Cálculo CUATRO

§ 7

El Teorema de Green

Definición

Curva de Jordan

Una curva suave a trozos α:[a,b]R se llama:

  1. cerrada si α(a)=α(b),
  2. simple si para todos s,t(a,b], α(s)α(t).

Ejemplos.

Simple, no cerrada.

CurvaCerrada

No simple, no cerrada.

CurvaCerrada

Simple, cerrada.

CurvaCerrada

No simple, cerrada.

CurvaCerrada

Una curva suave a trozos, cerrada, simple se conoce como una curva de Jordan.

Definición

Dado un subconjunto ARn decimos que un punto pRn es un punto frontera de A si para todo r>0 Br(p)AyBr(p)Ac, es decir, toda bola abierta centrada en p contiene puntos en A y en el complemento de A.

Al conjunto de puntos frontera de A lo denotaremos como A.

Por ejemplo [a,b]={a,b},Br(p)={qRn:pq=r},=,Rn=.

Lema

La frontera de un conjunto siempre es un subconjunto cerrado.

Sea ARn. Para probar que A es cerrado vamos a probar que su complemento es abierto.

Antes de iniciar vemos que si negamos la definición de punto frontera tenemos que pA si y sólo si exsite un r0>0 tal que alguna de las siguientes pasa: Br0(p)A=óBr0(p)Ac=. que a su vez implica Br0(p)AcóBr0(p)A. En resumen: p(A)c existe r0>0 tal que Br0(p)Ac ó Br0(p)A

Ahora sea p(A)c fijo y arbitrario. Tenemos dos casos.

Caso 1: existe r>0 con Br(p)Ac. Afirmamos que Br(p)(A)c. En efecto, si qBr(p) existe un r0>0 tal que Br0(q)Br(p) de lo cual se sigue que Br0(q)Ac y por (???) q(A)c. Por lo tanto Br(p)(A)c.

Caso 2: existe r>0 con Br(p)A. Afirmamos que Br(p)(A)c. En efecto, si qBr(p) existe un r0>0 tal que Br0(q)Br(p) de lo cual se sigue que Br0(q)A y por (???) q(A)c. Por lo tanto Br(p)(A)c.

Teorema

Toda curva de Jordan descompone a el plano en dos regiones abiertas conexas una acotada y una no acotada teniendo a la curva como la frontera de cada una de las regiones.

La región acotada se conoce como el interior de la curva y la no acotada el exterior de la curva.

CurvaJordan

Nota: a pesar de que el resultado es intuitivo la prueba del teorema no es sencilla y no se verá.

Para más información ver Wikipedia

Teorema de Green

Sea UR2 un abierto y SU un subconjunto compacto con interior no vacío tal que SU es una:

  1. curva suave a trozos,
  2. cerrada,
  3. simple.

Supongamos que P,Q:UR son funciones clase C1 en U. Si S está orientada en contra de las manecillas del reloj entonces

S(xQyP)dxdy=SPdx+Qdy

TeoGreen

Ejercicio

Este ejercicio muestra el uso del Teorema de Green para calcular integrales de línea.

Calcula la integral de línea γ(a1+b1xy+c1y2)dx+(a2+b2xy+c2x2)dy donde γ es el cuadrado con vértices (0,0),(1,0),(0,1),(1,1) recorrido en el sentido positivo.

Ejercicio

Calcula las siguientes integrales mediante dos métodos: de manera directa y usando el Teorema de Green.

  1. γ(Ax+By)dx+(Cx+Dy)dy, donde γ es el círculo centrado en el origen de radio r>0, recorrido positivamente y A,B,C,DR son constantes.
  2. γ(x3y)dx+(xy2)dy, donde γ es el rectángulo con vértices (0,0),(3,0),(3,1),(0,1), recorrido en el sentido positivo.

Resolviendo de manera directa la integral de línea, debemos primero parametrizar el círculo con centro en el orígen y de radio r>0. Sea γ:[0,2π]RR2 definida como γ(t)=(rcos(t),r\sen(t)), es claro que γ recorre de manera positiva al círculo y γ(t)=(r\sen(t),rcos(t)).

Por lo tanto, γ(Ax+By)dx+(Cx+Dy)dy=02π[(Arcos(t)+Br\sen(t))(r\sen(t))+(Crcos(t)+Dr\sen(t))(rcos(t))]dt=02πr2[Acos(t)\sen(t)B\sen2(t)+Ccos2(t)+D\sen(t)cos(t)]dt=02πr2[A\sen(2t)2B(1cos(2t))2+C(1+cos(2t))2+D\sen(2t)2]dt=02πr2[CB2]dt=2πr2[CB2]=πr2[CB] La cuarta igualdad se sigue de 02πcos(2t)dt=02π\sen(2t)dt=0

Por lo tanto, γ(Ax+By)dx+(Cx+Dy)dy=πr2[CB].

Por otro lado, usando el Teorema de Green tenemos que γ(Ax+By)dx+(Cx+Dy)dy=D[x(Cx+Dy)y(Ax+By)]dA donde D es la región encerrada por la curva γ, es decir D={(x,y)R2:x2+y2r}.

