§ 7

Definición

Curva de Jordan

Una curva suave a trozos \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}\) se llama:

cerrada si \(\alpha(a)=\alpha(b)\),
simple si para todos \( s,t \in (a,b] \), \(\alpha(s)\ne \alpha(t)\).

Ejemplos.

Simple, no cerrada.

No simple, no cerrada.

Simple, cerrada.

No simple, cerrada.

Una curva suave a trozos, cerrada, simple se conoce como una curva de Jordan.

Definición

Dado un subconjunto \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) decimos que un punto \(p\in \mathbb{R}^n\) es un punto frontera de \(A\) si para todo \(r> 0\) \[ B_r(p)\cap A \ne \emptyset \quad \textrm{y} \quad B_r(p)\cap A^c \ne \emptyset, \] es decir, toda bola abierta centrada en \(p\) contiene puntos en \(A\) y en el complemento de \(A\).

Al conjunto de puntos frontera de \(A\) lo denotaremos como \(\partial A\).

Por ejemplo \begin{eqnarray*} \partial [a,b]&=&\{a,b\},\\ \partial B_r(p)&=&\{q \in \mathbb{R}^n: \|p-q\|=r \},\\ \partial \emptyset&=& \emptyset,\\ \partial \mathbb{R}^n&=& \emptyset. \end{eqnarray*}

Lema

La frontera de un conjunto siempre es un subconjunto cerrado.

Sea \(A \subseteq \mathbb{R}^n\). Para probar que \(\partial A\) es cerrado vamos a probar que su complemento es abierto.

Antes de iniciar vemos que si negamos la definición de punto frontera tenemos que \(p\notin \partial A\) si y sólo si exsite un \(r_0> 0\) tal que alguna de las siguientes pasa: \[ B_{r_0}(p)\cap A =\emptyset \quad \textrm{ó} \quad B_{r_0}(p)\cap A^c = \emptyset. \] que a su vez implica \[ B_{r_0}(p) \subseteq A^c \quad \textrm{ó} \quad B_{r_0}(p)\subseteq A. \] En resumen: \begin{equation}\label{Eqn:CharactComplementoFrontera} p\in (\partial A)^c \Leftrightarrow \textrm{ existe \(r_0 >0\) tal que \(B_{r_0}(p)\subseteq A^c\) ó \(B_{r_0}(p)\subseteq A\)} \end{equation}

Ahora sea \(p\in (\partial A)^c\) fijo y arbitrario. Tenemos dos casos.

Caso 1: existe \(r>0\) con \(B_{r}(p)\subseteq A^c\). Afirmamos que \(B_{r}(p)\subseteq (\partial A)^c\). En efecto, si \(q\in B_{r}(p)\) existe un \(r_0>0\) tal que \(B_{r_0}(q) \subseteq B_{r}(p)\) de lo cual se sigue que \(B_{r_0}(q)\subseteq A^c\) y por \eqref{Eqn:CharactComplementoFrontera} \(q \in (\partial A)^c\). Por lo tanto \(B_{r}(p)\subseteq (\partial A)^c\).

Caso 2: existe \(r>0\) con \(B_{r}(p)\subseteq A\). Afirmamos que \(B_{r}(p)\subseteq (\partial A)^c\). En efecto, si \(q\in B_{r}(p)\) existe un \(r_0>0\) tal que \(B_{r_0}(q) \subseteq B_{r}(p)\) de lo cual se sigue que \(B_{r_0}(q)\subseteq A\) y por \eqref{Eqn:CharactComplementoFrontera} \(q \in (\partial A)^c\). Por lo tanto \(B_{r}(p)\subseteq (\partial A)^c\).

Ejercicio

Este ejercicio muestra el uso del Teorema de Green para calcular integrales de línea.

Calcula la integral de línea \[ \int_{\gamma} (a_1+b_1xy+c_1y^2)dx+(a_2+b_2xy+c_2x^2)dy \] donde \(\gamma\) es el cuadrado con vértices \((0,0),(1,0), (0,1), (1,1)\) recorrido en el sentido positivo.

Ejercicio

Calcula las siguientes integrales mediante dos métodos: de manera directa y usando el Teorema de Green.

\(\int_{\gamma}(Ax+By)dx+ (Cx+Dy)dy \), donde \(\gamma\) es el círculo centrado en el origen de radio \(r>0\), recorrido positivamente y \(A,B,C,D\in \mathbb{R}\) son constantes.
\(\int_{\gamma} (x^3y)dx + (xy^2)dy \), donde \(\gamma\) es el rectángulo con vértices \((0,0), (3,0), (3,1), (0,1)\), recorrido en el sentido positivo.

