Para introducir las 2-formas constantes vamos a proceder de manera muy similar a cuando se presentaron las 1-formas constantes. No vamos a decir qué son si no lo que hacen.
De manera intuitiva una 2-forma actua sobre objetos dos dimensionales asignandoles un número real. Esta asignación no es arbitraria si no que se busca sea compatible con los objetos 2-dimensionales. Copiando el caso de las 1-formas constantes:
Para iniciar debemos especificar qué es lo que entendemos por objetos 2-dimensionales. En esta primera parte sólo se van a considerar objetos 2-dimensionales muy sencillos, los triángulos orientados.
Un triángulo orientado en \(\mathbb{R}^n\) es simplemente una triada de puntos \(P,Q,R\in \mathbb{R}^n\) con un orden especificado. Por \(\triangle(P,Q,R)\) denotamos el tríangulo con vértices \(P,Q,R\) y con la orientación que surge al recorrer los puntos leídos de izquierda a derecha, en la notación anterior se inicia en \(P\), luego se viaja a \(Q\), después hacia \(R\) para terminar el ciclo en \(P\). Los aspectos más importantes de un triángulo dirigido son: (1) los vértices; (2) la orientación. En otras palabras, dos triángulos orientados son iguales si y sólo si tienen los mismos vértices y la misma orientación.
Si usamos la notación del \(\triangle\) y pensamos los puntos en \(\mathbb{R}^2\) tenemos \begin{equation}\label{Eqn:clasePositiva} \triangle(P,Q,R)=\triangle(Q,R,P)=\triangle(R,P,Q) \end{equation} y \begin{equation}\label{Eqn:claseNegativa} \triangle(Q,P,R)=\triangle(P,R,Q)=\triangle(R,Q,P) \end{equation} Note que tenemos un total de \(3!=6\) posibles permutaciones de los vértices \(P,Q,R\), todas las cuales están enumeradas arriba.
Por lo tanto, dados tres puntos en \(\mathbb{R}^2\), el triángulo que ellos determinan sólo admite dos orientaciones: en contra de las manecillas del reloj y con la misma dirección que las manecillas del reloj.
Para definir formalmente la orientación de un triángulo con vértices \(P,Q,R\) se procede de la siguiente manera. Considera \(S(\{P,Q,R\})\), el conjunto de permutaciones de los puntos \(\{P,Q,R\}\). Es decir, \(\sigma \in S(\{P,Q,R\})\) si y sólo si la función \(\sigma: \{P,Q,R\} \to \{P,Q,R\}\) es biyectiva.
Intuitivamente cada \(\sigma\) representa una forma de recorrer los vértices \(P,Q,R\): \(\sigma(P)\) es el primer vértice, \(\sigma(Q)\) es el segundo y \(\sigma(R)\) es el tercero. Si el signo de la permutación sigma es positivo entonces el triángulo dirigido inducido por la \(\sigma\) tiene orientación positiva y si tiene signo negativo entonces el triángulo tiene orientación negativa.
Por ejemplo, la permutación \(\sigma(P)=P,\sigma(Q)=Q\) y \(\sigma(R)=R\) tiene signo positivo, la permuatación \(\rho(P)=Q, \rho(Q)=P, \rho(R)=R\) tiene signo negativo, por lo tanto los triángulos orientados \[ \triangle(\sigma(P),\sigma(Q), \sigma(R))=\triangle(P,Q,R) \] y \[ \triangle(\rho(P),\rho(Q), \rho(R))=\triangle(Q,P,R) \] tienen orientaciones contrarias, la primera positiva y la segunda negativa.
Notar que todos los triángulos que aparecen en \eqref{Eqn:clasePositiva} vienen de permutaciones con signo positivo y todos los de \eqref{Eqn:claseNegativa} vienen de permutaciones con signo negativo.
Es muy importante notar que ésta definición ya no se basa en la intuición geométrica que uno tiene en \(\mathbb{R}^2\). Los puntos pueden estar en cualquier \(\mathbb{R}^n\) y la orientación surge de los signos de las permutaciones de los vértices.
La aditividad en objetos 2-dimensionales requiere más detalles que con los 1-dimensionales. Para una 1-forma constante \(\omega\) la aditividad significa \[ \int_{\seg{PQ}}\omega+\int_{\seg{QR}}\omega=\int_{\seg{PR}}\omega \] intuitivamente sumamos el segmento \(\seg{PQ}\) con el \(\seg{QR}\) uniendolos por el punto en común \(Q\).
