Para terminar el curso aplicacamos la derivada en una variedad de situaciones
para obtener información acerca de las funciones: si son monótonas crecientes/decrecientes,
concavas hacia arriba/abajo, algunas desigualdades, máximos/mínimos y gráficas de funciones.
Teorema
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\)
continua en \([a,b]\) y diferenciable en \((a,b)\). Demuestra que si
\(f'=0\) en \((a,b)\) entonces \(f\) es constante en \([a,b]\).
Sean \(x_1,x_2\in [a,b]\) fijos y arbitrarios. Por el Teorema del Valor Medio tenemos
que existe \(c\) entre \(x_1\) y \(x_2\) tal que
\[
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c).
\]
Ahora, por hipótesis \(f'(c)=0\). Se sigue que \(f(x_2)-f(x_1)=0\), es decir
\(f(x_1)=f(x_2)\). Al ser \(x_1, x_2\) arbitrarias se concluye que \(f\) es constante.
Ejercicio
Sean \(f,g:[a,b] \to \mathbb{R}\) dos funciones continuas en \([a,b]\)
y diferenciables en \((a,b)\). Demuestra que si \(f'(x)=g'(x)\) para toda
\(x\in (a,b)\) si y sólo si existe una constante \(c\), tal que \(f(x)=c+g(x)\),
para toda \(x\in [a,b]\).
Proposición
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) una
función continua en \([a,b]\) y diferenciable en \((a,b)\) que satisface
\[
f'(x)=f(x), \quad \forall x\in (a,b).
\]
Demuestra que existe una constante \(c\) tal que \(f(x)=ce^x\), para todo \(x\in (a,b)\).
Este ejercicio se puede pensar en términos de ecuaciones diferenciales.
El ejercicio dice que, excepto por constantes, la única función
\(f\) que satisface \(f'=f\) (una ecuación diferencial) es la exponencial.
Sea \(f\) con la propiedad de que \(f'=f\). Sabemos que la función exponencial tiene
ésta propiedad así que vamos a comparar \(f\) con la exponencial tomando su cociente.
Definimos \(g(x)=\frac{f(x)}{e^x}\). Como la función exponencial siempre es positiva,
el cociente está bien definido, es una función continua y es diferenciable.
Usando la derivada del cociente y sabiendo que \(f=f', (e^x)'=e^x\) tenemos:
\begin{eqnarray*}
g'(x)=\frac{f'(x)e^x-f(x)(e^x)' }{(e^x)^2}=\frac{f(x)e^x-f(x)e^x}{(e^x)^2}=0
\end{eqnarray*}
Aplicando el teorema anterior obtenemos que \(g\) es constante, asi que
existe \(c\in \mathbb{R}\) tal que \(g(x)=c\) para todo \(x\in [a,b]\).
Despejando \(f\) de \(g\) obtenemos que \(f(x)=ce^x\) para todo \(x\in [a,b]\).
Ejercicio
Este ejercicio muestra porque no se define funciones
\(\alpha\)-Lipschitz para \(\alpha >1\).
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función, \(M>0\) y \(\alpha >1\) tal que satisfacen
\[
|f(x)-f(y)| \leq M |x-y|^{\alpha}
\]
Demuestra que \(f\) es constante.
Sugerencia: demuestra que \(f\) es diferenciable y que \(f'=0\) en \([a,b]\).
Ejercicio
Utiliza el Teorema de Valor
Intermedio para probar las siguientes desigualdades
\(|\sen(a)-\sen(b)| \leq |a-b|\)
\(|\sen(2x)-\sen(x)| \leq |x|\)
Ejercicio
Sean \(f,g:[a,\infty)\to \mathbb{R}\), continuas en \([a,\infty)\) y
diferenciables en \((a,\infty)\) con
\(f(a) \leq g(a)\).
Si \(f'(x) < g'(x)\), para todo \(x>a\), demuestra que \(f(x) < g(x)\),
para toda \(x>a\).
Usar el inciso anterior para probar que \(\sqrt{1+x}< 1+\frac{x}{2}\)
para todo \(x>0\).
Ejercicio
Demuestra que para toda
\(x\in \mathbb{R}\)
\[
1+x \leq e^x.
\]
Además, grafica \(e^x\) y \(x+1\), cerca del cero.
Definición
Sea \(f: D \to \mathbb{R}\) una función. Una recta soporte para la
gráfica de \(f\), en el punto \((x_0,f(x_0))\), es una recta \(L\) tal que:
\((x_0, f(x_0)) \in L\),
la gráfica de \(f\) está totalmente contenida en uno de los
semiplanos cerrados determinados por \(L\).
