Aproximación lineal

Introducción

El concepto de aproximación lineal básicamente es el mismo que el de recta tangente pero con un punto de vista distinto. El énfasis que se hace al estudiar la recta tangente es geométrico, en la aproximación lineal es más algebráico y ananlítico, pues involucra dos aspectos muy importantes: una función lineal y el comportamiento de un error.

Si \(f\) es una función diferenciable en \(a\), tenemos que la ecuación de la recta tangente en \((a,f(a))\) es \[ y-f(a)=f'(a)(x-a) \] pero ésta recta también es la gráfica de la función \[ L(x)=f(a)+f'(a)(x-a). \]

Geométricamente la recta tangente se parece a la gráfica de \(f\), cerca del punto \((a,f(a))\). Lo anterior lo podemos pensar como \[ f = \textrm{rectan tangente} + \textrm{error} \] La recta tangente está representada por la función \(L\) y el error lo vamos a representar con otra función, que vamos a denotar \(E_a\) (para enfatizar que estamos analizando a la recta tangente en \(a\)). No sabemos mucho sobre \(E_a\) excepto que debe hacerse cero cerca de \(a\), es decir, si \(x-a\) es chico \(E_a(x-a)\) debe ser chico. Entonces podemos escribir \[ f(x)= L(x) + E_a(x-a)=f(a)+f'(a)(x-a)+E_a(x-a) \] para \(x\) es una vecindad perforada de \(a\).

Esto completa la parte algebráica. La parte analítica viene de cómo la función \(E_a\) tiende a cero, lo cual se especifica en Definición 9.2.

Nota: hay otra forma de expresar la ecuación anterior. Los puntos \(x\) en una vecindad perforada de \(a\) se pueden expresar como \(x=a+h\), donde \(h\) es cercana a cero. Asi podemos reescribir la ecuación anterior como \[ f(a+h)= f(a)+f'(a)h+ E_a(h). \]

Definición

Sea \(f\) una función definida en una vecindad de \(a\). Decimos que \(f\) admite una aproximación lineal en \(a\) si existe una constante \(m\in \mathbb{R}\) y \(V\), una vecindad perforada del cero tal que, para \(h\in V\) se cumple: \[ f(a+h)=f(a)+mh+E_a(h) \] donde \(E_a\) es una función que satisfce \[ \lim_{h\to 0}\frac{E_a(h)}{h}=0 \] Notas:

\(E_a\) se conoce como el error.
El límite que satisface el error se puede interpretar diciendo que \(E_a\) se va más rápido a cero que \(h\).
A la recta que pasa por el origen, \(L(h)=f(a)+mh\) se le conoce como la aproximación lineal. Nota que \(L\) está relacionada con la recta tangente pues ésta última se obtiene trasladando la gráfica de \(L\) mediante el vector \((a,f(a))\).
La idea es que si \(f\) admite aproximación lineal entonces \[ f(a+h) \approx f(a)+f'(a)h \] para \(h\) cercano a \(0\).

Ejercicio

Supongamos que \(f\) admite una aproximación lineal en \(a\). Prueba que podemos escribir \[ f(x)=f(a)+m(x-a)+E_a(x-a) \] con \(x\) en una vecindad perforada de \(a\). Además \[ \lim_{x\to a}\frac{E_a(x-a)}{x-a}=0. \]

Ejercicio

Sea \(f:I\to \mathbb{R}\) una función definida en un intervalo abierto \(I\) y un punto \(a\in I\).

Prueba que \(f\) admite una aproximación lineal en \(a\) si y sólo si \(f\) es diferenciable en \(a\).

En cuyo caso además prueba que \(m=f'(a)\), donde la \(m\) proviene de la aproximación lineal en la Definición 9.2.

\(\Rightarrow]\)

Suponemos que \(f\) admite una aproximación lineal. Por lo tanto existe \(V\), una vecindad perforada de \(0\), tal que para \(h \in V\): \[ f(a+h)=f(a)+m h +E_a(h) \] De lo cual se sigue que \[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}-m = \frac{E_a(h)}{h} \] Tomando límite cuando \(h \to 0\) y utilizando la propiedad del error en la aproximación lineal llegamos a \[ \lim_{h\to 0} \left( \frac{f(a+h)-f(a)}{h}-m \right) =\lim_{h\to 0} \left( \frac{E_a(h)}{h} \right)=0, \] de lo cual concluimos \[ \lim_{h\to a} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=m. \] Es decir, \(f\) es diferenciable en \(a\) y \(f'(a)=m\).

