En esta sección iniciamos el estudio de las integrales de Riemann en dos dimensiones y la idea es copiar lo que se hizo en una dimensión. Ya que en dos dimensiones existen más posibilidades de regiones de integración (en una dimensión básicamente sólo hay una: intervalos) un aspecto técnico importante es iniciar con una región de integración que permita generalizar las construcciones de dimensión 1 y estas regiones son rectángulos.
Tratando de copiar lo que hicimos para la integral de una dimensión si \(R\subset \mathbb{R}^2\) es un rectángulo y \(f:R\to \mathbb{R}\) es una función queremos aproximar \(\int_R f\) mediante una suma de subrectángulos de \(R\).
Si denotamos los subrectángulos como el producto cartensiano de dos intervalos, \([x_{i-1}, x_i]\times [y_{j-1}, y_j]\), la aproximación de la integral es una doble suma de la forma: \begin{equation}\label{Eqn:sumasRiemann2D} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(x_i^*,y_j^*)(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1}) \end{equation} donde \((x_i^*,y_i^*)\) es un punto en el rectángulo \([x_{i-1}, x_i]\times[y_i,y_{i-1}]\).
Nuestro problema ahora es que no tenemos una integral en dos dimensiones que nos permita encontrar límites de sumas del tipo \eqref{Eqn:sumasRiemann2D}. El propósito de esta sección es formalizar las ideas presentadas en esta introducción.
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) un rectángulo en \(\mathbb{R}^2\). Una partición de \(\mathcal{R}\) es el producto cartesiano de particiones de sus lados. Es decir, si \[ \mathbb{P}_1=\{a=x_0< \cdots < x_n=b \}, \quad \mathbb{P}_2=\{c=y_0< \cdots < y_m= d \}, \] son particiones de \([a,b]\) y \([c,d]\), respectivamente, entonces \[ \mathbb{P}=\mathbb{P}_1\times \mathbb{P}_2= \{ (x_i,y_j): 1 \leq i \leq n, 1\leq j \leq m \} \] es una partición de \(\mathcal{R}\).
La partición \(\mathbb{P}\) parte a \(\mathcal{R}\) en \(nm\) subrectángulos, \([x_{i-1}, x_i]\times [y_{i-1},y_i]\). El rectángulo abierto \((x_{i-1},x_i)\times (y_{j-i},y_j)\) se llama un subrectángulo abierto de \(\mathcal{R}\).
Se dice que una partición \(\mathbb{P}'\) de \(\mathcal{R}\) refina a \(\mathbb{P}\) si \(\mathbb{P}\subseteq \mathbb{P}'\).
Sean \(\mathbb{P}=\mathbb{P}_1\times \mathbb{P}_2\), \(\tilde{\mathbb{P}}=\tilde{\mathbb{P}}_1\times \tilde{\mathbb{P}}_2\) dos particiones de \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\). Definimos \[ \mathbb{P}\vee \tilde{\mathbb{P}}= (\mathbb{P}_1\cup \tilde{\mathbb{P}}_1)\times (\mathbb{P}_2\cup \tilde{\mathbb{P}}_2) \] Prueba que \(\mathbb{P}\vee \tilde{\mathbb{P}}\) refina tanto a \(\mathbb{P}\) como a \(\tilde{\mathbb{P}}\).
Sea \(\mathcal{R}\subset \mathbb{R}^2\) un rectángulo. Una función \(s:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) se llama escalonada si existe una partición \(\mathbb{P}\) de \(\mathcal{R}\) tal que \(s\) es constante en los subrectángulos abiertos de \(\mathbb{P}\).
Por ejemplo, toda función constante es una función escalonada.
Sea \(\mathcal{R}\) un rectángulo y \(s,t:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) dos funciones escalonadas y \(c\in \mathbb{R}\) una constante. Prueba que las funciones \(cs+t\) y \(st\) son escalonadas.
Sugerencia: si \(\mathbb{P}_s\) y \(\mathbb{P}_t\) son las particiones asociadas a \(s\) y a \(t\) respectivamente considera \(\mathbb{P}_s\vee \mathbb{P}_t\). Ver Ejercicio 11.3.
