Vamos a terminar el curso como lo iniciamos, aproximando funciones continuas con polinomios. La diferencia es que ahora tenemos la herramienta para hablar de funciones continuas sobre espacios más generales y vamos a reemplazar la familia de polinomios por familias más generales que se llaman álgebras. El objetivo principal de ésta sección es probar el Teorema de aproximación de Stone-Weierstrass que es una generalización del Teorema de Aproximación de Weierstrass .
Sea \((X,d)\) un conjunto no vacío. Por \(\mathcal{B}(X)\) denotamos al conjunto de funciones con valores reales, acotadas sobre \(X\). Es decir \[ \mathcal{B}(X)=\{ f:X \to \mathbb{R} | \sup_{x\in X}\{|f(x)| \} < \infty \}. \] En \(\mathcal{B}(X)\) definimos la norma uniforme como: \[ \|f\|_\infty=\sup_{x\in X}\{ |f(x)|\}. \] En esta nota queremos enfatizar la estructura de orden en \(\mathcal{B}(X)\).
Recordamos que la estructura usual de orden dice que dadas \(f,g\in \mathcal{B}(X)\) decimos que \(f\leq g\) si \(f(x)\leq g(x)\) para toda \(x\in X\). Este orden dota a \(\mathcal{B}(X)\) con una estructura de conjunto parcialmente ordenado (COPO), es decir satisface:
Con ésta estructura de orden \(\mathcal{B}(X)\) tiene la siguiente propiedad: si \(f,g\in \mathcal{B}(X)\) entonces \(\min\{f,g\}\) y \(\max\{f,g\}\) también están en \(\mathcal{B}(X)\). Razón:
Denotemos \(M=\max\{\|f\|_\infty, \|g\|_\infty\}\). Por definición de la norma \(\|\cdot\|_\infty\), para toda \(x\in X\) se cumple: \begin{eqnarray*} -M \leq -\|f\|_\infty \leq f(x)\leq \|f\|_\infty\leq M, \\ -M\leq -\|g\|_\infty \leq g(x)\leq \|g\|_\infty \leq M. \end{eqnarray*} De éstas desigualdades se sigue que \begin{eqnarray*} -M \leq \max\{f(x),g(x) \} \leq M \\ -M \leq \min\{f(x),g(x) \} \leq M \end{eqnarray*} por lo tanto \(\min\{f,g\}, \max\{f,g\} \in \mathcal{B}(X)\).
Cuando un COPO satsface éstas propiedades se llama una retícula. La siguiente definición generaliza éstas propiedades.
Sea \((R, \leq)\) un conjunto parcialmente ordenado. Es decir, el orden satisface:
Decimos que \((R, \leq )\) es una retícula si para todos \(a,b\in R\) existe el supremo y ínfimo de \(\{a,b\}\). Es decir existen dos elementos, denotados \(a\vee b=\sup\{a,b\}\) y \(a\wedge b=\inf\{a,b\}\), que satisfacen:
Si \((R,\leq )\) es una retícula, una sub-retícula de \(R\) es un subsonjunto \(S\) que es cerrado bajo ínfimos y supremos, es decir, si \(c,d\in S\) entonces \(c\vee d, c\wedge d\in S\).
Sea \((X,d)\) un espacio métrico compacto. Por \(C(X)\) denotamos al conjunto de funciones continuas de \(X\) en \(\mathbb{R}\). Con el orden usual de funciones \(C(X)\) es una retícula.
Un cálculo directo muestra las siguientes fórmulas: dados \(s,t\in \mathbb{R}\) \[ \max\{s,t\}=\frac{s+t+|s-t|}{2}, \quad \min\{s,t\}=\frac{s+t-|s-t|}{2} \] De estas fórmulas podemos escribir: \begin{eqnarray*} \max\{f,g\}(x) =\frac{f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|}{2}, \\ \min\{f,g\}(x) =\frac{f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|}{2}. \end{eqnarray*}
Ya que combinaciones lineales de funciones continuas sigue siendo continua para probar que \(\max\{f,g\},\min\{f,g\}\in C(X)\) es suficiente probar que si \(h\in C(X)\) entonces \(|h|\in C(X)\).