\(\Leftarrow ]\)

Supongamos que \(f\) es diferenciable en \(a\) y tomemos \(m:=f'(a)\). Ahora definimos la función \(E_a(h)\) como \[ E_a(h)= f(a+h)-f(a)-f'(a)h \] donde \(h\ne 0\) y está en una vecindad suficientemente chica para que \(a+h\) pretenezca al dominio de \(f\).

Despejando \(f(a+h)\) en la definición de \(E_a\) se sigue inmediatamente que \[ f(a+h)=f(a)+m h +E_a(h) \] y teniendo en cuanta de que \(f\) es diferenciable en \(a\) también tenemos \[ \lim_{h\to 0} \frac{E_a(h)}{h}=\lim_{h\to 0} \left( \frac{f(a+h)-f(a)}{h}-m \right)=f'(a)-m=0. \]

Por lo tanto, \(f\) admite una aproximación lineal en \(a\).

Ejercicio

Sea \(f:I\to \mathbb{R}\) una función definida en un intervalo abierto y diferenciable en el punto \(a\). Además supón que \(f(x)> 0\) en una vecindad de \(a\), incluyendo \(a\).

Prueba que la función \(g(x)=\sqrt{f(x)}\) es diferenciable en \(a\) y \[ g'(a)=\frac{f'(a)}{2\sqrt{f(a)}} \]
Más en general, prueba que la función \(g(x)=\sqrt[n]{f(x)}\) es diferenciable en \(a\) y \[ g'(a)=\frac{1}{n}(f(a))^{\frac{1}{n}-1}f'(a) \]

Usando el Ejercicio 4.17 podemos simplificar el cociente diferencial de \(g\) para obtener \[ \frac{g(x)-g(a)}{x-a}=\frac{\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(a)}}{x-a}= \frac{1}{x-a}\frac{f(x)-f(a)}{\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(a)}}, \] el cual podemos reescribir como \[ \frac{g(x)-g(a)}{x-a}= \left(\frac{1}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(a)}} \right) \left( \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \right). \] Ahora, el límite de cada uno de los factores es \begin{eqnarray*} \lim_{x\to a} \frac{1}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(a)}}&=&\frac{1}{2\sqrt{f(a)}}\\ \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}&=&f'(a) \end{eqnarray*} Por lo tanto concluimos que \[ \lim_{x\to a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a}=\frac{f'(a)}{2\sqrt{f(a)}} \]

Nota: la prueba del inciso 2 sigue las mismas ideas.

Ejercicio

Considera \(f(x)=\sqrt{9+x}\).

Encuentra la aproximación lineal de \(f\) en \(0\).
Usa la aproximación lineal para estimar \(\sqrt{9.3}\).
Encuentra el intervalo donde la aproximación lineal tiene un error de a lo más 0.5.

Inciso (1).

Por el ejercicio anterior \[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{9+x}} \] Entonces \[ L(h)=f(0)+f'(0)h=3+\frac{h}{6} \]

Inciso (2).

Notar \(\sqrt{9.3}=f(0.3)\), por lo que \[ \sqrt{9.3}=f(0+0.3)\approx 3+\frac{0.3}{6}=3+0.05=3.05. \]

Inciso (3).

Necesitamos resolver \[ \left| \sqrt{9+h} - (3+\frac{h}{6} ) \right| < 0.5 \] Geométricamente y usando el Ejercicio 8.10 (con la función raíz trasladada horizontalmente), tenemos que \[ 3+h/6 \geq \sqrt{9+h} \] por lo que debemos resolver \[0.5=3+\frac{h}{6}-\sqrt{9+h}\] Tomamos \(u=\sqrt{9+h}\), por lo que \(u^2=9+h\) y podemos reescribir \begin{eqnarray*} 0.5=3+\frac{u^2-9}{6} - u \Leftrightarrow 0 &=& \frac{u^2}{6}- u +3- \frac{3}{2}-0.5 \\ \Leftrightarrow 0 &=& \frac{u^2}{6}-u +1 \end{eqnarray*} Resoviendo obtenemos dos solcuiones, \(u_1= 3-\sqrt{3}\), \(u_2=3+\sqrt{3}\). Entonces \[h_1=u_1^2-9=9-6\sqrt{3}+3-9=3-6\sqrt{3} \approx -7.3 \] \[h_2=u_2^2-9=9+2\sqrt{3}+3-9=3+6\sqrt{3} \approx 13.9\]

Ejercicio

Considera \(f(x)=\sqrt{16+x}\).

