Concavidad, optimización, trazado de curvas
Introducción
Ejercicio
Criterio de la primera derivada para concavidad.
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función continua en \([a,b]\) y
diferenciable en \((a,b)\).
-
Si \(f'\) es monótona creciente en \((a,b)\) entonces \(f\) es
cóncava hacia arriba en \([a,b]\).
-
Si \(f'\) es monótona decreciente en \((a,b)\) entonces \(f\) es
cóncava hacia abajo en \([a.b]\).
Ejercicio
Criterio de la segunda derivada para concavidad.
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función continua en \([a,b]\) y
diferenciable en \((a,b)\) y tal que
\(f''\) existe en \((a,b)\).
-
Si \(f'' >0\) en \((a,b)\) entonces \(f\) es cóncava hacia arriba en \([a,b]\).
-
Si \(f''< 0\) en \((a,b)\) entonces \(f\) es cóncava hacia abajo en \([a.b]\).
Ejercicio
Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) continua en \([a,b]\) y diferenciable
en \((a,b)\) y tal que \(f'\) es o bien monótona creciente o
monótona decreciente en \((a,b)\).
Sea \((x,_0, f(x_0))\), \(x_0 \in (a,b)\) un punto fijo y arbitrario.
Demuestra que la recta tangente a la gráfica de \(f\) en \((x_, f(x_0))\)
es una recta soporte para la gráfica.
Optimización
Ejercicio
Sean \(a,b \geq 0\) tales que \(a+b=20\). Maximiza y minimiza las
siguientes cantidades.
-
\(ab\),
-
\(a^2+b^2\),
-
\(a+\sqrt{b}\),
-
\(\sqrt{b}+\sqrt{a}\).
Ejercicio
Fija \(S>0\). Demuestra que, entre todas las posibles elecciones de
números positivos \(x,y\) tal que
\(x+y=S\), el producto se maximiza cuando \(x=y=\frac{S}{2}\).
Ejercicio
-
Fija \(P>0\). Demuestra que, entre todas las posibles elecciones de
números positivos \(x,y\) tal que
\(xy=P\), la suma se minimiza cuando \(x=y=\sqrt{P}\).
-
Usa el ejercicio anterior para dar otra demostración de la
desigualdad aritmético-geométrica. Es decir, para \(a,b>0\),
\(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\).
Sugerencia: toma \(P=ab\).
Ejercicio
Determina las dimensiones que debe tener una caja rectangular cerrada,
con tapas cuadradas, que minimicen el costo de fabricación si el
material de los costados cuesta el cuádruple del de las tapas y si el
volumen debe ser 1\(m^3\).
Ejercicio
Este ejercicio generaliza la desigualdad de Bernoulli
(
Ejercicio 3.16 )
pasando de \(n\) natural a racional.
Sea \(m\in \mathbb{Q}\) una constante con \(m > 1\) y considera
\(f(x)=(1+x)^m-mx\) con
\(x\in [-1,\infty)\).
-
Encuentra el mínimo absoluto de \(f\) en \([-1,\infty)\).
Sugerencia: encuentra los intervalos de crecimiento y puntos críticos.
-
Con ayuda del inciso anterior demuestra la desigualdad de Bernoulli:
dado \(m\in \mathbb{Q}\), \(m>1\):
\[
(1+x)^m \geq 1+mx, \quad \forall x\geq -1,
\]
con igualdad si y sólo si \(x=0\).
-
Con ejemplos muestra que la desigualdad de Bernoulli no se
vale si tomamos \(m\in (0,1)\).