Resolviendo de manera directa la integral de línea, debemos primero parametrizar el círculo con centro en el orígen y de radio \(r >0\). Sea \(\gamma : [0, 2\pi] \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) definida como \(\gamma(t) = (r\cos(t), r\sen(t))\), es claro que \(\gamma\) recorre de manera positiva al círculo y \(\gamma^{\prime}(t) = (-r\sen(t), r\cos(t))\).

Por lo tanto, \begin{eqnarray*} \int_\gamma (Ax + By)dx + (Cx + Dy)dy & = & \int_0^{2\pi}[(Ar\cos(t) + Br\sen(t))(-r\sen(t)) \\ & & + (Cr\cos(t) + Dr\sen(t))(r\cos(t))]dt \\ & = & \int_0^{2\pi}r^{2}[-A\cos(t)\sen(t) - B\sen^{2}(t) \\ & & + C\cos^2(t)+ D\sen(t)\cos(t)] dt \\ & = & \int_0^{2\pi}r^{2}\left[-\frac{A\sen(2t)}{2} - \frac{B(1 - \cos(2t))}{2} \right. \\ & & \left. + \frac{C(1 + \cos(2t))}{2} + \frac{D\sen(2t)}{2}\right] dt \\ & = & \int_0^{2\pi}r^{2}\left[\frac{C - B}{2}\right] dt \\ & = & 2\pi r^{2}\left[\frac{C - B}{2}\right] \\ & = & \pi r^{2}[C - B] \end{eqnarray*} La cuarta igualdad se sigue de \[ \int_{0}^{2\pi}\cos(2t) dt = \int_{0}^{2\pi}\sen(2t) dt = 0 \]

Por lo tanto, \(\int_\gamma (Ax + By)dx + (Cx + Dy)dy = \pi r^{2}[C - B]\).

Por otro lado, usando el Teorema de Green tenemos que \[ \int_\gamma (Ax + By)dx + (Cx + Dy)dy = \int_D[\partial_x(Cx + Dy) - \partial_y(Ax + By)]dA \] donde \(D\) es la región encerrada por la curva \(\gamma\), es decir \(D = \lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} \leq r \rbrace\).

Además \(\partial_x(Cx + Dy) = C\) y \(\partial_y(Ax + By) = B\). Por lo tanto, \begin{eqnarray*} \int_\gamma (Ax + By)dx + (Cx + Dy)dy & = & \int_D[C - B] dA \\ & = & [C - B]\int_D 1 dA \\ & = & [C - B]\text{Area}(D) \\ &=& \pi r^{2}[C - B] \end{eqnarray*} ya que \(\int_D 1 dA = \text{Area}(D) = \pi r^{2}\).

Nota: Si queremos comprobar que \(\int_D 1 dA = \pi r^{2}\), entonces a la región \(D\) la podemos representar como una región de Tipo I, es decir \( D = \lbrace(x, y)\in \mathbb{R}^{2} : x\in[-r, r], -\sqrt{r^{2} - x^{2}} \leq y \leq \sqrt{r^{2} - x^{2}} \rbrace\).

Por lo tanto \[ \int_D 1 dA = \int_{-r}^r\left(\int_{-\sqrt{r^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{r^{2} - x^{2}}}1 dy\right)dx = \int_{-r}^r 2\sqrt{r^{2} - x^{2}}dx = 2\int_{-r}^r \sqrt{r^{2} - x^{2}} dx \]

Como \(\sqrt{r^{2} - x^{2}}\) es una función par tenemos que \(\int_{-r}^r \sqrt{r^{2} - x^{2}} dx = 2\int_0^{r}\sqrt{r^{2} - x^{2}} dx\) y tomando el cambio de variable \(x = r\sen(t)\) ( \(dx = r\cos(t)dt\)), tenemos \[ \int_D 1 dA = 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}r^2\cos^{2}(t)dt = 4r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1 + \cos(2t)}{2}\right)dt = \pi r^{2} . \]

Por lo tanto, \(\int_D 1 dA = \pi r^{2}\).

Ejercicio

Usa el Teorema de Green para calcular para calcular \(\int_{\gamma} e^{y^2}dx+xdy\), cuando \(\gamma\) es:

El cuadrado con vértices \((0,0), (2,0), (2,2), (0,2)\), recorrido positivamente.
El cuadrado con vértices \((-2,-2), (2,-2), (2,2), (-2,2)\), recorrido positivamente.
El círculo de radio \(r>0\) con centro en el origen, orientado positivamente.

