Desde este punto en adelante en el curso nos enfocaremos en espacios de funciones. Es decir vamos a trabajar en espacios métricos donde cada punto es una función. Muy en particular vamos a estudiar sucesiones de funciones y los distitos tipos de convergencia que surgen para estas sucesiones. Las dos más importantes para el resto del curso son convergencia puntual y uniforme.
Sea \(X\) cualquier conjunto, \((Y,d)\) un espacio métrico y consideremos una sucesión de funciones \((f:X \to Y)_{n=1}^\infty\). Decimos que la sucesión converge puntualmente en un subconjunto \(A \subseteq X\) si, para todo punto \(x\in A\) el siguiente límite existe en \((Y,d)\): \[ \lim_{n\to \infty} f_n(x). \]
Definimos la función \(f:A \to Y\) por \(f(x):=\lim_{n\to \infty}f_n(x)\). Con esta notación decimos que la sucesión de funciones \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge puntualmente a \(f\) en \(A\) (o sobre \(A\)).
Nota: a veces el límite \(\lim_{n\to \infty}f_n(x)\) es conocido pero a veces no y parte del problema es calcular estos límites (nota que el límite depende del punto \(x\) que se toma).
Ejemplos.
Encuentra el límite puntual (si existe) de las siguientes sucesiones de funciones.
Para \(|x|< 1 \), \(\lim_{n\to \infty}x^n=0\), por lo que: \[ \lim_{n\to \infty} \frac{x^n}{1+x^n} =0. \]
Para \(x=1\), \[ \lim_{n\to \infty} \frac{1^n}{1+1^n} =\frac{1}{2}. \]
Para \(|x|> 1\), \(\lim_{n\to \infty} \frac{1}{x^n}=0\), usando que \[ \frac{x^n}{1+x^n}= \frac{1}{\frac{1}{x^n}+1} \] obtenemos que: \[ \lim_{n\to \infty} \frac{x^n}{1+x^n} =1. \]
En conclusión \[ \lim_{n\to \infty}f_n(x)= \left\{ \begin{array}{cc} 0 & |x| < 1 \\ \frac{1}{2} & x = 1 \\ 1 & |x|>1 \end{array} \right. \]
Prueba que, para toda \(x>0\), \[ \lim_{n\to \infty} n(\sqrt[n]{x}-1)=\ln(x) \]
Por lo tanto, la sucesión de funciones \(f_n(x)=n(\sqrt[n]{x}-1)\), converge puntualmente a la función logaritmo en \((0,\infty)\).
Sea \(\{q_n\}_{n=1}^\infty\) una enumaración de \(\mathbb{Q}\). Define \(f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) por \[ f_n(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 1, & \textrm{si \(x\in \{q_1,\dots, q_n\}\)}, \\ 0, & \textrm{en otro caso} . \end{array} \right. \] Encuantra el límite puntual de \((f_n)_{n=1}^\infty\).
El límite puntual no se lleva muy bien con las derivadas.
Ya que \(|\frac{\sen(nx)}{n}|\leq \frac{1}{n}\) para todo \(x\in \mathbb{R}\), se sigue que \(\lim_{n\to \infty} f_n(x)=0\) para toda \(x\).
Sin embargo \(f_n'(x)=\cos(nx)\) el cual, para \(x\ne 0\), cumple que \(\lim_{n\to \infty}\cos(nx)\) no existe. Por ejemplo, para \(x=\pi\), \(\cos(nx)=-1\) ó \(\cos(nx)=1\), dependiendo si \(n\) es impar o par, respectivamente.
Ya que \(\left| \frac{x^n}{n} \right| \leq \frac{1}{n}\) para todo \(x\in [0,1]\), se sigue que \[ \lim_{n\to \infty}f_n(x)=0 \] para todo \(x\in [0,1]\) y por lo tanto \(f=0\).
Por otro lado, \(f_n'(x)=x^{n-1}\), el cual sabemos que satisface \[ \lim_{n\to \infty} f_n'(x)= \left\{ \begin{array}{cc} 0 & 0\leq x < 1, \\ 1 & x=1 . \end{array} \right. \] Por lo tanto \(\lim_{n\to \infty}f_n'(1)\ne f'(1)\).