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\subset \mathbb{R}^2\) un rectángulo y \(s:\mathcal{R} \to \mathbb{R}\) una función escalonada, con partición \(\mathbb{P}=\mathbb{P}_1\times \mathbb{P}_2\), \(\mathbb{P}_1=\{a=x_0<\cdots < x_n=b\}, \mathbb{P}_2=\{c=y_0<\cdots < y_m=d\}\).
La integral de \(s\) sobre \(\mathcal{R}\) se define como \begin{equation}\label{Eqn:defIntegralEscalonada} \int_\mathcal{R} s =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m s_{i,j}(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1}) \end{equation} donde \(s_{i,j}\) es el valor de \(s\) en el rectángulo abierto \((x_{i-1},x_i)\times (y_{j-1}, y_j)\).
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y \(s:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función escalonada.
Para cada \(y\in [c,d]\) fija considera la función \[ x\in [a,b] \mapsto s(x,y) \in \mathbb{R}. \] Nota que esta función de una variable, es escalonada y por lo tanto integrable. Denotamos su integral por \[ A(y)=\int_{a}^b s(x,y)dx. \]
De manera similar, fijando una \(x\in [a,b]\), considerando la función \[ y\in [c,d] \mapsto s(x,y) \] obtenemos una función de una variable, escalonada. Denotamos su integral por \[ B(x)=\int_c^d s(x,y)dy. \]
Prueba \[ \int_\mathcal{R} s = \int_c^d A(y)dy=\int_a^b B(x)dx. \] La ecuación anterior se puede escribir como \[ \int_\mathcal{R}s = \int_c^d \left( \int_a^b s(x,y)dx \right)dy= \int_a^b \left( \int_c^d s(x,y)dy \right)dx. \]
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\), \(s,t:\mathcal{R}\to\mathbb{R}\) funciones escalonadas y \(c\in \mathbb{R}\). Prueba \[ \int_{\mathcal{R}}cs+t = c\int_{\mathcal{R}}s + \int_\mathcal{R}t \]
Probemos antes la siguiente afirmación. Sea \(h\) una función escalonada y sea \(\mathbb{P}_h\) la partición asociada a \(h\). Si \(\mathbb{P}\) es una partición que refina a \(\mathbb{P}_h\) entonces \begin{equation} \int_{\mathcal{R}} h = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}h_{ij}(y_i - y_{i-1})(y_{j}^{\prime} - y_{j-1}^{\prime}) \end{equation} donde \([y_{i-1}, y_i ] \times [y_{i-1}^{\prime}, y_{i}^{\prime}]\) son los rectángulos inducidos por \(\mathbb{P}\).
Primero simplifiquemos la notación. Sean \(\lbrace A_i : i \in \lbrace1,. . . , l \rbrace \rbrace \) la colección de rectángulos inducidos por \(\mathbb{P}\) y \(\lbrace B_i : i \in \lbrace1,. . . , r \rbrace \rbrace\) la colección de rectángulos inducidos por \(\mathbb{P}_h\), denotamos por \(m(R)\) al área del rectángulo \(R\). Por ejemplo, si \(A_k = [y_{i-1}, y_i ] \times [y_{i-1}^{\prime}, y_{i}^{\prime}]\) entonces \(m(A_k) = (y_i - y_{i-1})(y_{j}^{\prime} - y_{j-1}^{\prime})\). Entonces la ecuación (1) es de la siguiente manera, \[ \int_{\mathcal{R}} h = \sum_{i=1}^{l}h_i m(A_i) ,\] donde \(h_i\) es el valor que toma la función \(h\) en el rectángulo \(A_i\). Por la definición de la integral tenemos que \[\int_{\mathcal{R}} h = \sum_{i=1}^{r}h_i m(B_i). \]
