La derivada es la estrella del cálculo diferencial. Puede pensarse como una herramienta que sirve para analizar y obtener información sobre muchos tipos de funciones.
La idea de la derivada puede verse desde muchos puntos de vista: razón de cambio instántanea, recta tangente, aproximación lineal. En esta sección nos enfocamos en ver a la derivada como el límte de un cocientes diferenciales. Se hace énfasis en la definición y algunas propiedades técnicas así como en ejemplos muy concretos.
Supongamos que una cantidad \(y\) depende de otra \(x\). Si \(y\) es una función de \(x\) y escribimos \(y=f(x)\), la razón de cambio promedio de \(y\) conrespecto a \(x\), en el intevalo \([x_1,x_2]\) se define como \begin{equation}\label{Eqn:CocienteDiferencial} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_2} \end{equation}
A un cociente de la forma \eqref{Eqn:CocienteDiferencial} se le llama cociente diferencial. Para especificar el intervalo donde se toma el cociente diferencial se puede usar la notación \[ \left. \frac{\Delta y}{\Delta x} \right|_{[x_1,x_2]}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_2} \]
Los cocientes diferenciales aparecen en múltiples areas.
Encuentra la velocidad promedio de una partícula cuya posición está dada por la función \(x(t)=mt+b\).
Supón que la posición de una partícula está dada por \(x(t)=t^2\), \(t\geq 0\). Prueba que la velocidad promedia en el intervalo \([t_1,t_2]\) está dada por \[ t_1+t_2 \]
Sugerencia: usa diferencia de cuadrados.
Asume que, en una fábrica, la cantidad de bienes producidos, al tiempo \(t\), está dada por \(\sqrt{t+1}\). Prueba que el promedio de objetos producidos en el intervalo \([t_1,t_2]\) es: \[ \frac{1}{\sqrt{t_1+1}+\sqrt{t_2+1}}. \]
Considera la función \(f:[-1,1]\to \mathbb{R} \) dada por \(f(x)=|x|\). Prueba que las pendientes de las rectas secantes a la gráfica de \(f\) caen en el intervalo \([-1,1]\).
Las pendientes de las rectas secantes son de la forma \[ \frac{f(d)-f(c)}{d-c}=\frac{|d|-|c|}{d-c} \] donde \(c\) y \(d\) corren en el intervalo \([-1,1]\), con \(c\ne d\).
Observamos que siempre podemos suponer que \(c< d\) pues \[ \frac{f(d)-f(c)}{d-c}=\frac{-(f(c)-f(d))}{-(c-d)}=\frac{f(c)-f(d)}{c-d} \] así que no importa cual de los \(c\) ó \(d\) es mayor o menor.
Así suponemos que \(c>d\). Entonces por la otra desigualdad del triángulo: \[ ||d|-|c|| \leq |d-c|=d-c. \] Dividiendo entre \(d-c\) llegamos a que \[ \frac{||d|-|c||}{d-c} \leq 1. \] Finalmente, el cociente anterior es el valor absoluto del cociente diferencial por lo tanto concluimos que \[ -1 \leq \frac{|d|-|c|}{d-c} \leq 1. \]
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función. Demuestra que la ecuación de la recta secante a la gráfica de \(f\) que pasa por los puntos \((c,f(c))\) y \((d, f(d))\) está dada por \[ y-f(c)=\left( \frac{f(d)-f(c)}{d-c}\ \right) (x-c) \]
Considera la función \(f(x)=x^3\). Demuestra que la ecuación de la recta secante a la gráfica de \(f\) que pasa por los puntos \((a, f(a))\) y \((b,f(b))\) está dada por \[ y=mx-(a^2b+ab^2) \] donde \(m=a^2+ab+b^2 \).
La ecuación general de la recta tangente que pasa por \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\) es: \[ y-f(a)=m(x-a) \] donde la pendiente es \(m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Simplificando la pendiente usando diferencia de cubos tenemos \[ m=\frac{b^3-a^3}{b-a}=\frac{(b-a)(a^2+ab+b^2)}{b-a}=a^2+ab+b^2 \] Por lo que la ecuación de la recta secante se simplifica a: \begin{eqnarray*} y&=&(a^2+ab+b^2)(x-a)+a^3 \\ &=&(a^2+ab+b^2)x-(a^2+ab+b^2)a +a^3\\ &=&(a^2+ab+b^2)x-a^3-a^2b-ab^2+a^3 \\ &=& mx-(a^2b+ab^2) \end{eqnarray*}
Sean \(f,g: I\to \mathbb{R}\) y toma \(a,b\in I\). Prueba las siguientes identidades.