Además x(Cx+Dy)=C y y(Ax+By)=B. Por lo tanto, γ(Ax+By)dx+(Cx+Dy)dy=D[CB]dA=[CB]D1dA=[CB]Area(D)=πr2[CB] ya que D1dA=Area(D)=πr2.

Nota: Si queremos comprobar que D1dA=πr2, entonces a la región D la podemos representar como una región de Tipo I, es decir D={(x,y)R2:x[r,r],r2x2yr2x2}.

Por lo tanto D1dA=rr(r2x2r2x21dy)dx=rr2r2x2dx=2rrr2x2dx

Como r2x2 es una función par tenemos que rrr2x2dx=20rr2x2dx y tomando el cambio de variable x=r\sen(t) ( dx=rcos(t)dt), tenemos D1dA=40π2r2cos2(t)dt=4r20π2(1+cos(2t)2)dt=πr2.

Por lo tanto, D1dA=πr2.

Ejercicio

Usa el Teorema de Green para calcular para calcular γey2dx+xdy, cuando γ es:

  1. El cuadrado con vértices (0,0),(2,0),(2,2),(0,2), recorrido positivamente.
  2. El cuadrado con vértices (2,2),(2,2),(2,2),(2,2), recorrido positivamente.
  3. El círculo de radio r>0 con centro en el origen, orientado positivamente.

Ejercicio

Sea γR2 una curva cerrada orientada positivamente, simple, suave a trozos. Sea S la región encerrada por γ. Prueba que Area(S)=12γxdyydx

Ejercicio

  1. Por γ denotamos el segmento de recta que une (x1,y1) con (x2,y2). Prueba directamente que γxdyydx=x1y2x2y1
  2. Sea P un polígono de tal forma que (P) sea una curva suave a trozos, cerrada simple. Si los vértices de P, recorridos en el sentido positivo, son (x1,y1),,(xn,yn), prueba que su área es Area(P)=12((x1y2x2y1)+(x2y3x3y2)++(xny1x1yn))

Sugerencia: usa el ejercico anterior.

Ejercicio

Sea UR2 un abierto y f,g:UR dos funciones clase C1 en U. Sea γ una curva orientada cerrada, simple, suave a trozos. Prueba que γ(fg)dγ=γ(gf)dγ Nota que fg y gf son campos vectoriales.

Definición

Sea γ:[a,b]R2 una curva cerrada simple, suave a trozos, con la propiedad de que γ(t)0, siempre que la derivada γ(t) existe.

Se define el vector normal unitario a la curva γ como la función n dada por n(t)=1γ(t)(γ2(t),γ1(t)) Nota: γ(t)=(γ1(t),γ2(t)).

Sea UR2 un conjunto abierto y φ:UR una función clase C1. Definimos la derivada normal de φ a lo largo de γ como nφ(t)=φ(γ(t))n(t)

Ejercicio

Sea γ:[a,b]R2 una curva cerrada simple, suave a trozos, con la propiedad de que γ(t)0, siempre que la derivada γ(t) existe.

  1. Prueba que γn=0. Es decir, el vector normal es perpendicular al vector velocidad.
  2. Sea UR2 un conjunto abierto con la traza de γ contenida en U. Considera el campo vectorial, clase C1 F:UR2, F=(A,B). Denota F=(B,A). Prueba γFdγ=γ(Fn)|dγ| Nota que el lado izquierdo es una integral de línea y el lado derecho una integral con respecto a longitud de arco.

Ejercicio

Sea UR2 un abierto y f,g:UR funciones de clase C2. Sea γ:[a,b]U una curva suave a trozos, cerrada simple. Por S denotamos a la región formada por la traza de γ y la región que enciarra (nota que entonces S es un compacto). Prueba las siguientes identidades que relacionan integrales de línea e integrales de Riemann.

Recuerda que 2g=x2g+y2g.

  1. γng|dγ|=S2gdxdy
  2. γfng|dγ|=S(f2g+(f)(g))dxdy
  3. La identidad de Green: γ(fnggnf)|dγ|=S(f2gg2f)dxdy
  4. Si f y g son armónicas, es decir 2f=2g=0, prueba γfng|dγ|=γgnf|dγ|

Sea F=(yg,xg), esto implica que F=g. Entonces por el Ejercicio 14.15-2, tenemos que γFdγ=γ(Fn)|dγ|=γ(gn)|dγ|=γng|dγ|.

Por otro lado, por el Teorema de Green tenemos γFdγ=S[x(xg)y(yg)]dxdy=S(x2g+y2g)dxdy=S2gdxdy.

Por lo tanto, γng|dγ|=S2gdxdy.

