Cálculo UNO

Funciones

Introducción

El concepto de función puede presentarse de varias formas: con palabras, tablas, fórmulas, gráficas. En cada caso una función relaciona dos clases de objetos donde algunos de los objetos dependen de otros y donde la dependencia se debe de presentar de manera clara.

Por ejemplo, el área de un círculo depende de su radio. Decimos que el área es una función del radio y podemos dar la relación precisa mediante \[ \textrm{Area}= \pi r^2 \] donde \(r\) representa el radio. Para enfatizar ésta relación se escribe, por ejemplo, \(A(r)=\pi r^2\).

Otra forma es mediante una gráfica:

EjemploGrafica
donde cada punto \((x,y)\) en el plano está en la gráfica sí y sólo si satisface la relación \(y=\pi x^2\).

Aún otra forma de pensar a las funciones es cómo máquinas que aceptan ciertas entradas (insumos) las modifican para construir nuevos resultados (productos). Las variables independientes son los insumos, la regla de correspondencia es el proceso que usa la máquina y el resultado (producto) es la variable dependiente.

Maquina

Es importante notar que en todas las formas de presentar a una función siempre hay tres componentes (las cuales son esenciales):

  1. los objetos o variables independientes, en el ejemplo anterior el radio \(r\);
  2. los objetos que se relacionan con las variables independientes, en el ejemplo anterior el área que se representa con un número mayor o igual a cero, \(A\) ;
  3. la relación precisa entre las variables independientes y dependientes, en el ejemplo la ecuación \(A=\pi r^2\).

En resumen podemos decir que:

una función está compuesta de tres partes: dominio, codominio y regla de correspondencia.

En la definición que sigue se usa teoría de conjuntos para dar una definición precisa de lo que es una función, pero la idea es capturar las tres partes escenciales que se mencionaron.

Definición

Haciendo una abstracción de los ejemplos anteriores una función consiste en tres partes: dominio, codominio y regla de correspondencia. La definición que sigue es la formalización de ésta idea. El dominio va a estar representado por un conjunto \(A\), el codominio por un conjunto \(B\) y la regla de correspondencia por un subconjunto del producto cartesiano \[ A\times B = \{ (a,b):a \in A, b\in B\} \]

Antes de dar la definición formal, ésta se llama así por que depende de concepto de teoría de conjuntos (como subconjuntos y dependencia). Es decir, la definición de función depende de conceptos más elementales en teoría de conjuntos.

Sean \(A,B\) dos conjuntos distintos del vacío. Una función con dominio \(A\) y codominio \(B\) es un subconjunto \(R\) de \(A\times B\) que satisface:

Otra forma de expresar lo anterior es que para toda \(a \in A\) existe un único \(b\in B\) con \((a,b)\in R\).

Al conjunto de todos los \(b\) que aparecen como segunda entrada en \(R\) se le llama el rango de la función. Es decir: \[ \textrm{Rango}(R)=\{b\in B: \textrm{existe \(a\in A\) con \((a,b)\in R\)}\} \]

Con la notación anterior se escribe la función \(R\) como \(f:A\to B\), donde \(f(a)=b\) si y sólo si \((a,b)\in R\). Con esta notación tenemos \[ R=\{ (a,f(a)): a\in A\} \] Notar que esto es precisamente la gráfica de la función \(f\) pensada de manera intuinitva. Además \[ \textrm{Rango}(f)=\{ f(a): a\in A\}. \]

Durante el curso se presentarán principalmente funciones de \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{R}\), es decir tanto \(A\) como \(B\) serán subconjuntos de \(\mathbb{R}\), así que el énfasis será en la regla de corresponedencia, es decir, la \(f\).

Ejercicio

De la definición de función se obtiene un criterio sencillo para ver que una curva en el plano es una gráfica de una función.

Ya que, para todo punto en el dominio existe uno y sólo un punto en el codominio de tal forma que el par ordenado está en la función, esto se traduce en que toda línea vertical cruza a la gráfica de la función en un sólo punto.

Para las siguientes curvas en el plano, determina cual es la gráfica de una función. Además determina su su dominio y rango.

