas por debajo de la gráfica y tomamos el supremo sobre la cantidad de cajas vemos que obtenemos la integral inferior de \(f\), la cual coincide con \(\int_{\mathcal{S}}f\), al ser \(f\) integrable.
Por lo tanto, podemos pensar a \(\int_{\mathcal{S}}f\) como el volumen que está por debajo de la gráfica de \(f\).
El Teorema de Fubini nos asegura que, a sabiendas de que la función \(f:\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d] \to \mathbb{R}\) es integrable, \[ \int_{\mathcal{R}} f =\int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy\right)dx =\int_c^d \left(\int_a^b f(x,y)dx\right)dy \]
Lo interesante es que el orden en que se integra puede facilitar o complicar las cuentas de las integrales.
Por ejemplo, consideremos la integral \[ \int_0^1 \left( \int_x^1 2\cos(y^2)dy \right)dx. \] Si intentamos evaluar la integral iterada la primera integral es \(\int 2\cos(y^2)dy\), la cual no se puede poner en términos de funciones elementales. Necesitamos cambiar el orden de integración.
Primero encontramos la región \(\mathcal{S}\) la cual nos da la integral iterada \(\int_0^1 \left( \int_x^1 2\cos(y^2)dy \right)dx\). Usando los límites de integración proponemos \[ \mathcal{S}=\{(x,y): 0 \leq x \leq 1, \quad x \leq y \leq 1 \} \]
Una ves que escribimos a \(\mathcal{S}\) como una región del Tipo II podemos escribir \[ \int_{\mathcal{S}}2\cos(y^2) = \int_0^1\left(\int_{0}^y 2\cos(y^2) dx\right)dy \]
Ahora sí, podemos hacer la cuenta: \begin{eqnarray*} \int_0^y 2\cos(y^2)dx=2\cos(y^2)\int_0^y 1 dx = 2y\cos(y^2) \end{eqnarray*} luego con un cambio de variable, \(u=y^2\) \[ \int_0^1 2y\cos(y^2)dy=\int_{0}^1 \cos(u)du=\sen(u) |_{0}^1=\sen(1) \] Por lo tanto, podemos concluir \[ \int_0^1 \left( \int_x^1 2\cos(y^2)dy \right)dx=\sen(1). \]
Para cada una de las siguientes funciones y rectángulos calcula \(\int_\mathcal{R}fdA\). Puedes suponer que todas las funciones que se presentan son integrables.
Calcula la integrales de las siguientes funciones. Puedes suponer que todas las funciones que aparecen son integrables.
Calcula la integrales de las siguientes funciones. Puedes suponer que todas las funciones que aparecen son integrables.
Sean \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\), \(g:[c,d]\to \mathbb{R}\) dos funciones continuas, denota \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y define \(h:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) por \(h(x,y)=f(x)g(y)\).
Expresa la integral \(\int_{\mathcal{R}} h(x,y)\) en términos de las integrales de \(f\) y de \(g\).
Calcula la integrales de las siguientes funciones.
Nota: este ejercicio muestra que el orden de integración puede ayudar a calcular una integral.
Calcula los siguientes volúmenes.
Utilizando la interpretación de la integral como volumen bajo la gráfica, calcula la integrales de las siguientes funciones. Recuerda que \(\lfloor x \rfloor\) denota el mayor entero menor o igual a \(x\).
Sugerencia: si \(\mathcal{R}\) es un polígono en el plano y \(f\) es igual a una constante \(c\) sobre \(\mathcal{R}\) entonces \(\int_{\mathcal{R}}fdA=c * \textrm{área}(\mathcal{R})\)
Calcula las siguientes integrales.
Nota: determina cómo expresar las regiones dadas en términos de regiones Tipo I, Tipo II o uniones de dichas regiones.
Primero vamos a graficar la región \(S\) y obtener los puntos de intersección de las gráficas \(y = \mid x \mid \) y \(y = 6 - \mid x-3 \mid\). Entonces graficando obtenemos,
Ahora vamos a obtener los puntos de intersección \(A\) y \(B\). Tenemos que si \(x < 0\), entonces \(y = \mid x \mid = -x \) y si \(x < 3\), entonces \(y = 6 - \mid x-3 \mid = 6 - ( -( x-3 )) = 3 + x \). Esto implica, que si \(y = \mid x \mid = 6 - \mid x-3 \mid \) y \(x < 0\), entonces \(-x = 3 + x\), es decir \(x = -\frac{3}{2}\) y \( y = \frac{3}{2}\), lo cual implica que \(A = (-\frac{3}{2}, \frac{3}{2})\). Por otro lado, si \(0 < x \), entonces \(y = \mid x \mid = x \) y si \(3 < x\), entonces \(y = 6 - \mid x-3 \mid = 6 - ( x - 3 ) = 9 - x \). Esto implica, que si \(y = \mid x \mid = 6 - \mid x-3 \mid \) y \(3 < x\), entonces \(x = 9 - x\), es decir \(x = \frac{9}{2}\) y \(y = \frac{9}{2} \), lo cual implica que \(B =( \frac{9}{2}, \frac{9}{2})\).
