Una curva suave a trozos, cerrada, simple se conoce como una curva de Jordan.
Definición
Dado un subconjunto decimos que un punto
es un punto frontera de si para todo
es decir, toda bola abierta centrada en contiene puntos en y en el complemento de .
Al conjunto de puntos frontera de lo denotaremos como .
Por ejemplo
Lema
La frontera de un conjunto siempre es un subconjunto cerrado.
Sea . Para probar que es cerrado
vamos a probar que su complemento es abierto.
Antes de iniciar vemos que si negamos la definición de punto frontera
tenemos que si y sólo si exsite un
tal que alguna de las siguientes pasa:
ó
que a su vez implica
ó
En resumen:
ó
Ahora sea fijo y arbitrario. Tenemos dos casos.
Caso 1: existe con . Afirmamos que .
En efecto, si existe un
tal que de lo cual se sigue que
y por .
Por lo tanto .
Caso 2: existe con . Afirmamos que .
En efecto, si existe un
tal que de lo cual se sigue que
y por .
Por lo tanto .
Teorema
Toda curva de Jordan descompone a el plano en dos regiones abiertas conexas
una acotada y una no acotada teniendo a la curva como la frontera de cada una
de las regiones.
La región acotada se conoce como el interior de la curva y la no acotada
el exterior de la curva.
Nota: a pesar de que el resultado es intuitivo la prueba del teorema
no es sencilla y no se verá.
Sea un abierto y
un subconjunto compacto con interior no vacío
tal que es una:
curva suave a trozos,
cerrada,
simple.
Supongamos que son funciones clase
en . Si está orientada en contra de las manecillas del reloj
entonces
Ejercicio
Este ejercicio muestra el uso del Teorema de Green para calcular integrales de línea.
Calcula la integral de línea
donde es el cuadrado con vértices recorrido
en el sentido positivo.
Ejercicio
Calcula las siguientes integrales mediante dos métodos:
de manera directa y usando el Teorema de Green.
,
donde es el círculo centrado en el
origen de radio , recorrido
positivamente y son
constantes.
, donde
es el rectángulo con vértices ,
recorrido en el sentido positivo.
Resolviendo de manera directa la integral de línea,
debemos primero parametrizar el círculo con centro en
el orígen y de radio .
Sea definida como
,
es claro que recorre de manera
positiva al círculo y
.
Por lo tanto,
La cuarta igualdad se sigue de
Por lo tanto,
.
Por otro lado, usando el Teorema de Green tenemos que
donde es la región encerrada por la curva
, es decir
.
Además y
.
Por lo tanto,
ya que .
Nota: Si queremos comprobar que
, entonces a la
región la podemos representar como una
región de Tipo I, es decir
.
Por lo tanto
Como es una función par
tenemos que
y tomando el cambio de variable
( ),
tenemos
Por lo tanto, .
Ejercicio
Usa el Teorema de Green para calcular para calcular
, cuando es:
El cuadrado con vértices ,
recorrido positivamente.
El cuadrado con vértices ,
recorrido positivamente.
El círculo de radio con centro en el origen, orientado
positivamente.
Ejercicio
Sea una curva cerrada orientada positivamente,
simple, suave a trozos. Sea la región encerrada por
. Prueba que
Por denotamos el segmento de recta que une
con . Prueba directamente que
Sea un polígono de tal forma que
sea una curva suave a trozos, cerrada simple.
Si los vértices de , recorridos en el
sentido positivo, son ,
prueba que su área es
Sugerencia: usa el ejercico anterior.
Ejercicio
Sea un abierto y
dos funciones clase en . Sea una curva
orientada cerrada, simple, suave a trozos. Prueba que
Nota que y son campos vectoriales.
Definición
Sea una curva cerrada simple, suave
a trozos, con la propiedad de que
, siempre que la derivada existe.
Se define el vector normal unitario a la curva como
la función 𝕟 dada por
𝕟
Nota: .
Sea un conjunto abierto y
una función clase . Definimos
la derivada normal de a lo largo de como
𝕟𝕟
Ejercicio
Sea una curva cerrada simple, suave
a trozos, con la propiedad de que
, siempre que la derivada existe.
Prueba que 𝕟. Es decir, el vector
normal es perpendicular al vector velocidad.
