Ejercicio

Sabemos que la aproximación lineal de \(\cos(x)\) en \(x=0\) es simplemente la recta a altura 1, la cual no aproxima muy bien. Este ejercicio muestra que se puede mejorar la aproximación si tomamos un polinomio de grado 2 en vez de una recta (que es un polinomio de grado 1). Para \(f(x)=\cos(x)\) y el polinomio de grado 2, \(p(x)=A+Bx+Cx^2\), encutra \(A,B\) y \(C\) tales que \begin{eqnarray*} f^{(0)}(0)=p^{(0)}(0), \quad f^{(1)}(0)=p^{(1)}(0), \quad f^{(2)}(0)=p^{(2)}(0). \end{eqnarray*} Bosqueja la fráfica de \(\cos\) y el polinomio encontrado, cerca de una vecindad de cero.

Ejercicio

En este ejercicio se encuentra una aproximación, mediante un polinomio de grdo 2, a la función \(f(x)=\sqrt{3+x}\), pero cerca del punto \(x=1\). Encuentra \(p\), un polinomio de grado \(2\), tal que \begin{eqnarray*} f^{(0)}(1)=p^{(0)}(1), \quad f^{(1)}(1)=p^{(1)}(1), \quad f^{(2)}(1)=p^{(2)}(1). \end{eqnarray*} Nota que las funciones y derivadas ahora están evaluadas en \(x=1\). Nota: es mejor proponer \(p\) de la forma \(p(x)=A+B(x-1)+C(x-1)^2\) y encontrar \(A,B\) y \(C\).

Ejercicio

Supon que \(f\) es una función definida en una vecindad de \(a\) y tal que admite \(n\)-derivadas en \(a\). Demuestra que el polinomio \[ \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \] satisface \begin{eqnarray*} f^{(k)}(a)=p^{(k)}(a), \quad k=0,1,\dots, n \end{eqnarray*}

Ejercicio

El polinomio del Ejercicio 18.5 se conoce como el \(n\)-ésimo polinomio de Taylor de f alrededor de \(a\) y se denota \[ T_nf(x;a)= \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \] Nota: si es claro alrededor de cual punto se está tomando el polinomio de Taylor se omite la \(a\) y se denota \[ T_nf(x)= \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \]

Ejercicio

Demuestra que el polinomio \(n\)ésimo de Taylot de la exponencial, alrededor de \(0\) es \[ \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}x^k \] mientras que alrededor del \(1\) es \[ \sum_{k=0}^n \frac{e}{k!}(x-1)^k \]

Ejercicio

Da un ejemplo de una función \(f\), tal que \(T_nf \) es un polinomio de grado menor estricto que \(n\). ¿ Qué condición hay que pedir para que \(T_nf\) tenga grado \(n\) ?

Ejercicio

Demuestra las siguientes fórmulas para los polinomios de Taylor alrededor del \(0\) de las funciones seno y coseno \((n=0,1,\dots\)).

1. \(T_{2n+1}\sen(x)=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k}\).
2. \(T_{2n}\cos(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}\).

Ejercicio

Es interesante notar que seno es una función impar y que cualquier polonomio de Taylor de seno es un polinomio impar. Similarmente, coseno es una función par y cualquier polinomio de Taylor de coseno es par también. Este ejercicio muestra que esto no es coincidencia. Sea \(f\) una función definida en una vecindad de \(0\) y tal que admite \(n\) derivadas en \(0\).

1. Demuestra que si \(f\) es una función impar entonces todas las potencias de \(T_nf\) son impares (por lo tanto \(T_nf\) es una función impar).
2. Demuestra que si \(f\) es una función par entonces todas las potencias de \(T_nf\) son pares (por lo tanto \(T_nf\) es una función par).

Ejercicio

Sea \(f\) una función definida en una vecinda de \(a\) tal que admite \(n\) derivadas en \(a\). Define \(g(x)=f(x+a)\), para \(x\) en una vecindad de \(0\). Demuestra que \(T_n f(x;a)=T_ng(x-a;0)\).

Ejercicio

Demuestra las siguientes propiedades del polinomio de Taylor. Se supone que tanto \(f\) como \(g\) son funciones definidas en una vecindad de \(a\), ambas admiten \(n\) derivadas en \(a\) y se toman los polinomios de Taylor alrededor de \(a\).

1. \(T_n(\alpha f + g)= \alpha T_nf + T_n g\).
2. \((T_n f)'= T_{n-1}f'\).
3. Si \(g(x)=f(cx)\), para una constante \(c\), entonces \(T_ng(x)=T_nf(cx)\).

Ejercicio

Calculas los polinomios de Taylor, alrededor del \(0\) de las funciones:

1. \(f(x)=e^{2x+1}\).
2. \(f(x)=\sen(3x)\).
3. \(f(x)=\sen(x) + \cos(x)\).
4. \(f(x)=\sen(x) \cos(x)\).
5. \(f(x)=\cosh(x)\).
6. \(f(x)=\operatorname{senh}(x)\).

