Cálculo UNO

§ 5

: Límites

Introducción

El concepto de límite es escencial en el desarrollo del cálculo diferencial que se presente más adelante. Aunque la idea no es complicada: "el límite es el número al cual los valores de una función se van aproximando", la definición formal, la que es precisa, no es intuitiva a primera vista y hay que programar el cerebro para manejarla fluidamente.

En esta sección se presenta la definición formal así como algunas de las propiedades algebráicas de los límites. Tema aparte es dar condiciones para la exitencia de límites, lo cual se verá en otra sección.

Antes de dar la definición de límite necesitamos la definición de vecindad de un punto.

Definición

Dado un número positivo r>0, el intervalo centrado en aR y radio r, denotado Br(a), se define como Br(a)={xR:|xa|<r}={xR:ar<x<a+r}

Vecindad

La idea es que los puntos en Br(a) son puntos "cercanos" al punto a, ¿qué tan cercanos? depende de la r que se tome. Al conjunto Br(a) también se le llama una vecindad de a.

En otras ocaciones es importante analizar a una función "cerca" de un valor dado aR, pero evitando el valor de a. Es decir, se analizan los valores f(x), con xBr(a) pero asumiendo xa (por ejemplo, f puede ser fuerza de gravedad y a el centro de un agujero negro). En estos casos lo conveniente es tomar vecindades agujereadas o perforadas, las cuales se definen simplemente como Br(a){a}={xR:|xa|<r,xa}={xR:0<|xa|<r}

VecindadPerforada

Definición

Sea f una función definida en una vecindad agujereada de a. La idea del límite de f(x) cuando x tiende a un número (fijo) a es que los números f(x) van formando una tendencia hacia un número, es decir, los valores de f(x) se van aproximando a un número fijo, éste es el que se llama el límite. Si el número al que se aproximan los valores de f(x) es L escribimos limxaf(x)=L

Por ejemplo, vamos a encontrar limx01x+61x+2 En este caso f(x)=1x+61x+2. Nota que f(x) esta definido para valores de x cercano a cero pero f(0) no está bien definido (pues 10no existe). Es decir, f está definida en una vecindad agujereada de cero.

Ahora, queremos ver la tendencia de f(x) cuando la variable x se aproxima cada vez más al cero. Notamos que si x está cercano a cero, el valor 1x se hace muy grande, puede ser muy grande positivo o muy grande negativo (dependiendo del signo de x). Por ejemplo x1x0.1100.1100.011000.01100110n10n Por lo tanto, para valores "muy cercanos a cero", sin tocar el cero, 1x es "muy grande". Continuendo con el análisis de f(x), como 1x es "muy grande" los valores 1x+6 y 1x+2 son "muy parecidos". Pensando en porcentajes de 1x, 1x+6 y 1x+2 aportan prácticamente los mismos porcentajes. Por lo tanto, intuitivamente limx01x+61x+2=1.

La definición formal que se presenta abajo tiene como objetivo poner en claro y cuantificar las frases "muy cercanos", "muy grande", "muy parecido", que se usaron en el análisis anterior.

Definición

Sea f una función, con valores reales, definida en una vecindad agujereada de a.

Decimos que el límite de los valores f(x), cuando la variable x tiende al número a, es L si:

para toda ε>0 existe δ>0 tal que si 0<|xa|<δ entonces |f(x)L|<ε.

Limite

La definición es complicada, pero lo importante que dice es que cuando los valores de x están cercanos a a, sin tocarlo (codificado en 0<|xa|<δ) entonces los valores de f(x) están cercanos a L (codificado en |f(x)L|<ε).

Otro aspecto importante de la definición son los cuantificadores. El para todo en la ε dice que las vecindades centradas en L se van haciendo pequeñas, algo necesario para establecer a L como la tendencia de los valores de f(x), pues si para unos valores de ε falla la condición entonces los valores de f(x) realmente tiende a otro lado.

Ejercicio

Usando la Definción 5.4 prueba que limx01x+61x+2=1.