Por otro lado, como \(\mathbb{P}\) refina a \(\mathbb{P}_h\), cada rectángulo \(B_i\) es de la forma \(B_i = \bigcup_{k=1}^{p_i}A_{i_k} \) además \(m(B_i) = \sum_{k=1}^{p_i}m(A_{i_k})\). Lo cual implica que \(\bigcup_{i=1}^{l}A_i = \bigcup_{i=1}^{r}B_i = \bigcup_{i=1}^{r}\left(\bigcup_{k=1}^{p_i}A_{i_k}\right)\) y para cada rectángulo \(A_{i_k}\) la función \(h\) toma el valor \(h_i\). Por lo tanto \[\sum_{i=1}^{l} h_i m(A_i) = \sum_{i=1}^{r} \sum_{k=1}^{p_i} h_i m(A_{i_k}) = \sum_{i=1}^{r} h_i m(B_i) \] Por lo tanto, \( \int_{\mathcal{R}} h = \sum_{i=1}^{l}h_i m(A_i).\)
Como \(s\) y \(t\) son funciones escalonadas existen particiones \(\mathbb{P}\) y \(\tilde{\mathbb{P}}\) de \(s\) y \(t\) respectivamente tales que son constantes en los subrectángulos generados por dichas particiones. También tenemos que \(\mathbb{P}\vee \tilde{\mathbb{P}}\) es la partición asociada a \(cs + t\) y como \(\mathbb{P}\vee \tilde{\mathbb{P}}\) refina tanto a \(\mathbb{P}\) como a \(\tilde{\mathbb{P}}\), entonces por la afirmación anterior tenemos \begin{eqnarray*} \int_{\mathcal{R}} cs + t & = & \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(cs_{ij} + t_{ij})(z_i - z_{i-1})(z_{j}^{\prime} - z_{j-1}^{\prime}) \\ & = & c\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1} ^{m} s_{ij}(z_i - z_{i-1})(z_{j}^{\prime} - z_{j-1}^{\prime}) + \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1} ^{m} t_{ij}(z_i - z_{i-1})(z_{j}^{\prime} - z_{j-1}^{\prime}) \\ & = & c\int_{\mathcal{R}}s + \int_{\mathcal{R}}t \end{eqnarray*} donde \([z_{i-1}, z_i] \times [z_{j-1}^{\prime}, z_{j}^{\prime}]\) son los rectángulos inducidos por \(\mathbb{P}\vee \tilde{\mathbb{P}}\).
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y \(s:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función escalonada.
Si \(\mathcal{R}\) se subdivide en dos rectángulos \(\mathcal{R}_1\), \(\mathcal{R}_2\) prueba \[ \int_\mathcal{R}s = \int_{\mathcal{R}_1}s +\int_{\mathcal{R}_2} s \]
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y \(s,t:\mathcal{R}\to\mathbb{R}\) funciones escalonadas. Prueba que si \(s(x,y)\leq t(x,y)\) para toda \(x,y\in \mathcal{R}\) entonces \[ \int_\mathcal{R} s \leq \int_\mathcal{R} t \]
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y \(f:\mathcal{R} \to \mathbb{R}\) una función acotada, es decir, existe \(M>0\) tal que \(|f(x,y)|\leq M\), para toda \((x,y)\in \mathcal{R}\).
Definimos la integral inferior de \(f\) como \[ \underline{I(f)}=\sup\left\{ \int_\mathcal{R} s : s \leq f \right\} \] donde el supremo se toma sobre las funciones escalonadas \(s:\mathcal{R} \to \mathbb{R}\).
Definimos la integral superior de \(f\) como \[ \overline{I(f)}=\inf\left\{ \int_\mathcal{R} t : f \leq t \right\} \] donde el ínfimo se toma sobre las funciones escalonadas \(t:\mathcal{R} \to \mathbb{R}\).
Nota que siempre es posible encontrar funciones escalonadas por abajo y por arriba de \(f\), pues al ser \(f\) acotada podemos tomar \(s\) como la función constante \(-M\) y \(t\) como la función constante \(M\).