  1. \( \)
    EjerGrafica1
  2. \( \)
    EjerGrafica2
  3. \( \)
    EjerGrafica3
  4. \( \)
    EjerGrafica4

Ejercicio

Considera la función \(f:[-2,2] \to \mathbb{R}\) dada por \begin{eqnarray*} f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} -1 & -2 \leq x < 0, \\ 1 & 0 \leq x < 2 .\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*} Nota: \(f\) no está definida para \(x< -2\) ó para \(x>2\).

  1. Dibuja la gráfica de \(f\) y determina su rango.
  2. Define \(g(x)=f(4x)\). Describe el dominio y el rango de \(g\) y dibuja su gráfica.
  3. Define \(h(x)=f(x+2)\). Describe el dominio y el rango de \(h\) y dibuja su gráfica.
  4. Define \(k(x)= g(x)+h(x)\). Describe el dominio y el rango de \(k\) y dibuja su gráfica.

Video

Ejercicio

Considera la función \(f:[0,3] \to \mathbb{R}\) dada por \begin{eqnarray*} f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} -1 & 0 \leq x < 1 \\ 0 & 1 \leq x < 2 \\ 2 & 2 \leq x \leq 3 \end{array} \right. \end{eqnarray*} Nota: \(f\) no está definida para \(x< 0\) ó para \(x>3\).

  1. Dibuja la gráfica de \(f\) y determina su rango.
  2. Define \(g(x)=f(3x)\). Describe el dominio y el rango de \(g\) y dibuja su gráfica.
  3. Define \(h(x)=f(x-3)\). Describe el dominio y el rango de \(h\) y dibuja su gráfica.
  4. Define \(k(x)= g(x)+h(x)\). Describe el dominio y el rango de \(g\) y dibuja su gráfica.

Ejercicio

Cuando se tratan de funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) en muchos casos se especifíca solamente la regla de correspondencia ó fórmula y se deja al lector encontrar el dominio ó dominio natural de dicha regla. Es decir se busca el subconjunto de números reales para el cual la fórmula tiene sentido, es decir donde las operaciones algebráicas se pueden realizar sin tener problemas de definición. Por ejemplo el dominio natural de la función \(f(x)=\sqrt{x-2}\) es \( [2,\infty)\), pues en este subconjunto se satisface \(x-2 \geq 0\) y por lo tanto existe la raíz cuadrada.

Determina el dominio de las siguientes funciones:

  1. \(f(x)=\sqrt{\frac{4-x^2}{x^2-5x^6}}+\sqrt{\frac{4x}{x^2+1}}\)
  2. \(f(x)= \frac{x(x-1)(x-5)}{x^2+2x}+\frac{1}{(x^2-9)^2}\)
  3. \(f(x)=\sqrt{x^2-9}+\sqrt{4-x^2}\)

Nota: el dominio de una suma de funciones es la intersección de los dominios de los sumandos.

Ejercicio

Una familia imporante de funciones son los polinomios de una variable. Estos son funciones con diminio y codominio \(\mathbb{R}\) y cuyas reglas de de correspondencia son de la forma \[ p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+ \cdots + a_nx^n \] donde los números, \(a_0,\dots, a_n \in \mathbb{R}\) se llaman los coeficientes y el polinomio se dice que es de grado \(n\) si \(n\) el en natural más grande para el cual el coeficiente \(a_n\) es distinto de cero. Por ejemplo, los polinomios de grado cero son las funciones constantes, los de grado uno tienen por gráficas líneas rectas y los de grado 2 parábolas.

Una característica importante es que dos polinomios \(p(x)\) y \(q(x)\) son iguales si y sólo si todos sus coeficientes son iguales.

Para cada una de las condiciones dadas, encuentra todos los polinomios \(p(x)\), de grado menor o igual a 2 que satisfacen la condición.

  1. \(p(0)=p(1)=p(2)=3\).
  2. \(p(0)=p(1)\).
  3. \(p(5x)=5p(x)\).
  4. \(p(x-1)=p(x+1)\).
Video

Definición

Para estudiar funciones muchas veces es útil ver algunas de las simetrías de su gráfica. Si la gráfica es simétrica con respecto al eje \(y\) la función se llama par, si la función se simétrica con respecto al origen, se llama impar. Otro aspecto importante, y que se verá en los Ejercicio 4.10 y Ejercicio 4.11 , es que las funciones pares e impares puden pensarse como los bloques que forman a cualquier otra función.

Una función \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) se llama:

Video

Ejercicio

Demuestra que si \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) es al mismo tiempo una función par y una función impar entonces \(f\) es la función constante cero.