Para dos triángulos dirigidos la manera de sumarlos o unirlos será a lo largo de los lados. Pero un punto importante es que la orientación del resultado debe ser compatible con el todo.
Una imagen vale más que mil palabras y un video aún más, así que se explica la adivitidad en el link de abajo.
Una 2-forma constante en \(\mathbb{R}^n\), denotada por \(\omega\), es un objeto el cual asigna números reales a triángulos dirigidos de \(\mathbb{R}^n\) \[ \triangle(P,Q,R) \mapsto \int_{\triangle(P,Q,R)}\omega \] Esta asignación será denotada por \(\int_{\triangle}\omega\) y se llama la integral de \(\omega\) sobre el triángulo \(\triangle(P,Q,R)\). Además la integral debe de satisfacer las siguientes reglas:
Area orientada.
Para los triángulos orientados en \(\mathbb{R}^2\) definimos una 2-forma que actua de la siguiente manera \begin{eqnarray*} \int_{\triangle}\omega= \left\{ \begin{array}{cc} \textrm{Area} (\triangle) & \textrm{si \(\triangle\) tiene orientación positiva} \\ -\textrm{Area}(\triangle) & \textrm{si \(\triangle\) tiene orientación negativa} \end{array} \right. \end{eqnarray*}
Prueba que esta asignación satisface todas las propiedades en la Definición 11.5.
Sugerencia: puedes usar que para \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \mathbb{R}^2 \) \[ \frac{1}{2}\left| \det \left[ \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{array} \right] \right| \] es igual al area del triánglo con vértices \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\) y el origen.
Considera los puntos en \(\mathbb{R}^2\), \(P,Q,P+S,Q+S\).
Supongamos que \(\omega\) es una 2-forma constante en \(\mathbb{R}^2\). Usando la propiedad de la aditividad de la integral prueba que \[ \int_{\triangle(P,Q,P+S)}\omega+ \int_{\triangle(Q,Q+S,P+S)}\omega = \int_{\triangle(P,Q,Q+S)}\omega+\int_{\triangle(Q+S,P+S,P)}\omega \]
Sugerencia: utiliza sumas de triángulos dirigidos para escribir ambos lados de la igualdad anterior como la suma de integrales sobre cuatro triángulos dirigidos.
En el ejercicio anterior nota que podemos considerar los puntos \(P,Q,P+S,Q+S\) como los vértices de un paralelogramo. Al igual que con los triángulos, podemos asignar un orden a sus vértices para obtener una orientación. Para fijar ideas vamos a asignarle la orientación positiva.
Utilizando triángulos orientados el paralelogramo puede descomponerse de dos maneras distintas: \[ \triangle(P,Q,P+S), \quad \triangle(Q,Q+S,P+S) \] y \[ \triangle(P,Q,Q+S), \quad \triangle(Q+S,P+S,P). \] Si por \(\square(P,Q,Q+S,P+S)\) denotamos al paralelogramo definimos \[ \int_{\square(P,Q,Q+S,P+S)}\omega=\int_{\triangle_1}\omega +\int_{\triangle_2}\omega \] donde \(\triangle_1\) y \(\triangle_2\) son cualesquiera triángulos orientados cuya suma da \(\square(P,Q,Q+S,P+S)\). El ejercicio anterior muestra que está definición NO depende de la descomposición que demos.
Supon que \(\omega\) es una 2-forma constante en \(\mathbb{R}^2\).
Considera \(\omega\) una 2-forma constante en \(\mathbb{R}^2\).
Fija un triángulo dirigido \(\triangle(P,Q,R)\) y por \(L\) denota a la recta que pasa por \(R\) paralela al segmento \(\seg{PQ}\).
Prueba que, para toda \(R' \in L\): \[ \int_{\triangle(P,Q,R)}\omega = \int_{\triangle(P,Q,R')}\omega. \]
El Ejercicio 11.11 es el análogo al Ejercicio 10.10. Si precediéramos de la misma manera que con 1-formas constantes el siguiente paso sería definir 1-formas constantes que además sean continuas, análogo al Ejercicio 10.13. Con esta nueva propiedad la función \(\varphi\) del ejercicio Ejercicio 11.11 además debe de satisfacer \[ \varphi(cQ,R)=c\varphi(Q,R), \quad \varphi(Q,cR)=c\varphi(Q,R) \] para todos \(Q,R\in \mathbb{R}^n\), \(c\in \mathbb{R}\).
Para avanzar rápido, nos vamos a saltar esta parte pero la vamos a utilizar de motivación para la siguiente definición.