El límite puntual no se lleva bien con las integrales.
Considera la sucesión de funciones \[ f_n(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 4n^2 x , & 0 \leq x \leq \frac{1}{2n}, \\ -4n^2x+4n , & \frac{1}{2n} \leq x \leq \frac{1}{n}, \\ 0 , & \frac{1}{n}\leq x \leq 1 . \end{array} \right. \] y sea \(f(x)=\lim_{n\to \infty} f_n(x)\) su límite puntual.
Prueba \[ \lim_{n\to \infty} \int_0^1 f_n(t)dt \ne \int_0^1 f(t)dt \]
Sea \(X\) un conjunto cualquiera y \((f_n:X\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones. Decimos que la sucesión \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge uniformemente en el subconjunto \(A \subseteq X\), si existe una función \(f:A\to \mathbb{R}\) tal que para toda \(\varepsilon >0\), existe una \(N\in \mathbb{N}\) con la propiedad de que, para toda \(x\in X\) y \(n \geq N\): \[ |f_n(x)-f(x)| < \varepsilon \]
Una de las partes más importantes de la definición es que la \(N\) que aparece sirve para todos los puntos de \(X\), de ahí viene el nombre, pues la \(N\) es uniforme (la misma) para todo punto en \(X\).
Notas.
Para toda \(\varepsilon >0\), existe una \(N\in \mathbb{N}\) con la propiedad de que, para toda \(x\in X\) y toda \(n \geq N\): \[ d_Y(f_n(x),f(x)) < \varepsilon \] donde la única diferencia es que se usa la distancia en el espacio \(Y\) en vez del valor absoluto.
Otra forma de reescribir la convergencia uniforme es con la norma uniforme o norma infinito. Recordamos que para una función \(g:X\to \mathbb{R}\) acotada \[ \|g\|_X:=\sup_{x\in X}\{|g(x)| \} \] Si el dominio es claro también se escribe \(\|g\|_\infty\). Con esta notación se puede escribir la convergencia uniforme de la siguiente forma.
La sucesión \((f_n:X\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) converge uniformemente en el subconjunto \(A\subseteq X\) a la función \(f:X\to \mathbb{R}\) si, para toda \(\varepsilon > 0\) existe una \(N \in \mathbb{N}\) tal que para toda \(n\geq N\) \[ \|f_n-f\|_A < \varepsilon \] Esta forma de escribir tiene la ventaja de que \(\|f_n-f\|_A\) es un número real. Así la convergencia uniforme sobre \(A\) está codificada en la sucesión de números reales \((\|f_n-f\|_A)_{n=1}^\infty\) y notamos que, en términos de esta sucesión, la convergencia uniforme se puede escribir simplemente como \[ \lim_{n\to \infty}\| f_n-f\|_A= 0, \] claro que el problema importante es calcular los números \(\|f_n-f\|_A\).
Ejemplos.
Investiga si las siguientes sucesiones de funciones convergen uniformemente ó no, sobre el dominio dado, a la función constante cero.
Considera \((f_n:[a,b]\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones continuas con la propiedad de que converge uniformemente en \(\mathbb{Q}\cap [a,b]\).
Prueba o da un contraejemplo: la sucesión \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge uniformemente en \([0,1]\).
Sea \((X,d)\) un espacio métrico y \((f_n:X\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones Lipschitz continuas, con la misma constante. Es decir, exite \(M>0\) tal que, para todo \(n\in \mathbb{N}\) y para todos \(x_1,x_2\in X\) \[ |f_n(x_1)-f_n(x_2)| \leq M d(x_1,x_2) \] Supón que la sucesión \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge puntualmente a una función \(f:X\to \mathbb{R}\).
Si una sucesión de funciones \((f_n:X\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) converge uniformemente en \(A\subseteq X\) a una función \(f:A \to \mathbb{R}\) entonces también converge puntualmente. Para ver la implicación sabemos que, por la convergencia uniforme tenemos \[ \lim_{n\to \infty}\|f_n-f\|_A = 0, \] pero, por la definición de la norma \(\|\cdot\|_A\) tenemos que, para toda \(a \in A\), \(|f_n(a)-f(a)|\leq \|f_n-f\|_A \), por lo tanto \[ 0\leq \lim_{n\to \infty} |f_n(a)-f(a)|\leq \lim_{n\to \infty} \|f_n-f\|_A=0 \] es decir, \(\lim_{n\to \infty} f_n(a)=f(a)\).