Ya que se tiene una idea de los cocientes diferenciales la idea de la derivada es directa: una función va a ser diferenciable en un punto si los cocientes diferenciales en ese punto tienden a un límite. Recordemos que un cociente diferencial de una función \(f\) está determinado por los valores de \(f\) en los extremos de un intervalo \([x_1,x_2]\). Si el intervalo se va haciendo más chicho la idea es que estamos encontrando el valor promedio o la razón de cambio instantánea de \(f\). Si el límite existe decimos que la función es diferenciable.
Sea \(f\) una función definida en una vecindad de \(a\). Decimos que \(f\) es diferenciable en \(a\) si el siguiente límite existe \[ \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \]
Tal límite se llama la derivada de \(f\) en \(a\) y se denota \[ f'(a) \quad \textrm{ó} \quad \frac{df}{dx}(a) \]
Demuestra que \(f\) es diferenciable en \(a\) si el siguiente límite existe \[ \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]
Notación: \(\Delta f=f(a+h)-f(a), \Delta x=(a+h)-a=h \), por lo que se puede denotar \[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} \]
Si \(f(x)=c\), \(f\) es diferenciable en todo punto y \(f'(a)=0\) para toda \(a\).
Si \(f(x)=mx+b\), \(f\) es diferenciable en todo punto y \(f'(a)=m\) para toda \(a\).
Encuentra cuales de las fórmulas son ciertas y cuales son falsas.
Si \(f(x)=\frac{1}{x}\), \(x\ne 0\), probar que para \(a\ne 0\), \(f'(a)=-\frac{1}{a^2}\).
Considera \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función potencia \(f(x)=x^n\). Probar que para toda \(a\) \[ f'(a)=na^{n-1}. \]
Sugerencia: por el Ejercicio 1.18, \[ b^n-a^n=(b-a)\left(\sum_{k=0}^{n-1} b^ka^{n-1-k} \right) \] para todos \(a.b\in \mathbb{R}\).
Usando directamente la sugerencia tenemos que para toda \(x\ne a\), el cociente diferencial de \(f\) se puede escribir como \[ \frac{x^n-a^n}{x-a}=\sum_{k=1}^{n-1}x^ka^{n-1-k} \]
Tomando límite cuando \(x\) tiende a \(a\) tenemos \[ f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{x^n-a^n}{x-a}=\lim_{x\to a}\left(\sum_{k=0}^{n-1}x^ka^{n-1-k}\right) \] Finalmente, usando que \(\sum_{k=0}^{n-1}x^ka^{n-1-k}\) es un polinomio en la variable \(x\), por el Ejercicio 5.15 tenemos \[ \lim_{x\to a}\left(\sum_{k=0}^{n-1}x^ka^{n-1-k}\right)=\sum_{k=0}^{n-1-k}a^ka^{n-1-k} \] el cual se simplifica a \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1-k}a^ka^{n-1-k}&=&\sum_{k=0}^{n-1}a^{k+n-1-k} \\ &=&\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1} \\ &=& n a^{n-1}. \end{eqnarray*}
Considera \(f:[0,\infty) \to \mathbb{R}\) la función \(f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}\), \(n\geq 2\).
Probar que para toda \(a>0\) \[ f'(a)=\frac{1}{n}a^{\frac{1}{n}-1} \]
Sugerencia: usa el Ejercicio 4.17 para obtener \[ \sqrt[n]{b}-\sqrt[n]{a}= \frac{b-a}{\sum_{k=0}^{n-1}b^{k/n}a^{(n-1-k)/n}} \] para todos \(a,b \geq 0\).
Inciso 1.
Usando la sugerencia podemos escribir el cociente diferencial como \[ \frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a}=\frac{1}{\sum_{k=0}^{n-1}x^{k/n}a^{(n-1-k)/n}} \] donde \(x\ne a\).
