Desigualdades
Introducción
De manera muy general, la idea de expresiones que involucren desigualdades es muy importante. Por ejemplo, en un proceso productivo (de lo que uno se imagine, autopartes, comida, etc.) donde se deben tener objetivos específicos para su funcionamiento, no es siempre posible controlar exáctamente el resultado, pues se presentan errores, los cuales deben tienen cierto límites, lo que se expresan como: \(|\textrm{error}| \leq a \).
En cálculo las desigualdades juegan un papel muy importante pues permiten estimar cantidades que de otra forma serían muy difíciles de obtener directamente. En esta sección se presentan algunas de las expresiones que involucran desigualdades más comunes y recurrentes en el cálculo, así como algunas sencillas aplicaciones.
Definición
El valor absoluto de un número se define como la distancia de dicho número al 0.
Usando éste punto de vista se tiene que dados \(a,b\in \mathbb{R}\), \(|b-a|\) representa la distancia entre los puntos \(a\) y \(b\). Para ver ésto supongamos que \(b \leq a \) y por \(d\) denotemos a la distancia entre \(a\) y \(b\). Se sigue que \(b+d=a\) lo que implica \(d=a-b\), pero \(|b-a|=a-b\), pues \(b\leq a\), de donde concluimos \(d=|b-a|\).
También se puede definir el valor absoluto como: \[ |x|=\left\{ \begin{array}{cc} -x & \textrm{ si \(x< 0\)}, \\ 0 & \textrm{ si \(x=0\)}, \\ x & \textrm{ si \(x>0\)}. \end{array} \right. \]
Gráfica de la función valor absoluto.
Hay una observación muy útil con respecto a la gráfica de una función y la gráfica de la misma función tomada con valor absoluto. Ya que el valor absoluto deja igual a números positivos o cero y cambia el signo de números negativos, dada una función \(f: D\ \to \mathbb{R}\), para obtener la gráfica de \(|f|\) se reflejan con respecto del eje \(x\) las porciones de la gráfica que están debajo del mismo eje.
Ejercicio
Encuentra el conjunto solución de las siguientes desigualdades.
- \(|x-1| < 3 \) .
- \(|1+2x|\leq 1\) .
- \(|x+2| \geq 5\) .
- \(|x-5| < |x+1|\) .
- \(|x^2-2| \leq 1\) .
Ejercicio
Encuentra el conjunto solución de cada una de las siguientes desigualdades.
- \( |-x^2+9| < 3 \) .
- \(\frac{x^2-4}{3x}>1\) .
- \(\frac{x}{2+x}\leq 2x\) .
Ejercicio
Este ejercicio a veces se refiere como "abrir" un valor absoluto.
Fija \(\varepsilon >0\). Demuestra:
- \(|x|< \varepsilon\) si y sólo si se satisfacen
ambas desigualdades: \(-\varepsilon < x\) y \(x<\varepsilon\).
Lo anterior se resume \[ |x|<\varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon < x < \varepsilon. \]
- Demuestra: \(|x| > \varepsilon\) si y sólo si \(x < -\varepsilon \) ó \(x>\varepsilon\).
Sugerencia: usar la fórmula en la definición de valor absoluto.
Nota: el mismo resultado se vale si se cambia \(<\) por \(\leq\).
Ejercicio
Desigualdad del triángulo.
Esta es una de las desigualdades más utilizadas.
Para todos \(x,y\in \mathbb{R}\): \[ |x+y| \leq |x|+|y| \]
Ejercicio
Sean \(a,b,c \in \mathbb{R}\) tales que \(a< b< c\). Demuestra que para todo \(L\in \mathbb{R}\): \[ |b-L| \leq |a-L|+|c-L|. \]
Sugerencia: considera los casos \(L\leq a\), \(a< L < c \) y \(c \leq L\) junto con la desigualdad del triángulo.
Ejercicio
Sean \(a,b,\alpha, \beta\in \mathbb{R}\) tales que \(a\leq \alpha \leq b\) y \(a\leq \beta \leq b \). Demuestra que \(|\alpha-\beta | \leq b-a\).
Nota: geométricamente ésta desigualdad es clara, pues dice que la distancia entre dos puntos del intervalo \([a,b]\) es, a lo más, b-a, la longitud del intervalo.
Ejercicio
La otra desigualdad del trángulo.
Demuestra que para todos \(x,y\in \mathbb{R}\): \[ ||x|-|y|| \leq |x-y| \]
Sugerencia: usa el Ejercicio 3.5 para abrir el valor absoluto en dos desigualdades y luego aplica la desigualdad del triángulo.
Ejercicio
Desigualdad de Korovkin.
Si \(x_1,\cdots, x_n \in \mathbb{R}^+\) satisfacen \(x_1\cdots x_n=1\) entonces \(x_1+\cdots +x_n \geq n\).
La igualdad se da si y sólo si \(x_1=\cdots=x_n=1\).
Ejercicio
Desigualdad aritmético-geométrica.