La implicación \[ \textrm{convergencia uniforme} \Rightarrow \textrm{convergencia puntual} \] nos da un punto de partida para investigar la convergecia de una sucesión de funciones dadas. Por ejemplo, si queremos investigar la convergencia uniforme de la sucesión \((f_n:X\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) sobre \(A\), lo primero que hacemos es calcular o investigar la convergencia del límite \(\lim_{n\to \infty} f_n(a)\), para toda \(a\in A\). Después definimos la función \(f(a)=\lim_{n\to \infty}f_n(a)\) y para la convergencia uniforme se estiman las normas \(\|f_n-f\|_A\).
La implicación de regreso: \(\textrm{convergencia puntual} \Rightarrow \textrm{convergencia uniforme}\), no es cierta como se verá en los ejercicios que siguen.
Considera la sucesión de funciones \((f_n:[-1,1]\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) dada por \(f_n(x)=x^n\). Tenemos que ésta sucesión de funciones converge puntualmente en \((-1,1]\) a la función \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 1 & \textrm{si |x| = 1} \\ 0 & \textrm{si |x| < 1 } \end{array} \right. \]
Este ejercicio muestra que convergencia puntual no implica convergencia uniforme y que la convergencia uniforme también depende del dominio que se está considerando.
Primer inciso.
Para probar que \((f_n)_{n=1}^\infty\) no converge uniformemente a \(f\) veremos dos métodos.
El primer método es geométrico, y consiste en observar las bolas, en la norma \(\|\cdot\|_\infty\), centradas en \(f\). Geométricamente sabemos que cualquier función que esté en \(B_r(f)\) tiene la propiedad de que su gráfica queda dentro de la franja centrada en la gráfica de \(f\) de radio \(r\). Ahora, ya que cualquiera de las funciones \(f_n\) es continua y \(f\) tiene una discontinuidad de salto en \(x=1\), ninguna de las gráficas de las funciones \(f_n\) queda totalmente contenida en dicha franja, por lo tanto la sucesión no converge uniformemente a \(f\).
El segundo método es estimar las normas \(\|f_n-f\|_\infty\). Ya que el punto \(x=1\) parace especial notamos que \(|f_n(1)-f(1)|=|1-1|=0\), por lo que el supremo de los valores \(|f_n(x)-f(x)|\), corriendo \(x\in [0,1]\), está determinado cuando \(0< x < 1\), y para estos valores tenemos \[ |f_n(x)-f(x)|=|x^n|=x^n \] Finalmente, usando que \(x\mapsto x^n\) es estrictamente creciente en \([0,1]\), tenemos \[ \sup_{x\in [0,1]}\{ |f_n(x)-f(x)|\}=\sup_{x\in [0,1)}\{x^n\}=1 \] Por lo tanto, \(\|f_n-f\|_\infty=1\), para toda \(n\), y la sucesión no converge uniformemente.Segundo inciso.
Para este inciso es muy importante notar que estamos cambiando el dominio, de \((-1,1]\) a \([a,b]\). Por lo tanto el cálculo de las normas infinito cambia teniendo \[ \|f_n\|_\infty=\sup_{x\in [a,b]}\{|f_n(x)|\} \] Para calcular \(\|f_n\|_\infty\) notamos que:
Para las siguientes sucesiones de funciones ecuentra su límite puntual (si existe) y los subintervalos donde la convergencia es uniforme.
Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) espacios métricos y \((f_n:X\to Y)_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones tal que cada una de las \(f_n\) es continua en el punto \(x_0\in X\).
Si \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge uniformemene en \(X\) a una función \(f\), entonces \(f\) también es continua en \(x_0\).
En particular, si las \(f_n\) son continuas en todo \(X\) también \(f\) lo es.
La demostración es un argumento del tipo \(3\varepsilon\).
Primero, usamos la convergencia uniforme de \((f_n)_{n=1}^\infty\) para asegurar que existe una \(N\in \mathbb{N}\) tal que \begin{equation}\label{Eqn:Aux1ConvergenciaUnifCont} d_Y(f(x),f_n(x)) < \varepsilon \end{equation} para todo \(x\in X\) y todo \(n\geq N\).