Encuentra la aproximación lineal de \(f\) en \(0\).
Usa la aproximación lineal para estimar \(\sqrt{4.2}\).
Encuentra el intervalo donde la aproximación lineal tiene un error de a lo más 0.5.

Ejercicio

Encuentra las aproximaciones lineales en los puntos dados y encuentra las aproximaciones requeridas.

Para \(n \in \mathbb{N}\), \(f(x)=(1+x)^n\) en \(0\). Aproximar \((1.3)^3, (1+\frac{1}{100})^{100}\).
Para \(n\in \mathbb{N}\), \(f(x)=\frac{1}{(1+x)^n}\) en \(0\). Aproximar \(\frac{1}{(1.3)^3}, \frac{1}{(1+\frac{1}{100})^{100}}\)

Video

Ejercicio

Prueba las aproximaciones dadas cerca del cero. Es decir encuentra las aproximaciones lineales de las funciones dadas cerca del cero

\(\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{1}{2}x\).
\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\approx 1+\frac{1}{2}x^2\)
Sugerencia: usar \(f(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u}}\) y tomar \(u=x^2\).
\(\sqrt{c^2+x^2} \approx c + \frac{1}{2}x^2\)
Sugerencia: usar \(f(u)=\sqrt{c^2+u}\) y tomar \(u=x^2\).

Definición

Escribimos \(f(x)=o(g(x))\) cuando \(x\to a\) si \[ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0 \] Por ejemplo

\(f(x)=o(1)\) cuando \(x\to a\) significa \(\lim_{x\to a}f(x)=0\).
\(f(x)=o(x)\) cuando \(x\to a\) significa \(\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x}=0\).

La notación \(o\) (la cual se lee "o chiquita") trata de capturar una relación entre dos funciones. Más en específico trata de dar información de cómo una función está creciendo o decreciendo con respecto a otra. Por ejemplo, la expresión \(x^2=o(x)\) cuando \(x\to 0\) (igualdad cierta pues \(\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\to 0}x=0\)) no dice que, cerca del cero, la función \(x\mapsto x^2\) decrece más rápido que la función \(x \mapsto x\), lo cual se puede ver directamente de las gráficas.

Por lo tanto igualdades como \(f(x)=o(g(x))\) se leen de manera difierente a como se leería una igualdad de funciones común y corriente, pues más que igualdad de funciones nos indica una relación entre las funciones que aparecen. Lo anterior da como resultado expresiones poco comúnes como \(o(g(x))+o(g(x))=o(g(x))\) ó \(o(x)o(x)=o(x)\), las cuales deben leerse cómo relaciones entre las funciones que aparecen de un lado y del otro del signo igual.

Otra manera de pensar la notación \(o\) es mediante conjuntos (lo cual tiene la ventaja de formalizar la notación). Dada una función \(g\), definida en una vecindad de \(a\), denotamos \[ o(g(x))=\left\{ f : \textrm{\(f\) es una función definida en una vecindad de \(a\) y } \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=0 \right\} \] Con esta notación expresiones como \(o(g(x))+o(g(x))=o(g(x))\) se pueden pensar como: si \(f_1,f_2 \in o(g(x))\) entonces \(f_1+f_2 \in o(g(x))\).

Más adelante se verá que una de las ventajas de la notación \(o\) es que simplifica mucho las cuentas pues ésta notación hace énfasis en las partes relevantes en el cálculo de límites.