Una función \(\varphi:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) se llama bilineal si satisface que para todos los vectores \(Q,R\in \mathbb{R}^n\) y escalares \(c,d\in \mathbb{R}\),
Nota que el nombre de bilineal viene por que, si fijamos una de las variables de la \(\varphi\) la función resultante es lineal.
Considera la función \(\varphi:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) dada por \[ \varphi(P,Q)=\det[P,Q] \] donde \([P,Q]\) denota la matriz de \(2\times 2\) que se obtiene al poner \(P\) y \(Q\) como vectores columna.
Prueba que \(\varphi\) es una función bilineal alternante.
Una 2-forma constante en \(\mathbb{R}^n\), denotada \(\omega\), es simplemente una función bilineal alternante \(\varphi:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\).
Para un triángulo orientado se define la integral de \(\omega\) sobre el triángulo como: \begin{equation}\label{Def:integral2FConstante} \int_{\triangle(P,Q,R)}\omega =\varphi(Q-P,R-P) \end{equation}
Nota: formalmente, \(\omega=\varphi\), pero queremos tratarlas de manera diferente pues para 2-formas no constantes esta distinción será importante.
En este ejercicio se ve que las diferentes formas de expresar el triángulo dirigido \(\triangle(P,Q,R)\) no afectan a la integral \eqref{Def:integral2FConstante}.
Sea \(\varphi:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) una función bilineal alternante. Prueba que \[ \varphi(Q-P,R-P)=\varphi(R-Q,P-Q)=\varphi(P-R,Q-R). \]
Nota: si \(\omega\) es la 2-forma constante asociada a \(\varphi\) lo anterior se puede escribir como: \[ \int_{\triangle(P,Q,R) }\omega=\int_{\triangle(Q,R,P) }\omega= \int_{\triangle(R,P,Q) }\omega. \]
Por el Ejercicio 9.22 y la alternacia de \(\varphi\) tenemos que: \begin{equation*} \varphi(Q - P, R - P) = - \varphi(P - Q, R - Q) = \varphi(R - Q, P - Q). \end{equation*}
Es decir, \(\varphi(Q - P, R- P) = \varphi(R - Q, P - Q)\).
Nuevamente usando el Ejercicio 9.22 y la alternacia de \(\varphi\) se sigue que: \begin{equation*} \varphi(R - Q, P - Q) = - \varphi(Q - R, P - R) = \varphi(P - R, Q - R). \end{equation*}
Es decir \(\varphi(R - Q, P - Q) = \varphi(P - R, Q - R)\). Por lo tanto, \[ \varphi(Q - P, R - P) = \varphi(R - Q, P - Q) = \varphi(P - R, Q - R) . \]
De aquí en adelante vamos a tomar la ecuación \eqref{Def:integral2FConstante} como la definición de la integral y para completar el ciclo vamos a probar que \eqref{Def:integral2FConstante} satisface todas las propiedades en la Definición 11.5.
Sea \(\varphi:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) una función bilineal alternante. Prueba que para todos los puntos \(Q,R,S\in \mathbb{R}^n\):
Prueba inciso 1.
Para el primer inciso tenemos que \[ \varphi(O, R) = \varphi(O + O, R) = \varphi(O,R) + \varphi(O,R) = 2\varphi(O,R). \] Esto implica que \(\varphi(O, R) = 2\varphi(O, R)\). Es decir, \(\varphi(O, R) = 0\).
Por otro lado, usando la alternancia de \(\varphi\), tenemos \(\varphi(Q,O) = -\varphi(O,Q)\). Pero \( \varphi(O,Q) = 0\). Por lo tanto \(\varphi(Q,O) = 0\).
Prueba inciso 2.
Usando la alternancia de \(\varphi\), \(\varphi(\underbrace{P}_\text{1},\underbrace{P}_\text{2}) = -\varphi(\underbrace{P}_\text{ 2},\underbrace{P}_\text{ 1})\). Lo cual implica que \(\varphi(P,P) = 0\).
Prueba inciso 3.
Por último, usando la linealidad de \(\varphi\) tenemos \begin{eqnarray*} \varphi(Q + S, R + S) & = & \varphi(Q, R + S) + \varphi(S, R + S) \\ & = & \varphi(Q, R) + \varphi(Q, S) + \varphi(S, R) + \varphi(S, S) \\ & = & \varphi(Q, R) + \varphi(Q, S) + \varphi(S, R) \\ & = & \varphi(Q, R) + \varphi(S, R) + \varphi(Q, S) \end{eqnarray*} La tercera igualdad es concecuencia de que \(\varphi(S, S) = 0\).
