Invertibilidad de funciones
Introducción
El Teorema del Valor Intermedio
Teorema
Teorema del valor intermedio
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función continua en todo \([a,b]\).
Si \(x_1< x_2\) son dos puntos en \([a,b]\), tales que
\(f(x_1) \ne f(x_2)\) entonces todo valor entre \(f(x_1)\) y \(f(x_2)\)
es alcanzado \(f\), en el intervalo \((x_1,x_2)\). Es decir, para todo
número \(y\) entre \(f(x_1)\) y \(f(x_2)\) existe \(x \in (x_1,x_2)\),
tal que \(f(x)=y\).
Sugerencia: si \(f(x_1)< f(x_2)\) y \(y\in (f(x_1),f(x_2))\), considera
\(g(x)=f(x)-y\). Aplica el Teorema de Bolzano a \(g\).
Ejercicio
Existencia de raíces \(n\)-ésimas
Si \(n\in \mathbb{Z}^+\) y si \(a>0\), existe un y sólo un
\(b \in \mathbb{R^+}\) que satisface \(b^n=a\).
Sugerencia:
Para la existencia, aplica el teorema del valor intermedio y el hecho de
que \(\lim_{x\to +\infty} x^n=+\infty\), para todo \(n\).
Para la unicidad usa Ejercicio 1.18.
Ejercicio
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función continua en \([a,b]\). Demuestra:
-
Si \(f\) es monótona creciete en \([a,b]\) entonces
\[
\{ f(x) :x\in [a,b]\}=[f(a), f(b)]
\]
-
Si \(f\) es monótona decreciete en \([a,b]\) entonces
\[
\{ f(x) :x\in [a,b]\}=[f(b), f(a)]
\]
Sugerencia: usa el Teorema del Valor Intermedio.
Definición
Sea \(f: D\to \mathbb{R}\) y \(E \subseteq \mathbb{R}\).
Decimos que \(f\) es sobreyectiva a \(E\) si, para todo \(y
\in E\) existe al menos un \(x\in D\) tal que \(f(x)=y\).
Por ejemplo, por el ejercicio anterior, si \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\)
es monótona creciente entonces \(f\) es sobreyectiva a \([f(a),f(b)]\).
Nota que en este caso podemos escribir \(f:[a,b] \to [f(a),f(b)]\).
Ejercicio
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función continua y estrictamente
creciente en \([a,b]\). Recuerda que por el
Ejercicio 19.5
podemos considerar a la misma función con contradominio
\(f:[a,b]\to [f(a),f(b)]\).
Demuestra que existe \(\tilde{f}:[f(a),f(b)] \to [a,b]\) tal que
\(\tilde{f}(f(x))=x\) para todo \(x\in [a,b]\) y
\(f(\tilde{f}(y))=y\) para todo \(y\in [f(a),f(b)]\).
Definición
Sea \(f:D \to D'\) una función. Decimos que \(f\) es invertible
si existe \(\tilde{f}: D' \to D\) que satisface
-
\(\tilde{f}(f(x))=x\), para todo \(x\in D\);
-
\(f(\tilde{f}(y))=y\), para todo \(y\in D'\).
Por ejemplo, el
Ejercicio 19.7
dice que toda función continua y estrictamente creciente tiene una inversa.
Ejercicio
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función continua y estrictamente creciente.
Sea \(\tilde{f}:[f(a),f(b)] \to \mathbb{R}\) su inversa
(ver
Ejercicio). Demuestra:
-
\(\tilde{f}\) es estrictamente creciente.
Sugerencia: Sean \(y_1,y_2 \in [f(a),f(b)]\) con \(y_1 < y_2\).
Toma \(x_1,x_2 \in [a,b]\) con \(f(x_i)=y_i\), \(i=1,2\).
Por contradicción prueba que \(x_1 < x_2\).
- \(\tilde{f}\) es continua en \([f(a),f(b)]\).
Sugerencia: Sean \(y_0 \in [f(a),f(b)]\) y \(\varepsilon>0\).
Para encontrar la \(\delta >0\) de la continuidad considera
\(\min\{ f(x_0)-f(x_0-\varepsilon),F( x_0+\varepsilon)-f(x_0) \}\),
donde \(x_0\in [a,b]\) es el único punto que satisface \(f(x_0)=y_0\).
Ejercicio
Sea \(f:D\to D'\) una función invertible, con inversa
\(\tilde{f}:D' \to D\). Demuestra
\[
(x,y)\in \textrm{Gráfica}(f) \Leftrightarrow (y,x)\in
\textrm{Gráfica}(\tilde{f}).
\]
Ejercicio
Sea \(h:[a,b] \to \mathbb{R}\) una función.
-
Demuestra que \(h\) es estrictamente creciente si y sólo si
toda recta secante a \(\textrm{Gráfica}(h)\) tiene pendiente positiva.
-
Supon que \(h\) es continua y estrictamente creciente en \([a,b]\).
Usa el inciso anteror y el Ejercicio 19.10
para probar que la función inversa de \(h\) también
es estrictamente creciente.
Ejercicio
Sea \(h:[a,b] \to \mathbb{R}\) una función monótona creciente.
Sea \(x_0\in (a,b)\) un punto fijo y arbitrario.
Demuestra que ambos límites laterales \(\lim_{x\to x_0^+}f(x)\)
y \(\lim_{x\to x_0^-}f(x)\) existen.
Sugerencia: Demuestra
\[
\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\sup\{ f(x): x< x_0 \}, \quad \lim_{x\to x_0^+}f(x)
= \inf\{ f(x): x_0 < x\}
\]
Ejercicio
Considera \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) dada por \(f(x)=mx+b\), \(m\ne 0\).
Demuestra que existe
\(\tilde{f}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función inversa de \(f\).
Sugerencia: despeja \(x\) en \(y=mx+b\).
Ejercicio
Sea \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) una función invertible.
Define la función \(h(x)=mf(x)+b\), con \(m\ne 0\).
Demuestra que \(h\) es invertible.