Ejercicio

Fija dos números a,bR, distintos de cero.

Usando la Definción 5.4 prueba que limx0ax+6bx+2=ab. Sugerencia: usa mismas ideas que en el ejercicio anterior.

Nota: los números 6 y 2 se pueden cambiar por cualesquiera otros dos números.

Ejercicio

Sea f(x)=x2 y ε>0 fija. Determina un valor de δ>0 tal que si |x2|<δ|f(x)4|<ε

Sugerencia: primero encuentra una vecindad del 2 donde se satisfaga: |f(x)4|c|x2|, para alguna constante c>0 y para todo x en la vecindad.

Ejercicio

Sea f(x)=1x2, para x>0 y fija ε>0.

Determina un valor de δ>0 tal que si |x2|<δ|f(x)14|<ε

Sugerencia: primero encuentra una vecindad del 2 donde se satisfaga: |f(x)1/4|c|x2|, para alguna constante c>0 y para todo x en la vecindad.

Ejercicio

Considera la función f:RR dada por f(x)=x.

Usando la Definición 5.4 prueba que, para toda aR limxaf(x)=a.

Ejercicio

Sean f y g dos funciones definidas en una vecindad agujereada de x0, tal que los siguientes límites existen limxx0f(x)=A y limxx0g(x)=B. Demuestra que:

  1. limxx0(f+g)(x)=A+B.
  2. para cR fijo y arbitrario, limxx0cf(x)=cA.

Teorema

Teorema del sandiwch para límites

Sean f,g y h funciones definidas en una vecindad agujereada de a. Supongamos que limxaf(x) y limxah(x) existen y son iguales. Denotemos L=limxaf(x)=limxah(x)

Además supongamos que f(x)g(x)h(x), para todo x en una vecindad agujereada de a (de ésta parte proviene el nombre de sandwich).

Entonces limxag(x) existe y limxag(x)=L.

Ejercicio

Sea F una función definida en una vecindad agujereada de x0 y tal que limxx0F(x)=L.

Demuestra que existe V, una vecindad agujereada de x0, tal que |F(x)|1+|L|, para todo xV.

Tenemos por suposición que limxx0F(x)=L Usando la Definición 5.4, para ε=1 existe una δ>0 tal que, para toda x con 0<|xx0|<δ se satisface |F(x)L|<1.

Por la otra desigualadad del triángulo tenemos |F(x)L|||F(x)||L||, por lo que 1>||F(x)||L||,para toda x con 0<|xx0|<δ. Si abrimos el último valor absoluto llegamos a 1<|F(x)||L|<1|F(x)|<1+|L|.

Por lo tanto, en la vecindad perforada V:=Bδ(x0){x0} se satisface |F(x)|<1+|L|,para toda xV.

Ejercicio

Sean f y g dos funciones definidas en una vecindad agujereada de x0 tal que los siguientes límites existen limxx0f(x)=A,limxx0g(x)=B Demuestra que limxx0f(x)g(x)=AB.

Ejercicio

Sea f una función definida en una vecindad agujereada de x0 tal que el límite existe limxx0f(x)=L. Demuestra que para todo nN limxx0fn(x)=Ln. En particular, nota que limxx0xn=x0n.

Sugerencia: usa el ejercicio Ejercicio 5.13 e inducción.

Ejercicio

Sea p(x)=k=0nakxk un polinomio. Demuestra que, para todo x0R limxx0p(x)=k=0nakx0k=p(x0). Sugerencia: usa los ejercicios Ejercicio 5.10 y Ejercicio 5.14.

Ejercicio

Supon que f es una función definida en una vecindad de x0 y que satisface 12(x74)2f(x)12+(2x147)2 Encuentra limx7f(x).

Ejercicio

Sea G una función definida en una vecindad agujereada de x0, tal que limxx0G(x)=L con L0.

Demuestra que existe V, una vecindad agujereada de x0, tal que |L|2<|G(x)|, para todo xV.