Dados \(a_1,\dots a_n \in \mathbb{R}^+\), se cumple: \[ \sqrt[n]{a_1\cdots a_n} \leq \frac{a_1+\cdots +a_n}{n} \]
La igualdad se da si y sólo si \(a_1=\cdots =a_n\).
La desigualdad aritmético-geométrica es tan importante que se presentan dos demostraciones.
La siguiente demostración es debida a Gauss.
Ejercicio
Desigualdad de Cauchy-Schwartz.
Para cualesquiera \(a_1,\dots, a_n, b_1, \dots, b_n \in \mathbb{R}\): \[ \left( \sum_{i=1}^n a_ib_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \]
Ejercicio
Demuestra que la igualdad en la desigualldad de Cauchy-Schwartz se da si y sólo si existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tal que \(a_i=\lambda b_i\), para todo \(i=1,\dots, n\).
Sugerencia: en la prueba de la desigualdad de Cauchy-Schwartz se utilizó la función \[ f(t)=\sum_{i=1}^n (a_i+tb_i)^2 \] Prueba que si se da la igualdad en Cauchy-Schwartz entonces \[ f(t)=(\sqrt{A}\pm t \sqrt{B})^2 \] donde \(A:=\sum_{i=1}^n a_i^2, B:=\sum_{i=1}^n b_i^2\) y el signo \(+\) ó \(-\) depende del signo de \(C:=\sum_{i=1}^n a_ib_i\). Ahora, para encontrar \(\lambda\), nota que la expresión \((\sqrt{A}\pm t \sqrt{B})^2\) se hace cero si y sólo si todos los sumandos \(a_i+tb_i\), \(i=1,\dots, n\), se hacen cero.
Ejercicio
Demuestra que si \(b_1, \cdots, b_n \in \mathbb{R}^+\) entonces \[ \frac{b_1}{b_2}+\frac{b_2}{b_3}+\frac{b_3}{b_4}+ \cdots+ \frac{b_{n-1}}{b_n}+\frac{b_n}{b_1}\geq n \]
Sugerencia: usa Korovkin.
Ejercicio
Las estimaciones usando desigualdades pueden usarse para resolver problemas de máximos y mínimos. La derivada ayudará a resolver estos problemas de manera más ordenada, pero este es una muestra de los problemas de que se veran más adelante.
Prueba:
- para todo \(x\in \mathbb{R}\) \[ \frac{x^2}{1+x^4}\leq \frac{1}{2} \] Sugerencia: reescribir \(\frac{x^2}{1+x^4} = \frac{1}{\frac{1}{x^2}+ x^2}\) y usar la desigualdad de Korovkin en el denominador.
- Considera la función \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dada por \(f(x)=\frac{x^2}{1+x^4}\). Encuentra los punto \(x_{0} \in \mathbb{R}\) donde la función alcanza su máximo, es decir \(x_{0}\) debe de satisfacer \[ f(x) \leq f(x_{0}) \quad \textrm{ para todo \(x\in \mathbb{R}\)} \] Sugerencia: recuerda cuando se da la igualdad en la desigualdad de Korovkin.
Ejercicio
La desigualdad de Bernoulli.
Sean \(a_1, \dots, a_n\) números reales todos con el mismo signo y que satisfacen \(a_i>-1\), para todo \(i=1,\dots, n\). Demostrar por inducción que \[ (1+a_1) \cdots (1+a_n)\geq 1+a_1+ \cdots + a_n \] En particular si \(a_1=\cdots = a_n=x>-1\) se concluye \[ (1+x)^n\geq 1+nx \]
Esta última se llama la desigualdad de Bernoulli.
Ejercicio
Esta es otra demostración de la desigualdad de Bernoulli.
- Demuestra que para \(n\in \mathbb{N}\) y \(y>-1\) \[ (1+y)^{1/n}\leq 1+\frac{y}{n} \] Sugerencia: en la desigualdad aritmético-geométrica toma \(a_1=1+y\) y \(a_2=\cdots =a_n=1\).
- Demostrar que si \(x>-\frac{1}{n}\) entonces \[ (1+x)^n\geq 1+nx \] Sugerencia: considera \(y=nx\) en la desigualdad del inciso anterior, además puedes usar que si \(0 \leq a \leq b \) entonces \(a^n \leq b^n\).
Ejercicio
Demuestra que si \(a,b,c\in \mathbb{R}^+\) satisfacen \(abc=8\) entonces \(a+b+ c\geq 6\) y \(ab+bc+ac\geq 12\).
Sugerencia: acomoda las suposiciones para que puedas aplicar Korovkin.
Ejercicio
Sean \(x_1,\dots, x_n \in \mathbb{R}^+\). Si \(p>0\) es un entero, la media de potencias \(p\)-ésimas se define como \[ M_p:= \left( \frac{x_1^p+\cdots +x_n^p}{n} \right)^{1/p} \] Demostrar que \(M_p < M_{2p}\) cuando \(x_1,\dots, x_n\) no son todos iguales.
Sugerencia: usar la desigualdad de Cauchy-Schwartz con \(a_k=x_k^p\) y \(b_k=1\).