El concepto de límite es escencial en el desarrollo
del cálculo diferencial que se presente más adelante.
Aunque la idea no es complicada: "el límite es el
número al cual los valores de una función se van aproximando",
la definición formal, la que es precisa, no es intuitiva
a primera vista y hay que programar el cerebro para manejarla
fluidamente.
En esta sección se presenta la definición formal así como
algunas de las propiedades algebráicas de los límites. Tema aparte
es dar condiciones para la exitencia de límites, lo cual se verá
en otra sección.
Antes de dar la definición de límite necesitamos la definición
de vecindad de un punto.
Definición
Dado un número positivo , el intervalo centrado en
y radio , denotado , se define como
La idea es que los puntos en son puntos "cercanos" al punto
, ¿qué tan cercanos? depende de la que se tome. Al conjunto
también se le llama una vecindad de .
En otras ocaciones es importante analizar a una función "cerca"
de un valor dado , pero evitando el valor
de . Es decir, se analizan los valores
, con pero asumiendo
(por ejemplo, puede ser fuerza de gravedad
y el centro de un agujero negro). En estos
casos lo conveniente es tomar vecindades agujereadas
o perforadas, las cuales se
definen simplemente como
Definición
Sea una función definida en una vecindad agujereada de
. La idea del límite de cuando tiende a un número
(fijo) es que los números van formando una tendencia
hacia un número, es decir, los valores de se van aproximando
a un número fijo, éste es el que se llama el límite.
Si el número al que se aproximan los valores de es escribimos
Por ejemplo, vamos a encontrar
En este caso . Nota
que esta definido para valores de cercano a
cero pero no está bien definido (pues no existe).
Es decir, está definida en una vecindad agujereada de cero.
Ahora, queremos ver la tendencia de cuando la variable
se aproxima cada vez más al cero. Notamos que si
está cercano a cero, el valor se hace muy grande,
puede ser muy grande positivo o muy grande negativo (dependiendo del
signo de ). Por ejemplo
Por lo tanto, para valores "muy cercanos a cero", sin tocar el cero,
es "muy grande". Continuendo con el análisis de
, como es "muy grande"
los valores y son "muy parecidos".
Pensando en porcentajes de ,
y aportan prácticamente los mismos porcentajes. Por
lo tanto, intuitivamente
La definición formal que se presenta abajo tiene como objetivo
poner en claro y cuantificar las frases "muy cercanos", "muy grande",
"muy parecido", que se usaron en el análisis anterior.
Definición
Sea una función, con valores reales, definida en una
vecindad agujereada de .
Decimos que el límite de los valores , cuando
la variable tiende al número , es si:
para toda existe tal que
si entonces .
La definición es complicada, pero lo importante que dice es que
cuando los valores de están cercanos a , sin tocarlo
(codificado en ) entonces los valores
de están cercanos a (codificado en
).
Otro aspecto importante de la definición son los cuantificadores.
El para todo en la dice que las vecindades centradas
en se van haciendo pequeñas, algo necesario para establecer
a como la tendencia de los valores de , pues si
para unos valores de falla la condición entonces
los valores de realmente tiende a otro lado.
Supon que es una función
definida en una vecindad de
y que satisface
Encuentra .
Ejercicio
Sea una función definida en una
vecindad agujereada de
, tal que con .
Demuestra
que existe , una vecindad agujereada de , tal que
, para todo .
Ya que , el número es positivo
y podemos tomar en la
Definición 5.4 para asegurar la
existencia de una tal que para toda
que satisface se cumple
Usando
la otra desigualdad del triángulo
tenemos , por lo que
abriendo el valor absoluto , resulta
Por lo tanto, para la vecindad perforada
se cumple
Ejercicio
Sea una
función definida
en una vecindad agujereada de , tal que
con . Demuestra que
.
Sean dos funciones definidas en
una vecindad
agujereada de , tal que los límites
y existen.
Si , para todo en la vecindad agujereada
demuestra que
Ejercicio
Calcula los siguientes límites.
Justifica tu respuesta.
Definición
Cuando se calcula límites de funciones no siempre es posible aproximarse
a un valor dado de manera arbitraria. Por ejemplo, supongamos
que queremos analizar la expresión
cuando se aproxima a . Nota que la expresión
anterior sólo está definida en un vecindades agujereadas de .
Si queremos obtener valores reales
debemos de pedir que . Ya que
el denominador tiene un valor absoluto la desigualdad anterior
se reduce a pedir , es decir . Por lo tanto
sólo los valores de que están a la derecha del cero deben
de tomarse en cuenta.
Ejemplos como el anterior muestran la necesitad de límites pero
en los cuales los valores de la variable independiente
sólo se aproximan "por un lado" a un número fijo. Estos tipos
de límites se llaman límites laterales.
Decimos que el límite de los valores , cuando
la variable tiende al número por la derechia,
es si:
para toda existe tal que
si entonces .
Lo anterior se denota como
Decimos que el límite de los valores , cuando
la variable tiende al número por la izquierda,
es si:
para toda existe tal que
si entonces , lo cual
denotamos
Ejercicio
Calcula los siguientes límites. Justifica tu respuesta.