Cálculo UNO

§ 8

Recta tangente

Definición

La línea tangente a la gráfica \(y=f(x)\), en el punto \((a,f(a))\), es la recta con ecuación: \[ y-f(a)=f'(a)(x-a) \] siempre y cuando \(f'(a)\) exista.

Ejercicio

Encuentra las rectas tangentes a las gráficas de las funciones, en los puntos dados:
  1. \(f(x)=\sqrt{x}\), en \((1,1)\).
  2. \(f(x)=x(x-1)\) en \((0,0)\) y \((1,0)\).

Ejercicio

Considera la función \(f(x)=\frac{1}{x}\), \(x>0\). Demuestra que el area del triángulo formado por la intersección de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \((a,\frac{1}{a})\) y los ejes ordenados, es independiente del punto \(a\) que se tome.
Video

Ejercicio

Sea \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+1\). Encuentra los puntos de la gráfica de \(f\) en dónde la recta tangente es horizontal.

Ejercicio

Sea \(f(x)=x^2+ax+b\). Encuentra los valores de \(a\) y \(b\) para los cuales la recta \(y=2x\) es tangente a la gráfica en el punto \((2,4)\).
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Ejercicio

Una rayo de luz llega perpendicularmente al espejo parabólico \(y=x^2\) en el punto \(P=(a,a^2)\).
  1. Encuentra la recta tangente a la parábola en \(P\).
  2. Encuentra \(Q\), la intersección de la recta tangente con el eje \(y\).
  3. Denotemos \(F=(0,\frac{1}{4})\) al fóco de la parábola. Prueba que la distancia de \(F\) a \(Q\) y la distancia de \(F\) a \(P\) es la misma.
  4. Prueba que los ánguos \(\sphericalangle PQF= \sphericalangle QPF\).
  5. ¿ Qué ley de la física dice que los rayos de luz se concentran en el foco?

Ejercicio

Considera la recta \(L\), con ecuación \(y=m(x-a)+b\), con \(m\ne 0\). Demuestra que la recta con ecuación \(y=\frac{-1}{m}(x-a)+b\) es perpendicular a \(L\).
Video

Ejercicio

Considera la parábola \(f(x)=x^2\). Demuestra que toda recta tangente a la gráfica de la parábola toca a ésta en un sólo punto. Sugerencia: usa el Ejercicio 7.4 .

Ejercicio

Fija \(c\in \mathbb{R}\), \(c\ne 0\) y considera la parábola \(y=cx^2\). Demuestra que de todas las rectas de la forma \(y=mx\), la única que es tangente a la parábola es cuando \(m=0\).

Ejercicio

Considera la función \(f(x)=\sqrt{x}\), \(x>0\). Demuestra que toda recta tangente a la gráfica de \(f\) toca a ésta en un sólo punto. Sugerencia: primero prueba que la pendiente de la recta que une los puntos \((a,\sqrt{a}) \) y \((b,\sqrt{b})\) es \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\).

Ejercicio

Determina \(c\), de tal forma que la recta que une \((0,4)\) con \((10,-6)\), es tangente a \(y=\frac{c}{x+1}\).

Ejercicio

Construye una función, no constante, cuyas pendientes de las rectas tangentes en \(x=1\) y \(x=3\) sean las mismas.

Ejercicio

La forma de un espejo está modelada por la curva \(y=\frac{4}{x}\). Un rayo de luz, perpendicular al eje \(x\), cae al espejo en el punto \((a,4/a)\) y es reflejajo horizontalmente. Cálcula \(a\).

Ejercicio

Si una función diferenciable \(f\) satisface \(|f(c)-f(d)| \leq M|c-d|\) (es decir, Lipschitz), para cualesquiera \(c\) y \(d\) en el dominio de \(f\), demuestra que \(|f'(x)| \leq M\) para todo \(x\).

Definición

Radianes

Los ángulos se mediran en radianes, pues tiene varias ventajas. Antes de repasar estas ventajas recordamos que para un círculo de radio \(r\) la longitud de se circunferencia es \(2\pi r\) y su área es \(2\pi r^2\). Por lo tanto, en el círculo unitario éstas dos cantidades coinciden.

Ahora nos enfocamos en el círculo unitario para medir los ángulo. Cuando medimos un ángulo \(\theta\) en radianes lo más importante es que la longitud del segmento de circunferencia que subtiende el ángulo es precisamente \(\theta\). Por ejemplo, \(180^o\) corresponde a \(\pi\) pues el arco que subtiende \(180^o\) (la mitad de la circunferencia) tiene longitu \(\pi\) (la mitad de la longitud de la círcunferencia de radio 1).

Con esta convención los posibles valores que puede tomar un ángulo son \([0,2\pi]\) y los podemos representar en el círculo unitario usando la convención de dibujarlos iniciando en el eje positivo de las \(x\) y siguiendo una orientación en el sentido contrario de las manecillas del reloj.

Para ilustrar en el dibujo de abajo se tiene el círculo unitario y un ángulo \(\theta\). Al estar \(\theta\) medido en radianes la longitud del arco de \(A\) a \(B\) es precisamente \(\theta\).

Radianes

Si por el contrario dibujamos los ángulo iniciando en el eje de las \(x\) pero en el sentido de las manecillas del reloj hacemos la convención de que los valores del ángulo son negativos teniendo los posibles valores en el intervalo \([-2\pi, 0]\).