Ejercicio

Comprueba

\(\sen(x)=x+o(x)\) cuando \(x\to 0\).
\(\cos(x)=1+o(x)\) cuando \(x\to 0\).
Si \(f\) es diferenciable en \(a\), \[ f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h) \quad \textrm{cuando \(h\to 0\).} \]

Video

Ejercicio

Sea \(f\) una función definida en una vecindad de \(a\). Si \(f\) satisface \[ f(a+h)=f(a)+mh + o(h) \] para \(h\) en una vecindad de \(0\), entonces \(f\) es diferenciable en \(a\) y \(f'(a)=m\).

Nota: junto con el ejercicio anterior este ejercicio prueba que una función \(f\) es diferenciable en \(a\) si y sólo si existe una constante \(m\) tal que \( f(a+h)=f(a)+ m h+o(h) \) cuando \(h\to 0\).

Video

Ejercicio

Prueba las siguientes propiedades

\(o(g(x))+o(g(x))=o(g(x))\) cuando \(x\to a\).
\(o(o(g(x)))=o(g(x))\) cuando \(x\to a\).
para \(c\ne 0\), \(o(cg(x))=o(g(x))\), cuando \(x\to a\).
si \(\lim_{x\to a} F(x)\) existe entonces \(F(x)o(g(x))=o(g(x))\) cuando \(x\to a\).
\(o(x)^2=o(x)\), cuando \(x\to 0\).

Video

Ejercicio

Eleva al cuadrado la aproximación lineal \[ f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h) \] usa las propiedades de \(o\) y el Ejercicio 9.11 para dar otra prueba de que \((f^2(a))'=2f(a)f'(a)\).

Ejercicio

Multiplica las aproximaciones lineales \begin{eqnarray*} f(a+h)&=&f(a)+f'(a)h+o(h)\\ g(a+h)&=&g(a)+g'(a)h+o(h) \end{eqnarray*} usa el Ejercicio 9.11 y las propiedades de \(o\) para probar la regla de Leibnitz para la derivada de un producto.

Video

Ejercicio

Si \(C(q)\) representa el costo de producir \(q\) artículos, el costo marginal se define como la derivada \[ \frac{dC}{dq} \]

La idea es que el promedio describe el pasado y la marginal el futuro.
De la misma manera se definen otra marginales (i.e. ingreso marginal).

Supon que el costo de producir \(q\) artículos está modelado por la función \(C(q)\).

Da una interpretación para la cantida \(C(q+1)-C(q)\).
Usando una aproximación lineal prueba \[ C(q+1)-C(q)=C'(q)+E_q(1) \]

el costo de producir el siguiente artículo

Ejercicio

Supon que el costo de producir \(q\) artículos es \(C(q)=q^2+1\). Calcula

El costo promedio de cambiar el nivel de producción de \(20\) a \(60\) artículos.
Encuentra la cantidad \(q_0 \in [20,60]\), a partir de la cual el costo de producir el artículo \(q_0+1\) es mayor o igual a \(80\).

Inciso 1.

Por definción del valor promedio en el intervalo \([20, 60]\) tenemos \[ \frac{\Delta C}{\Delta q}=\frac{C(60)-C(20)}{60-20}=\frac{60^2-20^2}{60-20}=80 \] Entonces, en promedio, cada artículo producido desde el 20 al 60 cuesta \(80\).

Inciso 2.

Interpretando a la marginal como el costo del "siguiente artículo", tenemos que resolver \[ \frac{dC(q_0)}{dq} \geq 80 \] es decir \(2q_0=80\), lo cual da \(q_0\geq 40\). Asi pues, a partir del objeto \(41\), el costo de producir cada uno es mayor al costo promedio.

Ejercicio

Supon que el costo de producir \(q\) objetos es \(C(q)=q^{1/2}+1\).

Tomar \(q_1< q_2\). Prueba que el costo promedio de cambiar el nivel de producción de \(q_1\) a \(q_2\) artículos es: \[ \frac{\Delta C}{\Delta q}=\frac{1}{\sqrt{q_1}+\sqrt{q_2}} \]
Encuentra el subintervalo \([q_1',q_2'] \subset [q_1,q_2]\), a partir de la cual el costo de producir el artículo \(q+1\), para \(q\in [q_1',q_2']\) es mayor o igual a \(\frac{1}{\sqrt{q_1}+\sqrt{q_2}}\).
Probar que costo marginal tiende a \(0\) cuando \(q\to \infty\).