Ejercicio

Sea \(\gamma \subset \mathbb{R}^2\) una curva cerrada orientada positivamente, simple, suave a trozos. Sea \(\mathcal{S}\) la región encerrada por \(\gamma\). Prueba que \[ \textrm{Area}(\mathcal{S})=\frac{1}{2}\int_{\gamma} xdy-ydx \]

Video

Ejercicio

Por \(\gamma\) denotamos el segmento de recta que une \((x_1,y_1)\) con \((x_2,y_2)\). Prueba directamente que \[ \int_{\gamma}xdy-ydx=x_1y_2-x_2y_1 \]
Sea \(\mathcal{P}\) un polígono de tal forma que \(\partial(\mathcal{P})\) sea una curva suave a trozos, cerrada simple. Si los vértices de \(\mathcal{P}\), recorridos en el sentido positivo, son \((x_1,y_1),\dots, (x_n,y_n)\), prueba que su área es \begin{eqnarray*} \textrm{Area}(\mathcal{P})=\frac{1}{2}\left( (x_1y_2-x_2y_1)+(x_2y_3-x_3y_2)+\\ \cdots +(x_ny_1-x_1y_n) \right) \end{eqnarray*}

Sugerencia: usa el ejercico anterior.

Ejercicio

Sea \(U\subset \mathbb{R}^2\) un abierto y \(f,g:U \to \mathbb{R}\) dos funciones clase \(C^1\) en \(U\). Sea \(\gamma\) una curva orientada cerrada, simple, suave a trozos. Prueba que \[ \int_{\gamma} (f\nabla g) \cdot d\gamma = - \int_{\gamma} (g \nabla f )\cdot d\gamma \] Nota que \(f\nabla g\) y \(g \nabla f\) son campos vectoriales.

Definición

Sea \(\gamma:[a,b]\to \mathbb{R}^2\) una curva cerrada simple, suave a trozos, con la propiedad de que \(\gamma'(t)\ne 0\), siempre que la derivada \(\gamma'(t)\) existe.

Se define el vector normal unitario a la curva \(\gamma\) como la función \(\mathbb{n}\) dada por \[ \mathbb{n}(t)=\frac{1}{\|\gamma'(t)\|}(\gamma_2'(t), -\gamma_1'(t)) \] Nota: \(\gamma(t)=(\gamma_1(t), \gamma_2(t))\).

Sea \(U\subset \mathbb{R}^2\) un conjunto abierto y \(\varphi:U \to \mathbb{R}\) una función clase \(C^1\). Definimos la derivada normal de \(\varphi\) a lo largo de \(\gamma\) como \[ \partial_{\mathbb{n}}\varphi(t)= \nabla\varphi(\gamma(t))\cdot \mathbb{n}(t) \]

Ejercicio

Sea \(\gamma:[a,b]\to \mathbb{R}^2\) una curva cerrada simple, suave a trozos, con la propiedad de que \(\gamma'(t)\ne 0\), siempre que la derivada \(\gamma'(t)\) existe.

Prueba que \(\gamma' \cdot \mathbb{n} =0\). Es decir, el vector normal es perpendicular al vector velocidad.
Sea \(U\subset \mathbb{R}^2\) un conjunto abierto con la traza de \(\gamma \) contenida en \( U\). Considera el campo vectorial, clase \(C^1\) \(\mathbb{F}:U \to \mathbb{R}^2\), \(\mathbb{F}=(A,B)\). Denota \(\mathbb{F}^\perp=(B,-A)\). Prueba \[ \int_{\gamma} \mathbb{F}\cdot d\gamma = \int_{\gamma} (\mathbb{F}^\perp \cdot \mathbb{n}) |d\gamma| \] Nota que el lado izquierdo es una integral de línea y el lado derecho una integral con respecto a longitud de arco.

Ejercicio

Sea \(U\subset \mathbb{R}^2\) un abierto y \(f,g:U\to \mathbb{R}\) funciones de clase \(C^2\). Sea \(\gamma:[a,b] \to U\) una curva suave a trozos, cerrada simple. Por \(\mathcal{S}\) denotamos a la región formada por la traza de \(\gamma\) y la región que enciarra (nota que entonces \(\mathcal{S}\) es un compacto). Prueba las siguientes identidades que relacionan integrales de línea e integrales de Riemann.

Recuerda que \(\nabla^2 g= \partial_x^2g + \partial_y^2 g\).