Por ejemplo, la recta \(y=0\) es recta soporte de \(f(x)=x^2\) en \((0,0)\) perno
no es recta soporte de \(f(x)=x^3\) en \((0,0)\).
Ejercicio
Este ejercicio generaliza el Ejercicio 16.25 .
Demuestra que toda recta tangente de \(e^x\) es una recta soporte.
Ejercicio
Da un ejemplo de \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), una función continua en
\(\mathbb{R}\) que tenga una infinidad de rectas soported en
\((0,f(0))\).
Ejercicio
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) una función continua en \([a,b]\)
y diferenciable en \((a,b)\). Demuestra que si \(f'(x) \ne 0\), para toda
\(x\in (a,b)\) entonces \(f\) es injectiva en \([a,b]\).
Teorema
Criterio de la 1a derivada para monoticidad
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) continua en \([a,b]\) y
diferenciable en \((a,b)\). Demuestra:
Si \(f'(x)>0\) (\(f'(x)< 0\)) para todo \(x\in (a,b)\) entonces \(f\) es
estrictamente creciente (decreciente) en \([a,b]\).
Si \(f'(x) \geq 0\) (\(f'(x) \leq 0\)) para todo \(x\in (a,b)\) entonces
\(f\) es monótona creciente (decreciente) en \([a,b]\).
Ejercicio
Sean \(a,b \in \mathbb{R}\), con \(a\ne 0\). Demuestra que:
Si \(a > 0\), la función \(f(x)=e^{ax+b}\), \(x\in \mathbb{R}\),
es estrictamente creciente.
Si \(a < 0\), la función \(f(x)=e^{ax+b}\), \(x\in \mathbb{R}\),
es estrictamente decreciente.
Ejercicio
Sea \(c\in \mathbb{R}\), fijo y arbitrario. Demuestra que el polinomio
\(p(x)=x^3+3x^2+3x+c\), tiene exáctamente una raíz.
Sugerencia: para la unicidad demuestra que \(p\) es estrictamente creciente.
Ejercicio
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\), continua en \([a,b]\) y diferenciable en
\((a,b)\). Si \(f'(x)>0\) para todo
\(x\in [a,b]\) excepto en un punto \(c\) donde \(f'(c)=0\), demuestra que \(f\) es
estrictamente creciente en
\([a,b]\).
Ejercicio
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) continua en \([a,b]\) y diferenciable en \((a,b)\).
Demuestra que si
\(f\) tiene tres raíces en \([a,b]\) entonces \(f'\) tiene almenos dos
raíces en \([a,b]\).
Generaliza el ejercicio anterior: si \(f\) tiene \(r\) raíces en
\([a,b]\) entonces \(f'\) tiene almenos
\(r-1\) raíces en \([a,b]\).
Ejercicio
Un polinomio \(p(x)\), tiene una raíz de grado \(m\) en \(x_0\) si podemos
factorizar el polinomio como \(p(x)=(x-x_0)^mq(x)\), donde \(q(x)\) es un
polinomio con \(q(x_0)\ne 0\).
Demuestra que si \(p(x)\) tiene una raíz de
grado \(m\) en \(x_0\) entonces su derivada tiene una raíz de grado
\(m-1\) en \(x_0\).
Ejercicio
Este ejercicio generaliza la desigualdad de Bernoulli
(Ejercicio 3.16 )
pasando de \(n\) natural a racional.
Sea \(m\in \mathbb{Q}\) una constante con \(m > 1\) y considera
\(f(x)=(1+x)^m-mx\) con
\(x\in [-1,\infty)\).
Encuentra el mínimo absoluto de \(f\) en \([-1,\infty)\).
Sugerencia: encuentra los intervalos de crecimiento y puntos críticos.
Con ayuda del inciso anterior demuestra la desigualdad de Bernoulli:
dado \(m\in \mathbb{Q}\), \(m>1\):
\[
(1+x)^m \geq 1+mx, \quad \forall x\geq -1,
\]
con igualdad si y sólo si \(x=0\).
Con ejemplos muestra que la desigualdad de Bernoulli no se
vale si tomamos \(m\in (0,1)\).
Teorema
Criterio de la primera derivada para extremos locales
Supongamos que \(f\) está definida en una vecindad de \(c\), \(f\) es diferenciable
en dicha vecindad y existe un \(r>0\) tal que:
\(f'(x)>0\) para \(x\in (c-r,c)\) y \(f'(x) < 0\) para \(x\in (c, c+r)\),
entonces \(f\) tiene un máximo local en \(c\).
\(f'(x)< 0\) para \(x\in (c-r,c)\) y \(f'(x)>0\) para \(x\in (c,c+r)\),
entonces \(f\) tiene un mínimo local en \(c\).
