Definición

Dado un número positivo \(r>0\), el intervalo centrado en \(a\in \mathbb{R}\) y radio \(r\), denotado \(B_r(a)\), se define como \[ B_r(a)=\{ x\in \mathbb{R}: |x-a|< r \}=\{x\in \mathbb{R}: a-r < x < a+r \} \]

La idea es que los puntos en \(B_r(a)\) son puntos "cercanos" al punto \(a\), ¿qué tan cercanos? depende de la \(r\) que se tome. Al conjunto \(B_r(a)\) también se le llama una vecindad de \(a\).

En otras ocaciones es importante analizar a una función "cerca" de un valor dado \(a\in \mathbb{R}\), pero evitando el valor de \(a\). Es decir, se analizan los valores \(f(x)\), con \(x\in B_r(a)\) pero asumiendo \(x\ne a\) (por ejemplo, \(f\) puede ser fuerza de gravedad y \(a\) el centro de un agujero negro). En estos casos lo conveniente es tomar vecindades agujereadas o perforadas, las cuales se definen simplemente como \[ B_r(a)\setminus\{a\} = \{ x\in \mathbb{R}: |x-a|< r, x\ne a \}= \{ x\in \mathbb{R}: 0< |x-a|< r \} \]

Definición

Sea \(f\) una función definida en una vecindad agujereada de \(a\). La idea del límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a un número (fijo) \(a\) es que los números \(f(x)\) van formando una tendencia hacia un número, es decir, los valores de \(f(x)\) se van aproximando a un número fijo, éste es el que se llama el límite. Si el número al que se aproximan los valores de \(f(x)\) es \(L\) escribimos \[ \lim_{x\to a} f(x)=L \]

Por ejemplo, vamos a encontrar \[ \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}+6}{\frac{1}{x}+2} \] En este caso \(f(x)=\frac{\frac{1}{x}+6}{\frac{1}{x}+2}\). Nota que \(f(x)\) esta definido para valores de \(x\) cercano a cero pero \(f(0)\) no está bien definido (pues \(\frac{1}{0}\)no existe). Es decir, \(f\) está definida en una vecindad agujereada de cero.

Ahora, queremos ver la tendencia de \(f(x)\) cuando la variable \(x\) se aproxima cada vez más al cero. Notamos que si \(x\) está cercano a cero, el valor \(\frac{1}{x}\) se hace muy grande, puede ser muy grande positivo o muy grande negativo (dependiendo del signo de \(x\)). Por ejemplo \[ \begin{array}{cc} x & \frac{1}{x} \\ \hline \\ 0.1 & 10 \\ -0.1 & -10 \\ 0.01 & 100 \\ -0.01 & -100 \\ \frac{1}{10^n} & 10^n \end{array} \] Por lo tanto, para valores "muy cercanos a cero", sin tocar el cero, \(\frac{1}{x}\) es "muy grande". Continuendo con el análisis de \(f(x)\), como \(\frac{1}{x}\) es "muy grande" los valores \(\frac{1}{x}+6\) y \(\frac{1}{x}+2\) son "muy parecidos". Pensando en porcentajes de \(\frac{1}{x}\), \(\frac{1}{x}+6\) y \(\frac{1}{x}+2\) aportan prácticamente los mismos porcentajes. Por lo tanto, intuitivamente \[ \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}+6}{\frac{1}{x}+2}=1. \]

La definición formal que se presenta abajo tiene como objetivo poner en claro y cuantificar las frases "muy cercanos", "muy grande", "muy parecido", que se usaron en el análisis anterior.

Definición

Sea \(f\) una función, con valores reales, definida en una vecindad agujereada de \(a\).

Decimos que el límite de los valores \(f(x)\), cuando la variable \(x\) tiende al número \(a\), es \(L\) si:

para toda \(\varepsilon >0\) existe \(\delta >0\) tal que si \(0<|x-a|< \delta\) entonces \(|f(x)-L|< \varepsilon\).

La definición es complicada, pero lo importante que dice es que cuando los valores de \(x\) están cercanos a \(a\), sin tocarlo (codificado en \(0<|x-a|<\delta\)) entonces los valores de \(f(x)\) están cercanos a \(L\) (codificado en \(|f(x)-L|< \varepsilon\)).

Otro aspecto importante de la definición son los cuantificadores. El para todo en la \(\varepsilon\) dice que las vecindades centradas en \(L\) se van haciendo pequeñas, algo necesario para establecer a \(L\) como la tendencia de los valores de \(f(x)\), pues si para unos valores de \(\varepsilon\) falla la condición entonces los valores de \(f(x)\) realmente tiende a otro lado.

Definición

Cuando se calcula límites de funciones no siempre es posible aproximarse a un valor dado de manera arbitraria. Por ejemplo, supongamos que queremos analizar la expresión \[ \sqrt{\frac{x-1}{|x^2-1|}} \] cuando \(x\) se aproxima a \(1\). Nota que la expresión anterior sólo está definida en un vecindades agujereadas de \(1\).

Si queremos obtener valores reales debemos de pedir que \(\frac{x-1}{|x^2-1|} >0\). Ya que el denominador tiene un valor absoluto la desigualdad anterior se reduce a pedir \(x-1>0\), es decir \(x>1\). Por lo tanto sólo los valores de \(x\) que están a la derecha del cero deben de tomarse en cuenta.

Ejemplos como el anterior muestran la necesitad de límites pero en los cuales los valores de la variable independiente sólo se aproximan "por un lado" a un número fijo. Estos tipos de límites se llaman límites laterales.

• Decimos que el límite de los valores \(f(x)\), cuando la variable \(x\) tiende al número \(a\) por la derechia, es \(L\) si:

  para toda \(\varepsilon >0\) existe \(\delta >0\) tal que si \( a< x < a+\delta \) entonces \(|f(x)-L|< \varepsilon\).

  

  Lo anterior se denota como \[ \lim_{x\to a^+} f(x)=L \]

• Decimos que el límite de los valores \(f(x)\), cuando la variable \(x\) tiende al número \(a\) por la izquierda, es \(L\) si:

  para toda \(\varepsilon >0\) existe \(\delta >0\) tal que si \( a-\delta < x < a\) entonces \(|f(x)-L|< \varepsilon\), lo cual denotamos \[ \lim_{x\to a^-}f(x)=L \]