\(\int_{\gamma} \partial_{\mathbb{n}}g |d\gamma| = \int_{\mathcal{S}} \nabla^2 g dx\otimes dy \)
\(\int_{\gamma} f \partial_{\mathbb{n}}g |d\gamma| = \int_{\mathcal{S}} (f \nabla^2 g + (\nabla f)\cdot (\nabla g))dx\otimes dy\)
La identidad de Green: \[ \int_{\gamma} (f \partial_{\mathbb{n}}g - g \partial_{\mathbb{n}}f)|d\gamma| = \int_{\mathcal{S}} (f \nabla^2 g - g \nabla^2 f)dx\otimes dy \]
Si \(f\) y \(g\) son armónicas, es decir \(\nabla^2f=\nabla^2g=0\), prueba \[ \int_{\gamma} f \partial_{\mathbb{n}}g |d\gamma|= \int_{\gamma} g \partial_{\mathbb{n}}f|d\gamma| \]

Sea \(\mathbb{F} = (-\partial_yg, \partial_xg)\), esto implica que \(\mathbb{F}^{\bot} = \nabla g\). Entonces por el Ejercicio 14.15-2, tenemos que \[ \int_\gamma\mathbb{F}\cdot d\gamma = \int_\gamma\left(\mathbb{F}^{\bot}\cdot\mathbb{n}\right)|d\gamma| = \int_\gamma\left(\nabla g\cdot\mathbb{n}\right)|d\gamma| = \int_\gamma\partial_{\mathbb{n}}g |d\gamma| . \]

Por otro lado, por el Teorema de Green tenemos \[ \int_\gamma\mathbb{F}\cdot d\gamma = \int_S\left[\partial_x(\partial_xg) - \partial_y(-\partial_yg)\right]dx\otimes dy = \int_S\left(\partial_x^{2}g + \partial_y^{2}g\right)dx\otimes dy = \int_S \nabla^{2}g dx\otimes dy . \]

Por lo tanto, \[ \int_\gamma\partial_{\mathbb{n}}g |d\gamma| = \int_S \nabla^{2}g dx\otimes dy . \]

Ejercicio

Sea \(U\subseteq \mathbb{R}^2\) un abierto y \(u,v:U\to \mathbb{R}\) funciones de clase \(C^2\). Sea \(S\subset U\) un compacto con interior no vacío tal que \(\partial S\) es una curva de Jordan. Supón que \(\partial S\) está orientada positivamente. Prueba

\(\int_{\partial S} uv dx + uv dy = \int_S \left\{ v\left( \partial_xu - \partial_yu\right)+ u(\partial_xv-\partial_yv) \right\}dx\otimes dy\)

\(\frac{1}{2} \int_{\partial S} (v\partial_xu -u \partial_xv)dx+ (u\partial_yv -v \partial_yu)dy= \int_S \left\{ u\partial^2_{xy}v-v\partial_{xy}^2u \right\}dx\otimes dy\)

Teorema (Green versión 2)

Sean \(\gamma_0, \gamma_1, \dots, \gamma_n\) curvas cerradas simples, suaves a trozos, orientadas positivamente, con las siguientes propiedades

Cualesquiera dos curvas no se intersectan,
Las curvas, \(\gamma_1,\dots, \gamma_n\), caen dentro del interior de \(\gamma_0\),
La curva \(\gamma_i\) está en el exterior de la curva \(\gamma_j\), para todos \(1\leq i, j \leq n\), \(i\ne j\).

Por \(\mathcal{S}\) denotamos la región del plano que consiste de la unión de \(\gamma_0\), con el subconjunto del interior de \(\gamma_0\) formado por los puntos que no están en el interior de las curvas \(\gamma_1,\dots, \gamma_n\).

Sean \(A,B :U \to \mathbb{R}\), funciones de clase \(C^1\) en \(U\), donde \(U\subset \mathbb{R}^2\) es un conjunto abierto que contiene a \(\mathcal{S}\).

Entonces se tiene que \[ \int_{\mathcal{S}} (\partial_xB-\partial_yA)dx\otimes dy= \int_{\gamma_0} Adx+Bdy - \sum_{k=1}^n \int_{\gamma_k}Adx+Bdy \]

Video

Teorema (de invariancia)

Sea \(U\subset \mathbb{R}^2\) un abierto conexo y \(\mathbb{F}=(P,Q)\) un campo vectorial clase \(C^1\) en \(U\) que satisface \(\partial_xQ = \partial_y P\) en \(U\).

Sean \(\gamma_1, \gamma_2\) dos curvas suaves a trozos, cerradas, simples, que satisfacen:

\(\gamma_1\) y \(\gamma_2\) tienen la misma orientación,
\(\gamma_2\) caen dentro del interior de \(\gamma_1\),
los puntos del interior de \(\gamma_1\) que caen afuera de \(\gamma_2\) están en \(U\).