Teorema
Criterio de la segunda derivada para extremos locales
Supongamos que \(f\) está definida en una vecindad de \(c\) y \(f''\) existe
y es continua.
Si \(f'(c)=0\) y \(f''(c)>0\) entonces \(f\) tiene un mínimo local en \(c\).
Si \(f'(c)=0\) y \(f''(c)< 0\) entonces \(f\) tiene un máximo local en \(c\).
Si \(a>0\), \(f\) alcanza su un máximo absoluto en \(\mathbb{R}\) en el punto
\(x=-\frac{b}{2a}\). Da una fórmula para dicho máximo.
Si \(a< 0\), \(f\) alcanza su un mínimo absoluto en \(\mathbb{R}\) en el punto
\(x= -\frac{b}{2a}\). Da una fórmula para dicho mínimo.
Optimización
Un problema de optimización es un problema donde se requiere encontrar la mejor solución
(es decir, maximizar o minimizar cierta cantidad) sujeto a restricciones naturales del problema. Como maximizar
ganancias bajo ciertas restricciones de producción.
Con las herramientas que hemos desarrollado se pueden resolver problemas de optimización
que involucran dos variables,\(x\) e \(y\) , y de tal forma que la restricción del problema
viene en la forma \(f(x,y)=0\), para alguna función (función restricción).
Ejercicio
Sean \(a,b \geq 0\) tales que \(a+b=20\). Maximiza y minimiza las
siguientes cantidades.
\(ab\),
\(a^2+b^2\),
\(a+\sqrt{b}\),
\(\sqrt{b}+\sqrt{a}\).
Ejercicio
Fija \(S>0\). Demuestra que, entre todas las posibles elecciones de
números positivos \(x,y\) tal que
\(x+y=S\), el producto se maximiza cuando \(x=y=\frac{S}{2}\).
Ejercicio
Fija \(P>0\). Demuestra que, entre todas las posibles elecciones de
números positivos \(x,y\) tal que
\(xy=P\), la suma se minimiza cuando \(x=y=\sqrt{P}\).
Usa el ejercicio anterior para dar otra demostración de la
desigualdad aritmético-geométrica. Es decir, para \(a,b>0\),
\(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\).
Sugerencia: toma \(P=ab\).
Ejercicio
Determina las dimensiones que debe tener una caja rectangular cerrada,
con tapas cuadradas, que minimicen el costo de fabricación si el
material de los costados cuesta el cuádruple del de las tapas y si el
volumen debe ser 1\(m^3\).
Definición
En economia, eficiencia tecnológica se define como el cociente
\[
\frac{\textrm{unidades de producto}}{\textrm{unidades de insumo}}
\]
Para formalizar esta definición supongamos que \(x\) representa la cantidad
de cierto insumo (por ejemplo tiempo o materia prima) y \(Q(x)\) representa
la cantidad de producto generado por \(x\). Entonces la eficiencia de \(Q\) en
el intervalo \([x_1,x_2]\) es
\[
\frac{Q(x_2)-Q(x_2)}{x_2-x_1}
\]
Por ejemplo, si dos intervalos \([x_1,x_2]\), \([x_3,x_4]\) satisfacen
\(x_2-x_1=x_4-x_3\), podemos comparar \(Q\) en ambos intervalos y
decir que \(Q\) es mas eficiente en \([x_1,x_2]\) que en \([x_3,x_4]\) si
\[
\frac{Q(x_4)-Q(x_3)}{x_4-x_3} \leq \frac{Q(x_2)-Q(x_1)}{x_2-x_1}
\Leftrightarrow Q(x_4)-Q(x_3) \leq Q(x_2)-Q(x_1).
\]
El máximo punto de eficiencia de \(Q:[a,b]\to \mathbb{R}\) se define como
\[
\sup_{a\leq s< t \leq b} \frac{Q(t)-Q(s)}{t-s}
\]
si es que éste supremo existe.
Ejercicio
Un estudio de productividad efectuado en una fábrica, indica que un
trabajador promedio que inicia su labor a las 8.00 am habrá producido
\(Q(t)=-t^3+9t^2+12t\) unidades de producto, \(t\) horas después del inicio.
Si partimos el intervalo de trabajo en 8 partes iguales, encuentra el
intervalo del día en el que el trabajador es más eficiente.
Ejercicio
Supon que \(Q:[a,b] \to \mathbb{R}\) modela la cantidad de producto generado
utilizando \(x\) cantidades de insumo y que \(Q'\) existe y es continua en \([a,b]\).
Usando el T.V.M. demuestra que
\[
\sup_{a\leq s< t \leq b} \frac{Q(t)-Q(s)}{t-s}= \max_{x\in [a,b]}\{ Q'(x)\}
\]
Regresando al Ejercicio 16.29, ¿ en
qué momento de la mañana es el trabajador más eficiente ?
