Ejercicio

Encuentra las rectas tangentes a las gráficas de las funciones, en los puntos dados:

1. \(f(x)=\sqrt{x}\), en \((1,1)\).
2. \(f(x)=x(x-1)\) en \((0,0)\) y \((1,0)\).

Ejercicio

Considera la función \(f(x)=\frac{1}{x}\), \(x>0\). Demuestra que el area del triángulo formado por la intersección de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \((a,\frac{1}{a})\) y los ejes ordenados, es independiente del punto \(a\) que se tome. Demostración

Ejercicio

Sea \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+1\). Encuentra los puntos de la gráfica de \(f\) en dónde la recta tangente es horizontal.

Ejercicio

Sea \(f(x)=x^2+ax+b\). Encuentra los valores de \(a\) y \(b\) para los cuales la recta \(y=2x\) es tangente a la gráfica en el punto \((2,4)\). Solución

Ejercicio

Una rayo de luz llega perpendicularmente al espejo parabólico \(y=x^2\) en el punto \(P=(a,a^2)\).

1. Encuentra la recta tangente a la parábola en \(P\).
2. Encuentra \(Q\), la intersección de la recta tangente con el eje \(y\).
3. Denotemos \(F=(0,\frac{1}{4})\) al fóco de la parábola. Prueba que la distancia de \(F\) a \(Q\) y la distancia de \(F\) a \(P\) es la misma.
4. Prueba que los ánguos \(\sphericalangle PQF= \sphericalangle QPF\).
5. ¿ Qué ley de la física dice que los rayos de luz se concentran en el foco?

Ejercicio

Considera la recta \(L\), con ecuación \(y=m(x-a)+b\), con \(m\ne 0\). Demuestra que la recta con ecuación \(y=\frac{-1}{m}(x-a)+b\) es perpendicular a \(L\). Demostración

Ejercicio

Considera la parábola \(f(x)=x^2\). Demuestra que toda recta tangente a la gráfica de la parábola toca a ésta en un sólo punto. Sugerencia: usa el Ejercicio 7.4 .

Ejercicio

Fija \(c\in \mathbb{R}\), \(c\ne 0\) y considera la parábola \(y=cx^2\). Demuestra que de todas las rectas de la forma \(y=mx\), la única que es tangente a la parábola es cuando \(m=0\).

Ejercicio

Considera la función \(f(x)=\sqrt{x}\), \(x>0\). Demuestra que toda recta tangente a la gráfica de \(f\) toca a ésta en un sólo punto. Sugerencia: primero prueba que la pendiente de la recta que une los puntos \((a,\sqrt{a}) \) y \((b,\sqrt{b})\) es \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\).

Ejercicio

Determina \(c\), de tal forma que la recta que une \((0,4)\) con \((10,-6)\), es tangente a \(y=\frac{c}{x+1}\).

Ejercicio

Construye una función, no constante, cuyas pendientes de las rectas tangentes en \(x=1\) y \(x=3\) sean las mismas.

Ejercicio

La forma de un espejo está modelada por la curva \(y=\frac{4}{x}\). Un rayo de luz, perpendicular al eje \(x\), cae al espejo en el punto \((a,4/a)\) y es reflejajo horizontalmente. Cálcula \(a\).

Ejercicio

Si una función diferenciable \(f\) satisface \(|f(c)-f(d)| \leq M|c-d|\) (es decir, Lipschitz), para cualesquiera \(c\) y \(d\) en el dominio de \(f\), demuestra que \(|f'(x)| \leq M\) para todo \(x\).

Ejercicio

Demuestra:

1. \[ \lim_{\alpha \to 0} \frac{\sen(\alpha)}{\alpha}=1 \]
2. \[ \lim_{\alpha \to 0} \frac{\cos(\alpha)-1}{\alpha}=0 \]

Sugerencia: \[ \frac{\cos(\alpha)-1}{\alpha}= \frac{\cos(\alpha)-1}{\alpha} \frac{\cos(\alpha)+1}{\cos(\alpha)+1} \]

Ejercicio

Encuentra los siguientes límites

1. \(\lim_{x \to 0 } \frac{\sen(7x)}{x}\).
2. Para \(a, b\in \mathbb{R}^+\) fijos y arbitrarios, \(\lim_{x\to 0} \frac{\sen(ax)}{bx}\).
3. \(\lim_{x\to 0} \frac{\sen(5x)}{\sen(10x)}\).
4. \(\lim_{x\to 0} \frac{\cos(2x)-1}{x}\).
5. Para \(a, b \in \mathbb{R}^+\) fijos y arbitrarios, \(\lim_{x\to 0} \frac{\cos(ax)-1}{bx}\).
6. \(\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{\sen(x)}\).
7. \(\lim_{x\to 0} \frac{\sen(x^3)}{x}\).
8. \(\lim_{x\to 1} \frac{\sen(x-1)}{x^2+2x-3} \).
9. \(\lim_{x\to 2} \frac{\sen(x-2)}{x^2-x-2}\).
10. Para \(a\in \mathbb{R}^+\) fijo y arbitrario, \(\lim_{x\to a} \frac{\sen(x-a)}{x^2-a^2}\).
11. Sean \(p\) y \(q\) dos polinomios con \(p(0)=q(0)=0\). Encuentra \[ \lim_{x\to 0} \frac{\sen(p(x))}{q(x)}. \]

Solución 1,3 y 5

Ejercicio

Demuestra \[ \frac{d\sen(x)}{dx}=\cos(x), \quad \frac{d \cos (x)}{dx}=-\sen(x) \] Usando la fórmula para la derivada de un cociente, demuestra \[ \frac{d \tan (x)}{dx}=\sec^2(x) \] para \(x\) con \(\cos(x)\ne 0\).

Ejercicio

Encuentra las rectas tangentes y normal en los puntos dados.

1. \(y=\sen(x)\) en \(\frac{\pi}{2}\).
2. \(y=x^2\) en \((a,a^2)\), donde \(a\in \mathbb{R}\) es fijo y arbitrario.
3. \(y=x^2+x+1\) en \((1,3)\).

Ejercicio

Encuentra la recta tangente a \(\cos\) en el punto \((0,1)\). Este ejercicio muestra que la recta tangente puede tocar a la graáfica en una infinidad de puntos.

Ejercicio

Definimos \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} x^2\sen(\frac{1}{x}) & x \ne 0 \\ 0 & x=0 \end{array} \right. \]

1. Haz un bosquejo de la gráfica.
2. Demuestra que \(f\) es diferenciable en \(0\).
3. Encuentra la recta tangente en \(0\). Este ejercicio muestra que la recta tangente en un \(a\) puede tocar a la gráfica en una infindad de puntos en cualquier vecindad el punto \(a\).