Definición

Una sucesión de números reales es simplemente una función de \(\mathbb{N}\) a \(\mathbb{R}\), es decir \(f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}\).

Por costumbre, las sucesiones se denotan como \((a_n)_{n=1}^{\infty}\) o \((a_n)_{n\geq 1}\), donde \(a_n=f(n)\), para todo \(n\in \mathbb{N}\).

Ejemplos.

• \((n)_{n=1}^\infty\), está dada por la función \(f(n)=n\).
• \((\frac{1}{n})_{n=1}^\infty\), está dada por la función \(f(n)=\frac{1}{n}\).
• \((\frac{\pi}{\sqrt{n}})_{n=1}^\infty\), está dada por la función \(f(n)=\frac{\pi}{\sqrt{n}}\).

Otra forma de pensar a las sucesiones es pensarlas como un vector infinito \((a_1,a_2,\dots)\). Esta forma de pensar a las sucesiones tiene la ventaja que nos dice como se suman y se multiplican las sucesiones por un escalar (entrada por entrada): \begin{eqnarray*} (a_n)_{n=1}^\infty+(b_n)_{n=1}^\infty&=& (a_n+b_n)_{n=1}^\infty \\ \alpha (a_n)_{n=1}^\infty&=&(\alpha a_n)_{n=1}^\infty \end{eqnarray*}

Uno de los aspectos más importantes de las sucesiones es "lo que pasa al final". Ya que los naturales nunca se terminan no exsite formalmente "lo que pasa al final", pero tomando la idea del algoritmo que se presentó al principio, la idea es ver el comportamiento de los elementos de la sucesión cuando tomamos el indice cada vez más grande. Esto se formaliza con la definición de límite de una sucesión.

Definición

Decimos que una sucesión \((a_n)_{n=1}^\infty\) converge al número \(L\in \mathbb{R}\), si, para toda \(\varepsilon\) existe \(N\) (que depende de \(\varepsilon\)), tal que para toda \(n \geq N\) \[ |a_n- L| <\varepsilon. \]

Denotamos \(L=\lim_{n\to \infty}a_n\).

Definición

Una sucesión \((a_n)_{n=1}^\infty\) se llama monótona decreciente si \[a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots \geq \cdots \geq a_{n} \geq a_{n+1} \geq \cdots\]

Una sucesión \((a_n)_{n=1}^\infty\) se llama monótona creciente si \[a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots \leq \cdots \leq a_{n} \leq a_{n+1} \leq \cdots\]

Definición

Una subsucesión de una sucesión dada es componer la sucesión original con una función estrictamente creciete. Más específicamente, si \(f:\mathbb{N}\to \mathbb{R} \) es una sucesión una subsucesión de \(f\) es una función de la forma \(f \circ g \) donde \(g:\mathbb{N} \to \mathbb{N}\) es estrictamente creciente.

La idea de las subsucesiones es que sólo vamos a seleccionar ciertos elementos de la sucesión original pero queremos hacer dicha selección tomando en consideración que lo importante de las sucesiones es "lo que pasa al final". Por eso se debe de pedir que la función que selecciona (la \(g\) en la definición ) sea estrictamente creciente (para que no se quede "atorada").

Con la notación \((a_n)_{n=1}^\infty\), \(a_n=f(n)\), una subcusesión se denota como \((a_{n_k})_{k=1}^\infty\) donde \(a_{n_k}=f(g(k))\).

Dada una sucesión \((a_n)_{n=1}^\infty\) los siguientes son ejemplos de subsucesiones:

• \((a_{2k})_{k=1}^\infty\), pues está dada mediante la función \(g(k)=2k\), la cual es estrictamente creciente.
• \((a_{k+1})_{k=1}^\infty\), pues está dada mediante la función \(g(k)=k+1\), la cual es estrictamente creciente.
• \((a_{k^2})_{k=1}^\infty\), pues está dada por la función \(g(k)=k^2\), la cual es estrictamente creciente.

Casos que no dan subsucesiones son:

• \((a_1,a_1,a_1,\dots)\), es decir, repetir el mismo elemento; no es subsucesión pues se obtiene con la función \(g(k)=1\), la cual no es estrictamente creciente,
• \((a_2,a_1,a_4,a_3,...)\), es decir, intercambiar los roles de los pares a impares; no es subsucesión pues la función que origina ésta lista satisface \(g(1)=2\), \(g(2)=1\), por lo que \(g\) no es estríctamente creciente.

Definición

Una sucesión \((x_k)_{k\geq 0}\) satisface el criterio de Cauchy si para todo \(\varepsilon>0\), exsite \(N=N(\varepsilon)\in \mathbb{N}\) tal que, para todos \(n,m \geq N\) \[ |x_n-x_m|<\varepsilon \]

La idea de las sucesiones de Cauchy es que son sucesiones para las cuales los elementos de la sucesión se van hacercando entre sí.