Ejercicio

Este ejercicio provee una manera indirecta de encontrar polinomios de Taylor. Sea \(f\) una función definida en \(I\), una vecindad de \(0\) y tal que admite \(n\) derivadas en \(I\). Supon que \(p\) es un polinomio de grado menor o igual a \(n\), \(g\) una función definida en \(I\) que admite \(n\) derivadas en \(I\) y tal que: \[ f(x)=p(x)+x^n g(x) \quad \textrm{y} \quad \lim_{x\to 0}g(x)=0 . \] Demuestra que \(T_nf=p\). Sugerencia: Inicia con \(n=2\). Define \(h(x):=f(x)-p(x)\) y prueba que \(h^{(k)}(0)=0\), \(k=0,1,2\). Luego generaliza para cualquier \(n\).

Ejercicio

1. Demuestra la identidad \[ \frac{1}{1-x}= 1+x+\cdots + x^n - \frac{x^{n+1}}{1-x} \] válida para \(|x|< 1\).
2. Usa el inciso (1) y el Ejercicio 18.14 para demostrar \[ T_n \left( \frac{1}{1-x} \right)= 1+x+\cdots + x^n \]
3. Usa el inciso (a) y el Ejercicio 18.14 para demostrar \[ T_{2n}\left( \frac{1}{1+x^2} \right)=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k+1} \]

Ejercicio

[Teorema de Taylor] Sea \(f\) una función definida en \(I\), una vecindad de \(a\) y tal que admite \(n+1\) derivadas en \(I\). Entonces para todo \(x\) en \(I\) \[ f(x)=T_nf(x;a) + E_n(x-a) \] donde \begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{E_n(x-a)}{(x-a)^n}=0. \end{eqnarray*} Además, existe \(c\) entre \(x\) y \(a\) tal que \(E_n(x-a)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\). Sugerencia: Inicia con \(n=2\). Para la primera parte define \(h(x):=f(x)-T_nf(x;a)\) y \(g(x)=(x-a)^{n}\); nota que \(h^{(k)}(a)=g^{(k)}(a)=0\), \(k=1,2\); usa el Teorema del T.V.M. de Cauchy para probar \[ \frac{h(x)}{g(x)}=\frac{h^{(1)}(c_1)}{g^{(1)}(c_1)} =\frac{h^{(2)}(c)}{g^{(2)}(c_2)} \] después demuestra \(\lim_{x\to a}\frac{E_2(x-a)}{(x-a)^2} =\lim_{x\to a}\frac{h^{(2)}(c_2)}{g(c_2)}=0\). Para la segunda parte define \(h(x):=f(x)-T_nf(x;a)\) y \(g(x)=(x-a)^{n+1}\) y vuleve a usar el T.M.V para probar \[ \frac{h(x)}{g(x)}=\frac{h^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} \]

Ejercicio

Sea \(f\) una función definida en \(I\), un intervalo alrededor de \(a\) tal que existen \(n+1\) derivadas en \(I\). Si la derivada \(n+1\) de \(f\) satisface \(|f^{(n+1)}(x)| \leq M\) para todo \(x\) en \(I\) entonce el error en el Teorema de Taylor satisface \[ |E_n(x-a)| \leq M \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} \]

Ejercicio

Demuestras las sigueintes cotas para los errores para los polinomios de Taylor, alrededor del \(0\), de las funciones exponencial, seno y coseno. Para \(x\in \mathbb{R}\): \begin{eqnarray*} e^x&=&\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}x^k+E(x), \quad |E(x)| \leq e^x \frac{|x|^n}{n!}, \\ \sen(x)&=&\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}+E(x), \quad |E(x)| \leq \frac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!},\\ \cos(x)&=&\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}+E(x), \quad |E(x)| \leq \frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!}, \end{eqnarray*}

Ejercicio

Usa el Ejercicio 10.16 y el Ejercicio 18.18 para demostrar \begin{eqnarray*} e^x&=& \lim_{n\to \infty } \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}x^k , \\ \sen(x)&=& \lim_{n\to \infty } \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1},\\ \cos(x)&=&\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}. \end{eqnarray*}

Ejercicio

Dada \((a_n)_{n=0}^\infty\),una sucesión en \(\mathbb{R}\), decimos que la sucesión es sumable si el siguiente límite existe \[ \lim_{N\to \infty} \sum_{n=0}^N a_n \] Si \(S\) denota tal límite escribimos \[ S=\sum_{n=0}^\infty a_n \] o decimos que la serie \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) es convergente. Con esta nomenclatura, el Ejercicio 18.19 nos da las series de Taylor de seno, conseno y exponencial, es decir, para \(x\in \mathbb{R}\): \begin{eqnarray*} e^x&=& \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}x^k , \\ \sen(x)&=& \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1},\\ \cos(x)&=& \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}. \end{eqnarray*}