Decimos que \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) es Riemann integrable, o simplemente integrable, si las integrales inferior y superior coinciden. Definimos \[ \int_\mathcal{R} f = \overline{I(f)}=\underline{I(f)} \]
Por ejemplo, si \(f\) es una función simple, con partición \(\mathbb{P}=\{(x_i,y_j): 1\leq i \leq n, 1\leq j \leq m\}\), y con valor \(f_{i,j}\) en el subrectángulo abierto \((x_{i-1},x_i)\times (y_{j-i},y_j)\) entonces \(f\) es integrable con \[ \int_\mathcal{R}f =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f_{i,j}(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1}) \] esto se sigue directamente del Ejercicio 11.11 y la definición en \eqref{Eqn:defIntegralEscalonada}
Sea \(\mathcal{R}=[0,1]\times [0,1]\) y define \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) por \[ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} 1 & \textrm{si \(x=y\)}\\ 0 & \textrm{si \(x\ne y\)} \end{array} \right. \] Prueba, usando la definición, que \(f\) es integrable y que \(\int_\mathcal{R}f =0\).
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y supongamos que \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) es una función acotada e integrable en \(\mathcal{R}\).
Si existe un número \(I\) tal que \[ \int_\mathcal{R}s \leq I \leq \int_\mathcal{R}t \] para todas las funciones escalonadas \(s,t:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) con \(s\leq f \leq t\), entonces \[ I=\int_\mathcal{R} f. \]
Supongamos que existe un número \(I\) tal que \begin{equation*} \int_{\mathcal{R}} s \leq I \leq \int_{\mathcal{R}} t \end{equation*} donde \(s,t : \mathcal{R} \rightarrow \mathbb{R}\) son funciones escalonadas tal que \(s \leq f \leq t\). Entonces \(I\) es una cota superior de \(\lbrace \int_{\mathcal{R}} s : s \leq f \rbrace \) donde \(s\) es una función escalonada. Por lo tanto, \(\underline{I(f)} \leq I\). De igual manera tenemos que \(I\) es una cota inferior del conjunto \(\lbrace \int_{\mathcal{R}} t : f \leq t \rbrace \) donde \(t\) es una función escalonada, lo cuál implica que \(I \leq \overline{I(f)}\).
Como \(f\) es integrable, \( \underline{I(f)} = \overline{I(f)}\). Entonces \(I \leq \overline{I(f)} = \underline{I(f)} \leq I\), es decir \(I = \underline{I(f)} = \overline{I(f)}\). Por lo tanto \[I = \int_{\mathcal{R}} f.\]
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times[c,d]\) y \(f:[a,b] \times [c,d]\to \mathbb{R}\) una función acotada tal que
Si la integral \(\int_c^d A(y)dy\) existe entonces \[ \int_\mathcal{R}f = \int_c^d A(y)dy. \] Lo anterior se puede escribir \[ \int_\mathcal{R}f = \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y)dx \right)dy. \]
Un resultado similar es válido si se supone que para toda \(x\in [a,b]\), la integral \(B(x):=\int_c^d f(x,y)dy\) existe y la función \(B(x)\) es integrable.
Para iniciar tomamos cualesquiera funciones escalonadas \(s,t:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) tal que \(s \leq f \leq t\). Si fijamos \(y\in [c,d]\) se sigue que: \[ s(x,y)\leq f(x,y) \leq t(x,y), \quad \forall x\in [a,b]. \] Por nuestra suposición la función \(x\mapsto f(x,y)\) es integrable por lo tanto podemos integrar las desigualdades anteriores, pues son integrales 1-dimensionales, para obtener \begin{equation}\label{Eqn:auxFubiniPreliminar} \int_{a}^b s(x,y)dx \leq A(y) \leq \int_a^b t(x,y)dx \end{equation} (recuerda que definimos \(A(y)=\int_a^b f(x,y)dx\)).
En este punto es importante notar que la función \(y \mapsto \int_a^b s(x,y)dx\) es una función de 1-variable y es escalonada. Razón: supongamos que \(s\) toma el valor \(s_{i,j}\) en el subrectángulo abierto \((x_{i-1},x_i)\times(y_{j-1},y_j)\), entonces para \(y\in (y_{j-1},y_j) \) tenemos \[ \int_a^b s(x,y)dx=\sum_{i=1}^n s_{i,j}(x_i-x_{i-1}) \] Análogamente la función \(y \mapsto \int_a^b t(x,y)dx\) es escalonada.
