Ejercicio

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) continua en \([a,b]\) y diferenciable en \((a,b)\). Demuestra que \(f\) es constante en \([a,b]\) si y sólo si \(f'=0\) en \([a,b]\).

Ejercicio

Utiliza el Teorema de Valor Intermedio para probar las siguientes desigualdades

1. \(|\sen(a)-\sen(b)| \leq |a-b|\)
2. \(\sen(2x)-\sen(x)| \leq |x|\)

Ejercicio

Sean \(f,g:[a,\infty)\to \mathbb{R}\), continuas en \([a,\infty)\) y diferenciables en \((a,\infty)\) con \(f(a) \leq g(a)\).

1. Si \(f'(x) < g'(x)\), para todo \(x>a\), demuestra que \(f(x) < g(x)\), para toda \(x>a\).
2. Usar el inciso anterior para probar que \(\sqrt{1+x}< 1+\frac{x}{2}\) para todo \(x>0\).

Ejercicio

Demuestra que para toda \(x\in \mathbb{R}\) \[ 1+x \leq e^x. \] Además, grafica \(e^x\) y \(x+1\), cerca del cero.

Ejercicio

Este ejercicio generaliza el Ejercicio 16.25 . Demuestra que toda recta tangente de \(e^x\) es una recta soporte.

Ejercicio

Da un ejemplo de \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), una función continua en \(\mathbb{R}\) que tenga una infinidad de rectas soported en \((0,f(0))\).

Ejercicio

Usando diferencia de cuadrados muestra que la función \(f(x)=x^2\) es Lipschitz en cualquier intervalo de la forma \([a,b]\).

Ejercicio

Da un ejemplo de una función \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) que sea Lipschitz continua en \([a,b]\) pero no sea diferenciable en una infinidad de puntos en \([a,b]\).

Ejercicio

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) continua en \([a,b]\) y diferenciable en \((a,b)\). Si existe \(M>0\) tal que si \(|f'(x)| \leq M\), para toda \(x\in (a,b)\), demuestra que, para cualesquiera \(x_1,x_2\in [a,b]\): \[ |f(x_1)-f(x_2)| \leq M |x_2-x_2| \] es decir, \(f\) es Lipschitz continua en \([a,b]\).

Ejercicio

Este ejercicio muestra porque no se define funciones \(\alpha\)-Lipschitz para \(\alpha >1\).

Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función, \(M>0\) y \(\alpha >1\) tal que satisfacen \[ |f(x)-f(y)| \leq M |x-y|^{\alpha} \] Demuestra que \(f\) es constante.

Sugerencia: demuestra que \(f\) es diferenciable y que \(f'=0\) en \([a,b]\).

Ejercicio

Sean \(f,g:[a,b] \to \mathbb{R}\) dos funciones continuas en \([a,b]\) y diferenciables en \((a,b)\). Demuestra que si \(f'(x)=g'(x)\) para toda \(x\in (a,b)\) si y sólo si existe una constante \(c\), tal que \(f(x)=c+g(x)\), para toda \(x\in [a,b]\).

Ejercicio

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) una función continua en \([a,b]\) y diferenciable en \((a,b)\). Demuestra que si \(f'(x) \ne 0\), para toda \(x\in (a,b)\) entonces \(f\) es injectiva en \([a,b]\).

Ejercicio

Sea \(f:[a,b)]\to \mathbb{R}\) continua en \([a,b]\) y diferenciable en \((a,b)\). Demuestra:

1. Si \(f'(x)>0\) (\(f'(x)< 0\)) para todo \(x\in (a,b)\) entonces \(f\) es estrictamente creciente (decreciente) en \([a,b]\).
2. Si \(f'(x) \geq 0\) (\(f'(x) \leq 0\)) para todo \(x\in (a,b)\) entonces \(f\) es monótona creciente (decreciente) en \([a,b]\).

Ejercicio

Sean \(a,b \in \mathbb{R}\), con \(a\ne 0\). Demuestra que:

1. Si \(a > 0\), la función \(f(x)=e^{ax+b}\), \(x\in \mathbb{R}\), es estrictamente creciente.
2. Si \(a < 0\), la función \(f(x)=e^{ax+b}\), \(x\in \mathbb{R}\), es estrictamente decreciente.

Ejercicio

Sea \(c\in \mathbb{R}\), fijo y arbitrario. Demuestra que el polinomio \(p(x)=x^3+3x^2+3x+c\), tiene exáctamente una raíz.

Sugerencia: para la unicidad demuestra que \(p\) es estrictamente creciente.

Ejercicio

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\), continua en \([a,b]\) y diferenciable en \((a,b)\). Si \(f'(x)>0\) para todo \(x\in [a,b]\) excepto en un punto \(c\) donde \(f'(c)=0\), demuestra que \(f\) es estrictamente creciente en \([a,b]\).

Ejercicio

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) continua en \([a,b]\) y diferenciable en \((a,b)\).

1. Demuestra que si \(f\) tiene tres raíces en \([a,b]\) entonces \(f'\) tiene almenos dos raíces en \([a,b]\).
2. Generaliza el ejercicio anterior: si \(f\) tiene \(r\) raíces en \([a,b]\) entonces \(f'\) tiene almenos \(r-1\) raíces en \([a,b]\).

Ejercicio

Un polinomio \(p(x)\), tiene una raíz de grado \(m\) en \(x_0\) si podemos factorizar el polinomio como \(p(x)=(x-x_0)^mq(x)\), donde \(q(x)\) es un polinomio con \(q(x_0)\ne 0\).

Demuestra que si \(p(x)\) tiene una raíz de grado \(m\) en \(x_0\) entonces su derivada tiene una raíz de grado \(m-1\) en \(x_0\).

Ejercicio

Criterio de la primera derivada para extremos locales

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) continua en \([a,b]\). Supongamos que \(f\) es diferenciable en \(I \subset [a,b]\), una vecindad agujereada de \(c \in [a,b]\). Demuestra:

1. Si \(f'(x)>0\) para \(x< c\), \(x\in I\) y \(f'(x) < 0\) para \(x >c\), \(x\in I\) entonces \(f\) tiene un máximo local en \(c\).
2. Si \(f'(x)< 0\) para \(x< c\), \(x\in I\) y \(f'(x)>0\) para \(x>c\), \(x\in I\) entonces \(f\) tiene un mínimo local en \(c\).

Ejercicio

Criterio de la segunda derivada para extremos locales

Supongamos que \(f\) está definida en una vecindad de \(c\) y \(f''\) existe y es continua.

1. Si \(f'(c)=0\) y \(f''(c)>0\) entonces \(f\) tiene un mínimo local en \(c\).
2. Si \(f'(c)=0\) y \(f''(c)< 0\) entonces \(f\) tiene un máximo local en \(c\).

Ejercicio

Considera \(f(x)=ax^2+bx+c\), \(a,b,c\in \mathbb{R}\), \(a\ne 0\).

1. Si \(a>0\), \(f\) alcanza su un máximo absoluto en \(\mathbb{R}\) en el punto \(x=-\frac{b}{2a}\). Da una fórmula para dicho máximo.
2. Si \(a< 0\), \(f\) alcanza su un mínimo absoluto en \(\mathbb{R}\) en el punto \(x= -\frac{b}{2a}\). Da una fórmula para dicho mínimo.