Video

Ejercicio

Sea \(F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) una función arbitraria. Supon que se puede escribir \(F\) de dos formas:

\[ F=f+g\quad \textrm{y} \quad F=h+k, \]

donde \(f,h:\mathbb{R}\) son funciones pares y \(g,k:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) son funciones impares.

Demuestra que \(f=h\) y \(g=k\).

Sugerencia: usa el ejercicio anterior.

Video

Ejercicio

Sea \(f:D \to \mathbb{R}\) cualquier función. Define

\[ f_{\textrm{par}}(x):= \frac{f(x)+ f(-x) }{2} \] \[ f_{\textrm{impar}}(x):= \frac{f(x)-f(-x)}{2} \]

Demuestra que:

  1. \(f_{\textrm{par}}\) es una función par, \(f_{\textrm{impar}}\) es una función impar.
  2. \(f=f_{\textrm{par}}+f_{\textrm{impar}}\).

Nota

Los ejercicios Ejercicio 4.10 y Ejercicio 4.11 tienen como consecuencia que toda función \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) puede escribirse, de manera única, como una suma de una función par y una función impar.

Por ejemplo, para \(f(x)=1+3x-5x^2-4x^3+9x^4-10x^5+7x^6\) las partes pares a impares son: \begin{eqnarray*} f_{\textrm{impar}}(x)&=&3x-4x^3-10x^5,\\ f_{\textrm{par}}(x)&=& 1-5x^2+9x^4+7x^6. \end{eqnarray*}

Esto demuestra la importancia de las funciones pares a impares. Es más, muchas funciones fundamentales, como las trigonométricas, son o bien pares o bien impares.

Definición

Un aspecto importante en el análisis de una función es si crece o decrece, por ejemplo piensa en una función que mide la temperatura con respecto al tiempo. Dependiendo del tipo de crecimiento vamos a definir cuatro tipos de funciones.

Considera una función \(f:D \to \mathbb{R}\).

Ejercicio

Sean \(m,b \in \mathbb{R}\) fijos y arbitrarios con \(m\ne 0\). Considera la función \(f(x)=mx+b\), con \(x\in \mathbb{R}\).

Demuestra que \(f\) es estrictamente creciente si y sólo si \(m>0\) y \(f\) es estrictamente decreciente si y sólo si \(m < 0 \).

Ejercicio

Considera las funciones potencias, \(f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \), \(f(x)=x^n\), \(n\in \mathbb{N}\).

Demuestra que, para todo \(n \geq 1\) , \(f_n\) es estrictamente creciente en todo \([0,\infty)\).

Video

Ejercicio

Sea \(\emptyset \ne I \subseteq \mathbb{R}\) un invervalo y sean \(f,g: I \to \mathbb{R}\) dos funciones. Demuestra que

  1. Si \(f\) y \(g\) son monótonas crecientes/decrecientes entonces \(f+g\) es monótona creciente/decreciente.
  2. Si \(f\) y \(g\) son estrictamente crecientes/decrecientes entonces \(f+g\) es estrictamente creciente/decreciente.
  3. Si \(f\) y \(g\) son monótonas crecientes y ademáas suponemos \(f(x) \geq 0\) y \(g(x) \geq 0\) para todo \(x\in I\), demuestra que la función producto \(fg\) es monótona creciente.

Ejercicio

Sean \(x,y\in \mathbb{R}\) con \(0\leq y < x\).

  1. Prueba: \[ \sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \] Sugerencia: usa diferencia de cuadrados.
  2. El inciso anterior se generaliza como sigue: toma \(n \in \mathbb{N}\), con \(n \geq 3\). Demuestra \[ \sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{y}=\frac{x-y}{\sum_{k=0}^{n-1} x^{k/n}y^{(n-1-k)/n} }. \] Sugerencia: usa el Ejercicio 1.18.
Video

Ejercicio

Considera las funciones raíz \(n\)-ésima, \(g_n:[0,\infty) \to \mathbb{R}\), \(g_n(x)=\sqrt[n]{x}\), \(n \geq 2\). Demuestra que para toda \(n\), \(g_n\) es estrictamente creciente en \([0,\infty)\).

Sugerencia: usa el ejercicio anterior.