Ahora, también por nuestra suposición tenemos que la función \(A(y)\) es integrable, asi que podemos integrar las desigualdades en \eqref{Eqn:auxFubiniPreliminar} y obtener \[ \int_c^d\left( \int_a^b s(x,y)dx \right)dy \leq \int_c^dA(y) \leq \int_c^d\left( \int_a^b t(x,y)dx \right)dy. \] Por el Ejercicio 12.7 podemos reescribir lo anterior como \[ \int_\mathcal{R} s \leq \int_c^dA(y) \leq \int_\mathcal{R} t. \] De la desigualdad anterior, tomando en cuenta de que \(s,t\) son arbitrarias, por el Ejercicio 12.3 concluimos que \[ \int_\mathcal{R}f= \int_c^dA(y)dy. \]
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función acotada.
Si para toda \(\varepsilon >0\) existen funciones escalonadas \(s,t:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) tales que \(s\leq f \leq t\) y tal que \[ \int_\mathcal{R}t - \int_\mathcal{R} s \leq \varepsilon \] entonce \(f\) es integrable.
Para probar que \(f\) es integable, según la definición, debemos de demostrar \[ \underline{I(f)}=\overline{I(f)}, \] para lo cual es suficiente probar que, para toda \(\varepsilon >0\): \begin{equation}\label{Eqn:auxLemaIntegrabilidad} |\overline{I(f)}-\underline{I(f)}| < \varepsilon. \end{equation} Dada \(\varepsilon>0\) usamos la hipótesis del ejercicio para encontrar \(s,t:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) funciones escalonadas con \(s\leq f \leq t\) y que satisfagan \[ \int_\mathcal{R}t-\int_\mathcal{R}s < \varepsilon. \] Por definición de integral superior e inferior y usando las desigualdades \(s\leq f \leq t\) obtenemos \[ \int_\mathcal{R}s \leq \underline{I(f)}\leq \overline{I(f)} \leq \int_\mathcal{R} t \] es decir, las integrales inferior y superior están en el intervalo cerrado \[ \left[ \int_\mathcal{R}s, \int_\mathcal{R}t \right] \] por lo que \[ |\overline{I(f)}-\underline{I(f)}| \leq \int_\mathcal{R}t-\int_{\mathcal{R}}s <\varepsilon \] lo cual prueba \eqref{Eqn:auxLemaIntegrabilidad}.
Toma \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y \(f: \mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función continua en todo \(\mathcal{R}\).
Dada una \(\varepsilon >0\) existe una \(\delta >0\) que satisface:
si \((x,y), (u,v)\in \mathcal{R}\) satisfacen \(\|(x,y)-(u,v) \| <\delta\) entonces \(|f(x,y)-f(u,v)|< \varepsilon\).
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función continua. Fija \(\varepsilon >0\) y sea \(\delta >0\) la delta del Ejercicio 11.18
Sea \(\mathbb{P}=\{(x_i,y_j): 1\leq i \leq n, 1\leq j \leq m\}\) una partición de \(\mathcal{R}\) tal que \(\| \mathbb{P}\|\leq \delta/\sqrt{2}\).
Considera funciones escalonadas \(s,t:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) tales que \begin{eqnarray*} s(x,y)=\min_{(x,y)\in \mathcal{R}_{i,j}} \{ f(x,y)\} \quad \textrm{si \((x,y)\in (x_{i-1},x_i)\times (y_{j-1},y_j)\)}\\ t(x,y)=\max_{(x,y)\in \mathcal{R}_{i,j}} \{ f(x,y)\} \quad \textrm{si \((x,y)\in (x_{i-1},x_i)\times (y_{j-1},y_j)\)} \end{eqnarray*} donde \(\mathcal{R}_{i,j}=[x_{i-1}, x_i]\times [y_{j-1}, y_j]\).
Prueba que \[ \int_{\mathcal{R}} t -\int_{\mathcal{R}} s \leq \varepsilon A \] donde \(A\) es el área de \(\mathcal{R}\).
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función continua en todo \(\mathcal{R}\). Para cada \(y\in [c,d]\) definimos \[ A(y)=\int_a^bf(x,y)dx \] Entonces \(A:[c,d]\to \mathbb{R}\) es una función continua.
