Cálculo DOS

§ 16

Funciones Hiperbólicas

Definición

Las funciones coseno hiperbólico y seno hiperbólico se pueden ver como la parte par e impar, respectivamente de la función exponencial.

Recordemos (ejercicio Ejercicio 4.11-Cálculo UNO) que la parte par e impar de una función arbitraria $f$, estan dadas respespectivamente por $$ f_{\textrm{par}}(x):= \frac{f(x)+ f(-x) }{2} $$ $$ f_{\textrm{impar}}(x):= \frac{f(x)-f(-x)}{2} $$ asi pues definimos las funciones coseno y seno hiperbólicos como: \begin{eqnarray*} \cosh(x)&=& \frac{e^x+ e^{-x}}{2}, \quad x\in \mathbb{R}, \\ \senh(x) &=& \frac{ e^x - e^{-x}}{2}, \quad x\in \mathbb{R}. \end{eqnarray*} Es decir, el coseno hiperbólico es la parte par de la exponencial y el seno hiperbólico es la parte impar de la exponencial.

Tomando como modelo las funciones trigonométricas también definimos \begin{eqnarray*} \tanh(t) &=& \frac{ \senh(t) }{ \cosh(t) }= \frac{ e^x - e^{-x}}{ e^x + e^{-x }} \\ \csch(t)&=&\frac{1}{\senh(t)} \\ \sech(t)&=&\frac{1}{\cosh(t)} \\ \coth(t)&=&\frac{1}{\tanh(t)} \end{eqnarray*}

Ejercicio

Usando la definición de las funciones hiperbólicas y las propiedades de la exponencial demuestra las siguientes propiedades.

  1. $\cosh(t)>0$ para todo $t\in \mathbb{R}$.
  2. $\senh(t)=0$ si y sólo si $t=0$.
  3. $\senh(t)>0$ si y sólo si $t>0$ y $\senh(t)< 0$ si y sólo si $t < 0$.

Ejercicio

Asi como la s funciones coseno y seno estan atadas al círculo unitario, $x^2 + y^2 = 1$, las funciones coseno hiperbólico y seno hiperbólico estan relacionadas con la hiperbola $x^2 - y^2 = 1 $. Demuestra que, para toda $t\in \mathbb{R}$ $$ \cosh^2(t) - \senh^2(t)= 1. $$

Ejercicio

Las funciones hiperbólicas tienen muchas similitudes con las trigonométricas, como lo muestra este ejercicio.

  1. Demuetra las leyes para $\cosh$ y $\senh$ de una suma: \begin{eqnarray*} \senh(a+b)&=&\senh(a)\cosh(b)+\senh(b)\cosh(a), \\ \cosh(a+b)&=& \cosh(a)\cosh(b)+\senh(a)\senh(b), \\ \tanh(a+b)&=&\frac{\tanh(a)+\tanh(b)}{1+\tanh(a)\tanh(b)}. \end{eqnarray*}
  2. Demuestra: $$ \coth^2(a)-1=\csch^2(a). $$
  3. Demuestra que, para cualquier real $n$, $$(\cosh(a)+\senh(a))^n=\cosh(na)+\senh(na).$$
  4. Demuetra las fórmulas para las derivadas: \begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}(\senh(x))&=&\cosh(x), \\ \frac{d}{dx}(\cosh(x))&=&\senh(x),\\ \frac{d}{dx}(\tanh(x))&=&\sech^2(x).\\ \end{eqnarray*}

Ejercicio

Demuestra que $\senh$ es una función estrictamente creciente.

Ejercicio

Ya que $\senh$ es estrictamente creciente, existe su función inversa. Denotada $\senh^{-1}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Demuestra que, para toda $y\in \mathbb{R}$ $$ \senh^{-1}(y)=\ln(y+\sqrt{y^2+1}). $$

Sugerencia: primero, usando la definición de $\senh$, nota que la identidad $y=\senh(x)$ es equivalente a $e^{2x}-2ye^{x}-1=0$; después toma $X=e^x$, escribe $e^{2x}-2ye^{x}-1=0$ como una cuadrática en $X$ y resuélvela.