Para calcular la integral \(\int_S 2x + y\) dividiremos la región \(S\) en tres subregiones \(R_1\), \(R_2\) y \(R_3\), tal que \(S = R_1 \cup R_2 \cup R_3\) como lo muestra la gráfica.
Tenemos que \begin{eqnarray*} R_1 & = & \left\lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x \in \left[-\frac{3}{2}, 0\right], -x \leq y \leq 3 + x \right\rbrace \\ R_2 & = & \left\lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x \in [0, 3], x \leq y \leq 3 + x \right\rbrace \\ R_3 & = & \left\lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x \in \left[3, \frac{9}{2}\right], x \leq y \leq 9 - x \right\rbrace \end{eqnarray*}
Es claro que \(S\) la estamos representando como una región de Tipo I. Además, \[ \int_S 2x + y dA = \int_{R_1} 2x + y dA + \int_{R_2} 2x + y dA + \int_{R_3} 2x + y dA \]
Entonces, \begin{eqnarray*} \int_{R_1} 2x + y dA & = & \int_{-\frac{3}{2}}^{0}\left(\int_{-x}^{3 + x}(2x + y)dy\right)dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{0} 2x(3 + 2x) + \frac{(3 + x)^{2} - x^{2}}{2} dx = \frac{9}{8} \\ \int_{R_2} 2x + y dA & = & \int_{0}^{3}\left(\int_{x}^{3 + x}(2x + y)dy\right)dx = \int_{0}^{3} 6x + \frac{(3 + x)^{2} - x^{2}}{2} dx = 54 \\ \int_{R_3} 2x + y dA & = & \int_{3}^{\frac{9}{2}}\left(\int_{x}^{9 - x}(2x + y)dy\right)dx = \int_{3}^{\frac{9}{2}}2x(9 - 2x) + \frac{(9 - x)^{2} - x^{2}}{2} dx = \frac{207}{8} \end{eqnarray*}
Por lo tanto, \[ \int_S 2x + y dA = \frac{9}{8} + 54 + \frac{207}{8} = 81 \]
Calcula el volumen del sólido encerrado por el elipsoide \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \]
Usando integración, calcula el volumen bajo la gráfica de las siguientes funciones sobre las regiones dadas.
Usando consideraciones geométricas, como area, volumen y simetría, calcula las sigueintes integrales.
En los siguientes ejercicios asume que \(f\) es una función no negativa definida sobre una región \(\mathcal{S}\) y continua. La integral \(\int_{\mathcal{S}}f\) se reduce a la integral iterada que se muestra. En cada caso haz un bosquejo de la región \(\mathcal{S}\) e intercambia los límites de integración.
Primero vamos a determinar y después a graficar la región \(S\) de la integral iterada \(\int_0^1\left(\int_{y^{2}}^{2y}f(x,y)dx\right)dy\).
Tenemos que \[ S = \lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : y \in [0, 1], y^{2} \leq x \leq 2y \rbrace \] es claro que \(S\) representada de esta manera es una región de Tipo II y de manera gráfica tenemos
Ahora procederemos a cambiar los límites de integración. Podemos dividir a la región \(S\) en dos subregiones \(S_1\) y \(S_2\) como lo muestra la imagen
Tenemos que \begin{eqnarray*} S_1 & = & \left\lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x \in [0, 1], \frac{x}{2} \leq y \leq \sqrt{x} \right\rbrace \\ S_2 & = & \left\lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x \in [1, 2], \frac{x}{2} \leq y \leq 1 \right\rbrace \end{eqnarray*}
Por lo tanto, \[ \int_0^1\left(\int_{y^{2}}^{2y}f(x,y)dx\right)dy = \int_{S_1} f + \int_{S_2} f \] donde \[ \int_{S_1} f = \int_0^1\left(\int_{\frac{x}{2}}^{\sqrt{x}}f(x,y) dy\right)dx \hspace{0.5cm} \text{ y} \hspace{0.5cm} \int_{S_2} f = \int_1^2\left(\int_{\frac{x}{2}}^{1}f(x,y) dy\right)dx \]
Por lo tanto, \[ \int_0^1\left(\int_{y^{2}}^{2y}f(x,y)dx\right)dy = \int_0^1\left(\int_{\frac{x}{2}}^{\sqrt{x}}f(x,y) dy\right)dx + \int_1^2\left(\int_{\frac{x}{2}}^{1}f(x,y) dy\right)dx \]
Revierte el orden de integración para evaluar la integral.
Revierte el orden de integración para probar \[ \int_{0}^a \left( \int_0^y e^{m(a-x)}f(x)dx \right)dy =\int_0^a (a-x)e^{m(a-x)}f(x)dx \] donde \(m,a>0\) son constantes.