Ejercicio

Usando las simetrias de las funciones potencia y usando el hecho de que son estrictamente crecientes en \([0,\infty)\) demuestra que:
  1. Para \(n \geq 1\) y \(n\) impar, \(f_n(x):=x^n\) es estrictamente creciente en todo \(\mathbb{R}\).
  2. Para \(n \geq 1\) y \(n\) par, \(f_n(x):=x^n\) es estrictamente decreciente en \((-\infty, 0]\) y estrictamente creciente en \([0,\infty)\).

Prueba de 1. Supongamos que \(n\) es un natural impar.

Para probar que \(f_n\) es estrictamente creciente en \(\mathbb{R}\) debemos de probar que dados cualesquiera \(x,y\in \mathbb{R}\): \begin{equation}\label{Eqn:Aux1PotenciasEstCre} x< y \Rightarrow x^n < y^n. \end{equation} para lo cual se ven tres casos.

Caso 1: ambos son mayores o iguales a cero, es decir, \(x,y\in [0,\infty)\) con \(x< y\).

En este caso notamos que \eqref{Eqn:Aux1PotenciasEstCre} se sigue directamente del Ejercicio 4.15.

Caso 2: ambos son menores o iguales a cero, es decir, \(x,y\in (-\infty, 0]\) con \(x< y\).

Se sigue que \(-x,-y\in [0,\infty)\) y \(-y< - x \). Usando el caso anterior tenemos \((-y)^n < (-x)^n\). Ahora, usando que \(n\) es impar resulta que \((-y)^n=-y^n, (-x)^n=-x^n \), por lo que \[ (-y)^n < (-x)^n \Rightarrow -y^n< -x^n \Rightarrow x^n < y^n \] probando \eqref{Eqn:Aux1PotenciasEstCre}.

Caso 3: tienen signos distintos, es decir, \(x\in (-\infty,0], y\in [0,\infty)\) con \(x< y\).

Observamos que debido a la suposición \(x< y\), podemos suponer que alguno de \(x\) o \(y\) es distinto de cero. Supongamos \(x< 0\).

Por el caso 1, \( 0 \leq y \Rightarrow 0 \leq y^n\). Por el caso 2, \(x< 0 \Rightarrow x^n < 0\). Juntando las dos últimas desigualdades concluimos \(x^n< y^n\).

Prueba de 2. Supongamos que \(n\) es un natural par.

Del Ejercicio 4.15 se sigue inmediatamente que \(f_n(x)=x^n\) es estrictamente creciente en \([0,\infty)\).

Por lo tanto, sólo resta ver que \(f_n\) es estrictamente decreciente en \((-\infty,0]\). Para probarlo, tamamos \(x,y\in (-\infty,0]\) con \(x< y\).

Se sigue que \(-x,-y\in [0,\infty)\) y que \(-y< -x\). Aplicando que las funciones potencia son estrictamente crecientes en \([0,\infty)\) obtenemos \((-y)^n < (-x)^n\). Pero al ser \(n\) par \((-x)^n=x^n\), \((-x)^n=x^n\). Por lo tanto \[ x< y \Rightarrow (-y)^n=y^n < (-x)^n=x^n \]

Ejercicio

Una función \(f:A\to B\) se llama inyectiva en \(A\) si \(f\) manda puntos distintos de \(A\) en valores distintos. Es decir, si \(a_1,a_2\in A\) y \(a_1\ne a_2\) entonces \(f(a_1)\ne f(a_2)\).

Sea \(A \subseteq \mathbb{R}\) distinto del vacío y \(f:A \to \mathbb{R}\) estrictamente creciente en \(A\). Prueba que \(f\) es inyectiva en \(A\).

¿Se vale el mismo resultado si ahora \(f\) es estrictamente decreciente en \(A\)?

Definicion

Al analizar el crecimiento de una función hay un factor importante que se llama concavidad. La manera en qué una función crece es muy importante. Las gráficas de abajo presentan dos funciones monótonas crecientes pero, cualitativamete, su crecimiento es muy distinto. El crecimiento de \(f\) parece se más lento que el de la \(g\). Si pensamos que que ambas funciones representan ganancias ¿cuál prefeririás que representara tus ganancias?

Concavidades

Sea \(I\) un intervalo y \(f,g:I \to \mathbb{R}\) funciones.