Ejercicio

Sea UR2 un abierto y u,v:UR funciones de clase C2. Sea SU un compacto con interior no vacío tal que S es una curva de Jordan. Supón que S está orientada positivamente. Prueba

  1. Suvdx+uvdy=S{v(xuyu)+u(xvyv)}dxdy
  2. 12S(vxuuxv)dx+(uyvvyu)dy=S{uxy2vvxy2u}dxdy

Teorema (Green versión 2)

Sean γ0,γ1,,γn curvas cerradas simples, suaves a trozos, orientadas positivamente, con las siguientes propiedades

  1. Cualesquiera dos curvas no se intersectan,
  2. Las curvas, γ1,,γn, caen dentro del interior de γ0,
  3. La curva γi está en el exterior de la curva γj, para todos 1i,jn, ij.

Por S denotamos la región del plano que consiste de la unión de γ0, con el subconjunto del interior de γ0 formado por los puntos que no están en el interior de las curvas γ1,,γn.

Sean A,B:UR, funciones de clase C1 en U, donde UR2 es un conjunto abierto que contiene a S.

Entonces se tiene que S(xByA)dxdy=γ0Adx+Bdyk=1nγkAdx+Bdy

TeoGreen

Teorema (de invariancia)

Sea UR2 un abierto conexo y F=(P,Q) un campo vectorial clase C1 en U que satisface xQ=yP en U.

Sean γ1,γ2 dos curvas suaves a trozos, cerradas, simples, que satisfacen:

  1. γ1 y γ2 tienen la misma orientación,
  2. γ2 caen dentro del interior de γ1,
  3. los puntos del interior de γ1 que caen afuera de γ2 están en U.

Entonces γ1Fdγ1=γ2Fdγ2

Ejercicio

Denota U={(x,y):(x,y)(0,0)}. Define A,B:UR por A(x,y)=yx2+y2,B(x,y)=xx2+y2 Sea γ una curva orientada cerrada simple, suave a trozos contenida en U.

  1. Si (0,0) cae en el interior de γ prueba que los valores que puede tomar la integral γAdx+Bdy son 2π,2π, y explica cuando ocurre cada signo.
  2. Calcula el valor de la integral γAdx+Bdy cuando (0,0) cae en el exterior de γ.

Ejercicio

Sea F un campo vectorial conservativo clase C1 en todo R2.

  1. Sea U={(x,y):1<x2+y2<2} y sea γ una curva orientada cerrada simple, contenida en A ¿Cuántos posibles valores distintos puede tomar la integral γFdγ
  2. Sea V un conjunto abierto, conexo con exáctamente tres hoyos, por ejemplo V=D(D1D1) donde D={(x,y):x2+y2<25},D1={(x,y):(x+1)2+y21/4},D1={(x,y):(x1)2+y2<1/4}. Contesta la misma pregunta que en el inciso anterior.

Definición

Un abierto en R2 se llama simplemente conexo sii

  1. U es conexo por trayectorias,
  2. Para toda cura de Jordan en U el interior de la curva también está contenido en U.

Convexo y simplemente conexo.

CurvaCerrada

No convexo y simplemente conexo.

CurvaCerrada

No convexo y no simplemente conexo.

CurvaCerrada

Lema

Una poligonal simple escalonada en R2 es una trayectoria simple (no se auto-intersecta) de tal forma que está formada por segmentos de recta que son o bien horizontales o bien verticales.

CurvaCerrada

Sea U un abierto y conexo por trayectorias.

Entonces cualesquiera puntos en U se pueden unir por una poligonal simple escalonada.

Teorema

Sea UR2 un abierto simplemente conexo y F=(P,Q):UR2 un campo vectorial clase C1 en U.

Entonces F es conservativo en U si y sólo si xQ=yP

Definición

Dado un campo vectorial clase C1 sobre un abierto, F=(A,B,C):UR3, se define su rotacional como el campo vectorial sobre U con regla de correspondencia ×F=det[ijkxyzABC]=(yCzB,zAxC,xByA)

La idea es que ×F mide la rotación infinitesimal del campo. Para visualizar lo anterior se fija una esfera muy chica en un punto del espacio y se deja que el campo F actue sobre la esfera, sin que esta se mueva, sólo haciendo que F la rote en el mismo lugar (pensando al campo como un fluido).

Por ejemplo, para el campo F=(y,x+yx,0) su rotacional es ×F=(0,0,2+y). Una representación gráfica del campo y su rotacional son, respectivamente

VectorField

Rotational

Nota que el rotacional no es una sola linea que pasa por el centro de las curvas de F si no una serie de rectas paraleleas, lo intuitivamente dice que al colocar una esfera fija en un punto del espacio ésta rotara teniendo a dicha recta como eje de rotación.

Teorema de Green (forma vectorial)

Sea UR2 un abierto y F:UR2 un campo clase C1.

Si SU es un compacto con interior no vacío tal que S es una curva de Jordan, orientada positivamente, entonces SFdS=S(×F)kdxdy

Tomando la interpretación de ×F como la rotación infinitesimal del campo, el Teorema de Green es más claro pues, si sumamos todas las rotaciones infinitesimales del interior de la región notamos que hay muchas cancelaciones y lo que nos queda al final es la integral de línea en la frontera.

U