Ahora analizamos el límite del denominador en el cociente anterior. Usando las leyes de los límites y la nota en el Ejercicio 5.22 obtenemos \begin{eqnarray*} \lim_{x\to a} \left(\sum_{k=0}^{n-1}x^{k/n}a^{(n-1-k)/n} \right)&=&\sum_{k=0}^{n-1}a^{k/n}a^{(n-1-k)/n} \\ &=& \sum_{k=0}^{n-1}a^{(n-1)/n} \\ &=& \sum_{k=0}^{n-1}a^{1-\frac{1}{n}} \\ &=& na^{1-\frac{1}{n}}>0. \end{eqnarray*}
Finalmente, usando la ley del límite para el cociente al tomar límite en el cociente diferencial llegamos a \begin{eqnarray*} f'(a)&=&\lim_{x\to a}\left( \frac{1}{\sum_{k=0}^{n-1}x^{k/n}a^{(n-1-k)/n}} \right) \\ &=& \frac{1}{na^{1-\frac{1}{n}}} \\ &=& \frac{1}{n}a^{\frac{1}{n}-1}. \end{eqnarray*}
Inciso 2.
Si tomamos el cociente diferncial para la derivada en \(a=0\) obtenemos \[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\sqrt[n]{x}}{x}=\frac{x^{\frac{1}{n}}}{x}=\frac{1}{x^{1-\frac{1}{n}}}. \] Ya que \(n\geq 2\), \(\lim_{x\to 0}x^{1-\frac{1}{n}}=0\), por lo que el límite del cociente \(\frac{1}{x^{1-\frac{1}{n}}}\), cuando \(x\to 0\), no existe.
Sea \(g\) una función definida en una vecindad de \(a\) y supón que \(g\) es diferenciable en \(a\).
Si \(g(a)\ne 0\) prueba que existe \(V\), una vecindad alrededor de \(a\), tal que \(g(x)\ne 0\) para toda \(x\in V\).
Sean \(f\) y \(g\) funciones definidas en una vecindad de \(a\), ambas diferenciables en \(a\). Demuestra
Si \(p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k\), demuestra que \(p\) es diferenciable en todo \(\mathbb{R}\) y \[ p'(x)=\sum_{k=1}^{n} a_kkx^{k-1} \]
Sea \(p\) un polinomio, \(a\in \mathbb{R}\) fijo y arbitrario y sea \(n\in \mathbb{N}\). Demuestra que \(p^n\) es diferenciable en \(a\) con \[ \frac{dp^n}{dx}(a)=np^{n-1}(a)p'(a) \]
Sugerencia: usa que, para cualesquiera \(c, d \in \mathbb{R}\), se cumple \[ p^n(c)-p^n(c)=(p(c)-p(d))\left( \sum_{k=0}^{n-1}p(c)^kp^{n-k-1}(d)\right) \]
Dada la fórmula \[ 1+x+x^2+\cdots +x^n= \frac{x^{n+1}-1}{x-1}, \quad \textrm{para \(x\ne 1\)} \] determina, diferenciando, fórmulas para
La función \(f(x)=\frac{1}{x^n}=x^{-n}\) es diferenciable para \(x\ne 0\) y \[ f'(x)=-\frac{n}{x^{n+1}}=(-n)x^{-n-1} \]
Sea \(f\) una función definida en una vecindad de \(a\) y supón que \(f\) es diferenciable en \(a\). Prueba que \[ \lim_{x\to a} f(x)=f(a) \]
Por la definición de diferenciabilidd tenemos el siguiente límite \[ \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a). \]
También sabemos ( Ejercicio 5.9) que \[ \lim_{x\to a} (x-a)=0. \]
Multiplicando los dos últimos límites y usando la ley del producto para límites \[ 0=f'(a)0=\lim_{x\to a} \left( \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)\lim_{x\to a}(x-a)= \lim_{x\to a} \left( \frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)\right) \] Simplificando la expresión dentro del límite tenemos \( \left(\frac{f(x-a)}{x-a}\right)(x-a)=f(x)-f(a) \). Por lo tanto \[ 0=\lim_{x\to a} (f(x)-f(a)) \] y al ser \(f(a)\) una constante concluimos \[ 0= \lim_{x\to a} (f(x)-f(a))=\lim_{x\to a}f(x)- f(a) \Rightarrow f(a)=\lim_{x\to a}f(x). \]