Ahora, supongamos que \(h\) es continua. Usando la ótra desigualdad del triángulo tenemos \[ ||h(x)|-|h(y)|| \leq |h(x)-h(y)| \] para todos \(x,y\in X\). Si fijamos \(x\) y tomamos \((x_n)_{n=1}^\infty\subset X\) una sucesión convergente a \(x\), tomando \(y=x_n\) en la desigualdad anterior y tomando límite llegamos a \[ \lim_{n\to \infty}||h(x)|-|h(x_n)|| \leq \lim_{n\to \infty}|h(x)-h(x_n)|=0 \] donde la última identidad se sigue del hecho de que \(h\) es continua. Por lo tanto \(\lim_{n\to \infty}|h(x_n)|=|h(x)|\). Al ser \(x\) arbitrario concluimos que \(|h|\) es continua en todo \(X\).
Dado un subconjunto no vacío \(S \subseteq \mathcal{B}(X)\), decimos que \(S\) distingue los puntos de \(X\) si:
para cualesquiera \(x,y\in X\), con \(x\ne y\), y para todos \(a,b\in \mathbb{R}\) existe una función \(f\in S\) que satisface: \[ f(x)=a, \quad f(y)=b. \]
Por ejemplo, en \(\mathcal{B}([0,1])\), el conjunto de polinomios distingue los puntos de \([0,1]\), pues dados \(x,y\in [0,1]\), \(x\ne y\) y escalares \(a,b\in \mathbb{R}\) el polinomio \[ p(t)=\frac{a}{x-y}(t-y)+\frac{b}{y-x}(t-x)=(A+B)t+C, \] (con \(A=\frac{a}{x-y}, B=\frac{b}{y-x}, C=-\frac{ay}{x-y}-\frac{bx}{y-x}\)) satisface: \[ p(x)=a, p(y)=b. \]
Sea \((X,d)\) un espacio métrico compacto y considera el espacio de funciones continuas de \(X\) en \(\mathbb{R}\) con la norma uniforme: \((C(X),\|\cdot\|_\infty)\).
Sea \(R \subseteq C(X)\) un subconjunto que satisface:
Entonces \(R\) es uniformemente denso en \(C(X)\), es decir para todo \(f\in C(X)\) existe \(h\in R\) tal que \(\|h-f\|_\infty < \varepsilon.\)
Nota: que \(R\) sea uniformemente denso en \(C(X)\) es equivalente a la identidad \(\overline{R}=C(X)\).
Fijamos \(f\in C(X)\) y \(\varepsilon >0\).
Paso 1: para todo \(x\in X\) existe una función \(h_x\in R\) tal que
Razón:
Ya que \(R\) distingue los puntos de \(X\), para todo \(y\in X\) con \(y\ne x\), existe \(h_{x,y}\in A\) tal que \(h_{x,y}(x)=f(x)\) y \(h_{x,y}(y)=f(y)\). Ya que \(f\) y \(h_{x,y}\) son continuas el conjunto \[ U_y:=\{z\in X: h_{x,y}(z)-f(z)< \varepsilon \} \] es abierto. Además para todo \(y\in X\), \begin{eqnarray*} h_{x,y}(y)-f(y)=f(y)-f(y)=0<\varepsilon ,\\ \end{eqnarray*} por lo que \(y\in U_y\) y como \(h_{x,y}(x)-f(x)=f(x)-f(x)=0\), también tenemos que \(x\in U_y\). De lo anterior se sigue que \(X\subseteq \cup_{ y\ne x} U_y\) y al ser \(X\) compacto existen \(y_1,\dots, y_n \in X\) que satisfacen: \[ X\subseteq \cup_{i=1}^n U_{y_i}. \] Ahora definimos \(h_x=\min\{h_{x,y_1},\dots, h_{x,y_n}\}\). Al ser \(R\) una retícula, \(h_x\in R\). Notamos que \(h_{x,y_i}(x)=f(x)\) para todo \(i\) por lo que \(h_x(x)=\min\{h_{x,y_1}(x),\dots, h_{x,y_n}(x)\}=f(x)\).
Finalmente vamos a probar \(h_x(y)-f(y) < \varepsilon \) para todo \(y\in X\). Dado \(y\in X\) existe un \(y_j\) tal que \(y\in U_{y_j}\) y por lo tanto \(h_{x,y_j}(y)-f(y)< \varepsilon\) pero usando la definición de \(h_x\) se tiene \(h_{x}(y)\leq h_{x,y_j}(y)\) por lo que: \[ h_x(y) - f(y) \leq h_{x,y_j}(y)-f(y) < \varepsilon. \]
Aqui termina el paso 1.