Ejercicio
En economia, eficiencia tecnológica se define como el cociente
\[
\frac{\textrm{unidades de producto}}{\textrm{unidades de insumo}}
\]
Para formalizar esta definición supongamos que \(x\) representa la cantidad
de cierto insumo (por ejemplo tiempo o materia prima) y \(Q(x)\) representa
la cantidad de producto generado por \(x\). Entonces la eficiencia de \(Q\) en
el intervalo \([x_1,x_2]\) es
\[
\frac{Q(x_2)-Q(x_2)}{x_2-x_1}
\]
Por ejemplo, si dos intervalos \([x_1,x_2]\), \([x_3,x_4]\) satisfacen
\(x_2-x_1=x_4-x_3\), podemos comparar \(Q\) en ambos intervalos y
decir que \(Q\) es mas eficiente en \([x_1,x_2]\) que en \([x_3,x_4]\) si
\[
\frac{Q(x_4)-Q(x_3)}{x_4-x_3} \leq \frac{Q(x_2)-Q(x_1)}{x_2-x_1}
\Leftrightarrow Q(x_4)-Q(x_3) \leq Q(x_2)-Q(x_1).
\]
El máximo punto de eficiencia de \(Q:[a,b]\to \mathbb{R}\) se define como
\[
\sup_{a\leq s< t \leq b} \frac{Q(t)-Q(s)}{t-s}
\]
si es que éste supremo existe.
Ejercicio
Un estudio de productividad efectuado en una fábrica, indica que un
trabajador promedio que inicia su labor a las 8.00 am habrá producido
\(Q(t)=-t^3+9t^2+12t\) unidades de producto, \(t\) horas des pués del inicio.
Si partimos el intervalo de trabajo en 8 partes iguales, encuentra el
intervalo del día en el que el trabajador es más eficiente.
Ejercicio
Supon que \(Q:[a,b] \to \mathbb{R}\) modela la cantidad de producto generado
utilizando \(x\) cantidades de insumo y que \(Q'\) existe y es continua en \([a,b]\).
- Usando el T.V.M. demuestra que
\[
\sup_{a\leq s< t \leq b} \frac{Q(t)-Q(s)}{t-s}= \max_{x\in [a,b]}\{ Q'(x)\}
\]
-
Regresando al Ejercicio 17.11, ¿ en
qué momento de la ma\~nana es el trabajador más eficiente ?
-
El máximo punto de eficiencia también es conocido como el \emph{punto
de beneficios decrecientes}. Proporciona un argumento que
justifiqué los dos nombres dados a ese punto.
Ejercicio
Un anuncio publicitario debe de tener 50 \(m^2\) de material impreso con 4
\(cm\) de margen arriba y abajo y con 2 \(cm\) de margen a los lados.
¿ Qué dimensiones debe de tener el anuncio que requiera
la menor cantida de papel?
Ejercicio
Sean \(a_1,\dots a_n \in \mathbb{R}\) fijos y arbitrarios. Demuestra que la suma
\[
\sum_{k=1}^n(a_k-x)^2
\]
se minimiza cuando \(x\) es el promedio de las \(a_k\)'s.
Ejercicio
Considera una esfera de radio \(R>0\). Calcula, en términos de \(R\), el
radio \(r\) y la altura \(h\), del cono ciruclar recto de máximo volumen que
puede ser inscrito dentro de ésta esfera.
Trazado de curvas
Ejercicio
Para las funcones que se presentan, encuentra:
-
Dominio.
-
Coordenadas de puntos críticos, máximos y mínimos locales.
-
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
-
Intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo.
-
Coordenadas de puntos de inflexión.
-
Bosqueja la gráfica.
-
\(f(x)=x^3-4x\).
-
\(f(x)=e^{x^3-4x}\).
-
\(f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\).
-
\(f(x)=\left( \frac{x-1}{x} \right)^2\).
-
\(f(x)=\frac{3}{2}x^{2/3}-\frac{3}{5}x^{5/3}\).
-
\(f(x)=\sen(x)+\cos(x)\).
Ejercicio
Demuestra que la función \(f(x)=x-\sen(x)\), \(x\in \mathbb{R}\), es
estrictamente creciente en \(\mathbb{R}\) y tienen una infinidad de puntos de
inflexión.