El máximo punto de eficiencia también es conocido como el
punto de beneficios decrecientes . Proporciona un argumento que
justifiqué los dos nombres dados a ese punto.
Ejercicio
Un anuncio publicitario debe de tener 50 \(m^2\) de material impreso con 4
\(cm\) de margen arriba y abajo y con 2 \(cm\) de margen a los lados.
¿ Qué dimensiones debe de tener el anuncio que requiera
la menor cantida de papel?
Ejercicio
Sean \(a_1,\dots a_n \in \mathbb{R}\) fijos y arbitrarios. Demuestra que la suma
\[
\sum_{k=1}^n(a_k-x)^2
\]
se minimiza cuando \(x\) es el promedio de las \(a_k\)'s.
Ejercicio
Considera una esfera de radio \(R>0\). Calcula, en términos de \(R\), el
radio \(r\) y la altura \(h\), del cono ciruclar recto de máximo volumen que
puede ser inscrito dentro de ésta esfera.
Teorema
Criterio de la primera derivada para concavidad
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función continua en \([a,b]\) y
diferenciable en \((a,b)\).
Si \(f'\) es monótona creciente en \((a,b)\) entonces \(f\) es
cóncava hacia arriba en \([a,b]\).
Si \(f'\) es monótona decreciente en \((a,b)\) entonces \(f\) es
cóncava hacia abajo en \([a.b]\).
Nota: sólo es necesario probar inciso 1, pues el inciso 2
se obtiene del 1 intercambiando \(f\) por \(-f\).
Sean \(x_0,x_1\in [a,b]\) con \(x_0 < x_1 \). Para \(t\in [0,1]\) denotamos
\(
x_t= (1-t)x_0+tx_1.
\)
Para probar que \(f\) es cóncava hacia arriba debemos de probar:
\[
f(x_t) \leq (1-t)f(x_0)+tf(x_1)
\]
Para continuar reescribimos \(f(x_t)\) usando las "coordenadas" \(t\) y \(1-t\)
como \(f(x_t)=(1-t)f(x_t)+tf(x_t)\). Entonces la desigualdad anterior se
reescribe como
\begin{eqnarray}
(1-t)f(x_t)+tf(x_t) & \leq & (1-t)f(x_0)+tf(x_1) \label{Eqn:Aux1Concavidad} \\
\Leftrightarrow (1-t)(f(x_t)-f(x_0) ) &\leq & t(f(x_1)-f(x_t)) \label{Eqn:Aux2Concavidad}
\end{eqnarray}
Ahora usando el T.V.M. podemos escribir
\begin{equation}\label{Eqn:Aux3Concavidad}
f(x_t)-f(x_0)=f'(c_t)(x_t-x_0), \quad f(x_1)-f(x_t)=f'(d_t)(x_1-x_t)
\end{equation}
donde \(x_0< c_t < x_t\), \(x_t< d_t < x_1\).
Substituyendo \eqref{Eqn:Aux3Concavidad}, \eqref{Eqn:Aux4Concavidad} y
\eqref{Eqn:Aux5Concavidad} en \eqref{Eqn:Aux2Concavidad} resulta que debemos de probar:
\begin{equation}\label{Eqn:Aux6Concavidad}
(1-t)t(x_1-x_0)f'(c_t) \leq (1-t)t(x_1-x_0)f'(d_t).
\end{equation}
Ahora, estamos suponiendo que \(f'\) es monótona creciente en \((a,b)\) y además
sabemos que \( a\leq x_0 < c_t < x_t< d_t < x_1 \leq b \) por lo que
\(f'(c_t)\leq f'(d_t)\). Ahora \((1-t)t(x_1-x_0) \geq 0\), asi que multiplicando
la desigualdad anterior obtenemos \eqref{Eqn:Aux6Concavidad}.
Teorema
Criterio de la segunda derivada para concavidad
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función continua en \([a,b]\) y
diferenciable en \((a,b)\) y tal que
\(f''\) existe en \((a,b)\).
Si \(f'' >0\) en \((a,b)\) entonces \(f\) es cóncava hacia arriba en \([a,b]\).
Si \(f''< 0\) en \((a,b)\) entonces \(f\) es cóncava hacia abajo en \([a.b]\).
Ejercicio
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) continua en \([a,b]\) y diferenciable
en \((a,b)\) y tal que \(f'\) es o bien monótona creciente o
monótona decreciente en \((a,b)\).
Sea \((x,_0, f(x_0))\), \(x_0 \in (a,b)\) un punto fijo y arbitrario.
Demuestra que la recta tangente a la gráfica de \(f\) en \((x_, f(x_0))\)
es una recta soporte para la gráfica.