Segundo, usando que \(f_N\) es continua en \(x_0\) aseguramos que existe una \(\delta > 0\) tal que \begin{equation}\label{Eqn:Aux2ConvergenciaUnifCont} d_Y(f_N(x),f_N(x_0))< \varepsilon \end{equation} siempre que \(x\in X\) con \(d_X(x,x_0)< \delta\).
Finalmente, juntanto \eqref{Eqn:Aux1ConvergenciaUnifCont} y \eqref{Eqn:Aux2ConvergenciaUnifCont}, para \(x\in X\) con \(d_X(x,x_0)< \delta \) se tiene:
\begin{eqnarray*} d_Y(f(x),f(x_0)) &\leq & d_Y(f(x),f_N(x)) + d_Y(f_N(x),f_N(x_0))+ d_Y(f_N(x_0),f(x_0)) \\ & < & \varepsilon + d_Y(f_N(x),f_N(x_0)) +\varepsilon \\ & < & 3\varepsilon \end{eqnarray*}
Sean \((X,d_X), (Y,d_Y)\) espacios métricos y \((f_n:X\to Y)_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones continuas tal que convergen uniformemente en \(X\).
Sea \((x_m)_{m=1}^\infty \subset X\) una sucesión convergente en \(X\). Prueba \[ \lim_{n\to \infty}\left( \lim_{m\to \infty} f_n(x_m)\right)= \lim_{m\to \infty}\left( \lim_{n\to \infty} f_n(x_m)\right) \]
Sugerencia: usa el teorema anterior.
Sea \((f_n:[a,b]\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una suncesión de funciones continuas. Supongamos que \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge uniformemente en \([a,b]\) a una función \(f\). Entonces \[ \lim_{n\to \infty} \int_a^b f(t)dt= \int_{a}^b f(t)dt. \] Es decir, podemos "meter el límite dentro de la integral", en otra notación: \[ \lim_{n\to \infty} \int_a^b f_n(t)dt = \int_a^b \lim_{n\to \infty}f_n(t)dt. \]
Nota: el teorema sigue siendo válido si se pide la hipótesis de que todas las funciones \(f_n\) sean sólo Riemann integrables. Con esta suposición se puede probar que el límite \(f\) también es Rieman integrable y que se puede meter el límite en la integral.
Debemos de probar que, dado \(\varepsilon >0\), existe una \(N\in \mathbb{N}\) tal que para todo \(n\geq N\), \[ \left| \int_a^b f_n(t)dt - \int_a^n f(t)dt \right| < \varepsilon \] Pero, por las propiedades de la integral \begin{equation}\label{Eqn:Aux1ContinuidadUnifintegral} \left| \int_a^b f_n(t)dt - \int_a^n f(t)dt \right|\leq \int_a^b |f_n(t)-f(t)|dt \end{equation}
Por otro lado, dabido a la convergencia uniforme existe una \(N\in \mathbb{N}\) tal que \[ |f_n(x)-f(x)|< \frac{\varepsilon}{2(b-a)} \] para todo \(x\in [a,b]\) y \(n\geq N\). Si integramos la desigualdad anterior obtenemos \[ \int_a^b |f_n(t)-f(t)|dt \leq \int_a^b \frac{\varepsilon}{2(b-a)}dt=\frac{\varepsilon}{2} \]
Por lo tanto si en \eqref{Eqn:Aux1ContinuidadUnifintegral} tomamos \(n\geq N\) concluimos que para todo \(n\geq N\) \[ \left| \int_a^b f_n(t)dt - \int_a^n f(t)dt \right| < \varepsilon. \]
Prueba \[ \lim_{n\to \infty}\int_{\pi/2}^\pi\frac{\sen(nx)}{nx}dx=0 \]
Cálcula el límite \[ \lim_{n\to \infty} \int_0^1 \frac{e^{-nt}}{\sqrt{t}} dt \]
Sea \((f_n:[a,b]\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente en \([a,b]\).
Define \(F_n:[a,b]\to \mathbb{R}\) por \[ F_n(x):=\int_a^x f_n(t)dt \] Prueba que la sucesión \((F_n)_{n=1}^\infty\) converge uniformemente en \([a,b]\).