Ya que L0, el número |L|2 es positivo y podemos tomar ε=|L|2 en la Definición 5.4 para asegurar la existencia de una δ>0 tal que para toda x que satisface 0<|xx0|<δ se cumple |G(x)L|<|L|2 Usando la otra desigualdad del triángulo tenemos ||G(x)||L|||G(x)L|, por lo que abriendo el valor absoluto ||G(x)||L||<|L|2, resulta |L|2<|G(x)|L|L|2+L=|L|2<|G(x)|.

Por lo tanto, para la vecindad perforada V=Bδ(x0){x0} se cumple |L|2<|G(x)|,para toda xV.

Ejercicio

Sea g una función definida en una vecindad agujereada de x0, tal que limxx0g(x)=B con B0. Demuestra que limxx01g(x)=1B.

Ejercicio

Sean p(x) y q(x) dos polinomios. Si q(x0)0, demuestra que limxx0p(x)q(x)=p(x0)q(x0)

Sugerencia: usa Ejercicio 5.13, y Ejercicio 5.15 y Ejercicio 5.18.

Ejercicio

Considera la función f(x)=x para x0.

  1. Para ε>0 encuentra una δ>0 tal que si |x4|<δ|f(x)2|<ε. Sugerencia: usando el Ejercicio 4.17 encuentra una vecindad de 4 donde se cumpla |f(x)2|c|x4|.
  2. Generaliza el ejercicio anterior probando que para toda x0>0 se cumple limxx0f(x)=f(x0).

Ejercicio

Sea f una función definida en una vecindad agujereada de x0.

Asume que existen constantes m,M tales que mf(x)M para todo x en la vecinda y que existe limxx0f(x). Demuestra que mlimxx0f(x)M.

Ejercicio

Sea f una función definida en una vecindad agujereada de x0, tal que f(x)0 en dicha vecindad y tal que limxx0f(x)=A.

Demuestra que limxx0f(x)=A.

Nota: en general se puede probar limxaf(x)n=An, para todo nN.

Ejercicio

Calcula los siguientes límites.
  1. limx01x+11x1
  2. Sean a,bR+ fijos y arbitrarios. limx01x+a1xb
  3. Sean b1,b2,c1,c2E+. limx01x4+b1x2+c11x4+b2x2+c2
  4. Sean a,bR+ fijos y arbotarios. limx01x2+a1x4+b
  5. Sean p(x) y q(x) dos polinomios (arbitrarios). Calcular limx01x4+p(x)1x6+q(x)

Ejercicio

Sean f,g dos funciones definidas en una vecindad agujereada de x0, tal que los límites limxx0f(x) y limxx0g(x) existen.

Si f(x)g(x), para todo x en la vecindad agujereada demuestra que limxx0f(x)limxx0g(x).

Ejercicio

Calcula los siguientes límites. Justifica tu respuesta.
  1. limx3x26x+9x29
  2. limx04+3x43xx
  3. limh016+h4h
  4. limx08+x32x
  5. limt1t41t31

Definición

Cuando se calcula límites de funciones no siempre es posible aproximarse a un valor dado de manera arbitraria. Por ejemplo, supongamos que queremos analizar la expresión x1|x21| cuando x se aproxima a 1. Nota que la expresión anterior sólo está definida en un vecindades agujereadas de 1.

Si queremos obtener valores reales debemos de pedir que x1|x21|>0. Ya que el denominador tiene un valor absoluto la desigualdad anterior se reduce a pedir x1>0, es decir x>1. Por lo tanto sólo los valores de x que están a la derecha del cero deben de tomarse en cuenta.

Ejemplos como el anterior muestran la necesitad de límites pero en los cuales los valores de la variable independiente sólo se aproximan "por un lado" a un número fijo. Estos tipos de límites se llaman límites laterales.

Ejercicio

Calcula los siguientes límites. Justifica tu respuesta.

  1. limx1+x1|x21|
  2. limx0+x|x|
  3. limx0x|x|
  4. limx2|x24|x2
  5. limx9+|81x2|x3
  6. limx2+x2x22x4

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