Paso 2: existe \(h\in R\) tal que: \(-\varepsilon < h(x)-f(x) <\varepsilon\), para todo \(x\in X\).
Por el Paso 1, dado \(x\in X\) tomamos \(h_x\in R\) que satisfaga:
Repitiendo el método del paso 1 consideramos el conjunto \[ V_x:=\{ z\in X : -\varepsilon < h_x(z)-f(z) \} \] el cual es abierto. Ya que \(h_x(x)-f(x)=f(x)-f(x)=0\) resulta que \(x\in V_x\). Por lo tanto \(X \subseteq \cup_{x\in X} V_x\) y al ser \(X\) compacto existen \(x_1,\dots x_m\in X\) tales que \[ X\subseteq \cup_{i=1}^m V_{x_i}. \] Definimos \(h=\max\{h_{x_1},\dots, h_{x_m}\}\). Al ser \(R\) una retícula tenemos que \(h\in R\).
Ahora vamos a probar que para todo \(x\in X\), \(-\varepsilon< h(x)-f(x)< \varepsilon\).
Dado \(x\in X\) existe un \(j\) tal que \(x\in V_{x_j}\) lo que implica: \(-\varepsilon< h_{x_j}(x)-f(x)\). Pero por definición de \(h\), \(h_{x_j}(x)\leq h(x)\) de lo que se sigue: \[ -\varepsilon< h_{x_j}(x)-f(x) \leq h(x)-f(x). \] Por otro lado, \(h(x)=\max\{h_{x_1}(x),\dots, h_{x_m}(x)\}\) por lo que existe un \(k\) tal que \(h(x)=h_{x_k}(x)\) y por el paso 1, \(h_{x_k}(x)-f(x)< \varepsilon\) y entonces \[ h(x)-f(x)=h_{x_k}(x)-f(x) < \varepsilon. \]
Con esto terminamos de probar que para toda \(x\in X\), \(-\varepsilon< h(x)-f(x)< \varepsilon\), lo cual implica \(\|h-f\|_\infty < \varepsilon\).
Para llegar al Teorema de Stone-Weierstrass vamos a necesitar más estructura por parte de \(\mathcal{B}(X)\). El Ejercicio 10.17 nos dice que \((\mathcal{B}(X),\|\cdot\|_\infty)\) es un espacio vectorial normado. Ahora queremos enfatizar otra operción presente en \(\mathcal{B}(X)\): la multiplicación. Si \(f,g:X\to \mathbb{R}\) son funciones acotadas, entonces su multiplicación, \(fg\), es acotada pues para todo \(x\in X\): \begin{eqnarray*} |f(x)| \leq \|f\|_{\infty}, |g(x)|\leq \|g\|_{\infty} \Rightarrow |f(x)g(x)| \leq \|f\|_\infty\|g\|_\infty. \end{eqnarray*} Por lo tanto \(fg\in \mathcal{B}(X)\) y si además en la última desigualdad de arriba tomamos supremo sobre las \(x\in X\) obtenemos que \(\|fg\|_{\infty}\leq \|f\|_\infty\|g\|_\infty\).
Con la operación multiplicación \(\mathcal{B}(X)\) es lo que se conoce como una álgebra.
Ahora supongamos además que \((X,d)\) es un espacio métrico compacto. Como toda función continua sobre un compacto alcanza si máximo y su mínimo, tenemos que toda función continua en \(X\) está acotada. Si por \(C(X)\) denotamos las funciones continuas sobre \(X\) con valores reales podemos resumir lo anterior como \(C(X)\subset \mathcal{B}(X)\). Finalmente como suma de continuas y multiplicación, tanto escalar como de funciones continuas, son continuas, tenemos que \(C(X)\) también es una álgebra.
Un conjunto \(A\) es una álgebra sobre \(\mathbb{R}\) si es un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\) que además tiene una operación binaria, \(A\times A \to A \), denotada \((a,b)\mapsto ab\), que satisface:
Si además \(ab=ba\) para todas \(a,b\in A\), decimos que el álgebra \(A\) es conmutativa.
Si además existe un elemento, \(e\in A\), que satisface: \(ae=ea\), para toda \(a\in A\), decimos que \(e\) el uno del álgebra.
Por ejemplo \(\mathcal{B}(X)\) es conmutativa y la función constante 1 funciona como el uno del álgebra.