Supongamos que tenemos una sucesión de funciones continuas \((f_n:[a,b]\to \mathbb{R})\) que converge uniformemente en \([a,b]\) a la función \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\). Prueba \[ \lim_{n\to \infty}\int_a^b \left( \int_a^xf_n(t)dt \right) dx= \int_a^b \left(\int_a^x f(t)dt\right)dx \]
Sea \((f_n:[a,b]\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente en \([a,b]\) a una función \(f\).
Supón que \(g:[a,b]\to \mathbb{R}\) es una función Riemann integrable en \([a,b]\). Prueba que \[ \lim_{n\to \infty} \int_a^b f_n(t)g(t)dt =\int_a^b f(t)g(t)dt \]
Sea \(X\) un conjunto cualquiera y \((Y,d_Y)\) un espacio métrico. Decimos que una sucesión de funciones \((f_n:X\to Y)_{n=1}^\infty\) es uniformemente de Cauhcy (o Cauchy-uniforme) en \(X\) si:
para toda \(\varepsilon > 0 \) existe \(N\in \mathbb{N}\) con la propiedad de que, para todo \(x\in X\) y para todos \(n,m \geq N\) \[ | f_n(x)-f_m(x)| < \varepsilon \]
Sea \((Y,d_Y)\) un espacio métrico completo y \(X\) un conjunto cualquiera.
Sea \((f_n:X\to Y)_{n=1}^\infty\) es una sucesión de funciones que es uniformemente de Cauchy en \(X\).
Entonces existe \(f:X\to Y\) tal que \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge uniformemente a \(f\) en \(X\).
Sea \((f_n:X\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones. Supongamos que existe una sucesión de números no negativos \((M_n)_{n=1}^\infty\) tal que
Usando la norma \(\|\cdot\|_\infty\) el criterio M se puede resumir como \[ \sum_{n=1}^\infty \| f_n\|_\infty < + \infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty f_n(x) \quad \textrm{converge uniformemente en \(X\)} \]
Prueba que la serie \(\sum_{n=1}^\infty x^n\) es uniformemente convergente en cualquier subintervalo cerrado contenido en \((-1,1)\).
Sea \((f_n:[a,b]\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones continuas en \([a,b]\) y tal que su derivada, \(f_n'\), existe y es continua en todo \([a,b]\).
Supongamos que
Entonces la sucesión original, \((f_n)_{n=1}^\infty\), converge uniformemente en \([a,b]\). Además, si \(f\) es el límite de \((f_n)_{n=1}^\infty\) entonces \(f\) es diferenciable y \(f'=g\). Es decir, podemos meter el límite en la derivada \[ \lim_{n\to \infty} \frac{d}{dx}f_n(x) = \frac{d}{dx}\left( \lim_{n\to \infty} f_n (x) \right) \]
Si la serie de potencias \(\sum_{n=1}^\infty a_nx^n\) converge absolutamente para un punto \(x_0 \ne 0\), entonces
Sea \((f_n:[a,b]\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones continuas en \([a,b]\). Supón que:
Entonces \((f_n)_{n=1}^\infty\) converge uniformemente a \(f\) en \([a,b]\).
Por \(C^{(1)}([a,b])\) denotamos al conjunto de funciones \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) con las propiedades de que:
Para \(f\in C^{(1)}([a,b])\) definimos \[ \|f\|_{C^{(1)}}=\max_{x\in [a,b]}\{|f(x)|\}+\max_{x\in [a,b]}\{ |f'(x)|\} \] Prueba que el espacio \((C^{(1)}([a,b]),\|\cdot\|_{C^{(1)}})\) es completo.
Sea \((X,d)\) un espacio métrico y considera dos sucesiones \((f_n:X\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty, (g_n:X\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) tal que \(f_n \to f\) y \(g_n \to g\) uniformemente en \(X\).
Si existe una \(M>0\) tal que \(\sup_{x\in X}\{ |g_n(x)|\} \leq M\), para toda \(n\), prueba que la sucesión producto \((f_ng_n:X\to \mathbb{R})_{n=1}^\infty\) converge uniformemente a \(fg\) en \(X\).