Vamos a usar \(\varepsilon\)'s y \(\delta\)'s para probar la continuidad de \(A\).
Fijamos \(y_0\in [c,d]\) y una \(\varepsilon>0\). Por el Ejercicio 11.18 existe \(\delta >0\) tal que para puntos \((x,y), (u,v)\in \mathcal{R}\): satisfacen \(\) entonces \begin{equation}\label{Eqn:auxContinuindadRebandas} \|(x,y)-(u,v)\|< \delta \Rightarrow |f(x,y)-f(u,v)|< \frac{\varepsilon}{2(b-a)}. \end{equation} Esta \(\delta\) es la que sirve para la continuidad. Es decir, tomamos \(y\in [c,d]\) con \(|y-y_0|<\delta\) y debemos de probar que \(|A(y)-A(y_0)|< \varepsilon\).
Usando las propiedades de la integral 1-dimensional tenemos \begin{eqnarray*} |A(y)-A(y_0)| &=&\left| \int_a^b f(x,y) dx - \int_a^b f(x,y_0)dx \right| \\ &=& \left| (f(x,y)-f(x,y_0))dx \right| \\ &\leq & \int_a^b |f(x,y)-f(x,y_0)|dx \end{eqnarray*} Pero notamos que \(\| (x,y)-(x,y_0) \|=|y-y_0|< \delta\), por lo tanto por \eqref{Eqn:auxContinuindadRebandas} obtenemos \[ |f(x,y)-f(x,y_0)| < \frac{\varepsilon}{b-a} \quad , \forall x\in [a,b] \Rightarrow \int_a^b|f(x,y)-f(x,y)|dx \leq \int_a^b \frac{\varepsilon}{2(b-a)}dx=\frac{\varepsilon}{2} \] Por lo tanto obtenemos \(|A(y)-A(y_0)|< \varepsilon\).
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función continua en todo \(\mathbb{R}\). Entonces \(f\) es integrable sobre \(\mathcal{R}\) y la integral se puede calcular como integrales iteradas mediante: \[ \int_\mathcal{R} f = \int_a^b\left( \int_c^d f(x,y)dy\right)dx= \int_c^d\left( \int_a^b f(x,y)dx\right)dy \]
Sea \(\mathbb{P}=\{(x_i,y_j): 1\leq i \leq n, 1\leq j \leq m \}\) una partición de \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\). La norma de la partición, denotada \(\|\mathbb{P}\|\), se define como \[ \|\mathbb{P}\|=\max_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq m}\{ x_i-x_{i-1}, y_j-y_{j-1} \} \] es decir, es la longitud más grande de los lados de los subrectángulos de \(\mathbb{P}\).
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función continua en todo \(\mathbb{R}\). Entonces \begin{equation}\label{Eqn:auxSumasRiemann} \int_\mathcal{R} f = \lim_{\|\mathbb{P}\|\to 0} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(\tilde{x_i},\tilde{y_j})(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1}) \end{equation} donde \(\mathbb{P}=\{(x_i,y_j): 1\leq i \leq n , 1\leq j \leq m \}\) y \((\tilde{x_i},\tilde{y_j})\) son puntos en \([x_{i-1}, x_i]\times [y_{j-1},y_j]\).
Nota: ¿Cómo se entiende el límite \eqref{Eqn:auxSumasRiemann}? De la siguiente manera: para toda \(\varepsilon >0\) existe \(\delta >0\) tal que si \(\mathbb{P}=\{(x_i,y_j): 1\leq i \leq n, 1 \leq j \leq m\}\) es una partición de \(\mathcal{R}\) con \(\|P\| < \delta\) entonces: \[ \left| \int_\mathcal{R}f - \left( \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(\tilde{x_i},\tilde{y_j})(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1}) \right) \right|<\varepsilon \] para cualesquiera puntos \((\tilde{x}_i, \tilde{y}_j)\in [x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1},y_J]\).
Sea \(\mathcal{R}=[a,b]\times [c,d]\) y \(f,g:\mathcal{R} \to \mathbb{R}\) funciones acotadas e integrables en \(\mathcal{R}\).