Si además \(A\) es un espacio vectorial normado y su norma satisface la identidad \[ \|ab\| \leq \|a\|\|b\|, \] para todos \(a.b\in A\), decimos que \(A\) es una álgebra normada. Por ejemplo, ya que \(\|fg\|_\infty \leq \|f\|_\infty\|g\|_\infty\) para todos \(f,g\in \mathcal{B}(X)\), tenemos que \((\mathcal{B}(X),\|\cdot\|_\infty )\) es una álgbera normada.
Finalmente, un subespacio \(B\subseteq A\) se llama subalgebra de \(A\) si \(B\) es cerrado bajo la multiplicación, es decir: \(b_1,b_2\in B\) entonces \(b_1b_2\in B\).
En el espacio vectorial \(\mathbb{R}^n\) define la multiplicación de vectores entrada por entrada, es decir: \[ (x_1,\dots, x_n)(y_1,\dots, y_n)=(x_1y_1,\dots, x_ny_n) \]
Sea \((A,\|\cdot\|)\) una álgebra normada y \(B\subseteq A\) una subálgebra. Prueba que su cerradura, \(\overline{B}\), también es una subálgebra de \(A\).
Primero vamos a probar que \(\overline{B}\) es un subespacio vectorial. Dados \(b,c\in \overline{B}\) y un escalar \(\alpha\in \mathbb{R}\) debemos de probar que \(\alpha b+c \in \overline{B}\). Por la caracterización de los puntos en la cerradura (Lema 6.23) existen sucesiones \((b_n)_{n=1}^\infty, (c_n)_{n=1}^\infty \subset B\) con \(\lim_{n\to \infty}b_n=b, \lim_{n\to \infty}c_n=c\). Del Ejercicio 5.10 se sigue que \[ \lim_{n\to \infty} \alpha b_n+c_n=\alpha b + c. \] Pero al ser \(B\) un espacio vectorial, para todo \(n\), \(\alpha b_n+c_n\in B\). Por lo tanto \( (\alpha b_n+c_n)_{n=1}^\infty\) es una sucesión en \(B\), así que de nuevao aplicando el Lema 6.23 concluimos \(\alpha b+c \in \overline{B}\).
Para la segunda parte vamos a probar que \(B\) es cerrada bajo el producto del álgebra. Dados \(b,c\in \overline{B}\) debemos de probar que \(bc\in \overline{B}\). Sean \((b_n)_{n=1}^\infty, (c_n)_{n=1}^\infty \subset B\) como en la primera parte. Afirmamos que \(\lim_{n\to \infty}b_nc_n=bc\). Para probar lo anterior tenemos: \begin{eqnarray*} \|b_nc_n-bc\|&=& \|b_nc_n - b_nc + b_nc -bc \| \\ &\leq & \|b_nc_n-b_nc\| + \| b_nc-bc\| \\ &= & \| b_n(c_n-c)\|+ \|(b_n-b)c\| \\ &\leq & \|b_n\| \|c_n-c\| + \|b_n-b\|\|c\| \end{eqnarray*} donde en la última desigualdad usamos la propiedad de la norma en las álgebras normadas. Ahora, ya que \(\lim_{n\to \infty}b_n=b\), la sucesión \((b_n)_{n=1}^\infty\) está acotada por lo que existe \(M>0\) tal que \(\|b_n\|\leq M\) para toda \(n\). Insertando ésta cota en la cadena de desigualdades anteriores llegamos a: \[ \|b_nc_n-bc\| \leq M\|c_n-c\|+ \|b_n-b\|\|c\|. \] Finamlemte, tomando límite cuando \(n\to \infty\) en la desigualdad anterior tenemos por la ley del Sandwich \[ 0 \leq \lim_{n\to \infty} \| b_nc_n-bc\| \leq M\lim_{n\to \infty}\|c_n-c\|+\|c\|\lim_{n\to \infty}\|b_n-b\|=0 \] de lo que concluimos \(\lim_{n\to \infty}b_nc_n=bc\). Para terminar la prueba de que \(\overline{B}\) es cerrada bajo producto procedemos como sigue: ya que \(B\) es una álgebra y \(b_n,c_n\in B\) para toda \(n\) se sigue que \(b_nc_n\in B\) para toda \(n\) y como \(\lim_{n\to \infty} b_nc_n=bc\) por la caracterización de los puntos en la cerradura (Lema 6.23) concluimos que \(bc\in \overline{B}\).
Sea \(X\) un conjunto y \(A \subseteq \mathcal{B}(X)\).