Sea un conjunto abierto
con la traza de contenida en . Considera el campo vectorial, clase , . Denota
. Prueba
𝕟
Nota que el lado izquierdo es una integral de línea y el lado derecho una integral
con respecto a longitud de arco.
Ejercicio
Sea un abierto y
funciones de clase . Sea una
curva suave a trozos, cerrada simple.
Por denotamos a la región formada
por la traza de y la región que enciarra
(nota que entonces es un compacto). Prueba las siguientes identidades
que relacionan integrales de línea e integrales de Riemann.
Recuerda que .
𝕟
𝕟
La identidad de Green:
𝕟𝕟
Si y son armónicas, es decir ,
prueba
𝕟𝕟
Sea ,
esto implica que .
Entonces por el Ejercicio 14.15-2,
tenemos que
𝕟𝕟𝕟
Por otro lado, por el Teorema de Green tenemos
Por lo tanto,
𝕟
Ejercicio
Sea un abierto y
funciones de clase . Sea un compacto con interior no vacío
tal que es una curva de Jordan. Supón que está
orientada positivamente. Prueba
Teorema (Green versión 2)
Sean
curvas cerradas simples, suaves a trozos, orientadas
positivamente, con las
siguientes propiedades
Cualesquiera dos curvas
no se intersectan,
Las curvas, ,
caen dentro del interior de ,
La curva está en el exterior
de la curva , para todos ,
.
Por denotamos la región del plano
que consiste de la unión de , con el
subconjunto del interior de formado por
los puntos que no están en el interior de las curvas
.
Sean , funciones de clase
en , donde
es un conjunto abierto que contiene a .
Denota . Define
por
Sea una curva orientada cerrada simple, suave
a trozos contenida en .
Si cae en el interior de
prueba que los valores que puede tomar la integral
son , y explica cuando ocurre cada signo.
Calcula el valor de la integral
cuando cae en el exterior de .
Ejercicio
Sea un campo vectorial conservativo clase
en todo .
Sea y sea
una curva orientada cerrada simple, contenida
en ¿Cuántos posibles valores distintos
puede tomar la integral
Sea un conjunto abierto, conexo con exáctamente tres
hoyos, por ejemplo donde
Contesta la misma pregunta que en el inciso anterior.
Definición
Un abierto en se llama simplemente conexo sii
es conexo por trayectorias,
Para toda cura de Jordan en el interior de la curva
también está contenido en .
Convexo y simplemente conexo.
No convexo y simplemente conexo.
No convexo y no simplemente conexo.
Lema
Una poligonal simple escalonada en es una trayectoria simple (no se auto-intersecta) de tal forma que
está formada por segmentos de recta que son o bien horizontales o bien verticales.
Sea un abierto y conexo por trayectorias.
Entonces cualesquiera puntos en se pueden unir por una poligonal simple escalonada.
Teorema
Sea un abierto simplemente conexo
y un campo vectorial clase en .
Entonces es conservativo en si y sólo si
Definición
Dado un campo vectorial clase sobre un abierto,
, se define su rotacional como
el campo vectorial sobre con regla de correspondencia
La idea es que mide la rotación infinitesimal del campo. Para
visualizar lo anterior se fija una esfera muy chica en un punto del espacio
y se deja que el campo actue sobre la esfera, sin que esta se mueva, sólo
haciendo que la rote en el mismo lugar (pensando al campo como un fluido).
Por ejemplo, para el campo su rotacional es
. Una representación gráfica del campo y su rotacional
son, respectivamente
Nota que el rotacional no es una sola linea que pasa por el centro de las curvas de
si no una serie de rectas paraleleas, lo intuitivamente dice que al colocar una
esfera fija en un punto del espacio ésta rotara teniendo a dicha recta como eje de rotación.
Teorema de Green (forma vectorial)
Sea un abierto y
un campo clase .
Si es un compacto con interior no vacío tal que
es una curva de Jordan, orientada positivamente,
entonces
Tomando la interpretación de como la rotación infinitesimal del campo,
el Teorema de Green es más claro pues, si sumamos todas las rotaciones infinitesimales del interior
de la región notamos que hay muchas cancelaciones y lo que nos queda al final es la integral de línea en la frontera.