Ejercicio

La función $\cosh$ no es inyectiva, pero si se restringe el dominio $\cosh(x)$, $x\in [0,\infty)$ la función es inyectiva y suprayectiva al intervalo $[1,\infty)$. Por lo tanto la inversa está definida $\cosh^{-1}:[1, \infty) \to [0, \infty)$. Demuestra que, para toda $y\in [1,\infty)$, $$ \cosh^{-1}(y)=\ln(y+\sqrt{y^2-1}) $$

Sugerencia: sigue el mismo procedimiento al Ejercicio 16.6.

Ejercicio

Demuestra que la función $\tanh$ es estrictamente creciente.

Ejercicio

Demuestra que \begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty}\tanh(x)&=&1 \\ \lim_{x\to -\infty}\tanh(x)&=&-1 \end{eqnarray*}

Ejercicio

Ya que $\tanh$ es estrictamente creciente, existe su función inversa y el Ejercicio 16.9 dice que su dominio es el intervalo $(-1,1)$. Denotada $\tanh^{-1}:(-1,1) \to \mathbb{R}$ la función inversa de $\tanh$. Demuestra que $$ \tanh^{-1}(y)=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+y}{1-y} \right) $$

Sugerencia: sigue el mismo procedimiento al Ejercicio 16.6.

Ejercicio

Usando diferenciación implícita y el Ejercicio 16.4-4, demuestra las fórmulas de las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas.

\begin{eqnarray*} \frac{d}{dy}(\senh^{-1}(y))&=&\frac{1}{\sqrt{1+y^2}} \\ \frac{d}{dy}(\cosh^{-1}(y))&=&\frac{1}{\sqrt{y^2-1}} \\ \frac{d}{dy}(\tanh^{-1}(y))&=& \frac{1}{1-y^2} \end{eqnarray*}

Sugerencia: recuerda que $\cosh^2(t)-\senh^2(t)=1$.

Ejercicio

Demuestra: \begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{1+y^2}} dy &=& \senh^{-1}(y),\\ \int \frac{1}{\sqrt{y^2-1}}dy &=& \cosh^{-1}(y), \\ \int \frac{1}{1-y^2}dy &=& \tanh^{-1}(y). \end{eqnarray*}

Ejercicio

Calculas las siguientes integrales.

  1. $\int \senh(1+4x)dx$
  2. $\int \frac{\senh(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx$
  3. $\int_4^6 \frac{1}{\sqrt{t^2-9 }}dt$
  4. $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{16t^2 +1}}dt$
  5. $\int \frac{e^x}{1-e^{2x}}dx$

Ejercicio

Evalua $\lim_{x\to \infty} \frac{\senh(x)}{e^x}$

Ejercicio

Demuestra que si $a\ne 0$ y $b\ne 0$, entonces existen números $\alpha$ y $\beta$ tal que $ae^x+be^{-x}$ es igual a alguna de las siguientes funciones: $\alpha \cosh(x+\beta)$ ó $\alpha \senh(x+\beta)$.

Ejercicio

  1. Demuestra que toda función de la forma $$ y=A\cosh(mx)+B\senh(mx) $$ satisface la ecuación diferencial $y''=m^2y$.
  2. Encuentra $y$ tal que $y''=9y$, $y(0)=-4, y'(0)=6$.

Ejercicio

En el circulo unitario, el area $$ dibujito $$ es igual a $t/2$, si $t$ es medido en radianes. Algo análogo para para las funciones hiperbólicas. Tomar $(a,b)=(\cosh(t_0), \senh(t_0))$ y considera el area $$ dibujito $$

Demuestra que el area es igual a $t_0/2$.

Vamos a tomar dos areas. $A$ es el area que vamos a calcular y $B$ es el area bajo la curva $y=\sqrt{x^2-1}$, es decir $B=\int_1^a\sqrt{x^2-1 }dx$.

  1. Prueba que $$B=\frac{1}{4}\senh(2t_0)-\frac{1}{2}t_0$$.

    Sugerencia: en la integral $\int_1^a\sqrt{x^2-1 }dx$ toma el cambio de variable $x=\cosh(t)$.

  2. Demuestra que: $$ A+B=\frac{1}{4}\senh(2t_0) $$

    Sugerencia: considera el area del triángulo formado por las areas $A$ y $B$.

  3. Concluye que $A=t_0/2$.