  1. decimos que \(f\) es cóncava hacia abajo en \(I\), o cóncava, si, siempre que se tengan \(x_0,x_1\in I\), con \(x_0< x_1 \), entonces para todo \(t\in [0,1]\) se cumple:

    \[ f((1-t)x_0+tx_1) \geq (1-t)f(x_0)+tf(x_1). \]
  2. decimos que \(g\) es cóncava hacia arriba en \(I\), o convexa, si siempre que se tengan \(x_0,x_1\in I\), con \(x_0< x_1 \), entonces para todo \(t\in [0,1]\) se cunmple:

    \[ g((1-t)x_0+tx_1) \leq (1-t)g(x_0)+tg(x_1). \]

Nota

Interpretación geométrica de la concavidad.

Sean \(x_0, x_1 \in \mathbb{R}\), fijos, arbitrarios y supongamos que \(x_0 < x_1\). Para \(t\in [0,1]\) denotamos \(x_t:=tx_0+(1-t)x_1\).

El punto \(x_t\) es un punto entre \(x_0\) y \(x_1\), es decir, \(x_0 \leq x_t \leq x_1\). Para checar lo anterior simplemente tenemos que probar \(x_t-x_0 \geq 0\) y \(x_1-x_t \geq 0\). Sólo verificamos la primera pues la segunda condición es similar. Haciendo la cuenta tenemos \[ x_t-x_0=tx_0+(1-t)x_1-x_0= (t-1)x_0+(1-t)x_1=(1-t)(x_1-x_0) \] pero \(1-t \geq 0 \) y \(x_1-x_0 \geq 0\), por lo que \(x_t-x_0 \geq 0\).

También notamos que para \(t=0\), \(x_t=x_0\) y para \(t=1\), \(x_t=x_1\). Entonces podemos pensar al punto \(x_t\) viajando en el intervalo \([x_0,x_1]\), iniciando en tiempo \(t=0\) en \(x_0\), avancando hacia la derecha mientras \(t\) aumenta para llegar a \(x_1\) en el tiempo \(t=1\).

Con esta notacíon, decir que la función \(g\) es cóncava hacia arriba se escribe: \[ g(x_t) \leq (1-t)g(x_0)+tg(x_1). \] Por otro lado, usando la notación \(y_t=(1-t)f(x_0)+tf(x_1)\), tenemos que \(y_t\) viaja desde \(g(x_0)\), cuando \(t=0\) a \(g(x_1)\), cuado \(t=1\), en una línea recta. Entonces, decir que \(g\) es cóncava hacia arriba es equivalente a decir que los valores de la función en \([x_0,x_1]\) (representados por \(g(x_t)\)) están por debajo de la recta que une \((x_0,g(x_0))\) con \((x_1,g(x_1))\) (representado por \(y_t\)).

Nota que para una función \(f\), cóncava hacia abajo, las desigualdades se voltean por lo que ahora la gráfica de \(f\) está por arriba de la línea que une \((x,f(x_0))\) con \((x_1,f(x_1))\).

DefConcavidad

Ejercicio

Prueba que la función \(g(x)=\sqrt{x}\), es concava hacia abajo en \([0,\infty)\).

Fijamos \(0 \leq x_0 < x_1\).

Para \(t\in (0,1)\), definimos \(x_t=tx_0+(1-t)x_1\). Debemos probar:

\[ t\sqrt{x_0}+ (1-t)\sqrt{x_1} \leq \sqrt{x_t} \]

Escribiendo \(\sqrt{x_t}=t\sqrt{x_t}+(1-t)\sqrt{x_t}\), la desigualdad anterior es equivalente a probar (pasando lo que tiene \(1-t\) del lado izquierdo y los que tienen \(t\) del derechoß):

\begin{equation}\label{Eqn:AuxEjerRaizConcavaAbajo} (1-t) (\sqrt{x_1} - \sqrt{x_t}) \leq t(\sqrt{x_t}-\sqrt{x_0}) \end{equation}

