Sea $a$ un real fijo y $f:[a,\infty) \to \mathbb{R}$ una función.
Si para todo $x\geq a$ la integral $\int_a^x f(t)dt$ existe y el límite $$ \lim_{T\to \infty} \int_a^T f(t)dt $$ existe entonces decimos que la integral $\int_a^\infty f(t)dt$ existe y definimos $$ \int_a^\infty f(t)dt:=\lim_{T\to \infty} \int_a^T f(t)dt $$ También decimos que la integral $\int_a^\infty f(t)dt$ es convergente. De lo contrario diremos que la integral $\int_a^\infty f(t)dt$ diverge.
Por ejemplo la integral $\int_1^\infty \frac{1}{x}dx$ diverge pues \begin{eqnarray*} \lim_{T\to \infty}\int_1^T \frac{1}{x}dx= \lim_{T\to \infty}\log(T)=+\infty \end{eqnarray*}
Considera una potencia $p\in (0,\infty)$ y la función $f(t)=\frac{1}{t^p}$, $t\geq 1$.
Encuentra los valores $p$ para los cuales la integral $\int_1^\infty f(t)dt$ converge.
Considera la función $f(t)=\sen(t)$, $t\geq 0$.
Para \(n\in \mathbb{N}\) define \[ a_n=\int_0^{n\pi} \sen(t)dt \] Prueba que \(\lim_{n\to \infty}a_n\) existe y sin embargo \[ \int_0^{\infty}f(t)dt \] diverge.
Nota: este ejercio muestra que el parámetro \(T\) en la Definición 18.1 no puede tomarse discreto.
Demuestra $$ \int_1^\infty e^{-t}dt=\frac{1}{e} $$
Demuestra el siguiente resultado.
Sea $f:[a, \infty) \to \mathbb{R}$ una función que satisface
Sean $f,g:[a,\infty) \to\mathbb{R}$ funciones que satisfacen
Demuestra que la integral $\int_1^\infty e^{-t^2}dt$ es convergente.
Sugerencia: usa el Teorema de Comparación y el Ejercicio 18.4.
Sea $\omega >0$ fijo. Demuestra que, para todo natural $n$, la integral $\int_0^\infty x^n e^{-\omega x}dx $ converge. Además $$ \int_0^\infty x^n e^{-\omega x}dx=\frac{n!}{\omega^n} $$
Sea $\omega >0$ fijo. Demuestra que, para todo real $s>0$, la integral $\int_0^\infty x^s e^{-\omega x}dx$ converge.
Sugerencia: usa el Teorema de comparación y el Ejercicio 18.8.
Considera una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que, para todo intervalo cerrado y acotado $[a,b]$, la integral $\int_a^b f(t)dt$ exsite.
Si existe $c$ tal que $\int_c^\infty f(t)dt$ converge, demuestra que para todo $c'$, la integral $\int_{c'}^\infty f(t)dt$ también converge. Además \begin{eqnarray*} \int_{c}^\infty f(t)dt = \int_{c}^{c'}f(t)dt+ \int_{c'}^\infty f(t)dt, \quad \textrm{si $c'>c$} \\ \int_{c'}^\infty f(t)dt = \int_{c'}^cf(t)dt+ \int_{c}^\infty f(t)dt, \quad \textrm{si $c>c'$} \end{eqnarray*} De manera similar, si existe $c$ tal que $\int_{-\infty}^c f(t)dt$ converge, demuestra que para todo $c'$, la integral $\int_{-\infty}^{c'} f(t)dt$ también converge. Además \begin{eqnarray*} \int^{c'}_{-\infty} f(t)dt = \int_{-\infty}^{c}f(t)dt+ \int_{c}^{c'} f(t)dt, \quad \textrm{si $c'>c$} \\ \int^{c}_{\infty} f(t)dt = \int_{-\infty}^{c'}f(t)dt+ \int_{c'}^c f(t)dt, \quad \textrm{si $c>c'$} \end{eqnarray*}
Dada una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, decimos que la integral $$ \int_{-\infty}^\infty f(t)dt $$ converge si:
Demuestra que si la integral $\int_{-\infty}^\infty f(t)dt$ converge entonces, para cualesquiera $d$, $$ \int_{-\infty}^d f(t)dt +\int_d^{\infty} f(t)dt = \int_{-\infty}^\infty f(t)dt. $$
Demuestra que la integral $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$ converge.
Sugerencia: usa el Ejercicio 18.7.
Nota: el ejercicio sólo asegura la existencia de la integral, el valor exácto de $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$ se calculará posteriormente.
Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función tal que, para todos $a < b$, la integral $\int_a^b f(x)dx$ existe.
Sugerencia: consider $f$ una función potencia.
Sugerencia: usa el Ejercicio 18.5.
Demuestra $$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}dx=\pi .$$
Sugerencia: usa el Ejercicio 18.14- inciso (3).