Por ejemplo, si \(X=[0,1]\) y \(A\) es la familia de polinomios entonces \(A\) separa los puntos de \([0,1]\) (por ejemplo, el polinomios \(p(x)=x\) separa los puntos de \([0,1]\)) y no se anula en \([0,1]\) (pues los polinomios contienen a la función constante uno).
Sea \(X\) un conjunto no vacío y \(A \subseteq \mathcal{B}(X)\) una subálgebra de \(\mathcal{B}(X)\) que separa los puntos de \(X\) y no se anula en \(X\). Entonces \(A\) distingue los puntos de \(X\).
Sean \(x,y\in X\) con \(x\ne y\) y \(a,b\in \mathbb{R}\). Debemos asegurar que existe una función \(f\in A\) tal que \(f(x)=a\) y \(f(y)=b\).
Como \(A\) no se anula en \(X\) existen funciones \(g_x,g_y\in A\) tal que \(g_y(y)\ne 0\) y \(g_x(x)\ne 0\). Ahora usando que \(A\) separa los puntos de \(A\) existe \(h\in A\) tal que \(h(x)\ne h(y)\).
Ahora definimos \(F,G:X\to \mathbb{R}\) por \[ F(z)=(h(z)-h(y))g_x(z), G(z)=(h(z)-h(x))g_y(z). \] Notamos que: \(F(x)\ne 0\), \(F(y)= 0 \), \(G(y)\ne 0, G(x)=0\). Además ya que \(A\) es una álgebra tenemos que \(F,G \in A\).
Con éstas funciones definimos \(f:X\to \mathbb{R}\) por: \[ f(z)=\frac{a}{F(x)}F(z)+ \frac{b}{G(y)}G(z). \] Al ser \(A\) espacio vectorial \(f\in A\).
Finalmente un cálculo directo prueba \begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a}{F(x)}F(x)+ \frac{b}{G(y)}G(x)=a+0=a,\\ f(y)=\frac{a}{F(x)}F(y)+ \frac{b}{G(y)}G(y)=0+b=b. \end{eqnarray*}
Sea \((X,d)\) un espacio métrico compacto y sea \(A\subseteq C(X)\) que satisface:
Entonces \(A\) es denso en el espacio \((C(X),\|\cdot\|_\infty)\). Es decir, para toda \(\varepsilon >0 \) y para todo \(f \in C(X)\) existe un \(h\in A\) tal que \(\|f-h\|_\infty < \varepsilon\).
Por la caracterización de los puntos en la cerradura de un conjunto, para probar el resultado es suficiente demostrar que \( \overline{A}=C(X)\).
Sea \(B=\overline{A}\). Si logramos probar que \(\overline{B}=C(X)\) habremos acabado pues \(\overline{B}=\overline{\overline{A}}=\overline{A}\).
Ahora, para probar que \(\overline{B}=C(X)\) vamos a usar el Teorema 11.6. Para poder aplicar el dicho teorema debemos probar que:
Primera veamos que \(B\) distingue los puntos de \(X\). Como el álgebra \(A\) no se anula en \(X\) y separa los puntos de \(X\) del Lema 11.12 se sigue que \(A\) distingue los puntos de \(X\). Pero como \(A\subseteq \overline{A}=B\) se sigue que \(B\) distingue los puntos de \(X\).
Para probar que \(B\) es una retícula vamos a probar antes la siguiente afirmación.
Afirmación: si \(g\in B\) entonces \(|g|\in B\) (ésta es la parte más larga de la prueba de Stone-Weierstrass).
Razón:
Primero vamos a ver un poco de álgebra. Por la Proposición 11.10 tenemos que \(B\) es una subálgebra. Ahora si \(p\) es un polinomio sin término constante vamos a probar que \(p(g)\in B\) (nota: \(p(g)=p\circ g\)). Como \(p\) no tiene término constante lo podemos escribimos como \[ p(t)=\sum_{k=1}^m a_kt^k. \] Entonces para toda \(x\in X\): \[ p(g(x))=\sum_{k=1}^m a_k g(x)^k. \] Tomando en cuenta de que \(B\) es subálgebra \(g^2, \dots, g^m \in B\) y al ser subespacio vectorial también tenemos que \( \sum_{k=1}^m a_kg^k \in B \) y por lo tanto \(p(g)\in B\).