Ahora usamos el Ejercicio 4.17 para obtener \begin{eqnarray*} \sqrt{x_t}-\sqrt{x_0}=\frac{x_t-x_0}{\sqrt{x_t}+ \sqrt{x_0}} \\ \sqrt{x_1}-\sqrt{x_t}=\frac{x_t-x_1}{\sqrt{x_1}+ \sqrt{x_t}} \end{eqnarray*} por lo que podemos substituir estas expresiones en \eqref{Eqn:AuxEjerRaizConcavaAbajo} para obtener \begin{equation}\label{Eqn:Aux2EjerRaizConcavaAbajo} (1-t)\frac{x_1-x_t}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_t}} \leq t \frac{x_t-x_0}{\sqrt{x_t}+\sqrt{x_0}} \end{equation} Un cálculo directo muestra que \[ x_1-x_t=t(x_1-x_0), \quad x_t-x_0=(1-t)(x_1-x_0) \] Por lo tanto, se puede substituir esto en \eqref{Eqn:Aux2EjerRaizConcavaAbajo} para llegar a \[ t(1-t)\frac{x_1-x_0}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_t}} \leq t(1-t)\frac{x_1-x_0}{\sqrt{x_t}+\sqrt{x_0}} \] la cual se simplifica a \begin{equation}\label{Eqn:Aux3EjerRaizConcavaAbajo} \frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_t}} \leq \frac{1}{\sqrt{x_t}+\sqrt{x_0}} \end{equation}

Recapitulando hemos encontrado que \eqref{Eqn:AuxEjerRaizConcavaAbajo} es equivalente a \eqref{Eqn:Aux3EjerRaizConcavaAbajo}. Así, lo que resta probar es \eqref{Eqn:Aux3EjerRaizConcavaAbajo}. Para probar ésta última tenemos \(x_0< x_1\) implica \(\sqrt{x_0} < \sqrt{x_1}\) (al ser la función raíz estrictamente creciente). Si sumamos \(\sqrt{x_t}\) en ambos lados de la desigualdad enterior tenemos \[ \sqrt{x_0}+\sqrt{x_t} < \sqrt{x_1}+\sqrt{x_t} \] y si scamos inversos multiplicativos concluimos \[ \frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_t}} < \frac{1}{\sqrt{x_0}+\sqrt{x_t}} \] lo cual prueba \eqref{Eqn:Aux3EjerRaizConcavaAbajo}.

Ejercicio

Prueba que la función \(f(x)=x^2\), es cóncava hacia arriba en \([0,\infty)\).

Usa una idea similar al ejercicio anterior.

Ejercicio

Sea \(I \subset \mathbb{R}\) un intervalo y \(f,g:I \to \mathbb{R}\) dos funciones.

  1. Prueba que si ambas \(f\) y \(g\) son cóncavas hacia abajo y \(\alpha >0\) entonces la función \(f+\alpha g\) también es cóncava hacia abajo.
  2. Enuncia y prueba un resultado similar al inciso anterior si ahora se supone que \(f\) y \(g\) son conavas hacia arriba.
  3. Si \(f\) es cóncava hacia arriba prueba que \(-f\) es cóncava hacia abajo.

Ejercicio

Sean \(I,J\subseteq \mathbb{R}\) dos intervalos y \(g:I \to \mathbb{R}\) y \(f:J\to \mathbb{R}\) dos funciones tales que:

Prueba que \(g\circ f\) es cóncava hacia abajo.

Usamos la definición para probar directamente que \(f\circ g\) es cóncava hacia abajo.

Tomamos \(x_0,x_1\in J\) con \(x_0< x_1\). Debemos de probar que \begin{equation}\label{Eqn:AuxEjerCompoConcavas} (1-t)(g\circ f)(x_0)+t (g\circ f)(x_1) \leq (g\circ f)((1-t)x_0+tx_1). \end{equation}

Usando que \(f\) es cóncava hacia abajo tenemos \[ (1-t)f(x_0)+tf(x_1) \leq f((1-t)x_0+tx_1). \] Aplicando \(g\) a ambos lados de la desigualdad y tomando en cuenta de que es monótona creciente llegamos a \[ g((1-t)f(x_0)+tf(x_1)) \leq g(f((1-t)x_0+tx_1)). \] Pero, al ser \(g\) cóncava hacia abajo \[ (1-t)g(f(x_0))+ tg(f(x_1)) \leq g((1-t)f(x_0)+tf(x_1)), \] por lo tanto se concluye de las dos desigualdades anteriores que \[ (1-t)g(f(x_0))+ tg(f(x_1)) \leq g(f((1-t)x_0+tx_1)), \] lo cual prueba \eqref{Eqn:AuxEjerCompoConcavas}.

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