Otra ventaja de los radianes es que están relacionados con el área. De nuevo tomando el círculo unitario para medir los ángulos, si dibujamos un ámgulo \(\theta\in [0,2\pi]\) el área del segmento circular que subtiende es precisamente \(\theta\).

Funciones trigonométricas

Vamos a utilizar el círculo unitario como auxiliar en la definición de las funciones trigonométricas. Para calcular las funciones trigonométricas básicas de un ángulo \(\theta \in [0,2\pi]\) dibujamos un ángulo \(\theta\), iniciando en el eje positivo de las \(x\) en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Esto genera un radio de la círcunferencia cuyas coordenadas las denotaremos por \((x,y)\). Si \(\theta \in [-2\pi, 0]\) hacemos algo similar pero dibujamos el radio en el sentido de las manecillas del reloj.

FuncionesTrig

Utilizando la definición básica de \begin{eqnarray*} \sen(\theta)&=&\frac{\textrm{cateto opuesto}}{\textrm{hipotenusa}}\\ \cos(\theta)&=&\frac{\textrm{cateto adyacente}}{\textrm{hipotenusa}}\\ \tan(\theta)&=&\frac{\textrm{cateto opuesto}}{\textrm{cateto adyacente}} \end{eqnarray*} y con la notación anterior tenemos \begin{eqnarray*} \sen(\theta)&=&y\\ \cos(\theta)&=&x\\ \tan(\theta)&=&\frac{y}{x} \end{eqnarray*}

Notas

  1. Con estas definiciones podemos probar que seno es una función impar y que coseno es una función par.
  2. Usando la definición geométrica de las funciones seno y coseno, sin dar la demostración rigurosa, tenemos que \[ \lim_{\theta \to 0} \cos(\theta)=1, \quad \lim_{\theta \to 0}\sen(\theta)=0. \]

Proposición

Demuestra:
  1. \[ \lim_{\alpha \to 0} \frac{\sen(\alpha)}{\alpha}=1 \]
  2. \[ \lim_{\alpha \to 0} \frac{\cos(\alpha)-1}{\alpha}=0 \]

    3. Sugerencia: \[ \frac{\cos(\alpha)-1}{\alpha}= \frac{\cos(\alpha)-1}{\alpha} \frac{\cos(\alpha)+1}{\cos(\alpha)+1} \]

Ejercicio

Encuentra los siguientes límites
  1. \(\lim_{x \to 0 } \frac{\sen(7x)}{x}\).
  2. Para \(a, b\in \mathbb{R}^+\) fijos y arbitrarios, \(\lim_{x\to 0} \frac{\sen(ax)}{bx}\).
  3. \(\lim_{x\to 0} \frac{\sen(5x)}{\sen(10x)}\).
  4. \(\lim_{x\to 0} \frac{\cos(2x)-1}{x}\).
  5. Para \(a, b \in \mathbb{R}^+\) fijos y arbitrarios, \(\lim_{x\to 0} \frac{\cos(ax)-1}{bx}\).
  6. \(\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{\sen(x)}\).
  7. \(\lim_{x\to 0} \frac{\sen(x^3)}{x}\).
  8. \(\lim_{x\to 1} \frac{\sen(x-1)}{x^2+2x-3} \).
  9. \(\lim_{x\to 2} \frac{\sen(x-2)}{x^2-x-2}\).
  10. Para \(a\in \mathbb{R}^+\) fijo y arbitrario, \(\lim_{x\to a} \frac{\sen(x-a)}{x^2-a^2}\).
  11. Sean \(p\) y \(q\) dos polinomios con \(p(0)=q(0)=0\) y \(q'(0)\ne 0\). Encuentra \[ \lim_{x\to 0} \frac{\sen(p(x))}{q(x)}. \]
Video

Ejercicio

Demuestra \[ \frac{d\sen(x)}{dx}=\cos(x), \quad \frac{d \cos (x)}{dx}=-\sen(x) \] Usando la fórmula para la derivada de un cociente, demuestra \[ \frac{d \tan (x)}{dx}=\sec^2(x) \] para \(x\) con \(\cos(x)\ne 0\).

Ejercicio

Encuentra las rectas tangentes y normal en los puntos dados.
  1. \(y=\sen(x)\) en \(\frac{\pi}{2}\).
  2. \(y=x^2\) en \((a,a^2)\), donde \(a\in \mathbb{R}\) es fijo y arbitrario.
  3. \(y=x^2+x+1\) en \((1,3)\).

Ejercicio

Encuentra la recta tangente a \(\cos\) en el punto \((0,1)\). Este ejercicio muestra que la recta tangente puede tocar a la graáfica en una infinidad de puntos.

Ejercicio

Definimos \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} x^2\sen(\frac{1}{x}) & x \ne 0 \\ 0 & x=0 \end{array} \right. \]
  1. Haz un bosquejo de la gráfica.
  2. Demuestra que \(f\) es diferenciable en \(0\).
  3. Encuentra la recta tangente en \(0\). Este ejercicio muestra que la recta tangente en un \(a\) puede tocar a la gráfica en una infindad de puntos en cualquier vecindad el punto \(a\).