Entonces \[ \int_{\gamma_1} \mathbb{F} \cdot d\gamma_1= \int_{\gamma_2}\mathbb{F} \cdot d\gamma_2 \]

Video

Ejercicio

Denota \(U=\{(x,y): (x,y)\ne (0,0)\}\). Define \(A,B:U \to \mathbb{R}\) por \[ A(x,y)=\frac{y}{x^2+y^2}, \quad B(x,y)=\frac{-x}{x^2+y^2} \] Sea \(\gamma\) una curva orientada cerrada simple, suave a trozos contenida en \(U\).

Si \((0,0)\) cae en el interior de \(\gamma\) prueba que los valores que puede tomar la integral \(\int_{\gamma }Adx+Bdy\) son \(2\pi, -2\pi\), y explica cuando ocurre cada signo.
Calcula el valor de la integral \(\int_{\gamma}Adx+Bdy\) cuando \((0,0)\) cae en el exterior de \(\gamma\).

Ejercicio

Sea \(\mathbb{F}\) un campo vectorial conservativo clase \(C^1\) en todo \(\mathbb{R}^2\).

Sea \(U=\{(x,y): 1< x^2+y^2 < 2\}\) y sea \(\gamma\) una curva orientada cerrada simple, contenida en \(A\) ¿Cuántos posibles valores distintos puede tomar la integral \(\int_{\gamma} \mathbb{F}\cdot d\gamma\)
Sea \(V\) un conjunto abierto, conexo con exáctamente tres hoyos, por ejemplo \(V=D \setminus (D_{-1}\cup D_{1})\) donde \begin{eqnarray*} D&=&\{(x,y): x^2+y^2< 25\},\\ D_{-1}&=&\{(x,y): (x+1)^2+y^2\leq 1/4\},\\ D_1&=&\{(x,y): (x-1)^2+y^2< 1/4 \}. \end{eqnarray*} Contesta la misma pregunta que en el inciso anterior.

Definición

Dado un campo vectorial clase \(C^1\) sobre un abierto, \(\mathbb{F}=(A,B,C):U\to \mathbb{R}^3\), se define su rotacional como el campo vectorial sobre \(U\) con regla de correspondencia \begin{eqnarray*} \nabla \times \mathbb{F}&=& \det \left[ \begin{array}{cc} i & j & k \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ A & B & C \end{array} \right] \\ &=&(\partial_yC - \partial_zB, \partial_zA - \partial_xC, \partial_xB- \partial_yA ) \end{eqnarray*}

La idea es que \(\nabla \times \mathbb{F}\) mide la rotación infinitesimal del campo. Para visualizar lo anterior se fija una esfera muy chica en un punto del espacio y se deja que el campo \(\mathbb{F}\) actue sobre la esfera, sin que esta se mueva, sólo haciendo que \(\mathbb{F}\) la rote en el mismo lugar (pensando al campo como un fluido).

Por ejemplo, para el campo \(\mathbb{F}=(-y,x+yx,0)\) su rotacional es \(\nabla \times \mathbb{F} =(0,0,2+y)\). Una representación gráfica del campo y su rotacional son, respectivamente

Nota que el rotacional no es una sola linea que pasa por el centro de las curvas de \(\mathbb{F}\) si no una serie de rectas paraleleas, lo intuitivamente dice que al colocar una esfera fija en un punto del espacio ésta rotara teniendo a dicha recta como eje de rotación.

Teorema de Green (forma vectorial)

Sea \(U\subseteq \mathbb{R}^2\) un abierto y \(\mathbb{F}:U\to \mathbb{R}^2\) un campo clase \(C^1\).

Si \(S\subset U\) es un compacto con interior no vacío tal que \(\partial S\) es una curva de Jordan, orientada positivamente, entonces \[ \int_{\partial S} \mathbb{F} \cdot d\partial S = \int_S (\nabla \times \mathbb{F})\cdot k dx\otimes dy \]

Tomando la interpretación de \(\nabla \times \mathbb{F}\) como la rotación infinitesimal del campo, el Teorema de Green es más claro pues, si sumamos todas las rotaciones infinitesimales del interior de la región notamos que hay muchas cancelaciones y lo que nos queda al final es la integral de línea en la frontera.

Cálculo CUATRO

El Teorema de Green

Definición

Curva de Jordan

Definición

Lema

Teorema

Teorema de Green

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Definición

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Teorema (Green versión 2)

Teorema (de invariancia)

Ejercicio

Ejercicio

Definición

Lema

Teorema

Definición

Teorema de Green (forma vectorial)