El siguiente paso es hacer un poco de análisis. Ya que \(g:X\to \mathbb{R}\) es continua y \(X\) es compacto, \(g(B)\subset \mathbb{R}\) es compacto, por lo tanto existe un \(M>0\) que cumple \(g(B)\subseteq [-M,M]\). Por otro lado, usando el Teorema de aproximación de Weierstrass (ó alternativamente el Ejercicio 3.20) existe una sucesión de polinomios \((p_n)_{n=1}^\infty\) que cumplen: \(p_n(t)\to |t|\) uniformemente en \([-M,M]\). Ahora viene una observación importante: como el valor absoluto de del cero es cero podemos suponer que para toda \(n\), \(p_n(0)=0\), lo cual implica que \(p_n\) no tiene término constante. (esto se puede justificar usando directamente el Ejercicio 3.20 o aplicando el Ejercicio 3.15). Usando la primera parte (la algebráica) tenemos que para toda \(n\), \(p_n(g)\in B\).
Para continuar probamos que \(\lim_{n\to \infty}\|p_n(g)-|g|\|_X = 0\). En efecto, sabemos que \(p_n(t)\to |t|\) uniformemente en \([-M,M]\), por lo tanto dado \[ \lim_{n\to \infty}\left( \sup_{t\in [-M,M]}\{ |p_n(t)-|t||\}\right)=\lim_{n\to \infty}\|p_n-|t|\|_{[-M,M]}=0, \] pero usando que \(g(B)\subseteq [-M,M]\) llegamos a: \[ \sup_{x\in X}\{|p_n(g(x))-|g(x)|| \} \leq \sup_{t\in [-M,M]}\{ |p_n(t)-|t||\}. \] Tomando límite cuando \(n\to \infty\) en la desigualdad anterior la ley del Sandwich implica que: \[ \lim_{n\to \infty}\|p_n(g)-|g|\|_X=\lim_{n\to \infty}\left(\sup_{x\in X}\{|p_n(g(x))-|g(x)|| \}\right)=0. \]
Ahora sí, vamos a probar que \(|g|\in B\). Por la primera parte \(p_n(g)\in B\) para toda \(n\) y por la segunda, \(\lim_{n\to \infty}\|p_n(g)-|g|\|_X=0\) lo cual implica que \(|g|\in \overline{B}\). Pero \(B\) es cerrado, por lo tanto podemos concluir que \(|g|\in B\). Aquí termina la afirmación.
Acontinuación probamos que \(B\) es una retícula. Dados \(f,h\in B\) sabemos que \[ \max\{f,h\}=\frac{f+h+|f-h|}{2}, \quad \min\{f,h\}=\frac{f+h-|f-h|}{2} \] pero como \(B\) es espacio vectorial, \(f+h, f-h \in B\) y por la afirmación \(|f-h|\in B\) así que usando nuevamente la estructura de espacio vectorial concluimos \[ \frac{f+h+|f-h|}{2}, \frac{f+h-|f-h|}{2} \in B, \] probando que \(B\) es una retícula.
Como ya probamos que \(B\) distingue los puntos de \(X\) y que \(B\) es una retícula el Teorema 11.6 implica inmediatamente que \(\overline{B}=C(X)\).
Sea \( (X,d_X), (Y,d_Y)\) dos espacios métricos compactos. Pruebe que toda función continua \(f:X\times Y \to \mathbb{R}\) puede aproximarse uniformemente con funciones de la forma \begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n g_i(x)h_i(y) \end{eqnarray*} donde \(g_i:X\to \mathbb{R}\) y \(h_i:Y\to \mathbb{R}\) son continuas.
Sea \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) una función continua. Suponga que \[ \int_0^1 f(x)(x^{n+1}(1-x)^2)''dx=0 \] para todo \(n\geq 1\). Pruebe que \(f\) es una función lineal.
Una función \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) se llama escalonada si existe una partición de \([a,b]\), \(\{a=t_0< t_1 < \cdots < t_n = b\}\), tal que para toda \(i=1,\dots, n\), existe una constante \(c_i\) tal que \(f(x)=c_i\), para toda \(x\in (t_{i-1},t_i)\).
Por \(S[a,b]\) denotamos al conjunto de funciones escalonadas de \([a,b]\) a \(\mathbb{R}\). Prueba que
Prueba que el conjunto de funciones pares en \(C[-1,1]\) es una subálgebra cerrada de \((C[-1,1],\|\cdot\|_\infty)\).
Sea \(K\subset \mathbb{R}^n\) un subconjunto compacto. Prueba que el conjunto de polinomios en \(n\)-variables es uniformemente denso en \(C(K)\).