Sea \(\varphi:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n \to\mathbb{R}\) una función bilineal alternante. Si \(P,Q,R\in \mathbb{R}^n\) son colineales prueba que \(\varphi(Q-P,R-P)=0\).
Nota que este ejercicio demuestra que la definición de la integral dada en \eqref{Def:integral2FConstante} satisface la condición 1 de la Definición 11.5.
Sea \(\varphi:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) una función bilineal y \(P,Q,R\in \mathbb{R}^n\). Fija \(S\) un punto en el segmento de recta que une \(Q\) con \(R\).
Nota que este ejercicio prueba que la definición dada en \eqref{Def:integral2FConstante} satisface la condición 2 (aditividad) de la Definición 11.5.
Sea \(\varphi:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) una función bilineal alternante. Prueba que para todos \(P,Q,R\in \mathbb{R}^n\) \[ \varphi(Q-P,R-P)=-\varphi(P-Q,R-Q) \] Sugerencia: prueba que \(\varphi(Q-P,R-P)+\varphi(P-Q,R-Q)=0\) y para probar ésta última utiliza el Ejercicio 11.18.
Nota que este ejercicio demuestra que la definición de la integral dada en \eqref{Def:integral2FConstante} satisface la condición 3 (la integral respecta orientaciones) en la Definición 11.5.
Sea \(\varphi:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) una función bilineal alternante. Usando la definición \eqref{Def:integral2FConstante} prueba que \[ \int_{\triangle(P,Q,R)}\omega=\int_{\triangle(P+S,Q+S,R+S)}\omega \] para todos \(P,Q,R,S\in \mathbb{R}^n\).
Nota que este ejercicio prueba que la definición dada en \eqref{Def:integral2FConstante} satisface la condición 4 (invariante bajo traslaciones) en la Definición 11.5.
Define \(\varphi:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) dada por \[ \varphi((x_0,y_0),(x_1,y_1))= \det \left[ \begin{array}{cc} 2x_0-2y_0 & x_0+y_0 \\ 2x_1-2y_1 & x_1+y_1 \end{array} \right] \] Prueba que \(\varphi\) es una función bilineal alternante.
Sea \(\omega\) la 2-forma inducida por \(\varphi\). Calcula \(\int_{\triangle(P,Q,R)}\omega\), donde:
Define \(\varphi:\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) dada por \[ \varphi((x_0,y_0,z_0),(x_1,y_1,z_1))= 2\det \left[ \begin{array}{cc} 2x_0 & z_0 \\ 2x_1 & z_1 \end{array} \right] - 3\det \left[ \begin{array}{cc} -x_0 & 4y_0 \\ -2x_1 & 4y_1 \end{array} \right] \] Prueba que \(\varphi\) es una función bilineal alternante.
Sea \(\omega\) la 2-forma inducida por \(\varphi\). Calcula \(\int_{\triangle(P,Q,R)}\omega\), donde:
Si \(S\) es un punto dentro del triángulo \(\triangle(P,Q,R)\) entonces \[ A(\triangle(P,Q,R))=A(\triangle(P,Q,S))+A(\triangle(Q,R,S))+A(\triangle(R,P,S)) \] donde \(A\) denota el área.
¿Se vale la misma identidad si el punto \(S\) está fuera del triángulo?
¿Si en vez de área se usa área con signo?
Usando la intuición geométrica en \(\mathbb{R}^2\) y \(\mathbb{R}^3\) propusimos las característica de lo que un integral de 2-formas constantes debería de cumplir, esto es la Definición 11.5..
Trabajando con las propiedades geométricas de la Definición 11.5 vimos que, almenos en \(\mathbb{R}^2\), nos llevan a un objeto algebráico, las funciones bilineales alternantes. Para dimensiones más grandes que 2, trabajar con funciones bilineales alternantes es más sólido que trabajar con la intuición geométrica de \(\mathbb{R}^2\) ó \(\mathbb{R}^3\). Por lo tanto usamos a las funciones bilineales para re-definir la integral de 2-formas constantes, esto es la Definición 11.16. Armados con ésta definición vimos que seguía cumpliendo contodas las propiedades geométricas con las que iniciamos.
De cierta forma estamos jugando al Dr. Frankenstein. Descuartizamos a la integral para ver cómo funciona, vimos que las funciones bilineales forman su esqueleto mientras que la geométria nos da la carne, pero a diferencia de Frankenstein nosotros sí le ponemos nombre, se llama la integral de 2-formas constantes (y espero no los espante como a Frankenstein le paso con su creación).