En lo que sigue se prueba la siguiente identidad: $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}. $$
Demuestra que, para $x\in [0,1]$ $$ 1-x^2 \leq e^{-x^2}. $$
Sugerencia: define la función $f(x)= e^{-x^2}-1+x^2$; analizando la función $f$ mediante su derivada, demuestra que $f$ es monónota creciente en $[0,1]$.
Demuestra que, para $x\in [0,\infty ]$ $$ e^{-x^2} \leq \frac{1}{1+x^2}. $$
Sugerencia: es equivalente probar $1+x^2 \leq e^{x^2}$; para ésta última usa la recta soporte de la exponencial en cero.
Demuestra que, para todo natural $n\geq 1$ $$ \int_0^1 (1-x^2)^n dx = \frac{2}{3}\frac{4}{5} \cdots \frac{2n}{2n+1}. $$
Sugerencia: empieza con el cambio de variable $x=\cos(\theta)$ y depués usa la fórmulas de reducción (Ejercicio 15.9).
Demuestra que, para todo natural $n\geq 2$,
$$ \int_0^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)^n}dx = \frac{\pi}{2}\frac{1}{2}\frac{3}{4}\cdots \frac{2n-3}{2n-2}. $$
Sugerencia: fija $b>0$ y empieza con el cambio de variable $x=\tan(\theta)$ para $x\in [0,b]$ (nota que $x\to \infty$ si $b\to \pi/2$); depués usa la fórmulas de reducción (Ejercicio 15.9).
Demuestra que, para todo natural $n\geq 1$:
$$ \frac{2}{3}\frac{4}{5}\cdots \frac{2n}{2n+1} \leq \int_0^1 e^{-nx^2}dx. $$
Sugerencia: usa Ejercicio 18.18 y Ejercicio 18.19.
Demuestra que, para todo natural $n\geq 1$: \begin{equation*} \sqrt{n} \frac{2}{3}\frac{4}{5}\cdots \frac{2n}{2n+1} \leq \int_0^{\infty} e^{-u^2}du \end{equation*}
Sugerencia: toma el cambio de variable $u=\sqrt{n}x$ en el Ejercicio 18.21.
Demuestra que, para toda $b>0$ y todo natural $n\geq 2$: $$ \int_0^b e^{-nx^2} \leq \frac{\pi}{2}\frac{1}{2}\frac{3}{4}\cdots \frac{2n-3}{2n-2}. $$
Sugerencia: usa el Ejercicio 18.18 y Ejercicio 18.20.
Demuestra que, para todo natural $n\geq 2$: $$ \int_0^{\infty} e^{-u^2}du \leq \sqrt{n} \frac{\pi}{2} \frac{1}{2}\frac{3}{4}\cdots \frac{2n-3}{2n-2} $$
Sugerencia: toma el cambio de variable $u=\sqrt{n}x$ en el Ejercicio 18.23 y después toma límite cuando $b \to \infty$.
Demuestra: $$ \lim_{n\to \infty} \left\{ \sqrt{n} \frac{2}{3}\frac{4}{5}\cdots \frac{2n}{2n+1 } \right\} =\frac{\sqrt{\pi}}{2}. $$
Sugerencia: nota que se puede escribir: $$ \sqrt{n} \frac{2}{3}\frac{4}{5}\cdots \frac{2n}{2n+1 } = \left[ \frac{2}{1}\frac{4}{3}\cdots \frac{2n}{2n-1} \right] \frac{\sqrt{n}}{2n+1}= \left[ \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{2}{1}\frac{4}{3}\cdots \frac{2n}{2n-1} \right] \frac{n}{2n+1}, $$ y usa el Ejercicio 15.11.
Demuestra: $$ \lim_{n\to \infty} \left\{ \sqrt{n} \frac{\pi}{2} \frac{1}{2}\frac{3}{4}\cdots \frac{2n-3}{2n-2} \right\}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}. $$
Sugerencia: nota que se puede escribir: $$ \sqrt{n} \frac{\pi}{2} \frac{1}{2}\frac{3}{4}\cdots \frac{2n-3}{2n-2} = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{1}{ \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{2}{1}\frac{4}{3}\cdots \frac{2n-2} {2n-3}} \right]=\frac{\pi}{2} \left[ \frac{1}{ \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{2}{1}\frac{4}{3}\cdots \frac{2n-2} {2n-3} \frac{2n}{2n-1}} \right] \frac{1}{\frac{2n-1}{2n}} $$ y usa el Ejercicio 15.11.
Finalmente, demuestra: $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}. $$
Sugerencia: De Ejercicio 18.22 y Ejercicio 18.24 concluye que, para todo natural $n\geq 2$: $$ \sqrt{n} \frac{2}{3}\frac{4}{5}\cdots \frac{2n}{2n+1} \leq \int_0^{\infty} e^{-u^2}du \leq \sqrt{n} \frac{\pi}{2} \frac{1}{2}\frac{3}{4}\cdots \frac{2n-3}{2n-2}. $$ después, usa los dos incisos anteriores.